Перегляд вихідного коду сторінки Числення багатьох змінних

{{Числення|expanded=Багатьох змінних}}
'''Числення багатьох змінних''' або '''аналіз функцій багатьох змінних'''&nbsp;— це область математичного аналізу, що є продовженням теорії [[Обчислення|обчислення]] із однією [[Змінна|змінною]] до випадку обчислення [[функція|функцій]] із багатьма змінними: [[Диференціальне числення|диференціювання]] і [[Інтеграл|інтегрування]] функцій, що мають багато змінних, а не одну.<ref name="CourantJohn1999">{{cite book|author1=Richard Courant|author2=Fritz John|title=Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2|date=14 грудня 1999|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-66570-0}}</ref>

==Застосування==
Методи аналізу функцій багатьох зміних використовуються для вивчення різних об’єктів і явищ матеріального світу. Зокрема,
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! !! !! Область визначення і<br/> відображення !! Методи
|-
! [[Крива|Криві]]
| [[Image:Osculating circle.svg|120px]] || <math>f\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}^n</math>|| Довжини кривих, [[Криволінійний інтеграл|лінійні інтеграли]], і [[Кривина (математика)|кривина]].
|-
! [[Поверхня|Поверхні]]
| [[Image:Helicoid.svg|120px]] || <math>f\colon \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^n</math>|| [[Площа|Площі]] поверхонь, [[Поверхневий інтеграл|поверхневі інтеграли]], [[густина потоку енергії]] через поверхню, і опуклість.
|-
! [[Скалярне поле]]
| [[Image:Surface-plot.png|120px]] || <math>f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>|| Максимуми і мінімуми, [[Метод невизначених множників]], [[Похідна за напрямком]], [[Рівнева поверхня|рівневі поверхні]].
|-
! [[Векторне поле]]
| [[Image:Vector field.svg|120px]] || <math>f\colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>|| будь-які операції з [[Векторне числення|векторного числення]] включаючи [[градієнт]], [[Дивергенція (математика)|дивергенцію]], і [[Ротор (математика)|ротор]].
|}

Числення багатьох змінних можна застосувати для аналізу [[Детерміновані системи|детермінованих систем]], що мають багато [[Ступені вільності|ступенів свободи]]. Функції із [[Залежна і незалежна змінні|незалежними змінними]], що відповідають кожному із ступенів свободи часто використовують для моделювання цих систем, а числення багатьох змінних надає інструментарій для характеристики [[Системна динаміка|динаміки системи]].

Числення багатьох змінних використовується в [[Теорія оптимального управління|теорії оптимального управління]] [[Динамічна система|динамічними системами]] неперервного часу. І застосовується в [[Регресійний аналіз|регресійному аналізі]] для отримання формул, що визначають зв'язок між різноманітними наборами [[Емпірика|емпіричних даних]].

Не детерміновані, або [[Випадковий процес|стохастичні]] системи вивчають за допомогою інших видів математики, таких як [[теорія випадкових процесів]].

==Границі і неперервність==
Вивчення [[Границя функції в точці|границь]] і [[Неперервна функція|неперервності]] в аналізі функцій багатьох змінних приводить до багатьох не інтуїтивних результатів, які не можна продемонструвати з функціями однієї змінної.<ref name="CourantJohn1999"/>{{rp|19–22}} Наприклад, існують [[Числова функція|скалярні функції]] двох змінних, що мають такі точки в їх області функцій, які мають певну границю при наближенні до будь-якої довільної прямої і мають іншу границю при наближенні здовж [[парабола|параболи]]. 
[[File:Division_of_x_pow_2_times_y_pow_2_by_x_the_sum_of_pow_4_and_y_pow_2_towards_0.png|thumb|Візуалізація кривої <math>z= \tfrac{x^2y}{x^4+y^2}</math> у проєкціях на площини <math>xz</math> і <math>yz</math> (проєкції синіми лініями ближчі до нуля)]]
Насправді, функція
:<math>f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}</math>
наближується до нуля здовж будь-якої прямої, що проходить через [[початок координат]]. Однак, коли початок наближується здовж параболи <math>y=x^2</math>, вона має границю <math>0.5</math>. Оскільки вибір різних шляхів до однієї і тієї ж точки приводить до різних значень границі, границя не існує.

Безперервність функції для кожного аргументу не є достатньою для '''багатозмінної безперервності'''.<ref name="CourantJohn1999"/>{{rp|17–19}} Наприклад, у випадку функції [[Дійсне число|дійсних чисел]] із двома параметрами, <math>f(x,y)</math>, неперервність функції <math>f</math> для <math>x</math> при фіксованому значенні <math>y</math> і неперервність <math>f</math> для <math>y</math> при фіксованому значенні <math>x</math> не означає неперервність функції <math>f</math>. [[File:Continuous_in_x_and_y_but_non_continuous.png|thumb|Приклад функції що не є неперервною, хоча неперервність виконується для <math>x</math> і <math>y</math>]] Розглянемо
:<math>
f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{y}{x}-y & \text{if } 1 \geq x > y \geq 0 \\
\frac{x}{y}-x & \text{if } 1 \geq y > x \geq 0 \\
1-x & \text{if } x=y>0 \\
0 & \text{else}.
\end{cases}
</math>
Легко пересвідчитися, що всі функції дійсних значень (із одним дійсним аргументом) що задані <math>f_y(x):= f(x,y)</math> є неперервними по відношенню до <math>x</math> (для будь-яких фіксованих значень <math>y</math>). Відповідно, всі <math>f_x</math> 
є неперервними оскільки <math>f</math> є симетричною відносно <math>x</math> і <math>y</math>. Однак, сама <math>f</math> не є неперервною, це можна побачити розглянувши послідовність <math>f \left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)</math> (для натурального числа <math>n</math>), що мала б збігатися до <math>f(0,0)=0</math> якби <math>f</math> була неперервною. Однак,
<math>\lim_{n \to \infty} f \left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) = 1.</math> Таким чином функція не є неперервною в <math>(0,0)</math>.

==Часткова похідна==
{{main article|Часткова похідна}}

Поняття часткової похідної узагальнює поняття похідної для вищих порядків. Часткова [[Похідна|похідна функції]] багатьох змінних є похідною однієї змінної при умові, що всі інші змінні залишаються сталими.<ref name="CourantJohn1999"/>

Часткові похідні можна поєднати цікавими способами, аби утворити більш складні вирази похідної. У [[Векторне числення|векторному численні]], оператор [[Оператор Гамільтона|набла]] (<math>\nabla</math>) використовують для визначення понять [[Градієнт|градієнта]], [[Дивергенція (математика)|дивергенції]], і [[Ротор (математика)|ротора]] в термінах часткових похідних. Для представлення похідної функції між двома просторами довільної розмірності можна використати матрицю часткових похідних, що називається матрицею '''[[Матриця Якобі|Якобіана]]'''.  Похідні таким чином можна зрозуміти як [[Лінійне відображення|лінійне відображення]], яке безпосередньо змінюється від точки до точки в області функції.

[[Диференціальні рівняння]], що містять часткові похідні називаються [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференціальними рівняннями з частковими похідними]]. Ці рівняння зазвичай набагато важче розв'язувати ніж [[звичайні диференціальні рівняння]], що містять похідні лише однієї змінної.<ref name="CourantJohn1999"/>

==Багатократний інтеграл==
{{main article|Багатократний інтеграл}}
Багатократний інтеграл розширює поняття інтеграла до функції з будь-якою кількістю  змінних. Подвійні чи потрійні інтеграли можуть використовуватися для визначення площ чи об'ємів областей на площині і в просторі. [[Теорема Фубіні]] гарантує, що багатократний інтеграл може розраховуватися як ''повторний інтеграл'' при умові що функція яка інтегрується не безперервною по всій області інтегрування.<ref name="CourantJohn1999"/>

[[Поверхневий інтеграл]] і [[криволінійний інтеграл]] використовуються для інтегрування по викривленим [[Многовид|многовидам]], наприклад, по {{нп|поверхня (математика)|поверхням|en|surface (mathematics)}} і [[Крива|кривим]].

== Див. також ==
*[[Багатовимірна статистика]]

==Примітки==
{{reflist}}

== Посилання ==
* {{Клепко_ВМ|частина=Диференціальне числення функції багатьох змінних|сторінки= 345}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=cw6pHhjhKmk&feature=list_related&playnext=1&list=SP07CF868151394FE3 UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel]
* [https://www.youtube.com/playlist?list=PL4C4C8A7D06566F38 MIT video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2007]
* [http://www.math.gatech.edu/~cain/notes/calculus.html ''Multivariable Calculus'']: A free online textbook by George Cain and James Herod
* [http://math.etsu.edu/Multicalc/ ''Multivariable Calculus Online'']: A free online textbook by Jeff Knisley
* [http://www.ecs.umass.edu/mie/faculty/perot/mie440/Multivariable%20Calculus.pdf ''Multivariable Calculus – A Very Quick Review''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120324160548/http://www.ecs.umass.edu/mie/faculty/perot/mie440/Multivariable%20Calculus.pdf |date=24 березня 2012 }}, Prof Blair Perot, University of Massachusetts Amherst

[[Категорія:Числення багатьох змінних| ]]