Перегляд вихідного коду сторінки Числова функція

{{unibox}}'''Числова функція''' (у [[Математика|математиці]])&nbsp;— [[Функція (математика)|функція]], яка діє з одного числового простору (множини) в інший числовий простір (множину)<ref>[[Область визначення]] й [[область значень]] числової функції&nbsp;— підмножини числового простору.</ref>. Числові множини&nbsp;— це множини [[Натуральні числа|натуральних]] (<math>\mathbb{N}</math>), [[Цілі числа|цілих]] (<math>\mathbb{Z}</math>), [[Раціональні числа|раціональних]] (<math>\mathbb{Q}</math>), [[Дійсне число|дійсних]] (<math>\mathbb{R}</math>) і [[Комплексне число|комплексних]] [[Число|чисел]] (<math>\mathbb{C}</math>) разом з визначеними для відповідних множин [[Операція (математика)|алгебричними операціями]]. Для всіх перерахованих числових множин, крім комплексних чисел, визначено також [[Відношення порядку|відношення]] [[Лінійно впорядкована множина|лінійного порядку]], що дозволяє порівнювати числа за величиною. Числові простори&nbsp;— це числові множини разом з [[Метричний простір|функцією відстані]], заданою на відповідній множині.

У найзагальнішому випадку, '''числова функція'''&nbsp;— це функція, що набуває значення в області дійсних чисел і яка задана на довільному (найчастіше) [[Метричний простір|метричному просторі]]. Така, наприклад, індикаторна або [[Характеристична функція|характеристична функція множини]]. Інший приклад числової функції&nbsp;— це функція [[Відстань|відстані]] (або, що те ж саме, метрика).

'''Числові функції,''' '''задані на множині [[Дійсне число|дійсних]] або [[Комплексне число|комплексних]] чисел''' називають функціями відповідно дійсної або комплексної змінної і є предметом розгляду в ''аналізі:''

* ''[[Дійснозначна функція|дійснозначні функції]] дійсної змінної'' розглядаються в ''[[Диференціальне та інтегральне числення|математичному аналізі]]'',
* ''[[Комплекснозначна функція|комплекснозначні функції]] комплексної змінної'' розглядаються в ''[[Комплексний аналіз|комплексному аналізі]]''.

Важливий предмет розгляду в аналізі&nbsp;— подання числових функцій у вигляді системи наближень ([[Числовий ряд|числових]] і [[Функціональний ряд|функціональних рядів]]).

'''Числові функції''' мають як загальні властивості, якими можуть володіти відображення довільних метричних просторів (наприклад, неперервність), так і низку властивостей, безпосередньо пов'язаних з природою числових просторів. Такими є властивості

* ''диференційовності,'' ''інтегрованості,'' ''сумовності,'' ''вимірності'' (для довільних числових функцій);

а, також, властивості

* ''парності'' ''(непарності),'' ''монотонності'' (для дійснозначних функцій дійсної змінної);
* ''аналітичності,'' ''багатолистості'' (для комплекснозначних функцій комплексної змінної).

'''Числові функції''' широко використовуються прирозв'язуванні прикладних задач.

== Властивості ==

=== Властивості, пов'язані з відношенням порядку ===
Нехай дано функцію <math>f\colon M \subset \R \to \R.</math> Тоді

* функція <math>f</math> називається '''[[Монотонна функція#Означення|зростаючою]]''' на <math>M</math>, якщо

:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y);</math>

* функція <math>f</math> називається '''строго зростаючою''' на <math>M</math>, якщо

:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y);</math>

* функція <math>f</math> називається '''[[Монотонна функція#Означення|спадною]]''' на <math>M</math>, якщо

:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y);</math>

* функція <math>f</math> називається '''строго спадною''' на <math>M</math>, якщо

:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y).</math>

(Строго) зростаюча або спадна функція називається (строго) [[Монотонна функція|монотонною]].

=== Періодичність ===
Функція <math>f\colon M \to N</math> називається періодичною з '''періодом''' <math>T \not= 0</math>, якщо

: <math>f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M</math>.

Якщо ця [[Відношення рівності|рівність]] не виконується для жодного <math>T \in M,\, T \not=0</math>, то функцію <math>f</math> називають '''аперіодичною.'''

=== Парність ===

* функція <math>f\colon X \to \mathbb{R}</math> називається непарною, якщо виконується [[Відношення рівності|рівність]]

: <math>f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.</math>

* Функція <math>f</math> називається парною, якщо виконується рівність

: <math>f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.</math>

=== Екстремуми функції ===
Нехай дано функцію <math>f\colon M \subset \R \to \R,</math> і <math>x_0 \in M^0</math>&nbsp;— [[внутрішня точка]] області визначення <math>f.</math> Тоді

* <math>x_0</math> називається точкою абсолютного (глобального) максимуму, якщо
*: <math>\forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);</math>
* <math>x_0</math> називається точкою абсолютного мінімуму, якщо
*: <math>\forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).</math>

== Графік функції ==
[[Файл:Cubicpoly.svg|міні|225x225пкс| Фрагмент графіка функції <math>f(x) = x^3 - 9x</math>]]

* Нехай дано відображення <math>F: X \to Y</math>. Тоді його [[Графік функції|графіком]] <math>\Gamma</math> називається множина<br/>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\Gamma = \{ (x,F(x)) \mid x \in X \} \subset X \times Y</math>, де <math>X \times Y</math> позначає [[декартів добуток множин]] <math>X</math> і <math>Y</math>.
** Графіком неперервної функції <math>F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> є крива на двовимірній площині.
** Графіком неперервної функції <math>F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> є поверхня в тривимірному просторі.

== Приклади ==

* [[функція Діріхле]]
** Повертає [[1 (число)|одиницю]], якщо аргумент&nbsp;— [[Раціональні числа|раціональне число]], якщо ж [[Ірраціональні числа|ірраціональне]], то повертає [[0 (число)|нуль]].
**: <math>D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \not\in \mathbb{Q} \end{cases}</math>
** Область визначення: <math>\R</math> (вся [[числова вісь]]).
** Область значень: <math>\left\{ 0, 1 \right\}</math>.

* [[Signum-функція|Функція sgn (x)]]
** Повертає знак аргументу.
**: <math>\sgn x = \begin{cases} +1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}</math>
** Область визначення: <math>\R</math>.
** Область значень: <math>\left\{ -1, 0, +1 \right\}</math>.

* <math>y = \sqrt{1 - x^2}</math>
** Область визначення: <math>\left[ -1, +1 \right]</math>.
** Область значень: <math>\left[ 0, +1 \right]</math>.

* [[Факторіал]]
** Повертає добуток всіх натуральних чисел, не більших від даного. Крім того, <math>0! = 1</math>.
**: <math> n! = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ n \cdot \left( n - 1 \right)!, & n \neq 0 \end{cases} </math>
** Область визначення: <math>\N_0</math> (множина [[Натуральні числа|натуральних чисел]] з нулем).
** Область значень: <math>\left\{ 1, 2, 6, 24, 120, \ldots \right\}</math>

* [[Ціла частина числа|Антьє (підлога)]]
** Повертає цілу частину числа.
**: <math>\lfloor x \rfloor = \max \left\{ q \in \Z \mid q \leqslant x \right\}</math>
** Область визначення: <math>\R</math>.
** Область значень: <math>\Z</math>.

== Способи задання функції ==
{| class="standard" style="text-align:center"
!Словесний
| За допомогою природної мови
| Ігрек дорівнює цілій частині від ікс.
|-
! Аналітичний
| За допомогою [[Формула|формули]] і [[Математична нотація|стандартних позначень]]
| <math>f(x)=x!</math>
|-
! Графічний
| За допомогою графіка
|[[Файл:Arctangent.svg|центр|міні|200x200пкс| Фрагмент графіка функції <math>y=\operatorname{arctg}x</math>.]]
|-
! Табличний
| За допомогою [[Табулювання функції|таблиці значень]]
|
{|
! x
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
|-
! y
| 1
| 1
| 2
| 3
| 5
| 8
| 13
| 21
| 34
| 55
|}
|}

=== Аналітичний спосіб ===
Найчастіше закон, що встановлює зв'язок між аргументом і функцією, задають за допомогою формул. Такий спосіб задання функції називають аналітичним. Цей спосіб дає можливість за кожним числовим значенням аргументу <math>x</math> знайти відповідне йому числове значення функції <math>y</math> точно або з деякою точністю. Якщо залежність між <math>x</math> і <math>y</math> задана формулою, розв'язаною відносно <math>y</math>, тобто у вигляді <math>y = f (x)</math>, то кажуть, що функцію від <math>x</math> задано в явному вигляді. Якщо ж значення <math>x</math> і <math>y</math> пов'язані деяким рівнянням вигляду <math>F (x, y) = 0</math>, тобто формула не розв'язана відносно <math>y</math>, то кажуть, що функцію <math>y = f (x)</math> задано неявно. Функцію можна визначити різними формулами на різних ділянках області визначення. Аналітичний спосіб є найпоширенішим способом задання функцій. Компактність, лаконічність, можливість обчислення значення функції для довільного значення аргументу з області визначення, можливість застосування до даної функції апарату математичного аналізу&nbsp;— основні переваги аналітичного способу задання функції. До недоліків можна віднести відсутність наочності, яку компенсує можливість побудови графіка, і необхідність виконання іноді дуже громіздких обчислень.

Приклади:

* <math>f \left( x \right) = x^2</math> ;
* <math>f \left( x, y \right) = x \lor y</math> ;
* <math>f \left( A \right) = \left| A \right|</math> ;
* <math>f \left( x \right) = \begin{cases} x^2, & x \leqslant 0; \\ -x^3, & x > 0. \end{cases}</math>

=== Табличний спосіб ===
{{Див. також|Табулювання функції}}
Функцію можна задати, перерахувавши всі її можливі аргументи і значення для них. Після цього, якщо це необхідно, функцію можна довизначити для аргументів, яких немає в таблиці, [[Інтерполяція|інтерполяцією]] або [[Екстраполяція|екстраполяцією]]. Прикладами можуть служити програма передач, розклад поїздів або таблиця значень [[Булева функція|булевої функції]]:
{| class="standard"
 !<math>x</math>
 !<math>y</math>
 !<math>x \land y</math>
 |-
 |<math>0</math>
 |<math>0</math>
 | align="center" |<math>0</math>
 |-
 |<math>0</math>
 |<math>1</math>
 | align="center" |<math>0</math>
 |-
 |<math>1</math>
 |<math>0</math>
 | align="center" |<math>0</math>
 |-
 |<math>1</math>
 |<math>1</math>
 | align="center" |<math>1</math>
 |}

=== Графічний спосіб ===
[[Файл:Oscillographe_courant_bidirectionnel.svg|міні|250x250пкс| Осцилограма задає значення деякої функції графічно.]]
Функцію можна задати графічно, зобразивши множину точок її [[Графік функції|графіка]] на площині. Це може бути приблизний начерк, як має виглядати функція, або покази, зняті з приладу, наприклад, з [[осцилограф]]а. Цей спосіб задання може бути недостатньо [[Точність|точним]], однак у деяких випадках інші способи задання взагалі неможливо застосувати. Крім того, такий спосіб задання один з найнаочніших, зручних для сприйняття і якісного евристичного аналізу функції.

=== Рекурсивний спосіб ===
Функцію можна задати [[Рекурсія|рекурсивно]], тобто через саму себе. В цьому випадку одні значення функції визначаються через інші її значення.

Приклади:

* [[факторіал]],
* [[числа Фібоначчі]],
* [[Функція Акермана|функція Аккермана]].

=== Словесний спосіб ===
Функцію можна описати словами [[Природна мова|природної мови]] будь-яким однозначним способом, наприклад, описавши її вхідні й вихідні значення, або [[алгоритм]], за яким функція задає відповідності між цими значеннями. Поряд із графічним способом, іноді це єдиний спосіб описати функцію, хоча природні мови і не настільки [[Детермінованість|детерміновані]], як формальні.

Приклади:

* функція, яка повертає цифру в запису числа [[Число пі|пі]] за її номером;
* функція, яка повертає число [[атом]]ів у [[всесвіт]]і у певний момент [[час]]у;
* функція, яка отримує як аргумент [[Людина|людину]], і повертає число людей, які народяться після її народження.

== Класи числових функцій ==

* [[Інтеграл Рімана|Інтегровні функції]]
* [[Інтеграл Лебега|Функції, інтегровні за Лебегом]]
* [[Рівномірна неперервність|Рівномірно безперервні функції]]
* [[Ціла функція|Цілі функції]]

== Історичний нарис ==

=== Поява поняття ===
Математичне моделювання явищ і законів природи спричиняє виникнення поняття функції, яке спочатку обмежується алгебричними функціями ([[многочлен]]ами) і [[Тригонометрія|тригонометрією]]. Як і інші поняття математики, загальне поняття функції склалося не відразу, а пройшло довгий шлях розвитку. Зрозуміло, і в давнину при обчисленнях люди несвідомо використовували різні функції (наприклад, [[квадратний корінь]]) і навіть [[рівняння]], однак як окремий математичний об'єкт, що допускає загальне аналітичне дослідження, функція могла з'явитися тільки після створення [[Франсуа Вієт|Вієтом]] символьної [[Алгебра|алгебри]] (XVI століття){{Sfn|Юшкевич А. П.|1966|с=134-135}}. Навіть у XVII столітті [[Джон Непер|Непер]], вводячи в ужиток [[логарифм]]ічну функцію, використовував обхідний шлях&nbsp;— визначив її кінематично.

Спочатку об'єктом дослідження стали різноманітні [[Алгебрична функція|алгебричні формули]]. [[Рене Декарт|Декарт]] розглядав неалгебричні залежності тільки у як рідкісний виняток. У нього й у [[П'єр Ферма|Ферма]] формула розуміється не просто як обчислювальний алгоритм, але розглядається як (геометрично подаване) перетворення однієї неперервно змінюваної величини на іншу{{Sfn|Юшкевич А. П.|1966|с=137-138}}. У [[Ісаак Барроу|Барроу]] («Лекції з геометрії», [[1670]]) в геометричній формі встановлюється [[Формула Ньютона — Лейбніца|взаємна оберненість дій диференціювання й інтегрування]] (зрозуміло, без вживання самих цих термінів). Це свідчить вже про абсолютно чітке володіння поняттям функції як цілісного об'єкта. У геометричному і механічному вигляді поняття функції ми знаходимо й у [[Ісаак Ньютон|Ньютона]].

Математичний термін «функція» вперше з'явився [[1673]] року в [[Готфрід Вільгельм Ляйбніц|Ляйбніца]], і до того ж не зовсім у сучасному його розумінні: Ляйбніц спочатку називав функцією різні відрізки, пов'язані з будь-якою кривою (наприклад, абсциси її точок). Пізніше, однак, у листуванні з [[Йоганн Бернуллі|Йоганном Бернуллі]] ([[1694]]) зміст терміна розширився і врешті-решт став синонімом «аналітично заданої залежності».

У першому друкованому курсі «Аналізу нескінченно малих для пізнання кривих ліній» [[Гійом де Лопіталь|Лопіталя]] ([[1696]]) термін «функція» не вживається.

=== Перші спроби визначення ===
На початку XVIII століття отримано розклади всіх стандартних функцій і багатьох інших. Завдяки, переважно, [[Леонард Ейлер|Ейлеру]] ([[1748]]) уточнено їх визначення. Ейлер уперше ясно визначив [[Показникова функція|показникову функцію]], а також [[логарифм]]ічну як обернену до неї, і дав їх розклади в ряд. До Ейлера багато математиків вважали, наприклад, [[Тригонометричні функції|тангенс]] тупого кута додатним; Ейлер дав сучасні визначення всіх тригонометричних функцій (сам термін «тригонометрична функція» запропонував [[Георг Симон Клюгель|Клюгель]] [[1770]] року).

У застосуваннях аналізу з'являється багато нових [[Трансцендентна функція|трансцендентних функцій]]. Коли [[Християн Гольдбах|Гольдбах]] і [[Даніель Бернуллі|Бернуллі]] спробували знайти неперервний аналог факторіала, молодий Ейлер повідомив у листі Гольдбаху про властивості [[Гамма-функція|гамма-функції]] (1729, назва належить [[Адрієн-Марі Лежандр|Лежандру]]). Через рік Ейлер відкрив [[Бета-функція|бета-функцію]], і далі неодноразово повертався до цієї теми. Гамма-функція і пов'язані з нею (бета, [[Дзета-функції|дзета]], циліндричні (Бесселя)) знаходять численні застосування в аналізі, а також у теорії чисел, а [[дзета-функція Рімана]] виявилася незамінним інструментом для вивчення розподілу простих чисел у натуральному ряді.

[[1757]] року [[Вінченцо де Ріккаті]], досліджуючи сектори гіперболи, вводить [[гіперболічні функції]] ch, sh (саме з такими позначеннями) і перераховує їх основні властивості. Чимало нових функцій виникло в зв'язку з неінтегровністю різних виразів. Ейлер визначив (1768) [[інтегральний логарифм]] (назву запропонував {{Нп|Йоганн фон Зольднер|І. Зольднер|en|Johann Georg von Soldner}}, 1809), [[Лоренцо Маскероні|Л. Маскероні]]&nbsp;— [[Інтегральний синус|інтегральні синус]] і [[Інтегральний косинус|косинус]] ([[1790]]). Незабаром з'являється і новий розділ математики: [[спеціальні функції]].

З цим строкатим зібранням слід було щось робити, і математики вчинили радикально: всі функції, незалежно від їх походження, оголосили рівноправними. Єдина вимога, що ставиться до функції&nbsp;— визначеність, причому мається на увазі не однозначність самої функції (вона може бути і [[багатозначна функція|багатозначною]]), а недвозначність способу обчислення її значень.

Перше загальне визначення функції зустрічається в [[Йоганн Бернуллі|Йоганна Бернуллі]] ([[1718]]): «Функція&nbsp;— це величина, складена із змінної і сталої». В основі цього не цілком виразного визначення лежить ідея задання функції аналітичною формулою. Та ж ідея виступає й у визначенні [[Леонард Ейлер|Ейлера]], яке він дав у «Вступі до аналізу нескінченних» ([[1748]]): «Функція змінної кількості є аналітичний вираз, складений певним чином з цієї змінної кількості і чисел або сталих кількостей».

Все ж у [[XVIII століття|XVIII столітті]] було відсутнє досить ясне розуміння відмінності між функцією і її аналітичним виразом. Це відбилося в критиці Ейлером розв'язку [[Дискусія про струну|задачі про коливання струни]], запропонованого [[Даніель Бернуллі|Бернуллі]] ([[1753]]). В основі розв'язку [[Даніель Бернуллі|Бернуллі]] лежало твердження про можливість розкласти будь-яку функцію в тригонометричний ряд. Заперечуючи це, Ейлер вказав на те, що подібна розкладність надавала б будь-якій функції аналітичний вираз, тоді як функція може й не мати його (її можна задати графіком, «накресленим вільним рухом руки»).

Ця критика переконлива і з сучасної точки зору, бо не всі функції допускають аналітичне подання (правда, в Бернуллі йдеться про неперервну функцію, яка, як виявив [[1885]] року [[Карл Веєрштрасс|Веєрштрасс]], завжди аналітично зображувана, але вона може й не розкладатися в тригонометричний ряд). Однак інші аргументи Ейлера вже помилкові{{Sfn|Юшкевич А. П.|1966|с=144-148}}. Наприклад, він вважав, що розкладання функції в тригонометричний ряд надає для неї єдиний аналітичний вираз, тоді як вона може бути «змішаною» функцією, подаваною на різних відрізках різними формулами. Насправді одне іншому не суперечить, але в ту епоху здавалося неможливим, щоб два аналітичних вирази, збігаючись на частині відрізка, не збігалися на всій його довжині. Пізніше, під час дослідження функцій багатьох змінних він зрозумів обмеженість колишнього визначення і визнав розривні функції, а потім, після дослідження [[Комплексний логарифм|комплексного логарифма]]&nbsp;— навіть [[Багатозначна функція|багатозначні функції]].

Під впливом теорії нескінченних рядів, які давали алгебричне подання майже будь-якої гладкої залежності, наявність явної формули поступово припинила бути обов'язковою для функції. Логарифм або показникова функція, наприклад, обчислюються як границі нескінченних рядів; такий підхід поширився й на інші нестандартні функції. З рядами стали поводитися як зі скінченними виразами, спочатку ніяк НЕ обґрунтовуючи коректності операцій і навіть не гарантуючи збіжності ряду.

Починаючи з «Диференціального числення» ([[1755]]), Ейлер фактично приймає сучасне визначення числової функції як довільної відповідності чисел{{Sfn|Юшкевич А. П.|1966|с=144-148}}:<blockquote>Коли деякі кількості залежать від інших так, що при зміні останніх і самі вони зазнають зміни, то перші називають функціями других.</blockquote>

=== Загальне визначення ===
Від початку [[XIX століття]] все частіше й частіше визначають поняття функції без згадки про її аналітичне подання. У «Трактаті з диференціального й інтегрального числення» ([[1797]]–[[1802]]) [[Сільвестр Франсуа Лакруа|Лакруа]] сказано: «Будь-яка величина, значення якої залежить від однієї або багатьох інших величин, називається функцією цих останніх» незалежно від того, відомий чи невідомий спосіб обчислення її значень<ref>{{Книга
|заголовок = Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей
|відповідальний = Под ред. [[Юшкевич Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]]
|місце = {{М.}}
|видавництво = Просвещение
|рік = 1977
|сторінок = 224
|сторінки = 84
}}</ref>.

В «Аналітичній теорії тепла» [[Жан Батист Жозеф Фур'є|Фур'є]] ([[1822]]) є фраза: «Функція <math>fx</math> позначає функцію абсолютно довільну, тобто послідовність даних значень, підлеглих чи ні загальному закону і відповідних усім значенням<math>x</math>, що містяться між <math>0</math> і будь-якою величиною».

Близьке до сучасного і визначення [[Лобачевський Микола Іванович|Лобачевського]]:<blockquote>… Загальне поняття функції вимагає, щоб функцією від <math>x</math> називати число, яке дається для кожного <math>x</math> і разом з <math>x</math> поступово змінюється. Значення функції можна дати або аналітичним виразом, або умовою, яка надає засіб випробовувати всі числа і вибирати одне з них, або, нарешті, залежність може існувати й залишатися невідомою… Широкий погляд теорії допускає існування залежності лише в тому сенсі, щоб числа одні з іншими в зв'язку розуміти ніби даними разом.</blockquote>Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадок про аналітичне задання, зазвичай приписуване [[Йоганн Петер Густав Лежен-Діріхле|Діріхле]], неодноразово пропонувалося і до нього. Ось визначення Діріхле ([[1837]]):<blockquote>''у'' є функцією змінної ''х'' (на відрізку <math>a \leqslant x \leqslant b</math>), якщо кожному значенню ''х'' (на цьому відрізку) відповідає цілком певне значення ''у,'' причому байдуже, яким чином встановлено цю відповідність&nbsp;— аналітичною формулою, графіком, таблицею, чи навіть просто словами.</blockquote>До кінця XIX століття поняття функції переростає рамки числових систем. Першими це зробили [[Вектор-функція|векторні функції]], незабаром [[Готлоб Фреге|Фреге]] ввів логічні функції ([[1879]]), а після появи [[Теорія множин|теорії множин]] [[Ріхард Дедекінд|Дедекінд]] ([[1887]]) і [[Джузеппе Пеано|Пеано]] ([[1911]]) сформулювали сучасне універсальне визначення.

== Приклади ==

=== Неявні функції ===
Функції можна задавати за допомогою інших функцій і рівнянь.

Припустимо, задано функцію <math>F</math> двох змінних, яка задовольняє особливим умовам (умовам теореми про неявні функції), тоді рівняння вигляду.

: <math>F(x,y)=0</math>.

визначає '''неявну''' функцію вигляду <math>y=f(x)</math>.

== Див. також ==
* [[Опукла функція|Опуклість]]
* [[Гладка функція|Гладкість]]
* [[Графік функції]]
* [[Диференційовна функція|Диференційовність]]
* [[Дослідження функції]]
* [[Неперервна функція|Неперервність]]
* [[Раціональна функція|Раціональність]]
* [[Середнє значення функції]]
* [[Послідовність#Числова_послідовність|Числова послідовність]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{книга|назва=История математики под редакцией|автор= [[Юшкевич Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]|місце= {{М.}}|видавництво= [[Наука (видавництво)|Наука]]}}
:* Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
:* Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
:* Том 3 [http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm Математика XVIII столетия. (1972)]
* {{Стаття|author=[[Юшкевич Адольф Павлович|Юшкевич А. П.]]|title=О развитии понятия функции|видання=[[Историко-математические исследования]]|номер=17|ref=Юшкевич А. П.|publisher=[[Наука (видавництво)|Наука]]|place={{М.}}|date=1966|pages=123—150}}

[[Категорія:Елементарна математика]]
[[Категорія:Функції та відображення]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]