Перегляд вихідного коду сторінки Час вільного падіння

'''Час вільного падіння'''&nbsp;— характерний [[час]], який знадобився б тілу для [[Колапс (астрономія)|колапсу]] під дією власної [[Гравітація|гравітації]], якби не існувало інших сил, які б їй протидіяли. Він відіграє фундаментальну роль у встановленні часової шкали для різноманітних астрофізичних процесів, у яких гравітація відіграє домінуючу роль&nbsp;— від [[зореутворення]] до [[Геліосейсмологія|геліосейсмології]] та [[Наднова|наднових]].

== Виведення ==

=== Падіння на точкову масу ===
Відносно просто отримати час вільного падіння, застосувавши [[Закони Кеплера|третій закон Кеплера]] про рух планет до [[Еліптична орбіта|виродженої еліптичної орбіти]]. Розглянемо точкову масу <math>m</math> на відстані <math>R</math> від точкової маси <math>M</math>, які падають радіально одна на одну. Чисто радіальна [[траєкторія]] є прикладом виродженого еліпса з ексцентриситетом 1 і великою піввіссю <math>R/2</math>. За третім законом Кеплера, період обертання по орбіті залежить лише від [[Велика піввісь|великої півосі]] і не залежить від [[Ексцентриситет орбіти|ексцентриситету]]. Отже, час, який знадобиться тілу, щоб впасти всередину і потім повернутися у вихідне положення, дорівнює періоду на круговій орбіті радіусом <math>R/2</math>, який за третім законом Кеплера становить<math display="block">t_{\text{orbit}} = \frac{2 \pi}{\sqrt {G(M+m)}} \left(\frac{R}{2}\right)^{3/2}=\frac{\pi R^{3/2}}{\sqrt{2 G(M+m)}}.</math>


Якби падаюче тіло здійснило повний оберт по орбіті, воно б почало рух на відстані <math>R</math> від маси <math>M</math>, впало на його центр, а потім повернулось у вихідне положення. У реальних системах маса <math>M</math> не є справді точковою, і падаюче тіло зрештою стикається з її поверхнею. Таким чином, воно проходить лише половину орбіти. Але орбіта симетрична, тому час вільного падіння становить половину періоду.<math display="block">t_{\text{ff}}=t_{\text{orbit}}/2 = \frac{\pi}{2} \frac{R^{3/2}}{ \sqrt{2 G(M+m)}}</math>Альтернативним виведенням цієї формули є інтегрування рівняння руху падаючого тіла, яке, звісно, приводить до того ж результату.


=== Колапс сферично-симетричного розподілу маси ===
Тепер розглянемо випадок, коли маса <math>M</math> не є точковою масою, а розподілена сферично-симетрично відносно центру із середньою густиною <math>\rho</math> ,<math display="block"> \rho = \frac{3 M}{4 \pi R^3},</math>де об'єм кулі дорівнює <math display="inline"> {\frac 4 3 \pi R^3}.</math>

Припустимо, що єдиною діючою силою є гравітація. Тоді, як вперше було доведено [[Ісаак Ньютон|Ньютоном]] (і це можна легко показати за допомогою [[Формула Остроградського|формули Остроградського]]), прискорення сили тяжіння на будь-якій даній відстані <math>R</math> від центру сфери залежить лише від загальної маси, що міститься всередині <math>R</math>. Наслідком цього результату є те, що кожна сферична оболонка кулі падає під дією маси лише внутрішніх оболонок, так, ніби вся ця внутрішня маса була б сконцентрована в центрі. У результаті час вільного падіння пробної частинки з радіуса <math>R</math> можна виразити виключно через загальну масу <math>M</math> всередені цього радіуса. В термінах середньої густини всередені радіеса <math>R</math>, час вільного падіння дорівнює<ref>[http://adsabs.harvard.edu/abs/1994sse..book.....K Stellar Structure and Evolution] Kippenhahn, Rudolf; Weigert, Alfred. Springer-Verlag, 1994, 3rd Ed. p.257 {{ISBN|3-540-58013-1}}</ref><math display="block">t_{\text{ff}} = \sqrt{\frac{3 \pi}{32 G \rho}}\simeq 0.5427 \frac{1}{ \sqrt {G \rho}}\simeq 66430\,\frac{1}{ \sqrt {\rho}}</math>де остання формула дана в одиницях [[Міжнародна система одиниць (SI)|СІ]].

Цей результат такий саме, як і формула в попередньому розділі, коли <math>M \gg m</math>.

== Застосування ==
Час вільного падіння є дуже корисною оцінкою характерної шкали часу для низки астрофізичних процесів. Щоб отримати уявлення про його величину, можна написати<math display="block">t_{\text{ff}} \simeq \frac{35 \, \mbox{min}}{\sqrt{\rho\ (\mbox{g}\cdot \mbox{cm}^{-3})}}</math>Тут було враховано, що час вільного падіння становить приблизно в 35 хвилин для тіла середньої густини 1 г/см<sup>3</sup>.

Іншим цікавим прикладом є час падіння на Сонце об'єкта з орбіти Землі, на якій період обертання складаю періодом <math>P = 1</math> рік. За формулою для часу падіння на точкову масу, отримуємо

<math display="block">\frac{1}{2}\frac{P}{2^{3/2}} = \frac{P}{\sqrt{32}}.</math>

Це приблизно 64,6 дня.

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* [http://adsabs.harvard.edu/abs/1987gady.book.....B Galactic dynamics] Binney, James; Tremaine, Scott. [[Princeton University Press]], 1987.
[[Категорія:Небесна механіка]]
[[Категорія:Час]]
[[Категорія:Зоряна еволюція]]