Перегляд вихідного коду сторінки Число Моцкіна

'''Число Моцкіна''' для даного числа ''n''&nbsp;— це кількість можливих варіантів з'єднання ''n'' різних точок на колі [[Хорда (геометрія)|хордами, які не перетинаються]] (хорди можуть виходити не з кожної точки). Числа Моцкіна названі на честь {{нп|Теодор Моцкін|Теодора Моцкіна||Theodore Motzkin}} і мають багато проявів у [[Геометрія|геометрії]], [[Комбінаторика|комбінаториці]] і [[Теорія чисел|теорії чисел]].

Числа Моцкіна <math>M_n</math> для <math>n = 0, 1, \dots</math> формують послідовність:

: 1, [[1 (число)|1]], [[2 (число)|2]], [[4 (число)|4]], [[9 (число)|9]], [[21 (число)|21]], [[51 (число)|51]], [[127 (число)|127]], 323, [[835 (число)|835]], 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, … {{OEIS|A001006}}

== Приклади ==
Малюнки демонструють 9 способів поєднати 4 точки на колі хордами, які не перетинаються:

: [[Файл:MotzkinChords4.svg]]

А ці показують 21 спосіб з'єднати 5 точок:

: [[Файл:MotzkinChords5.svg]]

== Властивості ==
Числа Моцкіна задовольняють [[Рекурентне співвідношення|рекурентним співвідношенням]]

: <math>M_{n}=M_{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}M_iM_{n-2-i}=\frac{2n+1}{n+2}M_{n-1}+\frac{3n-3}{n+2}M_{n-2}.</math>

Числа Моцкіна можуть бути виражені через [[Біноміальний коефіцієнт|біноміальні коефіцієнти]] і [[Число Каталана|числа Каталана]]:

: <math>M_n=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} C_k.</math>

'''Просте число Моцкіна'''&nbsp;— це число Моцкіна, яке є [[Просте число|простим]], таких відомо чотири:

: 2, 127, 15511, 953467954114363... {{OEIS|A092832}}

== Інтерпретації в комбінаториці ==
Число Моцкіна для n також є кількістю додатних цілих послідовностей довжини n-1, у яких початковий і кінцевий елементи дорівнюють 1 або 2, а різниця між будь-якими двома послідовними елементами дорівнює -1, 0 або 1.

Також число Моцкіна для n задає кількість маршрутів з точки (0, 0) до точки (n, 0) за n кроків, якщо дозволено переміщуватися лише вправо (вгору, вниз або прямо) на кожному кроці, і забороняється опускатися нижче осі y = 0.

Наприклад, на рисунку показано 9 можливих шляхів Моцкіна від (0, 0) до (4, 0):

: [[Файл:Motzkin4.svg]]

Існує щонайменше чотирнадцять різних проявів чисел Моцкіна в різних галузях математики, які перерахували Донагі та Шапіро 1977 року в своєму огляді чисел Моцкіна.<ref>{{Citation|last1=Donaghey|first1=R.|last2=Shapiro|first2=L. W.|title=Motzkin numbers|journal=[[Journal of Combinatorial Theory]]|series=Series A|volume=23|issue=3|year=1977|pages=291–301|mr=0505544|doi=10.1016/0097-3165(77)90020-6}}</ref>

Гвіберт, Пергола та Пінзані 2001 року показали, що {{прояснити|[[вексилярні інволюції]]}} перераховані числами Моцкіна.<ref>{{Citation|last1=Guibert|first1=O.|last2=Pergola|first2=E.|last3=Pinzani|first3=R.|title=Vexillary involutions are enumerated by Motzkin numbers|doi=10.1007/PL00001297|year=2001|journal=Annals of Combinatorics|issn=0218-0006|volume=5|issue=2|pages=153–174|mr=1904383}}</ref>

== Див. також ==
* [[Числа Деланоя]]
* [[Число Нараяни|Числа Нараяни]]
* {{нп|Schröder number|Числа Шредера}}

== Примітки ==
{{примітки}}

== Посилання ==
* {{Citation|last=Bernhart|first=Frank R.|title=Catalan, Motzkin, and Riordan numbers|journal=[[Discrete Mathematics (журнал)|Discrete Mathematics]]|volume=204|year=1999|pages=73–112|doi=10.1016/S0012-365X(99)00054-0|issue=1-3}}
* {{Citation|last=Motzkin|first=T. S.|author-link=Т. С. Моцкин|title=Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products|journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]|volume=54|year=1948|pages=352–360|doi=10.1090/S0002-9904-1948-09002-4|issue=4}}
* {{MathWorld|title=Motzkin Number|urlname=MotzkinNumber}}
{{Класи натуральних чисел}}
[[Категорія:Числа]]