Перегляд вихідного коду сторінки Число Вудала

В [[Теорія чисел|теорії чисел]] '''число Вудала''' (W<sub>n</sub>)&nbsp;— будь-яке [[Натуральні числа|натуральне число]] виду

: <math>W_n = n \cdot 2^n - 1</math>

для деякого натурального ''n''. Кілька перших чисел Вудала:

: 1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … послідовність A003261 в [[OEIS]].

== Історія ==
Числа Вудала були вперше вивчені {{нп|Алан Канінґем|Аланом Дж. Канінґемом||Allan J. C. Cunningham}} і {{нп|Герберт Вудал|Г. Дж. Вудалом||H. J. Woodall}} 1917 року, натхнені ранішими дослідженнями {{нп|Джеймс Каллен|Джеймсом Калленом|en|James Cullen (mathematician)}} подібним чином визначених [[Числа Каллена|чисел Каллена]]. Числа Вудала дивним чином виявилися в [[Теорема Гудштейна|теоремі Гудштейна]].

== Прості числа Вудала ==
{{Нерозв'язано|математики|Чи існує нескінченно багато простих чисел Вудала?}}
Числа Вудала, які є [[Просте число|простими числами]], називаються '''простими числами Вудала'''. Кілька перших показників ''n'', для яких відповідні числа Вудала ''W''<sub>''n''</sub> прості:

: 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, … послідовність A002234 в [[OEIS]].

Самі ж прості числа Вудала утворюють послідовність:

: 7, 23, 383, 32212254719, … {{OEIS|id=A050918}}.

1976 року {{нп|Christopher Hooley|Крістофер Гулі}} показав, що [[Майже скрізь|майже всі]] числа Каллена [[Складене число|складені]]. Доведення Крістофера Гулі переробив математик [[Хіромі Суяма]] щоб показати, що воно правильне для будь-якої послідовності чисел <math>n \cdot 2^{n+a} + b</math>, де ''a'' і ''b -'' цілі числа, і частково також для чисел Вудала. Припускають, що існує нескінченно багато простих чисел Вудала. Станом на жовтень 2018 року найбільше відоме просте число Вудала&nbsp;— <math>17016602 \cdot 2^{17016602} - 1</math>.<ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=124539 The Prime Database: 8508301*2^17016603-1], ''Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database''</ref> Воно має 5122515 цифр і знайдене Дієго Бертолотті (Diego Bertolotti) 2018 року в проєкті [[Розподілені обчислення|розподілених обчислень]] [[PrimeGrid]]<ref>{{Cite web|url=http://www.primegrid.com/download/WOO-17016602.pdf|title=PrimeGrid, Announcement of 17016602*2^17016602 - 1|last=|website=|date=|publisher=}}</ref>.

== Властивості подільності ==
Подібно до чисел Каллена, числа Вудала мають багато властивостей подільності. Наприклад, якщо ''p'' просте число, ''p'' ділить

: <math>W_{(p + 1)/2}</math> якщо [[символ Якобі]] <math>\left(\frac{2}{p}\right)</math> дорівнює +1 і

: <math>W_{(3p-1)/2}</math> якщо символ Якобі <math>\left(\frac{2}{p}\right)</math> дорівнює -1.{{Джерело}}

== Узагальнення ==
'''Узагальнене число Вудала''' визначається як число виду <math>n \cdot b^{n} - 1</math>, де ''n''+2>''b''. Якщо просте число можна записати в такому вигляді, його називають '''узагальненим простим числом Вудала'''.

Найменше ''n'' для якого ''n'' × ''b''<sup>''n''</sup> − 1 є простим<ref>[http://harvey563.tripod.com/GWlist.txt List of generalized Woodall primes base 3 to 10000]</ref>
: 3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, 2, 3, 2, 8, 60, 1, 2, 2, 10, 5, 2, 7, 182, 1, 17782, 3, … {{OEIS|id=A240235}}

{|class="wikitable"
|''b''
|значення ''n'' для якого ''n'' × ''b''<sup>''n''</sup>&nbsp;— 1 є простим (ці ''n'' перевірені до 350000)
|послідовність<br/>[[Енциклопедія послідовностей цілих чисел|OEIS]]
|-
|1
|3, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, 62, 68, 72, 74, 80, 84, 90, 98, 102, 104, 108, 110, 114, 128, 132, 138, 140, 150, 152, 158, 164, 168, 174, 180, 182, 192, 194, 198, 200, 212, 224, 228, 230, 234, 240, 242, 252, 258, 264, 270, 272, 278, 282, 284, 294, … (всі прості плюс 1)
|{{OEIS2C|id=A008864}}
|-
|2
|2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, …
|{{OEIS2C|id=A002234}}
|-
|3
|1, 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, …
|{{OEIS2C|id=A006553}}
|-
|4
|1, 2, 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, …, 1993191, …
|{{OEIS2C|id=A086661}}
|-
|5
|8, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, …
|{{OEIS2C|id=A059676}}
|-
|6
|1, 2, 3, 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, …
|{{OEIS2C|id=A059675}}
|-
|7
|2, 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, …
|{{OEIS2C|id=A242200}}
|-
|8
|1, 2, 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, …
|{{OEIS2C|id=A242201}}
|-
|9
|10, 58, 264, 1568, 4198, 24500, …
|{{OEIS2C|id=A242202}}
|-
|10
|2, 3, 8, 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, …
|{{OEIS2C|id=A059671}}
|-
|11
|2, 8, 252, 1184, 1308, …
|{{OEIS2C|id=A299374}}
|-
|12
|1, 6, 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, …
|{{OEIS2C|id=A299375}}
|-
|13
|2, 6, 563528, …
|{{OEIS2C|id=A299376}}
|-
|14
|1, 3, 7, 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, …
|{{OEIS2C|id=A299377}}
|-
|15
|2, 10, 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, …
|{{OEIS2C|id=A299378}}
|-
|16
|167, 189, 639, …
|{{OEIS2C|id=A299379}}
|-
|17
|2, 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, …
|{{OEIS2C|id=A299380}}
|-
|18
|1, 2, 6, 8, 10, 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, …
|{{OEIS2C|id=A299381}}
|-
|19
|12, 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, …
|{{OEIS2C|id=A299382}}
|-
|20
|1, 18, 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, …
|{{OEIS2C|id=A299383}}
|-
|21
|2, 18, 200, 282, 294, 1174, 2492, 4348, …
|
|-
|22
|2, 5, 140, 158, 263, 795, 992, 341351, …
|
|-
|23
|29028, …
|
|-
|24
|1, 2, 5, 12, 124, 1483, 22075, 29673, 64593, …
|
|-
|25
|2, 68, 104, 450, …
|
|-
|26
|3, 8, 79, 132, 243, 373, 720, 1818, 11904, 134778, …
|
|-
|27
|10, 18, 20, 2420, 6638, 11368, 14040, 103444, …
|
|-
|28
|2, 5, 6, 12, 20, 47, 71, 624, 1149, 2399, 8048, 30650, 39161, …
|
|-
|29
|26850, 237438, 272970, …
|
|-
|30
|1, 63, 331, 366, 1461, 3493, 4002, 5940, 13572, 34992, 182461, 201038, …
|
|}

{{Станом на|2018|10}}, найбільше відоме узагальнене просте число Вудала дорівнює 17016602 × 2<sup>17016602</sup>&nbsp;− 1.

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Див. також ==
* [[Число_Мерсенна#Прості_числа_Мерсенна|Прості числа Мерсенна]]&nbsp;— прості числа виду 2<sup>''n''</sup>&nbsp;− 1.

== Література ==
* {{Citation|first=Richard K.|last=Guy|author-link=Річард Ґай|title=Unsolved Problems in Number Theory|edition=3rd|publisher=[[Springer Verlag]]|location=New York|year=2004|isbn=0-387-20860-7|pages=section B20}}
* {{Citation|first=Wilfrid|last=Keller|title=New Cullen Primes|journal={{нп|Mathematics of Computation}}|volume=64|issue=212|year=1995|pages=1733–1741|url=http://www.ams.org/mcom/1995-64-212/S0025-5718-1995-1308456-3/S0025-5718-1995-1308456-3.pdf}}
* {{Citation|first=Chris|last=Caldwell|url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=7|title=The Top Twenty: Woodall Primes|work=The {{нп|Prime Pages}}|access-date=29 грудня 2007}}

== Посилання ==
* Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=WoodallNumber The Prime Glossary: Woodall number] at The Prime Pages.
* {{MathWorld|urlname=WoodallNumber|title=Woodall number}}
* Steven Harvey, [http://harvey563.tripod.com/GeneralizedWoodallPrimes.txt List of Generalized Woodall простих чисел].
* Paul Leyland, [https://web.archive.org/web/20120204131629/http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cullen_woodall/gcw.htm Generalized Cullen and Numbers Woodall]
{{Класи натуральних чисел}}
[[Категорія:Математичні гіпотези]]
[[Категорія:Цілочисельні послідовності]]
[[Категорія:1917 у науці]]