Перегляд вихідного коду сторінки Частково еквівалентне відношення

'''Частково еквівалентне відношення''' ('''ЧЕВ''') <math>R</math> на множині <math>X</math> є відношення [[Симетричне відношення|симетричне]] і [[Транзитивне відношення|транзитивне]]. Іншими словами, для всіх <math>a, b, c \in X</math>:
# Якщо <math>a R b</math>, тоді <math>b R a</math> ([[симетрія]])
# Якщо <math>a R b</math> і <math>b R c</math>, тоді <math>a R c</math> ([[транзитивність]])
Якщо <math>R</math> також є [[рефлексивність|рефлексивним]], тоді <math>R</math> є [[відношення еквівалентності|відношенням еквівалентності]].

== Властивості ==
У контексті [[Теорія множин|теорії множин]], є проста структура до загального '''ЧЕВ''' <math>R</math> на <math>X</math>: це відношення еквівалентності на [[підмножина|підмножині]] <math>Y = \{ x \in X | x\,R\,x\} \subseteq X</math>, де<math>Y</math> є такою підмножиною <math>X</math>, що у доповнені <math>Y</math>(<math>X\setminus Y</math>) жоден елемент не пов'язаний відношенням <math>R</math> з будь-яким іншим. Згідно з конструкцією,<math>R</math> рефлексивно на <math>Y</math> і тому є відношенням еквівалентності на <math>Y</math>. Зверніть увагу, що <math>R</math> є вірним тільки для елементів <math>Y</math>: якщо <math>x R y</math>, то в силу симетрії <math>y R x</math>, тому <math>x R x</math> і <math>y R y</math> по транзитивності. І навпаки будь-яке відношення еквівалентності на <math>Y</math> автоматично стає '''ЧЕВ''' на <math>X</math>.

'''ЧЕВ''' використовується, в основному, в галузі [[інформатика|інформатики]], теорії типів і конструктивної математики.

==Приклади==

Простий приклад '''ЧЕВ''', який не є відношенням еквівалентності - <math>R=\emptyset</math> (якщо <math>X=\emptyset</math>, то в цьому випадку порожнє відношення є відношення еквівалентності (і це єдине відношення на <math>X</math>)).

===У часткових функціях===
Інший приклад '''ЧЕВ''': розглянемо множину <math>A</math> і часткову функцію <math>f</math>, яка визначена на деяких елементах <math>A</math>, але не на всіх. <math>x \approx y</math> тоді і тільки тоді, коли <math>f</math> визначена на <math>x</math> і <math>y</math> та <math>f(x) = f(y)</math> є частково еквівалентним відношенням, але не відношенням еквівалентності. Воно володіє властивостями симетрії і транзитивності, але воно не є рефлексивним якщо <math>f(x)</math> не визначено, тоді <math>x \not\approx x</math> - фактично, для <math>x</math> не існує такого <math>y \in A</math>, щоб виконувалось <math>x \approx y</math>. (З цього слідує, що підмножина <math>A</math>, для якої <math>\approx</math> є відношенням еквівалентності, є підмножиною, на якій визначено <math>f</math>.)

==Посилання==
* Mitchell, John C. ''[http://portal.acm.org/citation.cfm?id=237842 Foundations of programming languages.]'' MIT Press, 1996.

==Див. також==
*[[Відношення еквівалентності]]
*[[Бінарне відношення]]

{{Сирий переклад}}

{{Теорія порядку|state=expanded}}

[[Категорія:Бінарні відношення]]
[[Категорія:Еквівалентність (математика)]]