Перегляд вихідного коду сторінки Чотирикутник

{{unibox}}'''Чотирикутник'''&nbsp;— це частина площини, обмежена ''простою замкненою'' ламаною, яка містить чотири (4) ланки. Вона складається з чотирьох (4) вершин ([[точка|точок]]) і чотирьох сторін ([[відрізок|відрізків]]), що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій. Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються [[діагональ|діагоналями]].
[[Файл:Chotyrykutnyk-Geom.png|міні|300 пкс|Зображення 1. Приклад чотирикутника]]

У чотирикутнику на зображені 1 діагоналями є відрізки AC і BD.

Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. У чотирикутнику на даному малюнку протилежними сторонами є сторони AB і CD, BC і AD. Чотирикутник позначають, записуючи його вершини. Наприклад, чотирикутник на зображені 1 позначено так: ABCD. У позначенні чотирикутника вершини, що стоять поряд, повинні бути сусідніми. Чотирикутник ABCD можна також позначити BCDA або DCBA. Але не можна позначити ABDC (B і D&nbsp;— не сусідні вершини).

Внутрішні кути простого чотирикутника ''ABCD'' мають в сумі 360 [[Градус (геометрія)|градусів]], тобто
:<math>\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}.</math>

Сума довжин усіх сторін чотирикутника називається [[периметр]]ом.

==Прості чотирикутники==
Будь-який чотирикутник, сторони якого не перетинаються є простим чотирикутником.

=== Опуклі чотирикутники ===
В опуклих чотирикутників всі внутрішні кути є меншими за 180°, а дві діагоналі знаходяться в середині чотирикутника.
* Неправильний чотирикутник: не має паралельних сторін.
* [[Трапеція]]: одна пара протилежних сторін є [[Паралельність|паралельною]].
* [[Рівнобічна трапеція]]: одна пара протилежних сторін є паралельними, а кути нахилу сторін при основі є рівними. Альтернативними визначеннями є: чотирикутник що має вісь симетрії, яка перетинає пару протилежних сторін, або трапеція із діагоналями рівної довжини.
* [[Паралелограм]]: чотирикутник із двома парами паралельних сторін. еквівалентною умовою є те, що його протилежні сторони мають однакову довжину; що протилежні кути рівні; або що діагоналі перетинаються і ділять одна одну навпіл. До паралелограмів відноситься ромб, прямокутник, а також квадрат.
* [[Ромб]]: всі чотири сторони мають однакову довжину. Або еквівалентно: діагоналі перпендикулярні і перетином ділять навпіл одна одну. Не формально це є «сплюснутий квадрат» (але строго математично квадрат теж є ромбом).
* [[Ромбоїд]]: паралелограм в якого суміжні сторони мають різні довжини а деякі кути [[Кут|тупими]] (не має прямих кутів). Деякі джерела називають його паралелограмом, що не є ромбом.<ref>{{cite web |url=http://www.cimt.plymouth.ac.uk/resources/topics/art002.pdf |title=Archived copy |accessdate=20 червня 2013 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140514200449/http://www.cimt.plymouth.ac.uk/resources/topics/art002.pdf |archivedate=May 14, 2014 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140514200449/http://www.cimt.plymouth.ac.uk/resources/topics/art002.pdf |date=2014-05-14 }}</ref>
* [[Прямокутник]]: всі чотири кути є прямими кутами. Еквівалентно: діагоналі мають однакову довжину і при перетині діляться навпіл. До прямокутників відноситься і квадрат.
* [[Квадрат]]: всі чотири сторони мають однакову довжину, а чотири кути є прямими. Діагоналі перетинають одна одну навпіл і під прямим кутом, а також мають однакову довжину. Чотирикутник є квадратом тоді і лише тоді, коли він одночасно є ромбом і прямокутником (чотири рівні сторони і чотири однакові кути).
* [[Дельтоїд]]: дві пари прилеглих сторін мають однакову довжину. З цього випливає, що одна з діагоналей розділяє дельтоїд на [[Конгруентність (геометрія)|конгруентні трикутники]], і два кути між парами нерівних сторін мають однакову величину. Також, його діагоналі є перпендикулярними. До дельтоїдів відноситься ромб.
[[Файл:Quadrilaterals_uk.svg]]
* [[Описаний чотирикутник]]: чотири сторони є дотичними до вписаного кола. Опуклий чотирикутник може описати коло тоді і лише тоді коли суми його протилежних сторін рівні.
* [[Описана трапеція]]: трапеція, чотири сторони якої є дотичними до вписаного кола.
* [[Вписаний чотирикутник]]: чотири вершини лежать на [[Описане коло|описаному колі]]. Опуклий чотирикутник є вписаним, тоді і тільки тоді коли суми протилежних кутів дорівнюють 180°.
* [[Прямокутний дельтоїд]]: дельтоїд, дві протилежні кути якого є прямими. Він є одним із видів вписаних чотирикутників.
* [[Біцентричний чотирикутник]]: чотирикутник, який одночасно є вписаним у коло і описаним колом.
* [[Ортодіагональний чотирикутник]]: діагоналі перетинаються під [[Прямий кут|прямим кутом]].
* [[Зовні-описаний чотирикутник]]: продовження чотирьох сторін є дотичними до зовнішнього кола.
* [[Зовні-описаний чотирикутник#Зовні-біцентричний чотирикутник|Зовні-біцентричний чотирикутник]]: зовні-описаний чотирикутник, який є одночасно вписаним.

===Увігнуті чотирикутники===
В увігнутих чотирикутників, один із внутрішніх кутів є більшим за 180° а одна із двох діагоналей лежить за межами чотирикутника.

== Складні чотирикутники ==
[[Файл:DU21 facets.png|thumb|upright=0.8|Антипаралелограм]]
До складних чотирикутників відносять не правильні чотирикутники, грані яких перетинаються. Такі чотирикутники перетинають самі себе і мають ряд не формальних назв: '''перехрещений чотирикутник''', '''чотирикутник-метелик''' або '''бантик'''.
Сума внутрішніх кутів перехрещеного чотирикутника буде дорівнювати 720°, а два внутрішні кути в ньому є [[Кут|розгорнутими]] і знаходяться ззовні. Тобто перехрещеного чотирикутника, чотири «внутрішні» кути знаходяться по обидві сторони перетину (два [[Кут|гострих]] і два [[Кут|розгорнутих]], всі з лівої сторони або з правою, в залежності від того в якому порядку перераховуються).<ref>{{Cite web |url=http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/stars.pdf |title=Stars: A Second Look |accessdate=25 лютого 2018 |archive-date=3 березня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160303182521/http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/stars.pdf }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160303182521/http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/stars.pdf |date=2016-03-03 }}</ref>

* Перехрещена трапеція<ref>{{cite web | url=https://blogs.adelaide.edu.au/maths-learning/2016/04/06/the-crossed-trapezium/ | title=The crossed trapezium | last=Butler | first=David | date=2016-04-06 | website=Making Your Own Sense | access-date=2017-09-13 | archive-date=13 вересня 2017 | archive-url=https://web.archive.org/web/20170913140101/https://blogs.adelaide.edu.au/maths-learning/2016/04/06/the-crossed-trapezium/ }}</ref>: перехрещений чотирикутник, в якому (як у [[трапеція|трапеції]]) одна пара не суміжних сторін є паралельною
* [[Антипаралелограм]]: перехрещений чотирикутник в якого (як в [[паралелограм]]а) кожна пара не суміжних сторін мають однакову довжину.
* Перехрещений прямокутник: це антипаралелограм, сторонами якого є дві протилежні сторони і дві діагоналі звичайного [[прямокутник]]а, таким чином від має одну пару протилежних сторін, що є паралельними.
* [[Квадрат#Перехрещений квадрат|Перехрещений квадрат]]: особливий випадок перехрещеного прямокутника, в якого дві сторони перетинаються під прямими кутами.

== Повний чотирибічник ==
[[Файл:Quadrilatere complet.png|thumb|Повний чотирибічник]]
Хоча така назва може бути еквівалентна чотирикутнику, в неї часто вкладають додатковий сенс. Четвірка прямих, ніякі дві з яких не паралельні і ніякі три не проходять через одну точку, називається ''повним чотирибічником''. Така [[Конфігурація (геометрія)|конфігурація]] зустрічається в деяких твердженнях евклідової геометрії (наприклад, [[теорема Менелая]], [[пряма Ньютона - Гауса]], [[пряма Обера]], [[Теорема Мікеля]] тощо), в яких часто всі прямі є взаємозамінними.

== Особливі відрізки ==
Двома [[Діагональ|діагоналями]] опуклого чотирикутника є [[відрізок|відрізки]], що сполучають протилежні вершини.

Двома '''бімедіанами''' ({{lang-en|bimedians}}) опуклого чотирикутника є відрізки, що сполучають середини протилежних сторін<ref>{{cite web |author=E.W. Weisstein |title=Bimedian |url=http://mathworld.wolfram.com/Bimedian.html |publisher=''MathWorld'' – A Wolfram Web Resource |accessdate=25 лютого 2018 |archive-date=22 квітня 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180422001411/http://mathworld.wolfram.com/Bimedian.html }}</ref>. Вони перетинаються у точці, яка називається «центроїдом» вершин чотирикутника.

Також в опуклому чотирикутнику '''бівисотою''' ({{lang-en|maltitude}}) будемо називати висоту, яка має основу у середині протилежної сторони<ref>{{cite web |author=E.W. Weisstein |title=Maltitude |url=http://mathworld.wolfram.com/Maltitude.html |publisher=MathWorld – A Wolfram Web Resource |accessdate=17 грудня 2019 |archive-date=23 грудня 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191223031441/http://mathworld.wolfram.com/Maltitude.html }}</ref>. Всього у чотирикутнику можна провести чотири бівисоти.

== [[Площа]] ==
Існує декілька загальних формул розрахунку [[площа|площі]] ''S'' опуклого чотирикутника ''ABCD'' із сторонами {{nobreak|''a'' {{=}} ''AB'', ''b'' {{=}} ''BC'', ''c'' {{=}} ''CD'' і ''d'' {{=}} ''DA''}}.

=== Тригонометричні формули ===
Площа чотирикутника може бути задана за допомогою тригонометричних функцій таким чином:
: <math>S = \tfrac{1}{2} ef \cdot \sin \theta,</math>

де довжини кожної діагоналі задані як ''e'' і ''f'', а кут між ними дорівнює ''θ''.<ref>Harries, J. "Area of a quadrilateral, " ''Mathematical Gazette'' 86, July 2002, 310—311.</ref> У випадку коли діагоналі перпендикулярні (тобто для ромба, квадрата і дельтоїда), ця формула спрощується до <math>S=\tfrac{1}{2}ef</math> оскільки ''θ'' дорівнює 90°.

Площу можна розрахувати через бімедіани таким чином<ref name=Josefsson4/>
: <math>S = mn \cdot \sin \varphi,</math>
Де довжини медіан дорівнюють ''m'' і ''n'', а кут між ними дорівнює ''φ''.

[[Формула Бретшнайдера]]<ref>R. A. Johnson, ''Advanced Euclidean Geometry'', 2007, Dover Publ., p. 82.</ref> визначає площу черед дві сторони і два протилежних кута:
: <math>\begin{align}
S &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd \; [ 1 + \cos (\angle A + \angle C) ]} \\
&= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \left[ \cos^2 \left( \tfrac{\angle A + \angle C}{2} \right) \right]}
\end{align}</math>

де сторони відповідно задані як ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', і де ''s'' є півпериметром, а ''A'' і ''C'' є двома (будь-якими) протилежними кутами. Для вписаного чотирикутника цей вираз спрощується до [[Формула Брамагупти|формули Брамагупти]], оскільки {{nobreak|''A'' + ''C'' {{=}} 180°}}.

Іншою формулою для розрахунку площі через кути і сторони, де кут ''C'' знаходиться між сторонами ''b'' і ''c'', а кут ''A'' між сторонами ''a'' та ''d'', є
: <math>S = \tfrac{1}{2}ad \cdot \sin{A} + \tfrac{1}{2}bc \cdot \sin{C}.</math>

У випадку із вписаним чотирикутником, остання формула скорочується до <math>S = \tfrac{1}{2}(ad+bc)\sin{A}.</math>

Для паралелограма, де обидві пари протилежних сторін і кутів є рівними, ця формула в свою чергу спрощується до виразу <math>S=ab \cdot \sin{A}.</math>

Альтернативним чином, можна визначити площу чотирикутника через сторони і кут перетину його діагоналей ''θ'', для тих випадків доки цей кут не дорівнює 90°:<ref name=Mitchell>Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral, " ''Mathematical Gazette'' 93, July 2009, 306—309.</ref>
: <math>S = \frac{|{\mathrm{tg}\,\theta}|}{4} \cdot \left| a^2 + c^2 - b^2 - d^2 \right|.</math>

У випадку з паралелограмом, остання формула буде виглядати як <math>S = \tfrac{1}{2}|{\mathrm{tg}\,\theta}|\cdot \left| a^2 - b^2 \right|.</math>

Іншою формулою, що містить сторони ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' є<ref name=Josefsson4>{{citation
 | last = Josefsson
 | first = Martin
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 17–21
 | title = Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201304.pdf
 | volume = 13
 | year = 2013
 | accessdate = 25 лютого 2018
 | archive-date = 4 березня 2016
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160304001152/http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201304.pdf
 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304001152/http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201304.pdf |date= 4 березня 2016 }}.</ref>
: <math>S=\tfrac{1}{4}\sqrt{(2(a^2+c^2)-4x^2)(2(b^2+d^2)-4x^2)}\sin{\varphi}</math>
де ''x'' є відстанню між середніми точками діагоналей, а ''φ'' є кутом між бімедіанами.

І ще однією тригонометричною формулою, що містить сторони ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' і кут ''α'' між ''a'' і ''b'' є:
: <math>S=\tfrac{1}{2}ab\cdot\sin{\alpha}+\tfrac{1}{4}\sqrt{4c^2d^2-(c^2+d^2-a^2-b^2+2ab\cdot\cos{\alpha})^2} ,</math>
що може використовуватися і як площа увігнутого чотирикутника (що має увігнуту частину протилежну до кута ''α'') змінивши перший знак + на&nbsp;-.
<!--
Додав коментар в обговоренні. Коротко, якщо потрібно знайти четверту сторони, то простіше обчислити діагоналі та скористатися рівнянням, 
що пов'язує довжини сторін і діагоналей. Проблема цієї формули полягає в тому, що вона не універсальна і тому потрібно контролювати значення
кутів.

Довжину четвертої сторони довільного чотирикутника, можна знайти знаючи довжину 3-ох сторін, та 2-ух кутів між ними:
<code>c=sqrt([(d- bsin α/sin(θ)²+(a- bcos α- bsin α/tan(θ)²- 2*cos(θ*(d- bsin α/sin(θ)*(a- bcos α- bsin α/tan(θ)

//якщо ,bsin α ≤ dsin θ
у противному випадку просто змінити місцями  α і θ and b і d!
</code><ref>https://www.geogebra.org/m/gQWnPf2a</ref><ref>https://web.archive.org/web/20201231194050/https://www.geogebra.org/m/gQWnPf2a</ref>-->

<!-- джерело https://www.geogebra.org/m/gQWnPf2a In any Quadrilateral,
c=sqrt([(d- bsin α/sin(θ)²+(a- bcos α- bsin α/tan(θ)²- 2*cos(θ*(d- bsin α/sin(θ)*(a- bcos α- bsin α/tan(θ)

моє корегування c=sqrt([ (d- bsin α/sin(θ)²  +  (a- bcos α- bsin α/tan(θ)²- 2*cos(θ*(d- bsin α/sin(θ)*(a- bcos α- bsin α/tan(θ)) )

if,bsin α≤dsin θ
otherwise simply exchange α & θ та b & d! )))))]) 

пеервірте бдлска хто краще знається, десь тут я помилився знизу!
: <math>c=\sqrt{[(d-b\sin{\alpha}^2/sin{\beta}^2+(a-b\cos{\alpha}-b\sin{\alpha}/\tan{\beta}^2-2*\cos{\beta*(d-b\sin{\alpha}/\tan{\beta}]}</math>
-->

=== Не-тригонометричні формули ===
Дві наступні формули задають площу ''S'' чотирикутника через сторони ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', напівпериметр ''s'', і діагоналі ''e'', ''f'':

: <math>S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)},</math><ref>J. L. Coolidge, «A historically interesting formula for the area of a quadrilateral», ''American Mathematical Monthly'', 46 (1939) 345—347.</ref>

: <math>S = \tfrac{1}{4} \sqrt{4e^{2}f^{2}- \left( a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2} \right) ^{2}}.</math><ref>{{cite web |author=E.W. Weisstein |title=Bretschneider's formula |url=http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html |publisher=''MathWorld'' – A Wolfram Web Resource |accessdate=25 лютого 2018 |archive-date=18 березня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200318184655/https://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html }}</ref>

Перше рівняння зводиться до формули Брахмагупти для вписаного чотирикутника, оскільки в такому випадку ''ef'' = ''ac'' + ''bd''.

Площу також можна задати через бімедіани ''m'', ''n'' і діагоналі ''e'', ''f'':

: <math>S=\tfrac{1}{2}\sqrt{(m+n+e)(m+n-e)(m+n+f)(m+n-f)},</math><ref>Archibald, R. C., «The Area of a Quadrilateral», ''American Mathematical Monthly'', 29 (1922) pp. 29–36.</ref>

: <math>S=\tfrac{1}{2}\sqrt{e^2f^2-(m^2-n^2)^2}.</math><ref name=Josefsson3>{{citation
 | last = Josefsson
 | first = Martin
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 155–164
 | title = The Area of a Bicentric Quadrilateral
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf
 | volume = 11
 | year = 2011
 | accessdate = 25 лютого 2018
 | archive-date = 5 січня 2020
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200105031952/http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf
 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200105031952/http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf |date= 5 січня 2020 }}.</ref>{{rp|Thm. 7}}

Насправді, будь-яке з трьох значень ''m'', ''n'', ''e'', і ''f'' є достатнім для визначення площі, оскільки для будь-якого чотирикутника ці чотири значення пов'язані рівнянням <math>e^2+f^2=2(m^2+n^2).</math><ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p. 126}} Відповідними спрощеними виразами будуть такі рівняння для розрахунку площі:<ref name=Josefsson6>Josefsson, Martin (2016) ‘100.31 Heron-like formulas for quadrilaterals’, ''The Mathematical Gazette'', '''100''' (549), pp. 505—508.</ref>

: <math>S=\tfrac{1}{2}\sqrt{[(m+n)^2-e^2]\cdot[e^2-(m-n)^2]},</math>
якщо дані довжини двох бімедіан і діагональ, і<ref name=Josefsson6/>

: <math>S=\tfrac{1}{4}\sqrt{[(e+f)^2-4m^2]\cdot[4m^2-(e-f)^2]},</math>
якщо відомі довжини двох діагоналей і одна бімедіана.

=== Векторна форма ===
Площу чотирикутника ''ABCD'' можна розрахувати за допомогою [[Вектор (математика)|векторів]]. Нехай вектори '''AC''' і '''BD''' утворюють діагоналі від ''A'' до ''C'' і від ''B'' до ''D''. Площа чотирикутника тоді дорівнюватиме
: <math>S = \tfrac{1}{2} |\mathbf{AC}\times\mathbf{BD}|,</math>

що є половиною величини [[Векторний добуток|векторного добутку]] векторів '''AC''' і '''BD'''. У двовимірному Евклідовому просторі, вектор '''AC''' можна задати у вигляді вектора у Декартовому просторі як ('''''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>''') і вектор '''BD''' як ('''''x''<sub>2</sub>,''y''<sub>2</sub>'''), тому рівняння можна переписати таким чином:
: <math>S = \tfrac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|.</math>

== Теореми ==

# Добутки площ трикутників, утворених частинами діагоналей від їх країв до їх перетину і протилежними сторонами чотирикутника, рівні.
# Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360°.
# У будь-якому вписаному чотирикутнику суми протилежних кутів дорівнють 180°.
# У будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.

==Діагоналі==
===Довжина діагоналей===
Довжини діагоналей опуклого чотирикутника ''ABCD'' із відповідними вершинами {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}}, {{math|''D''}} і сторонами {{math|''a'' {{=}} ''AB''}}, {{math|''b'' {{=}} ''BC''}}, {{math|''c'' {{=}} ''CD''}}, і {{math|''d'' {{=}} ''DA''}}, довжини діагоналей {{math|''p'' {{=}} ''AC''}} і {{math|''q'' {{=}} ''BD''}} можна розрахувати за допомогою [[Теорема косинусів|теореми косинусів]] для кожного трикутника, що утворені діагоналями і двома сторонами чотирикутника. Таким чином
:<math>p=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{B}}=\sqrt{c^2+d^2-2cd\cos{D}}</math>

і
:<math>q=\sqrt{a^2+d^2-2ad\cos{A}}=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos{C}}.</math>

Інші, більш симетричні формули для знаходження довжин діагоналей:<ref>Rashid, M. A. & Ajibade, A. O., "Two conditions for a quadrilateral to be cyclic expressed in terms of the lengths of its sides", ''Int. J. Math. Educ. Sci. Technol.'', vol. 34 (2003) no. 5, pp. 739–799.</ref>
:<math>p=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos{B}+\cos{D})}{ab+cd}}</math>

і
:<math>q=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos{A}+\cos{C})}{ad+bc}}.</math>

=== Узагальнення правила паралелограма і теореми Птолемея ===
Для будь-якого опуклого чотирикутника ''ABCD'', сума квадратів чотирьох сторін дорівнює сумі квадратів двох діагоналей плюс чотири квадрати лінійного сегменту, що сполучає середні точки діагоналей. Тобто
: <math> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = p^2 + q^2 + 4x^2 </math>

де ''x'' це відстань між середніми точками діагоналей.<ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p.126}} Це рівняння відоме як [[теорема Ейлера про чотирикутник]] і є узагальненням для [[Правило паралелограма|правила паралелограма]].

Німецький математик {{нп|Карл Антон Бретшнейдер|||Carl Anton Bretschneider}} в 1842 вивів наступне узагальнення для [[Теорема Птолемея|теореми Птолемея]], стосовно добутку діагоналей опуклого чотирикутника<ref>Andreescu, Titu & Andrica, Dorian, ''Complex Numbers from A to…Z'', Birkhäuser, 2006, pp. 207—209.</ref>
: <math> p^2q^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos{(A+C)}.</math>

Це рівняння можна вважати аналогічним до [[Теорема косинусів|теореми косинусів]] для чотирикутника. Для [[Вписаний чотирикутник|вписаного чотирикутника]], в якого <math>{(A+C)} = 180^\circ</math>, це рівняння спрощується до ''pq = ac + bd''. Оскільки <math>\cos{(A+C)} \geqslant -1</math>, таким чином, це також доводить нерівність Птолемея.

==Бімедіани==
{{See also|Теорема Варіньона (геометрія)}}
[[File:Varignon theorem convex.png|300px|thumb|Паралелограм Варіньона ''EFGH'']]

Бімедіанами чотирикутника є такі лінійні відрізки, що сполучають [[Середня точка|середні точки]] його протилежних сторін. Перетином бімедіан є [[центроїд]] вершин чотирикутника.<ref>Weisstein, Eric W. "Quadrilateral." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180226091859/http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html |date=26 лютого 2018 }}</ref>

Середні точки будь-якого чотирикутника (опуклого, увігнутого або перехрещеного) є вершинами [[паралелограм]]а, що називається [[Теорема Варіньона (геометрія)|паралелограмом Варіньона]]. Він має такі властивості:
*Кожна пара протилежних сторін паралелограма Варіньона є паралельними діагоналі початкового чотирикутника.
*Сторона паралелограма Варіньона має довжину, що дорівнює половині довжини діагоналі початкового чотирикутника до якої ця сторона є паралельною.
*Площа паралелограма Варіньона дорівнює половині площі початкового чотирикутника. Це є вірним для опуклих, увігнутих і перехрещених чотирикутників, де площа останнього задається як різниці площ трикутників з яких він складається.<ref>H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967, pp.&nbsp;52–53.</ref>
*[[Периметр]] паралелограма Варіньона дорівнює сумі довжин діагоналей початкового чотирикутника.
*Діагоналі паралелограма Варіньона є бімедіанами початкового чотирикутника.

Дві бімедіани чотирикутника і лінійні відрізки, що сполучають середні точки діагоналей в тому чотирикутнику є [[Конкурентні прямі|конкурентними прямими]] і всі поділяються навпіл точкою їх перетину.<ref name=Altshiller-Court>Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover Publ., 2007.</ref>{{rp|p.125}}

Для опуклого чотирикутника із сторонами ''a'', ''b'', ''c'' і ''d'', довжина бімедіани, що сполучає середні точки сторін ''a'' і ''c'' дорівнюватиме
:<math>m=\tfrac{1}{2}\sqrt{-a^2+b^2-c^2+d^2+p^2+q^2}</math>

де ''p'' і ''q'' є довжинами діагоналей.<ref>{{Cite web |url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=363253 |title=Mateescu Constantin, Answer to ''Inequality Of Diagonal'' |accessdate=25 лютого 2018 |archive-date=24 жовтня 2014 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141024134419/http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=363253 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141024134419/http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=363253 |date=2014-10-24 }}</ref> Довжина бімедіани, що сполучає середні точки сторін ''b'' і ''d'' дорівнює
:<math>n=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2-b^2+c^2-d^2+p^2+q^2}.</math>

Отже<ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p.126}}
:<math>\displaystyle p^2+q^2=2(m^2+n^2).</math>

Це також є наслідком застосування [[Правило паралелограма|правила паралелограма]] до паралелограма Варіньона.

Довжину бімедіан також можна виразити через дві протилежні сторони і відстань ''x'' між середніми точками діагоналей. Це можна отримати застосувавши теорему Ейлера для чотирикутників щодо вищезгаданих формул. Звідки отримаємо<ref name=Josefsson3/>
:<math>m=\tfrac{1}{2}\sqrt{2(b^2+d^2)-4x^2}</math>

і
:<math>n=\tfrac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-4x^2}.</math>

Зверніть увагу, що дві протилежні сторони в цих формулах не є тими двома сторонами, що сполучає бімедіана.

Для опуклого чотирикутника є справедливим такий [[Дуальність|дуальний]] взаємозв'язок між бімедіанами і діагоналями:<ref name=Josefsson>{{citation
 | last = Josefsson
 | first = Martin
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 13–25
 | title = Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf
 | volume = 12
 | year = 2012
 | accessdate = 25 лютого 2018
 | archive-date = 5 грудня 2020
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20201205213638/http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf
 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201205213638/http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf |date= 5 грудня 2020 }}.</ref>
* Дві бімедіани мають однакову довжину тоді і лише тоді, коли дві діагоналі є [[Перпендикулярність|перпендикулярними]].
* Дві бімедіани є перпендикулярними, толі і лише тоді, коли дві діагоналі мають однакову довжину.

==Тригонометричні тотожності==
Чотири кути простого чотирикутника ''ABCD'' задовольняють таким рівнянням:<ref>C. V. Durell & A. Robson, ''Advanced Trigonometry'', Dover, 2003, p. 267.</ref>
:<math>\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}+\sin{D}=4\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A+C}{2}}\sin{\frac{A+D}{2}}</math>

і
:<math>\frac{\tan{A}\tan{B}-\tan{C}\tan{D}}{\tan{A}\tan{C}-\tan{B}\tan{D}}=\frac{\tan{(A+C)}}{\tan{(A+B)}}.</math>

Також,<ref>''MathPro Press'', "Original Problems Proposed by Stanley Rabinowitz 1963–2005", p. 23, [http://www.mathpropress.com/archive/RabinowitzProblems1963-2005.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180819013454/http://mathpropress.com/archive/RabinowitzProblems1963-2005.pdf|date=19 серпня 2018}}</ref>
:<math>\frac{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}+\tan{D}}{\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}+\cot{D}}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\tan{D}.</math>

У двох останніх формулах, жоден з кутів не може бути [[прямий кут|прямим кутом]], оскільки тангенс&nbsp;90° є не визначеним.

== Нерівності ==

=== Площа ===
Якщо опуклий чотирикутник має сторони ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' і діагоналі ''p'', ''q'', тоді його площа ''S'' задовольняє нерівностям<ref>O. Bottema, ''Geometric Inequalities'', Wolters–Noordhoff Publishing, The Netherlands, 1969, pp. 129, 132.</ref>
:<math>S\le \tfrac{1}{4}(a+c)(b+d)</math>, що буде рівністю лише для [[прямокутник]]а.
:<math>S\le \tfrac{1}{4}(a^2+b^2+c^2+d^2)</math> , що буде рівністю лише для [[квадрат]]а.
:<math>S\le \tfrac{1}{4}(p^2+q^2)</math>, що буде рівністю лише якщо дві діагоналі є перпендикулярними і мають однакову довжину.
:<math>S\le \tfrac{1}{2}\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+d^2)}</math>, що є рівністю лише для прямокутника.<ref name=Josefsson4/>

Із [[Формула Бретшнайдера|формули Бретшнайдера]] прямо випливає, що площа чотирикутника задовольнятиме нерівності
:<math>S \le \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math>

що буде рівністю [[тоді й лише тоді]] коли чотирикутник є [[Вписаний чотирикутник|вписаним чотирикутником]] або виродженим, тобто таким що довжина однієї зі сторін дорівнюватиме сумі довжин інших трьох (тобто він перетворився у [[відрізок]], тому його площа дорівнює нулю).

Площа будь-якого чотирикутника також задовольнятиме нерівності<ref name=Alsina>{{citation|last1=Alsina|first1=Claudi|last2=Nelsen|first2=Roger|title=When Less is More: Visualizing Basic Inequalities|publisher=Mathematical Association of America|year=2009|page=68}}.</ref>
:<math>\displaystyle S\le \tfrac{1}{2}\sqrt[3]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}.</math>

Позначивши периметр чотирикутника як ''L'', матимемо наступне<ref name=Alsina/>{{rp|p.114}}
:<math>S\le \tfrac{1}{16}L^2,</math>

що буде рівністю лише для випадку із квадратом.

Площа опуклого чотирикутника також задовольняє:
:<math>S \le \tfrac{1}{2}pq</math>

де довжини діагоналей задані як ''p'' і ''q'', що буде рівністю лише за умови, що діагоналі перпендикулярні одна одній.

===Діагоналі і бімедіани===
Наслідком із теореми Ейлера про чотирикутники є така нерівність
:<math> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge p^2 + q^2 </math>

де рівність буде справедливою, тоді й тільки тоді коли чотирикутник є [[паралелограм]]ом.

[[Леонард Ейлер|Ейлер]] також узагальнив [[Теорема Птолемея|теорему Птолемея]], що є рівністю для [[Вписаний чотирикутник|вписаного чотирикутника]], у нерівність для опуклого чотирикутника. Нерівність задає таке:
:<math> pq \le ac + bd </math>

що буде рівністю [[тоді й лише тоді]], коли чотирикутник є вписаним.<ref name=Altshiller-Court/>{{rp|p.128–129}}.

В опуклому багатокутнику бімедіани ''m, n'' і діагоналі ''p, q'' пов'язані між собою нерівністю
:<math>pq \leq m^2+n^2,</math>

де рівність буде справедливою тоді і лише тоді, коли діагоналі є рівними.<ref name=J2014>{{cite journal |last=Josefsson |first=Martin |title=Properties of equidiagonal quadrilaterals |journal=Forum Geometricorum |volume=14 |year=2014 |pages=129–144 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412index.html |accessdate=25 лютого 2018 |archive-date=21 квітня 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180421201810/http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412index.html }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20240605032351/https://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412index.html |date=2024-06-05 }}</ref>{{rp|Prop.1}} Це прямо випливає із рівності для чотирикутника <math>m^2+n^2=\tfrac{1}{2}(p^2+q^2).</math>

===Сторони===
Сторони ''a'', ''b'', ''c'', і ''d'' будь-якого чотирикутника задовольняють нерівностям<ref name="Crux">''Inequalities proposed in “[[Crux Mathematicorum]]”'', [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170830032311/http://imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf|date=30 серпня 2017}}.</ref>{{rp|p.228,#275}}
:<math>a^2+b^2+c^2 > \frac{d^2}{3}</math>

і <ref name=Crux/>{{rp|p.234,#466}}
:<math>a^4+b^4+c^4 \geq \frac{d^4}{27}.</math>

== Просторові чотирикутники ==
{{See also|Просторовий багатокутник}}
[[Файл:Disphenoid tetrahedron.png|260px|thumb|Червоним позначено бокові ребра {{нп|Рівносторонній тетраедр|чотирикутного рівностороннього тетраедра|en|tetragonal disphenoid}}, який є правильним зигзагоподібним косим чотирикутником.]]

Чотирикутник, що не знаходиться в площині називається '''просторовим чотирикутником''' або косим чотирикутником. Формули для розрахунку його [[Двогранний кут|двогранних кутів]] при відомих довжинах ребер і кутів між двома прилеглими ребрами були отримані при вивчені властивостей молекул, таких як молекули [[циклобутан]]а, які містять «замкнуте» кільце із чотирьох атомів.<ref>{{cite journal |first=M. P. |last=Barnett |first2=J. F. |last2=Capitani |title=Modular chemical geometry and symbolic calculation |journal=International Journal of Quantum Chemistry |volume=106 |issue=1 |pages=215–227 |year=2006 |doi=10.1002/qua.20807 }}</ref><ref>{{cite journal |last=Hamilton |first=William Rowan |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Gauche/Gauche1.pdf |title=On Some Results Obtained by the Quaternion Analysis Respecting the Inscription of "Gauche" Polygons in Surfaces of the Second Order |journal=Proceedings of the Royal Irish Academy |volume=4 |year=1850 |issue= |pages=380–387 |accessdate=25 лютого 2018 |archive-date=29 листопада 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171129081339/https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Gauche/Gauche1.pdf }}</ref> Косий чотирикутник разом із своїми діагоналями утворює (не обов'язково правильний) [[Чотиригранник|тетраедр]], і навпаки, кожен косий чотирикутник утворений із тетраедра, в якого усунута пара протилежних [[Ребро (геометрія)|ребер]].

== Див. також ==
{{Commons category|Tetragons}}
* [[Трапеція]]
* [[Прямокутник]]
* [[Паралелограм]]
* [[Ромб]]
* [[Квадрат]]
* [[Гармонійний чотирикутник]]
* [[Вписаний чотирикутник]]
* [[Описаний чотирикутник]]
* [[Узагальнений чотирикутник]]

== Примітки ==
{{reflist|2}}

== Джерела ==
* Великий довідник школяра: 5-11 класи&nbsp;— Харків: Школа, 2003, ISBN 966-8114-20-5
{{Многокутники}}
[[Категорія:Многокутники]]
[[Категорія:Чотирикутники]]
[[Категорія:4 (число)]]