Перегляд вихідного коду сторінки Число Ахіллеса

[[Файл:Achilles_number_Cuisenaire_rods_72.png|міні|Демонстрація того, що число 72 є [[Повнократне число|повнократним]] на [[Палички Кюїзенера|паличках Кюїзенера]] ]]

'''Число Ахіллеса''' – це число, яке є [[Повнократне число|повнократним]], але не є [[Досконалий степінь|досконалим]].<ref name="mw">{{MathWorld|urlname=AchillesNumber|title=Achilles Number}}
</ref> Ціле додатне число {{math|''n''}} є повнократним числом, якщо для кожного [[простий множник|простого множника]] {{math|''p''}} з {{math|''n''}}, {{math|''p''<sup>2</sup>}} також є [[Подільність|дільником]]. Іншими словами, кожен простий множник у розкладанні з’являється принаймні в квадраті. Всі числа Ахіллеса повнократні. Однак не всі повнократні числа є числами Ахіллеса: лише ті, які не можна представити як {{math|''m<sup>k</sup>''}}, де {{math|''m''}} і {{math|''k''}} є натуральними числами, більшими за 1.

Числа Ахіллеса були названі [[Генрі Боттомлі]] на честь [[Ахіллес|Ахіллеса]], героя [[Троянська війна|Троянської війни]], який також був могутнім, але недосконалим. ''Сильні числа Ахіллеса'' — це числа Ахіллеса, функція Ейлера від яких також є числами Ахіллеса.<ref>{{cite web|url=https://projecteuler.net/problem=302|title=Problem 302 - Project Euler|website=projecteuler.net}}</ref>  

== Послідовність чисел Ахіллеса ==
Число {{math|''n'' {{=}} ''p''<sub>1</sub><sup>''a''<sub>1</sub></sup>''p''<sub>2</sub><sup>''a''<sub>2</sub></sup>…''p''<sub>''k''</sub><sup>''a''<sub>''k''</sub></sup>}} є повнократним, якщо {{math|min(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, …, ''a''<sub>''k''</sub>) ≥&nbsp;2}}. Якщо додатково {{math|[[Найбільший спільний дільник|НСД]](''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, …, ''a''<sub>''k''</sub>) {{=}} 1}} число є числом Ахіллеса.

Числа Ахіллеса до 5000:

: 72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 ({{OEIS|id=A052486}}).

Найменша пара послідовних чисел Ахіллеса:<ref>Carlos Rivera, ''The Prime Puzzles and Problem Connection'', [http://www.primepuzzles.net/problems/prob_053.htm Problem 53]</ref>

: 5425069447 = 7<sup>3</sup> &#xD7; 41<sup>2</sup> &#xD7; 97<sup>2</sup>
: 5425069448 = 2<sup>3</sup> &#xD7; 26041<sup>2</sup>

== Приклади ==
108 — повнократне число. Його [[Розкладання на множники|розкладення на множники]] є 2<sup>2</sup>&nbsp;·&nbsp;3<sup>3</sup>, і, таким чином, його прості множники дорівнюють 2 і 3. Обидва 2<sup>2</sup> = 4 і 3<sup>2</sup> = 9 є дільниками числа 108. Однак 108 не можна представити як {{math|''m<sup>k</sup>''}}, де {{math|''m''}} та {{math|''k''}} є натуральними числами, більшими за 1, тому 108 є число Ахіллеса.

360 не є числом Ахіллеса, тому що воно не є повнократним. Одним із його простих множників є 5, але 360 не ділиться на 5<sup>2</sup> = 25.

Нарешті, 784 не є числом Ахіллеса. Це повнократне число, тому що не тільки 2 і 7 є його єдиними простими множниками, а й 2<sup>2</sup> = 4 і 7<sup>2</sup> = 49 є його дільниками. Тим не менш, це досконале число:

: <math>784=2^4 \cdot 7^2 = (2^2)^2 \cdot 7^2 = (2^2 \cdot 7)^2 = 28^2. \, </math>

Отже, це не число Ахіллеса.

500 = 2<sup>2</sup> &#xD7; 5<sup>3</sup> є сильним числом Ахіллеса, тому що функція Ейлера від нього 200  = 2<sup>3</sup> &#xD7; 5<sup>2</sup> також є числом Ахіллеса.

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Числа за подільністю}}
{{Класи натуральних чисел}}
[[Категорія:Цілочисельні послідовності]]
[[Категорія:Ахіл]]