Перегляд вихідного коду сторінки Червоподібний ланцюжок

'''Червоподібний ланцюжок'''&nbsp;— модель [[полімер]]у, що враховує його [[пружність]]. Модель описує полімер як довгу неперервну локально гнучку нитку, на відміну від моделі [[Ідеальний ланцюжок|ідеального ланцюжка]], яка описує полімер як послідовність жорстких ланок із випадково орієнтованими з'єднаннями. Модель червоподібного ланцюжка успішно працює для опису таких важливих полімерів, як подвійна спіраль [[ДНК]] та [[РНК]]<ref name=Kirby>{{cite book | author=Kirby, B.J. | title=Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices | url=http://www.kirbyresearch.com/textbook | accessdate=18 червня 2017 | archive-date=28 квітня 2019 | archive-url=https://web.archive.org/web/20190428234717/http://www.kirbyresearch.com/textbook/ }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190428234717/http://www.kirbyresearch.com/textbook/ |date=2019-04-28 }}</ref><ref name=dekker2005>{{cite  journal  | author=J. A. Abels and F. Moreno-Herrero and T. van der Heijden and C. Dekker and N. H. Dekker | title=Single-Molecule Measurements of the Persistence Length of Double-Stranded RNA | journal=Biophysical Journal| year=2005| volume=88| pages=2737–2744| doi=10.1529/biophysj.104.052811 }}</ref>, неструктурована РНК та неструктуровані [[Білки|білки]]<ref name=lapidus2002>{{cite  journal  | author=L. J. Lapidus and P. J. Steinbach and W. A. Eaton and A. Szabo and J. Hofrichter | title=Single-Molecule Effects of Chain Stiffness on the Dynamics of Loop Formation in Polypeptides. Appendix: Testing a 1-Dimensional Diffusion Model for Peptide Dynamics | journal=Journal of Physical Chemistry B| year=2002| volume=106| pages=11628–11640| doi=10.1021/jp020829v}}</ref>.

У цій моделі полімер уявляється як ізотропний неперервно гнучкий прут<ref name=Doi>{{cite book | author=Doi and Edwards | title=The Theory of Polymer Dynamics | year=1988}}</ref><ref name=Rubinstein>{{cite book | author=Rubinstein and Colby | title=Polymer Physics | year=2003}}</ref><ref name=Kirby/>. Модель особливо добре описує жорсткіші полімери, у яких сусідні ланки більш-менш узгоджені, тобто орієнтовані приблизно однаково. При кімнатній температурі форма полімеру задається гладенькою вигнутою конформацією, при ''T'' = 0&nbsp;K конформація полімеру жорстка<ref name=Doi/>.

== Теоретичний опис ==
Полімер із довжиною <math>l</math> параметризується як [[Шлях (фізика)|шлях]] <math>s \in(0,l)</math>, на якому <math>\hat t(s)</math>&nbsp;— одиночний [[вектор]], дотичний до ланцюжка в точці шляху <math>s</math>, а <math>\vec r(s)</math>&nbsp;— радіус вектор цієї точки. Тоді

:<math>\hat t(s) \equiv \frac {\partial \vec r(s) }{\partial s}</math>, 
а відстань між кінцями дорівнює<ref name=Doi/> 
:<math>\vec R = \int_{0}^{l}\hat t(s) ds.</math>

Можна показати, що [[кореляційна функція]] червоподібного ланцюжка задається [[Експоненційний розпад|експоненційним розпадом]]<ref name=Doi/><ref name=Kirby/>:
:<math>\langle\hat t(s) \cdot \hat t(0)\rangle=\langle \cos \; \theta (s)\rangle = e^{-s/P}\,</math>,

де <math>P</math>&nbsp;— за означенням характеристична [[персистентна довжина]] полімеру. Зазвичай цікавляться середньо-квадратичною відстанню між кінцями полімеру<ref name=Doi/><ref name=Kirby/>:

:<math>
\langle R^{2} \rangle  = \langle \vec R \cdot \vec R \rangle
  = \left\langle \int_{0}^{l} \hat t(s) ds \cdot \int_{0}^{l} \hat t(s') ds' \right\rangle = \int_{0}^{l} ds \int_{0}^{l} \langle \hat t(s) \cdot \hat t(s') \rangle ds'= \int_{0}^{l} ds \int_{0}^{l} e^{-\left | s - s' \right | / P} ds' 
</math>

:<math>
\langle R^{2} \rangle  
= 2 Pl \left [ 1 - \frac {P}{l} \left ( 1 - e^{-l/P} \right ) \right ]
</math>,

Якщо <math>l \gg P</math>, то <math>\langle R^{2} \rangle = 2Pl</math>. Це дає підставу вважати [[Довжина Куна|довжину Куна]] удвічі більшою за персистентну довжину<ref name=Rubinstein/>.

== Розтягування ==
При ненульовій температурі відстань між кінцями полімеру значно коротша від його контурної довжини <math>L_0</math>. Причиною цього є теплові флуктуації, що призводять до скручування полімеру, у встановлення випадкової конфігурації. Розтягування зменшує [[спектр]] можливих конфігурацій, які є причиною [[Ентропія|ентропійного]] опору видовжуванню.
Цей ентропійний опір можна оцінити, записавши ентропійну [[Функція Гамільтона|функцію Гамільтона]]:

:<math> H = H_{\rm entropic} + H_{\rm external}= \frac {1}{2}k_B T \int_{0}^{L_0} P \cdot \left (\frac {\partial^2 \vec r(s) }{\partial s^2}\right )^{2} ds - xF</math>.

Тут контурну довжину позначено <math>L_0</math>, персистентну довжину&nbsp;— <math>P</math>, видовження&nbsp;— <math>x</math>, а  зовнішню силу&nbsp;— <math>F</math>. <math>k_B</math>&nbsp;— [[стала Больцмана]], <math>T</math>&nbsp;— [[абсолютна температура]].   

Залежність  прикладеної сили від видовження вимірюють інструментами на зразок атомного силового мікроскопа та лазерних щипців. Встановлено інтерполяційну формулу, що відтворює цю залежність з відносною похибкою 15% (J. F. Marko, E. D. Siggia (1995)). 
:<math>\frac {FP} {k_{B}T} = \frac {1}{4} \left ( 1 - \frac {x} {L_0} \right )^{-2} - \frac {1}{4} + \frac {x}{L_0},</math>

Ще точнішу оцінку (відносна похибка 1%) дає формула<ref name=Petrosyan>{{cite journal|last=Petrosyan|first=R.|title=Improved approximations for some polymer extension models|journal=Rehol Acta|year=2016|doi = 10.1007/s00397-016-0977-9 }}</ref>

:<math>\frac {FP} {k_{B}T} = \frac {1}{4} \left ( 1 - \frac {x} {L_0} \right )^{-2} - \frac {1}{4} + \frac {x}{L_0}-0.8 \left (\frac {x} {L_0} \right )^{2.15}.</math>

Існує також формула для оберненої залежності видовження від сили (відносна точність 1%)<ref name=Petrosyan/>:

:<math>\frac {x} {L_0} = \frac {4}{3} -  \frac {4} {3\sqrt{\frac {FP} {k_{B}T} + 1}} -\frac {10e^{\sqrt[4]{900\frac {k_{B}T} {FP}}}} {\sqrt{\frac {FP} {k_{B}T}} \left(e^{\sqrt[4]{900\frac {k_{B}T} {FP}}}-1 \right)^{2} } + \frac {\left (\frac {FP} {k_{B}T}\right)^{1.62}} {3.55+3.8\left ( \frac {FP} {k_{B}T}\right)^{2.2}}.</math>

== Врахування податливості ==
При розгляді розтягування полімеру не можна знехтувати пружним відгуком. Наприклад, для добре вивченого розтягування ДНК у фізіологічному розчині за умов майже нейтрального pH при кімнатній температурі необхідно враховувати податливість. Цю ентальпійну податливість враховують з допомогою модуля жорсткості <math>K_0</math>. Для достатньо сильно розтягнутих полімерів його врахування приводить до функції Гамільтона:

:<math> H = H_{\rm entropic}+H_{\rm enthalpic}+H_{\rm external} = \frac {1}{2}k_B T \int_{0}^{L_0} P \cdot \left (\frac {\partial \vec r(s) }{\partial s}\right )^{2} ds  +  \frac {1}{2}\frac {K_0}{L_0} x^{2}  -  xF </math>. 

Тут враховано як ентропійний член, пов'язаний зі зміною конформації, так і ентальпійний член, до описує пружне видовження полімеру. Ентальпійний відгук задається як відгук [[пружина|пружини]] за [[Закон Гука|законом Гука]]. Було запропоновано кілька наближень, що справедливі при різних величинах прикладеної сили. Коли сила мала (F <  10&nbsp;pN), працює наступна формула<ref>{{cite journal|last=Marko|first=J.F.|author2=Eric D. Siggia |title=Stretching DNA|journal=Macromolecules|year=1995|volume=28|pages=8759–8770|bibcode = 1995MaMol..28.8759M |doi = 10.1021/ma00130a008 }}</ref>:

:<math>\frac {FP} {k_{B}T} = \frac {1}{4} \left ( 1 - \frac {x} {L_0} + \frac {F}{K_0} \right )^{-2} - \frac {1}{4} + \frac {x}{L_0} - \frac {F}{K_0}</math>.

У разі більшої сили, при значному видовженні полімеру, справедливе наступне наближення<ref>{{cite journal|last=Odijk|first=Theo|title=Stiff Chains and Filaments under Tension|journal=Macromolecules|year=1995|volume=28|pages=7016–7018|bibcode = 1995MaMol..28.7016O |doi = 10.1021/ma00124a044 }}</ref>:

:<math>x = L_0 \left ( 1 - \frac {1} {2} \left ( \frac {k_{B}T}{FP} \right )^{1/2} + \frac {F}{K_0}\right ) </math>.

Типове значення модуля жорсткості [[Подвійна спіраль|подвійної спіралі]] ДНК&nbsp;— приблизно 1000&nbsp;pN, а персистентна довжина&nbsp;— 45&nbsp;нм <ref>{{cite journal|last=Wang|first=Michelle D. |author2=Hong Yin |author3=Robert Landick |author4=Jeff Gelles |author5=Steven M. Block|title=Stretching DNA with Optical Tweezers|url=https://archive.org/details/sim_biophysical-journal_1997-03_72_3/page/1335|journal=Biophysical Journal|year=1997|volume=72|pages=1335–1346|bibcode = 1997BpJ....72.1335W |doi = 10.1016/S0006-3495(97)78780-0 |pmid=9138579 |pmc=1184516}}</ref><ref>Murugesapillai D ''et al'', [http://link.springer.com/article/10.1007/s12551-016-0236-4 Single-molecule studies of high-mobility group B architectural DNA bending proteins] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170512012611/http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs12551-016-0236-4 |date=12 травня 2017 }}, Biophys Rev (2016) doi:10.1007/s12551-016-0236-4</ref>. Точніша інтерполяція залежності сили від видовження задається формулами<ref name=Petrosyan/>:

:<math>\frac {FP} {k_{B}T} = \frac {1}{4} \left ( 1 - \frac {x} {L_0}+ \frac {F}{K_0} \right )^{-2} - \frac {1}{4} + \frac {x}{L_0} - \frac {F}{K_0}-0.8 \left (\frac {x} {L_0}- \frac {F}{K_0} \right )^{2.15}.</math>

:<math>\frac {x} {L_0} = \frac {4}{3} -  \frac {4} {3\sqrt{\frac {FP} {k_{B}T} + 1}} -\frac {10e^{\sqrt[4]{900\frac {k_{B}T} {FP}}}} {\sqrt{\frac {FP} {k_{B}T}} \left(e^{\sqrt[4]{900\frac {k_{B}T} {FP}}}-1 \right)^{2} } + \frac {\left (\frac {FP} {k_{B}T}\right)^{1.62}} {3.55+3.8\left ( \frac {FP} {k_{B}T}\right)^{2.2}} + \frac {F}{K_0}.</math>

<!---


	 

-->

== Виноски ==
{{reflist}}

[[Категорія:Фізика полімерів]]