Перегляд вихідного коду сторінки Часовий ряд

[[Файл:Random-data-plus-trend-r2.png|thumb|250px|Часовий ряд: випадкові точки даних плюс тенденція, з найкраще допасованою лінією та різними застосованими фільтрами]]

'''Часовий ряд''' ({{lang-en|time series}})&nbsp;— це ряд {{нп|Точка даних|точок даних||Data point}}, [[Індекс (математика)|проіндексованих]] (або перелічених, або відкладених на графіку) в хронологічному порядку. Найчастіше часовий ряд є послідовністю, взятою на рівновіддалених точках в часі, які йдуть одна за одною. Таким чином, він є послідовністю даних {{нп|Дискретний час|дискретного часу||Discrete time}}. Прикладами часових рядів є висоти океанських [[приплив]]ів, кількості [[Сонячні плями|сонячних плям]], та щоденне середньозважене значення [[Індекс ПФТС|індексу ПФТС]] на момент закриття торгів.

Часові ряди дуже часто представляють за допомогою [[Лінійна діаграма|лінійних діаграм]]. Часові ряди використовуються в [[Статистика|статистиці]], [[Обробка сигналів|обробці сигналів]], [[Розпізнавання образів|розпізнаванні образів]], [[Економетрія|економетриці]], [[Фінансова математика|фінансовій математиці]], [[Прогнозування погоди|прогнозуванні погоди]], розумному транспорті та передбаченні траєкторій,<ref>{{cite journal|last1=Zissis|first1=Dimitrios|last2=Xidias|first2=Elias|last3=Lekkas|first3=Dimitrios|title=Real-time vessel behavior prediction|journal=Evolving Systems|date=2015|pages=1–12|doi=10.1007/s12530-015-9133-5|url=http://link.springer.com/article/10.1007/s12530-015-9133-5#|volume=7|accessdate=9 січня 2017|archive-date=13 серпня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160813011237/http://link.springer.com/article/10.1007/s12530-015-9133-5}} {{ref-en}}</ref> [[Передбачення землетрусів|передбаченні землетрусів]], [[Електроенцефалографія|електроенцефалографії]], [[Теорія автоматичного керування|автоматичному керуванні]], [[Астрономія|астрономії]], {{нп|Технології зв'язку|технологіях зв'язку||Telecommunications engineering}}, а також значною мірою в будь-якій області [[Прикладна наука|прикладної науки]] та [[Інженерія|інженерії]], яка включає [[час]]ові вимірювання.

[[Аналіз часових рядів|'''''Аналіз'' часових рядів''']] ({{lang-en|time series analysis}}) включає методи аналізу даних часових рядів з метою витягування значимих [[Статистика (математика)|статистик]] та інших характетистик даних. '''''Прогнозування'' часових рядів''' ({{lang-en|time series forecasting}})&nbsp;— це застосування [[Абстрактна модель|моделі]] для передбачування майбутніх значень на основі значень попередньо спостережених. І хоча [[регресійний аналіз]] часто застосовують для перевірки теорій про те, що поточні значення одного чи більше незалежних часових рядів впливають на поточне значення іншого часового ряду, цей тип аналізу часових рядів не називають «аналізом часових рядів», який натомість зосереджується на порівнянні значень одного часового ряду або багатьох залежних часових рядів у різні моменти часу.<ref>{{cite web|last=Imdadullah|title=Time Series Analysis|url=http://itfeature.com/time-series-analysis-and-forecasting/time-series-analysis-forecasting|work=Basic Statistics and Data Analysis|publisher=itfeature.com|accessdate=2 січня 2014|archive-date=2 січня 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20140102194232/http://itfeature.com/time-series-analysis-and-forecasting/time-series-analysis-forecasting}} {{ref-en}}</ref>

Дані часових рядів мають природний часовий порядок. Це робить аналіз часових рядів відмінним від [[Поперечне дослідження|поперечних досліджень]], у яких не існує природного порядку спостережень (наприклад, пояснення заробітної платні людей через посилання на їхні рівні освіти, де дані осіб можуть вводитися у будь-якому порядку). Аналіз часових рядів відрізняється також і від [[Аналіз просторових даних|аналізу просторових даних]], де спостереження зазвичай відносяться до географічних розташувань (наприклад, підрахунок цін на будинки за розташуванням, а також за власними характеристиками цих будинків). [[Стохастичність|Стохастична]] модель часового ряду, як правило, відображатиме той факт, що спостереження, які знаходяться близько в часі, будуть пов'язані тісніше, ніж спостереження, які знаходяться далі одне від одного. Крім того, моделі часових рядів часто застосовують природне односпрямоване впорядкування часу, так, що значення для заданого періоду виражено як похідні від минулих значень, а не від майбутніх (див. {{нп|зворотність часу|||Time reversibility}}).

Аналіз часових рядів може застосовуватися до [[Дійсне число|дійснозначних]] неперервних даних, дискретних [[Тип даних#Числові типи даних|числових]] даних, та дискретних символьних даних (наприклад, послідовностей символів, таких як літери та слова [[Українська мова|української мови]]).<ref>{{cite book |last=Lin |first=Jessica |last2=Keogh |first2=Eamonn |last3=Lonardi |first3=Stefano |last4=Chiu |first4=Bill |chapter=A symbolic representation of time series, with implications for streaming algorithms |title=Proceedings of the 8th ACM SIGMOD workshop on Research issues in data mining and knowledge discovery |year=2003 |location=New York |publisher=ACM Press |doi=10.1145/882082.882086 |url=http://www.cs.ucr.edu/~eamonn/SAX.pdf |accessdate=9 січня 2017 |archive-date=1 грудня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161201002907/http://www.cs.ucr.edu/~eamonn/SAX.pdf }} {{ref-en}}</ref>

== Типи часових рядів ==
Часові ряди завжди являють собою впорядкований набір значень, проте ці значення можуть мати різну природу<ref name="moodle">[https://moodle.znu.edu.ua/pluginfile.php/1260312/mod_resource/content/1/%D0%A0%D1%8F%D0%B4%D0%B8%20%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D1%96%D0%BA%D0%B8.pdf РЯДИ ДИНАМИКИ]</ref>:
* Моментний ряд: значення є деяким показником який відповідає деякому моменту часу. Наприклад, населення міста по роках
* Ряд середніх величин: значення є усередненням за деякий період часу, наприклад, середній чек в супермаркеті
* Інтервальний ряд: значення є кількістю яка накопичилася за деякий проміжок часу, наприклад, споживання якогось ресурсу за кожен день. На відміну від моментних рядів і рядів середніх величин, інтервальні ряди можна агрегувати — значення за більші проміжки часу є сумою значень за менші проміжки.

Часовий ряд може показувати зміну деякого параметру відносно попереднього заміру (''ланцюговий ряд'') або відносно першого значення (''базисний ряд'')<ref name="moodle"></ref>.


Часові ряди можуть бути ''регулярні'' (часто це метрики або вимірювання, зроблені через однакові проміжки часу) або ''нерегулярні'' (частіше пов'язані з якимись подіями, наприклад, збої в системі)<ref>[https://www.influxdata.com/what-is-time-series-data/ Time Series Data Analysis]{{ref-en}}</ref>.

== Методи аналізу часових рядів ==

Методи аналізу часових рядів може бути розділено на два класи: методи [[Частотна область|частотної області]], та методи [[Часова область|часової області]]. Перші включають [[Спектральна густина|спектральний]] та [[вейвлет]]ний аналіз, другі&nbsp;— аналіз [[Автокореляція|автокореляції]] та [[Взаємна кореляція|взаємної кореляції]]. У часовій області кореляція та аналіз можуть здійснюватися фільтроподібним чином із застосуванням {{нп|Масштабна кореляція|масштабної кореляції||Scaled correlation}}, зменшуючи таким чином потребу діяти в частотній області.

Методики аналізу часових рядів можуть додатково поділятися на {{нп|Параметрична оцінка|параметричні||Parametric estimation}} та {{нп|Непараметрична статистика|непараметричні||Non-parametric statistics}}. {{нп|Параметрична оцінка|Параметричні підходи||Parametric estimation}} передбачають, що [[Стаціонарний процес|стаціонарний стохастичний процес]], який лежить в основі даних, має певну структуру, яку може бути описано із застосуванням невеликого числа параметрів (наприклад, із застосуванням [[Авторегресійна модель|авторегресійної моделі]], або моделі [[Рухоме середнє|ковзного середнього]]). В цих підходах задачєю є оцінити параметри моделі, яка описує цей стохастичний процес. На противагу цьому, {{нп|Непараметрична статистика|непараметричні підходи||Non-parametric statistics}} явно оцінюють [[Коваріація|коваріацію]] або [[спектр]] процесу без припущення про наявність у цього процесу якоїсь певної структури.

Методи аналізу часових рядів також може бути розділено на [[Лінійна регресія|лінійні]] й {{нп|Нелінійна регресія|нелінійні||Nonlinear regression}}, та на [[Одновимірний аналіз|одновимірні]] й [[Багатовимірний аналіз|багатовимірні]].

== Часові ряди та панельні дані ==

Часові ряди є одним із типів {{нп|Панельні дані|панельних даних||Panel data}}. Панельні дані є загальним класом, багатовимірним набором даних, тоді як набір даних часового ряду є одновимірною панеллю (як і {{нп|Перехресні дані|набір перехресних даних||Cross-sectional data}}). Набір даних може демонструвати характеристики як панельних даних, так і даних часового ряду. Одним зі способів сказати це, є спитати, що робить один запис даних унікальним відносно інших записів. Якщо відповіддю буде поле даних часу, то цей набір даних є кандидатом до наборів даних часових рядів. Якщо визначення унікального запису вимагає поля даних часу та додаткового ідентифікатора, не пов'язаного з часом (ідентифікатора студента, [[Тікерна назва|тікерної назви]], коду країни), то цей набір даних є кандидатом до панельних даних. Якщо розмежування покладається на нечасовий ідентифікатор, то такий набір даних є кандидатом до наборів перехресних даних.

== Методика прогнозування ==

Прогнозні оцінки за допомогою методів екстраполяції розраховуються в кілька етапів:

* перевірка базової лінії прогнозу;
* виявлення закономірностей минулого розвитку явища;
* оцінка ступеня достовірності виявленої закономірності розвитку явища в минулому (підбір трендової функції);
* [[екстраполювання]]&nbsp;— перенесення виявлених закономірностей на деякий період майбутнього;
* коректування отриманого прогнозу з урахуванням результатів змістовного аналізу поточного стану.

Для отримання об'єктивного прогнозу розвитку досліджуваного явища дані базової лінії повинні відповідати таким вимогам:

* крок за часом для всієї базової лінії повинен бути однаковий;
* спостереження фіксуються в один і той же момент кожного часового відрізку (наприклад, на полудень кожного дня, першого числа кожного місяця);
* базова лінія повинна бути повною, тобто пропуск даних не допускається.

Якщо у спостереженнях відсутні результати за незначний відрізок часу, то для забезпечення повноти базової лінії необхідно їх заповнити приблизними даними, наприклад, використовувати середнє значення сусідніх відрізків.

Коректування отриманого прогнозу виконується для уточнення отриманих довгострокових прогнозів з урахуванням впливу сезонності або стрибкоподібності розвитку досліджуваного явища.

== Аналіз ==
{{Див. також|Аналіз часових рядів}}

Для часових рядів існує кілька типів задач і типів аналізу даних, які підходять для різних цілей тощо.

=== Задачі ===

; Описання: Зазвичай, відображення часового ряду у вигляді [[Графік функції|графіка]] є першим кроком при його аналізі. Існують потужніші інструменти аналізу часового ряду, однак графік часового ряду дозволяє швидко отримати інформацію про найпростіші характеристики ряду, помітити поворотні точки тощо.
; Пояснення: Якщо спостереження ведуться за декількома змінними, існує можливість використання інформації часового ряду для пояснення впливу змін в одному ряді на інший. Корисним методом дослідження залежностей є [[регресійний аналіз]].<ref name=chatfield>{{cite book|title=The Analysis of Time Series, an Introduction|url=https://archive.org/details/analysistimeseri00chat_920|author=Chris Chatfield|pages=[https://archive.org/details/analysistimeseri00chat_920/page/n42 33]|publisher=Chapman & Hall/CRC|year=1996|edition=5-те|isbn=}} {{ref-en}}</ref> Обчислення передавальної функції системи&nbsp;— визначення динамічної моделі вхід&nbsp;— вихід; за допомогою цієї моделі можна визначити ефект на виході динамічної системи за довільно визначеними параметрами на її вході.<ref name=box/>
; Прогнозування: Використання доступних на момент <math>t</math> результатів спостереження за часовим рядом для обчислення його значень в момент <math>t+l</math> може бути основою для а) планування в економіці та торгівлі; б) планування випуску продукції; в) складського контролю та контролю виробництва; г) керування та оптимізації промислових процесів;<ref name=box>{{cite book|title=Анализ временных рядов прогноз и управление|author=Бокс, Дженкинс|publisher=|year=1974}} {{ref-ru}}</ref> д) в [[політологія|політології]]&nbsp;— для дослідження того, як варіюються фактори підтримки глав держав, гонки озброєнь, політичного ділового циклу, політична підтримка та урядові витрати.<ref> Якубін О. Л. ''Застосування «аналізу часових рядів» у сучасній політичній науці: досвід та перспективи''// Трибуна.&nbsp;— 2009.&nbsp;— Березень-квітень №&nbsp;3-4.&nbsp;— С. 19-22</ref>
; Керування: Проектування простих систем управління з прямим та [[зворотний зв'язок|зворотним зв'язком]], із допомогою яких можливо в максимально допустимих межах компенсувати потенціальні відхилення системи від бажаного значення.

В контексті [[Статистика|статистики]], [[Економетрія|економерії]], [[Фінансова математика|фінансової математики]], [[Сейсмологія|сейсмології]], [[Метеорологія|метеорології]] та [[Геофізика|геофізики]] головною метою аналізу часових рядів є [[прогнозування]]. В контексті [[Обробка сигналів|обробки сигналів]], [[Теорія автоматичного керування|автоматичного керування]] та {{нп|Технології зв'язку|технологій зв'язку||Telecommunications engineering}} він застосовується для виявлення та [[Оцінювання (математика)|оцінювання сигналу]], тоді як у контексті [[добування даних]], [[розпізнавання образів]] та [[Машинне навчання|машинного навчання]] аналіз часових рядів може застосовуватися для [[Кластерний аналіз|кластерування]], [[Задача класифікації|класифікації]], запитів за вмістом, [[виявлення аномалій]], а також і для [[прогнозування]].

=== Розвідувальний аналіз ===
[[Файл:Tuberculosis incidence US 1953-2009.png|thumb|Захворюваність на сухоти у США, 1953—2009&nbsp;р.]]
{{Докладніше|Розвідувальний аналіз}}

Найясніший спосіб вивчення регулярних часових рядів вручну&nbsp;— це [[Лінійна діаграма]], така, як показана діаграма захворюваності на сухоти в США, зроблена за допомогою [[Електронні таблиці|електронних таблиць]]. Число випадків захворювання нормалізовано до рівня на 100&nbsp;000, і обчислено відсоткову зміну цього рівня за рік. Майже неухильно спадна лінія показує, що захворюваність на сухоти знижувалася в більшості років, але відсоткова зміна цього рівня коливалася аж на +/- 10&nbsp;%, зі «сплесками» 1975 року та приблизно на початку 1990-х років. Застосування обох вертикальних осей уможливлює порівняння двох часових рядів на одному графіку.

До інших методик належать:

* [[Автокореляція|Автокореляційний]] аналіз для дослідження [[Періодична залежність|періодичної залежності]]
* [[Спектральна густина|Спектральний аналіз]] для дослідження циклічної поведінки, не обов'язково пов'язаної із [[Сезонність|сезонністю]]. Наприклад, активність сонячних плям змінюється протягом 11-річних циклів.<ref>{{cite book |last=Bloomfield |first=P. |year=1976 |title=Fourier analysis of time series: An introduction |url=https://archive.org/details/fourieranalysiso0000bloo |location=New York |publisher=Wiley |isbn=0471082562 }} {{ref-en}}</ref><ref>{{cite book |last=Shumway |first=R. H. |year=1988 |title=Applied statistical time series analysis |url=https://archive.org/details/appliedstatistic0000shum |location=Englewood Cliffs, NJ |publisher=Prentice Hall |isbn=0130415006 }} {{ref-en}}</ref> До інших звичних прикладів належать небесні явища, погодні умови, нейронна активність, ціни на біржові товари, та економічна активність.
* Поділ на складові, які представляють тенденцію, сезонність, повільні та швидкі зміни, та циклічну нерівномірність: див. [[Тренд (статистика)|оцінку тенденції]] та [[розклад часових рядів]].

=== Допасовування кривої ===
{{Докладніше1|{{нп|Допасовування кривої|||Curve fitting}}}}

Допасовування кривої ({{lang-en|curve fitting}})<ref>Sandra Lach Arlinghaus, PHB Practical Handbook of Curve Fitting. CRC Press, 1994. {{ref-en}}</ref><ref>William M. Kolb. Curve Fitting for Programmable Calculators. Syntec, Incorporated, 1984. {{ref-en}}</ref>&nbsp;— це процес побудови [[Крива|кривої]], або [[Функція (математика)|математичної функції]], яка має найкращу допасованість до ряду точок [[Дані|даних]],<ref>S.S. Halli, K.V. Rao. 1992. Advanced Techniques of Population Analysis. ISBN 0306439972 Page 165 (''пор''. … функції виконуються, якщо ми маємо від доброї до помірної допасованості до спостережених даних.) {{ref-en}}</ref> можливо, з урахуванням обмежень.<ref>[https://books.google.com/books?id=SI-VqAT4_hYC ''[[Сигнал та Шум|The Signal and the Noise]]]: Why So Many Predictions Fail-but Some Don't.'' By Nate Silver {{ref-en}}</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=hhdVr9F-JfAC Data Preparation for Data Mining]: Text. By Dorian Pyle. {{ref-en}}</ref> Допасовування кривої може включати або [[інтерполювання]],<ref>Numerical Methods in Engineering with MATLAB®. By {{Link-interwiki|Яан К'юсалаас|text=Jaan Kiusalaas|Q=Q102370768}}. Page 24. {{ref-en}}</ref><ref>Numerical Methods in Engineering with Python 3. By {{Link-interwiki|Яан К'юсалаас|text=Jaan Kiusalaas|Q=Q102370768}}. Page 21. {{ref-en}}</ref> коли вимагається точна допасованість до даних, або {{нп|Згладжування (статистика)|згладжування||Smoothing}},<ref>Numerical Methods of Curve Fitting. By P. G. Guest, Philip George Guest. Page 349. {{ref-en}}</ref><ref>Див. також {{нп|згладжувальний оператор|||Mollifier}}</ref> в якому будується «плавна» функція, яка допасовується до даних наближено. Пов'язаною темою є [[регресійний аналіз]],<ref>Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression. By Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos. {{ref-en}}</ref><ref>Regression Analysis By Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa. Page 269. {{ref-en}}</ref> що зосереджується більше на питаннях [[Статистичне висновування|статистичного висновування]], таких як скільки невизначеності є в кривій, яку допасовано до даних, спостережених із випадковими помилками. Допасовані криві можуть використовуватися як допомога для унаочнення даних,<ref>Visual Informatics. Edited by Halimah Badioze Zaman, Peter Robinson, Maria Petrou, Patrick Olivier, Heiko Schröder. Page 689. {{ref-en}}</ref><ref>Numerical Methods for Nonlinear Engineering Models. By John R. Hauser. Page 227. {{ref-en}}</ref> для отримування висновків про значення функції там, де дані відсутні,<ref>Methods of Experimental Physics: Spectroscopy, Volume 13, Part 1. By Claire Marton. Page 150. {{ref-en}}</ref> та для підбиття взаємозв'язку між двома чи більше змінними.<ref>Encyclopedia of Research Design, Volume 1. Edited by Neil J. Salkind. Page 266. {{ref-en}}</ref> [[Екстраполювання]] стосується застосування допасованої кривої за межами [[Область значень|області]] спостережених даних,<ref>Community Analysis and Planning Techniques. By Richard E. Klosterman. Page 1. {{ref-en}}</ref> і є предметом [[Невизначеність|ступеню невизначеності]],<ref>An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments. DIANE Publishing. [https://books.google.com/books?id=rJ23LWaZAqsC&pg=PA69 Pg 69] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161125095246/https://books.google.com/books?id=rJ23LWaZAqsC&pg=PA69 |date=25 листопада 2016 }} {{ref-en}}</ref> оскільки воно може відображати метод, використаний для побудови кривої, настільки ж, наскільки воно відображає спостережені дані.

Побудова економічних часових рядів включає оцінювання деяких складових на деякі дати шляхом [[інтерполювання]] між значеннями («орієнтирами») для раніших й пізніших дат. Інтерполювання є оцінюванням невідомого значення між двома відомими значеннями (історичні дані), або здійсненням висновків про відсутню інформацію з інформації доступної («читання між рядками»).<ref>Hamming, Richard. Numerical methods for scientists and engineers. Courier Corporation, 2012. {{ref-en}}</ref> Інтерполювання є корисним тоді, коли дані навколо відсутніх є доступними, і їхня тенденція, сезонність та довготривалі цикли є відомими. Воно часто здійснюється за допомогою застосуванням пов'язаних рядів, відомих для всіх відповідних дат.<ref>Friedman, Milton. «The interpolation of time series by related series.» Journal of the American Statistical Association 57.300 (1962): 729—757. {{ref-en}}</ref> Як альтернативу застосовують [[Поліноміальна інтерполяція|поліномну]] або [[Кубічний сплайн|сплайнову]] інтерполяцію, коли кусенево-[[поліном]]ні функції допасовуються до часових інтервалів таким чином, що вони допасовуються плавно й одна до одної. Іншою задачею, тісто пов'язаною з інтерполюванням, є наближення складної функції простою (що також називають [[Поліноміальна регресія|регресією]]. Основною відмінністю між регресією та інтерполюванням є те, що поліноміальна регресія дає єдиний поліном, що моделює весь набір даних. Сплайнове інтерполювання ж, натомість, для моделювання набору даних видає кусенево-неперервну функцію, складену з багатьох поліномів.

[[Екстраполювання]]&nbsp;— це процес оцінювання значення змінної за межами первинної області спостереження на основі її взаємозв'язку з іншою змінною. Воно є подібним до [[інтерполювання]], що виробляє оцінки між відомими спостереженнями, але екстраполювання є предметом більшої [[Невизначеність|невизначеності]], й вищого ризику вироблення безглуздих результатів.

=== Наближення функцій ===
{{Докладніше1|{{нп|Наближення функцій|||Function approximation}}}}

Загалом, задача наближення функції полягає у виборі [[Функція (математика)|функції]] з чітко окресленого класу, яка близько підходить до цільової функції («наближує» її), характерним для цієї задачі способом. Можна розділяти два основні класи задач наближення функцій: По-перше, для відомих цільових функцій, [[Теорія наближення]] є галуззю [[Чисельний аналіз|чисельного аналізу]], яка досліджує, як певні відомі функції (наприклад, [[спеціальні функції]]) можна наближувати певним класом функцій (наприклад, [[поліном]]ами, або [[Раціональна функція|раціональними функціями]]), які часто мають бажані властивості (невитратне обчислення, [[Неперервна функція|неперервність]], значення [[інтеграл]]ів та [[Границя|границь]] тощо).

По-друге, цільова функція, назвімо її ''g'', може бути невідомою; замість явної формули, може бути надано лише набір точок (часовий ряд) вигляду (''x'', ''g''(''x'')). В залежності від структури [[Область визначення|області визначення]] та [[Множина значень|множини значень]] ''g'', можуть застосовуватися кілька методик наближення ''g''. Наприклад, якщо ''g'' є оператором над [[Дійсні числа|дійсними числами]], то можуть застосовуватися методики [[інтерполювання]], [[екстраполювання]], [[Регресійний аналіз|регресійного аналізу]] та {{нп|Допасовування кривої|допасовування кривих||Curve fitting}}. Якщо [[Множина значень|множина (область) значень]] ''g'' є скінченною множиною, то ми натомість маємо справу із [[Задача класифікації|задачею класифікації]]. Пов'язаною задачею ''оперативного'' наближення часових рядів ({{lang-en|online time series approximation}})<ref>Gandhi, Sorabh, Luca Foschini, and Subhash Suri. «Space-efficient online approximation of time series data: Streams, amnesia, and out-of-order.» Data Engineering (ICDE), 2010 IEEE 26th International Conference on. IEEE, 2010. {{ref-en}}</ref> є узагальнення даних за один прохід, та побудова наближеного представлення, яке може підтримувати різноманітні запити до часових рядів з обмеженою найгіршою похибкою.

У якійсь мірі ці різні задачі ([[Регресійний аналіз|регресії]], [[Задача класифікації|класифікації]], {{нп|наближення допасованості|||Fitness approximation}}) отримали уніфіковане трактування в [[Теорія статистичного навчання|теорії статистичного навчання]], де їх розглядають як задачі [[Кероване навчання|керованого навчання]].

=== Передбачення та прогнозування ===

У [[Статистика|статистиці]] [[передбачення]] є частиною [[Статистичне висновування|статистичного висновування]]. Один із конкретних підходів до такого висновування відомий як {{нп|передбачувальне висновування|||Predictive inference}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Predictive inference]] (→ [[:en:Statistical inference#Prediction]]) перекладена як [[Індуктивна статистика]], хоча хотіли [[передбачувальне висновування]] (SashkoR0B0T)-->, але передбачення може проводитися з будь-яким із підходів до статистичного висновування. Справді, одним із описів статистики є те, що вона забезпечує засоби перенесення знань про вибірку із сукупності на всю сукупність, і на інші пов'язані сукупності, що не обов'язково є тим же, що й передбачення в часі. При перенесенні інформації в часі, часто на конкретні моменти часу, цей процес називається [[прогнозування]]м.

* Повно сформовані статистичні моделі для задач {{нп|Стохастичне моделювання|стохастичного моделювання||Stochastic simulation}}, такі, що можуть породжувати альтернативні версії часових рядів, представляючи, що могло би трапитися у не конкретні періоди часу в майбутньому.
* Прості або повно сформовані статистичні моделі для опису правдоподібних результатів часових рядів у безпосередньому майбутньому за заданого знання найнещодавніших результатів (прогнозування).
* Прогнозування на часових рядах зазвичай здійснюється із застосуванням автоматизованих статистичних програмних пакетів та мов програмування на кшталт [[R (мова програмування)|R]], [[S (мова програмування)|S]], {{нп|SAS (програмне забезпечення)|SAS||SAS (software)}}, [[SPSS]], {{нп|Minitab}}, [[pandas]] ([[Python]]) та багатьох інших.

=== Класифікація ===
{{main article|Статистична класифікація}}

Віднесення зразків часових рядів до певної категорії, наприклад, ідентифікування слова на основі ряду рухів рук [[Мова жестів|мовою жестів]].

=== Регресійний аналіз ===
{{main article|Регресійний аналіз}}

Оцінювання майбутнього значення сигналу на основі його попередньої поведінки, наприклад, передбачування ціни акцій MSICH на основі попереднього руху їхньої ціни протягом цієї години, дня або місяця, або передбачування положення космічного корабля [[Аполлон-11]] у певний майбутній момент на основі його поточної траєкторії (тобто, часового ряду його попередніх положень).<ref>{{cite book |last=Lawson |first=Charles L. |last2=Hanson |first2=Richard J. |year=1995 |title=Solving Least Squares Problems |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics |location=Philadelphia |isbn=0898713560 }} {{ref-en}}</ref> Регресійний аналіз зазвичай ґрунтується на статистичній інтерпретації властивостей часових рядів у часовій області визначення, започаткованій статистиками {{нп|Джордж Бокс|Джорджем Боксом||George Box}} та {{нп|Ґвилим Дженкінс|Ґвилимом Дженкінсом||Gwilym Jenkins}} у 1950-х роках: див. {{нп|Метод Бокса — Дженкінса|метод Бокса&nbsp;— Дженкінса||Box–Jenkins method}}.

=== Оцінювання сигналів ===
{{see also|Обробка сигналів|Теорія оцінювання}}

Цей підхід ґрунтується на [[Гармонічний аналіз|гармонічному аналізі]] та фільтруванні сигналів у [[Частотна область|частотній області]] із застосуванням [[перетворення Фур'є]] та {{нп|Оцінка спектральної густини|оцінки спектральної густини||Spectral density estimation}}, розробку яких було значно прискорено під час [[Друга світова війна|Другої світової війни]] математиком [[Норберт Вінер|Норбертом Вінером]], електроінженерами [[Рудольф Калман|Рудольфом Калманом]], [[Денніс Габор|Деннісом Габором]] та іншими для відфільтровування сигналу від шуму та передбачування значень сигналу на певний момент часу. Див. [[фільтр Калмана]], [[Теорія оцінювання|теорію оцінювання]] та [[Цифрова обробка сигналів|цифрову обробку сигналів]].

=== Сегментування ===
{{Докладніше1|{{нп|Сегментування часових рядів|||Time-series segmentation}}}}

Поділ часових рядів на послідовність сегментів. Часто трапляється так, що часовий ряд може бути представлено як послідовність окремих сегментів, кожен зі своїми характерними властивостями. Наприклад, звуковий сигнал із телефонної конференції може бути розділено на частини, які відповідають проміжкам часу, протягом яких говорила кожна з осіб. Метою сегментування часових рядів є визначити межові точки сегментів у часовому ряді, та охарактеризувати динамічні властивості, пов'язані з кожним із сегментів. Можна підходити до цієї задачі, застосовуючи {{нп|Виявлення змін|виявлення точок змін||Change detection}}, або моделювання часових рядів як складніших систем, таких як {{нпні|Лінійна система марковських стрибків|лінійні системи марковських стрибків||Markov jump linear system}}.

== Моделі ==

Моделі даних часових рядів можуть мати багато форм, і представляти різні [[Стохастичний процес|стохастичні процеси]]. Три широкі класи, що становлять практичний інтерес при моделюванні змін рівня якогось процесу, складають ''[[Авторегресійна модель|авторегресійні моделі]]'' ({{lang-en|autoregressive models, AR models}}), ''інтегровані моделі'' ({{lang-en|integrated models, I models}}) та ''{{нп|Модель ковзного середнього|моделі ковзного середнього||Moving-average model}}'' ({{lang-en|moving average models, MA models}}). Ці три класи залежать від попередніх точок даних лінійно.<ref name="linear time series">{{cite book |authorlink=Ніл Ґершенфельд |last=Gershenfeld |first=N. |year=1999 |title=The Nature of Mathematical Modeling |url=https://archive.org/details/naturemathematic00gers_334 |location=New York |publisher=Cambridge University Press |pages=[https://archive.org/details/naturemathematic00gers_334/page/n206 205]–208 |isbn=0521570956 }} {{ref-en}}</ref> Поєднання цих ідей дає [[Модель авторегресії — ковзного середнього|модель авторегресії&nbsp;— ковзного середнього]] ({{lang-en|autoregressive–moving-average model, ARMA model}}) та [[Модель авторегресії — інтегрованого ковзного середнього|модель авторегресії&nbsp;— інтегрованого ковзного середнього]] ({{lang-en|autoregressive integrated moving average model, ARIMA model}}). {{нп|Модель авторегресії — дробово інтегрованого ковзного середнього|Модель авторегресії&nbsp;— дробово інтегрованого ковзного середнього||Autoregressive fractionally integrated moving average}} ({{lang-en|autoregressive fractionally integrated moving average model, ARFIMA model}}) узагальнює три перші. Розширення цих методів для роботи з векторнозначними даними доступні під назвою багатовимірних моделей часових рядів ({{lang-en|multivariate time-series models}}), і іноді попередні абревіатури розширюються включенням початкової літери ''V'' від {{lang-en|vector}} (вектор), як у ''VAR'' для [[Векторна авторегресія|векторної авторегресії]]. Існує додатковий набір розширень цих моделей для застосування у випадках, коли спостережуваний часовий ряд ведеться певним «примушувальним» часовим рядом (який може не мати причинного впливу на спостережуваний ряд): відмінність від багатовимірного випадку полягає в тому, що змушувальний ряд може бути детермінованим, або перебувати під керуванням експериментатора. Для цих моделей акроніми розширюються завершувальною літерою ''X'', від {{lang-en|exogenous}} (екзогенний).

Зацікавлення складає й нелінійна залежність рівня ряду від попередніх точок даних, почасти через можливість отримання [[Теорія хаосу|хаотичних]] часових рядів. Проте, що важливіше, емпіричні дослідження можуть показувати переваги застосування передбачень, отриманих від нелінійних моделей, над отриманими від лінійних моделей, як, наприклад, у [[Нелінійна авторегресійна екзогенна модель|нелінійних авторегресійних екзогенних моделях]]. Додаткові посилання про аналіз нелінійних часових рядів: Канц і Шряйбер,<ref>{{cite book|last1=Kantz|first1=Holger|last2=Thomas|first2=Schreiber|title=Nonlinear Time Series Analysis|url=https://archive.org/details/nonlineartimeser0000kant_m3t5|date=2004|publisher=Cambridge University Press|location=London|isbn=978-0521529020}} {{ref-en}}</ref> та Абарбанель.<ref>{{cite book|last1=Abarbanel|first1=Henry|title=Analysis of Observed Chaotic Data|url=https://archive.org/details/isbn_9780387983721|date=25 листопада 1997|publisher=Springer|location=New York|isbn=978-0387983721}} {{ref-en}}</ref>

Серед інших типів нелінійних моделей часових рядів є моделі для представлення змін дисперсії протягом часу ([[гетероскедастичність]]). Ці моделі представляють [[Авторегресивна умовна гетероскедастичність|авторегресійну умовну гетероскедастичність]] ({{lang-en|autoregressive conditional heteroskedasticity, ARCH}}), і це зібрання обіймає широку різноманіть представлень (''[[Авторегресивна умовна гетероскедастичність|GARCH]]'', ''TARCH'', ''EGARCH'', ''FIGARCH'', ''CGARCH'' тощо). Тут зміни дисперсії ставляться у відповідність до, або передбачуються через нещодавні попередні значення спостережуваного ряду. Це протиставляється іншим можливим представленням локально змінної мінливості, де мінливість може моделюватися як ведена окремим змінним у часі процесом, як у {{нп|Бістохастична модель|бістохастичній моделі||Doubly stochastic model}}.

В нещодавній праці з безмодельного аналізу набули прихильності методи на основі [[вейвлет]]ного перетворення (наприклад, локально стаціонарні вейвлети та вейвлетно-розкладені нейронні мережі). Полімасштабні ({{lang-en|multiscale}}, часто згадувані як поліроздільнісні, {{lang-en|multiresolution}}) методики розкладають заданий часовий ряд, намагаючись проілюструвати часову залежність на декількох масштабах. Див. також {{нп|Поліфрактальна методика з марковським перемиканням|поліфрактальні методики з марковським перемиканням||Markov switching multifractal}} ({{lang-en|markov switching multifractal, MSMF}}) для моделювання процесу зміни [[Волатильність|волатильності]].

[[Прихована марковська модель]] (ПММ, {{lang-en|hidden Markov model, HMM}})&nbsp;— це статистична марковська модель, у якій модельована система розглядається як [[марковський процес]] із неспостережуваними (прихованими) станами. ПММ можна розглядати як найпростішу [[Динамічна баєсова мережа|динамічну баєсову мережу]]. ПММ широко застосовуються в [[Розпізнавання мовлення|розпізнаванні мовлення]], для перетворення часових рядів вимовлених слів на текст.

=== Позначення ===

Для аналізу часових рядів використовується ряд різних позначень. Звичне позначення, яке визначає часовий ряд ''X'', проіндексований [[Натуральні числа|натуральними числами]], записується як

: ''X'' = {''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, …}.

Іншим поширеним позначенням є

: ''Y'' = {''Y''<sub>''t''</sub>'': ''t'' ∈ ''T''},

де ''T'' є [[Індексна множина|індексною множиною]].

=== Умови ===

Є два набори умов, за яких побудовано більшу частину цієї теорії:

* [[Стаціонарний процес|Стаціонарність процесу]]
* {{нп|Ергодичний процес|Ергодичність процесу||Ergodic process}}

Проте, ідеї стаціонарності мусить бути розкрито для розгляду двох важливих ідей: [[Строга стаціонарність|строгої стаціонарності]] та [[Стаціонарність|стаціонарності другого порядку]]. Як моделі, так і застосування може бути розроблено за кожної з цих умов, хоча моделі в другому випадку можуть розглядатися як лише частково визначені.

Крім того, аналіз часових рядів може застосовуватися там, де ряди є {{нп|Циклічно-стаціонарний процес|сезонно стаціонарними||Cyclostationary process}} або не стаціонарними. Ситуації, коли амплітуди частотних складових змінюються з часом, можуть оброблятися в {{нп|Частотно-часовий аналіз|частотно-часовому аналізі||Time–frequency analysis}}, що застосовує {{нп|частотно-часове представлення|||Time–frequency representation}} часового ряду або сигналу.<ref>Boashash, B. (ed.), (2003) ''Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference'', Elsevier Science, Oxford, 2003 ISBN 0-08-044335-4 {{ref-en}}</ref>

=== Моделі ===
{{Докладніше1|[[Авторегресійна модель]]}}

Загальним представленням авторегресійної моделі ({{lang-en|autoregressive model}}), добре відомої як AR(''p''), є

: <math> Y_t =\alpha_0+\alpha_1 Y_{t-1}+\alpha_2 Y_{t-2}+\cdots+\alpha_p Y_{t-p}+\varepsilon_t\, </math>

де член ε<sub>''t''</sub> є джерелом випадковості, й називається [[Білий шум|білим шумом]]. Вважається, що він має наступні характеристики:

: *<math> E[\varepsilon_t]=0 \, ,</math>

: *<math> E[\varepsilon^2_t]=\sigma^2 \, ,</math>

: *<math> E[\varepsilon_t\varepsilon_s]=0 \quad \forall t\not=s \, . </math>

За цих припущень процес є визначеним до моментів другого порядку, і, за умови дотримання умов на коефіцієнти, може мати [[Стаціонарність|стаціонарність другого порядку]].

Якщо також і шум має [[нормальний розподіл]], то він називається нормальним або ґаусовим білим шумом. В такому разі авторегресійний процес може бути [[Строга стаціонарність|строго стаціонарним]], знов-таки, за умови дотримання умов на коефіцієнти.

{{Проза|Цей розділ|дата=січень 2017}}

До інструментів для дослідження даних часових рядів належать:

* Розгляд [[Автокореляція|автокореляційної функції]] та [[Спектральна густина|функції спектральної густини]] (а також [[Функція взаємної кореляції|функцій взаємної кореляції]] та функцій взаємної спектральної густини)
* {{нп|Масштабна кореляція|Масштабні||Scaled correlation}} взаємо- та автокореляційні функції для усунення внеску повільних складових<ref name="Nikolicetal">{{cite journal |last=Nikolić |first=D. |last2=Muresan |first2=R. C. |last3=Feng |first3=W. |last4=Singer |first4=W. |year=2012 |title=Scaled correlation analysis: a better way to compute a cross-correlogram |journal=European Journal of Neuroscience |volume=35 |issue=5 |pages=742–762 |doi=10.1111/j.1460-9568.2011.07987.x }} {{ref-en}}</ref>
* Виконання [[перетворення Фур'є]] для дослідження ряду в [[Частотна область|частотній області]]
* Застосування [[Цифровий фільтр|фільтру]] для усунення небажаного [[Завади|шуму]]
* [[Метод головних компонент]] (або метод {{нп|Емпіричні ортогональні функції|емпіричних ортогональних функцій||Empirical orthogonal functions}})
* [[Сингулярно-спектральний аналіз]]
* «Структурні» моделі:
** Загальні моделі [[представлення простором станів]]
** Моделі неспостережуваних складових
* [[Машинне навчання]]
** [[Штучна нейронна мережа|Штучні нейронні мережі]]
** [[Опорно-векторна машина]]
** [[Нечітка логіка]]
** [[Ґаусів процес|Ґаусові процеси]]
* [[Прихована марковська модель]]
* [[Теорія масового обслуговування|Теоретико-черговий]] аналіз
* [[Контрольний графік]]
** {{нп|Окремий контрольний графік Шухарта|||Shewhart individuals control chart}}
** ''{{нп|CUSUM}}''-графік
** {{нп|EWMA-графік|''EWMA''-графік||EWMA chart}}
* {{нп|Аналіз знетрендованих флуктуацій|||Detrended fluctuation analysis}}
* {{нп|Динамічне трансформування шкали часу|||Dynamic time warping}}<ref name="Sakoe 1978">{{cite book |last=Sakoe |first=Hiroaki |last2=Chiba |first2=Seibi |year=1978 |chapter=Dynamic programming algorithm optimization for spoken word recognition | title=IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing |doi=10.1109/TASSP.1978.1163055 }} {{ref-en}}</ref>
* [[Взаємна кореляція]]<ref>{{cite book |last=Goutte |first=Cyril |last2=Toft |first2=Peter |last3=Rostrup |first3=Egill |last4=Nielsen |first4=Finn Å. |last5=Hansen |first5=Lars Kai |year=1999 |chapter=On Clustering fMRI Time Series | title=NeuroImage |doi=10.1006/nimg.1998.0391 }} {{ref-en}}</ref>
* [[Динамічна баєсова мережа]]
* {{нп|Частотно-часове представлення|Методики частотно-часового представлення:||Time–frequency representation}}
** [[Швидке перетворення Фур'є]]
** {{нп|Неперервне вейвлетне перетворення|||Continuous wavelet transform}}
** [[Віконне перетворення Фур'є]]
** {{нп|Чірплетне перетворення|||Chirplet transform}}
** {{нп|Дробове перетворення Фур'є|||Fractional Fourier transform}}
* [[Теорія хаосу|Аналіз хаосу]]
** {{нп|Кореляційна розмірність|||Correlation dimension}}
** {{нп|Діаграма рекурентності|Діаграми рекурентності||Recurrence plot}}
** {{нп|Кількісний аналіз рекурентності|||Recurrence quantification analysis}}
** [[Показник Ляпунова|Показники Ляпунова]]
** [[Ентропійне кодування]]

=== Міри ===

Міри або [[Ознака (розпізнавання образів)|ознаки]] часових рядів, які можуть застосовуватися для їхнього [[Класифікація (машинне навчання)|класифікаційного]] або [[Регресійний аналіз|регресійного]] аналізу:<ref>{{cite journal |last=Mormann |first=Florian |last2=Andrzejak |first2=Ralph G. |last3=Elger |first3=Christian E. |last4=Lehnertz |first4=Klaus |title=Seizure prediction: the long and winding road |journal=[[Brain (журнал)|Brain]] |year=2007 |volume=130 |issue=2 |pages=314–333 |doi=10.1093/brain/awl241 |pmid=17008335}} {{ref-en}}</ref>

* '''Одновимірні лінійні міри'''
** [[Момент (математика)]]
** {{нпні|Потужність спектрального діапазону|||Spectral band power}}
** {{нп|Частота краю спектра|||Spectral edge frequency}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Spectral edge frequency]] (→ [[:en:Spectral density#Spectral edge frequency]]) перекладена як [[Спектральна густина]], хоча хотіли [[Частота краю спектра]] (SashkoR0B0T)-->
** Накопичена {{нп|енергія (обробка сигналів)|||Energy (signal processing)}}
** Характеристики [[Автокореляція|автокореляційної]] функції
** {{нп|Йортові параметри|||Hjorth parameters}}
** Параметри [[Швидке перетворення Фур'є|ШПФ]]
** Параметри [[Авторегресійна модель|авторегресійної моделі]]
** {{нпні|Критерій Манна — Кендала|Критерій Манна&nbsp;— Кендала||Mann–Kendall test}}
* '''Одновимірні нелінійні міри'''
** Міри на основі суми [[Кореляція|кореляції]]
** {{нп|Кореляційна розмірність|||Correlation dimension}}
** {{нп|Кореляційний інтеграл|||Correlation integral}}
** {{нпні|Кореляційна густина|||Correlation density}}
** {{нпні|Кореляційна ентропія|||Correlation entropy}}
** {{нп|Приблизна ентропія|||Approximate entropy}}<ref>{{cite web |last=Land |first=Bruce |last2=Elias |first2=Damian |title=Measuring the ‘Complexity’ of a time series |url=http://www.nbb.cornell.edu/neurobio/land/PROJECTS/Complexity/ |accessdate=9 січня 2017 |archive-date=1 липня 2005 |archive-url=https://web.archive.org/web/20050701080019/http://www.nbb.cornell.edu/neurobio/land/PROJECTS/Complexity/ }} {{ref-en}}</ref>
** {{нп|Вибіркова ентропія|Ви́біркова ентропія||Sample entropy}}
** [[Ентропія Фур'є]]
** Вейвлетна ентропія
** [[Ентропія Реньї]]
** Методи вищих порядків
** {{нпні|Відособлена передбачуваність|||Marginal predictability}}
** Індекс {{нпні|Динамічна подібність|динамічної подібності||Dynamical similarity}}
** Міри несхожості [[Простір станів|простору станів]]
** [[Показник Ляпунова]]
** Методи перестановки
** {{нп|Локальний потік|||Local flow}}
* '''Інші одновимірні міри'''
** [[Алгоритмічна теорія інформації|Алгоритмічна складність]]
** Оцінки [[Колмогоровська складність|колмогоровської складності]]
** Стани [[Прихована марковська модель|прихованої марковської моделі]]
** Сурогатні часові ряди та сурогатне виправлення
** Втрата рекурентності (міра нестаціонарності)
* '''Двовимірні лінійні міри'''
** Максимальна лінійна [[взаємна кореляція]]
** Лінійна {{нп|когерентність (обробка сигналів)|||Coherence (signal processing)}}
* '''Двовимірні нелінійні міри'''
** Нелінійна взаємозалежність
** Динамічне захоплення (фізика)
** Міри [[Фазова синхронізація|фазової синхронізації]]
** Міри [[Фазове АПЧ|фазового АПЧ]]
* '''Міри подібності''':<ref>{{cite journal |last=Ropella |first=G. E. P. |last2=Nag |first2=D. A. |last3=Hunt |first3=C. A. |title=Similarity measures for automated comparison of in silico and in vitro experimental results |journal=Engineering in Medicine and Biology Society |year=2003 |volume=3 |issue= |pages=2933–2936 |doi=10.1109/IEMBS.2003.1280532 }} {{ref-en}}</ref>
** [[Взаємна кореляція]]
** {{нп|Динамічне трансформування шкали часу|||Dynamic time warping}}<ref name="Sakoe 1978"/>
** [[Прихована марковська модель|Приховані марковські моделі]]
** {{нп|Редагувальна відстань|||Edit distance}}
** {{нп|Повна кореляція|||Total correlation}}
** {{нп|Оцінка Ньюї — Уеста|Оцінка Ньюї&nbsp;— Уеста||Newey–West estimator}}
** {{нп|Оцінка Прейза — Уінсена|Перетворення Прейза&nbsp;— Уінсена||Prais–Winsten estimation}}
** Дані як вектори в метризованому просторі
*** [[Відстань Мінковського]]
*** [[Відстань Махаланобіса]]
** Дані як часові ряди з обвідними
*** Глобальне [[стандартне відхилення]]
*** Локальне [[стандартне відхилення]]
*** Віконне [[стандартне відхилення]]
** Дані, інтерпретовані як стохастичні ряди
*** [[Коефіцієнт кореляції моменту добутку Пірсона]]
*** [[Коефіцієнт кореляції рангу Спірмена]]
** Дані, інтерпретовані як функція [[Розподіл імовірності|розподілу ймовірності]]
*** [[Критерій Колмогорова — Смирнова|Критерій Колмогорова&nbsp;— Смирнова]]
*** {{нп|Критерій Крамера — фон Мізеса|Критерій Крамера&nbsp;— фон Мізеса||Cramér–von Mises criterion}}

== Унаочнення ==

Часові ряди може бути унаочнювано за допомогою двох категорій графіків: накладених графіків, та відокремлених графіків. Накладені графіки відображають всі часові ряди на одному компонуванні, в той час як відокремлені графіки представляють їх на різних компонуваннях (але вирівняних з метою порівняння).<ref>{{cite web|last1=Tominski|first1=Christian|last2=Aigner|first2=Wolfgang|title=The TimeViz Browser:A Visual Survey of Visualization Techniques for Time-Oriented Data|url=http://survey.timeviz.net/|accessdate=1 червня 2014|archive-date=31 травня 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20140531015541/http://survey.timeviz.net/}} {{ref-en}}</ref>

=== Накладені графіки ===
* Сплетені графіки ({{lang-en|braided graphs}})
* Лінійні графіки
* Графіки ухилу ({{lang-en|slope graphs}})
* {{нп|GapChart||fr}}

=== Відокремлені графіки ===
* {{нпні|Обрійні графіки|||Horizon Graphs}} ({{lang-en|horizon graphs}})
* Зменшені лінійні графіки (багато маленьких)
* Силуетний графік
* Круговий силуетний графік

== Програмне забезпечення ==

Робота з даними часових рядів є відносно поширеним застосуванням для програмного забезпечення статистичного аналізу. В результаті цього, існує багато пропозицій як комерційного, так і відкритого програмного забезпечення. До деяких прикладів належать:

* Додатковий статистичний пакет [[CRAN]] для [[R (мова програмування)|R]]<ref>{{Cite journal|last=Hyndman|first=Rob J|date=2016-01-22|title=CRAN Task View: Time Series Analysis|url=https://cran.r-project.org/web/views/TimeSeries.html|journal=|accessdate=9 січня 2017|archive-date=18 січня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170118165522/http://cran.r-project.org/web/views/TimeSeries.html}}</ref>
* Аналіз та прогнозування з [[Weka]]<ref>{{Cite web|url=http://wiki.pentaho.com/display/DATAMINING/Time+Series+Analysis+and+Forecasting+with+Weka|title=Time Series Analysis and Forecasting with Weka - Pentaho Data Mining - Pentaho Wiki|website=wiki.pentaho.com|accessdate=2016-07-07|archive-date=22 листопада 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161122025009/http://wiki.pentaho.com/display/DATAMINING/Time+Series+Analysis+and+Forecasting+with+Weka}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161122025009/http://wiki.pentaho.com/display/DATAMINING/Time+Series+Analysis+and+Forecasting+with+Weka |date=2016-11-22 }}</ref>
* Передбачувальне моделювання з [[Метод групового урахування аргументів|GMDH]] Shell<ref>{{Cite web|url=https://www.gmdhshell.com/time-series-analysis-software|title=Time Series Analysis & Forecasting Software 2016 [Free Download]|language=en-US|accessdate=2016-07-07|archive-date=11 жовтня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161011063128/https://www.gmdhshell.com/time-series-analysis-software}}</ref>
* Функції та моделювання мовою {{нп|Wolfram (мова програмування)|Wolfram||Wolfram Language}}<ref>{{Cite web|url=http://reference.wolfram.com/language/guide/TimeSeries.html|title=Time Series—Wolfram Language Documentation|website=reference.wolfram.com|accessdate=2016-07-07|archive-date=20 грудня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161220203439/http://reference.wolfram.com/language/guide/TimeSeries.html}}</ref>
* Об'єкти часових рядів у [[MATLAB]]<ref>{{Cite web|url=http://www.mathworks.com/help/matlab/data_analysis/time-series-objects.html|title=Time Series Objects - MATLAB & Simulink|website=www.mathworks.com|accessdate=2016-07-07|archive-date=27 квітня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170427204305/http://www.mathworks.com/help/matlab/data_analysis/time-series-objects.html}}</ref>
* SAS/ETS у програмному забезпеченні {{нп|SAS (програмне забезпечення)|SAS||SAS (software)}}<ref>{{Cite web|url=http://www.sas.com/en_us/software/analytics/ets.html|title=Econometrics and Time Series Analysis, SAS/ETS Software|accessdate=2016-07-07|archive-date=31 січня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170131083142/http://www.sas.com/en_us/software/analytics/ets.html}}</ref>
* Expert Modeler в IBM [[SPSS Statistics]] та IBM {{нп|SPSS Modeler}}
* Автоматичне прогнозування часових рядів з LDT<ref>{{Cite web|url=https://sourceforge.net/projects/letdatalk/|title=LDT|website=SourceForge|accessdate=2016-09-04|archive-date=11 жовтня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161011095339/https://sourceforge.net/projects/letdatalk/}}</ref>
* {{нп|EViews}}, статистичний пакет для Windows, що використовується головно для орієнтованого на часові ряди економетрійного аналізу.
* bayesloop: імовірнісний програмний каркас, що полегшує об'єктивне обирання моделей для моделей параметрів, що змінюються в часі<ref>{{Cite web|url=http://bayesloop.com|title=bayesloop: Probabilistic programming framework that facilitates objective model selection for time-varying parameter models|accessdate=2016-12-06|archive-date=1 грудня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201201083445/http://bayesloop.com/}}</ref>

== Див. також ==
{{Columns-list|2|
* {{нп|Аналіз знетрендованих флуктуацій|||Detrended fluctuation analysis}}
* {{нп|База даних часових рядів|||Time series database}}
* [[Випадкове блукання]]
* {{нп|Коригування на сезонні коливання|||Seasonal adjustment}}
* [[Лінійна частотна модуляція]]
* {{нп|Масштабна кореляція|||Scaled correlation}}
* [[Метод Монте-Карло]]
* [[Нерівномірний часовий ряд]]
* [[Обробка сигналів]]
* [[Тренд (статистика)]]
* {{нп|Панельне дослідження|||Panel analysis}}
* {{нп|Показник Хьорста|||Hurst exponent}}
* [[Прогнозування]]
* [[Розклад часових рядів]]
* {{нп|Розподілене запізнювання|||Distributed lag}}
* {{нп|Секвенувальний аналіз|||Sequence analysis}}
* [[Теорія оцінювання]]
* [[Цифрова обробка сигналів]]
* {{нп|Часові ряди аномалій|||Anomaly time series}}
}}

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==
* {{Книга
 |заголовок=Аналіз часових рядів
 |посилання=https://onu.edu.ua/pub/bank/userfiles/files/fmfit/nachalni_materiali/navch_mat_111_mag/analiz_chasovykh_ryadiv.pdf

 |автор       =А. Т. Яровий, Є. М. Страхов
 |місце          = Одеса
 |видавництво    = Освіта України
 |рік            = 2019
 |сторінок       = 109
}}
* {{Citation
 | authorlink = Джордж Бокс
 | last1 = Box | first1 = George
 | last2 = Jenkins   | first2 = Gwilym
 | title = Time Series Analysis: forecasting and control, rev. ed.
 | publisher = Holden-Day
 | location = Oakland, California
 | year = 1976
}} {{ref-en}}
** {{Citation
 | authorlink = Джордж Бокс
 | last1 = Бокс | first1 = Дж.
 | last2 = Дженкинс   | first2 = Г.
 | title = Анализ временных рядов: прогноз и управление
 | publisher = Мир
 | location = Москва
 | year = 1974
}} {{ref-ru}}
* Cowpertwait P.S.P., Metcalfe A.V. (2009), ''Introductory Time Series with R'', [[Springer Science+Business Media|Springer]]. {{ref-en}}
* {{нп|Джеймс Дурбін|Durbin J.||James Durbin}}, Koopman S.J. (2001), ''Time Series Analysis by State Space Methods'', [[Oxford University Press]]. {{ref-en}}
* {{Citation
 | last = Gershenfeld | first =  Neil
 | year = 2000
 | title = The Nature of Mathematical Modeling
 | ISBN = 978-0-521-57095-4
 | publisher = [[Cambridge University Press]]
 | oclc = 174825352
}} {{ref-en}}
* {{Citation
 | authorlink = Джеймс Гамільтон
 | last = Hamilton | first =  James
 | year = 1994
 | title = Time Series Analysis
 | ISBN = 0-691-04289-6
 | publisher = [[Princeton University Press]]
}}
* {{нп|Моріс Прістлі|Priestley, M. B.||Maurice Priestley}} (1981), ''Spectral Analysis and Time Series'', {{нп|Academic Press}}. ISBN 978-0-12-564901-8 {{ref-en}}
* {{Citation | last = Shasha | first = D. | title = High Performance Discovery in Time Series | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]] | year = 2004 | ISBN = 0-387-00857-8 }} {{ref-en}}
* Shumway R. H., Stoffer (2011), ''Time Series Analysis and its Applications'', Springer. {{ref-en}}
* Weigend A. S., Gershenfeld N. A. (Eds.) (1994), ''Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past''. Proceedings of the NATO Advanced Research Workshop on Comparative Time Series Analysis (Santa Fe, May 1992), [[Addison-Wesley]]. {{ref-en}}
* [[Норберт Вінер|Wiener, N.]] (1949), ''Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series'', [[MIT Press]]. {{ref-en}}
* Woodward, W. A., Gray, H. L. & Elliott, A. C. (2012), ''Applied Time Series Analysis'', [[CRC Press]]. {{ref-en}}

== Посилання ==
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Time_series Time series] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180427184548/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Time_series |date=27 квітня 2018}} в [[Математична енциклопедія|Математичній енциклопедії]] {{ref-en}}
* [http://statistik.mathematik.uni-wuerzburg.de/timeseries/ A First Course on Time Series Analysis] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070318000551/http://statistik.mathematik.uni-wuerzburg.de/timeseries/ |date=18 березня 2007 }}&nbsp;— відкрита книга про аналіз часових рядів у {{нп|SAS (програмне забезпечення)|SAS||SAS (software)}} {{ref-en}}
* [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc4.htm Introduction to Time series Analysis (Engineering Statistics Handbook)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091105072358/http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc4.htm |date=5 листопада 2009 }}&nbsp;— практичний посібник з аналізу часових рядів {{ref-en}}
* [http://www.jstatsoft.org/v33/i05/paper Інструментарій MATLAB для обчислення кількох мір на базах даних часових рядів] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150221215713/http://www.jstatsoft.org/v33/i05/paper |date=21 лютого 2015 }} {{ref-en}}
* [https://www.nbtwiki.net/doku.php?id=tutorial:power_spectra_wavelet_analysis_and_coherence Підручник Matlab зі спектрів потужності, вейвлетного аналізу та когерентності] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181107003142/https://www.nbtwiki.net/doku.php?id=tutorial:power_spectra_wavelet_analysis_and_coherence |date=7 листопада 2018 }} на вебсайті з багатьма іншими підручниками {{ref-en}}
* [http://survey.timeviz.net/ Огляд TimeViz] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161127182010/http://survey.timeviz.net/ |date=27 листопада 2016 }} {{ref-en}}
* [http://www.gaussianprocess.org/gpml/ Gaussian Processes for Machine Learning: вебсторінка книги] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210522233437/http://gaussianprocess.org/gpml/ |date=22 травня 2021 }} {{ref-en}}
* [https://cran.r-project.org/web/views/TimeSeries.html CRAN Time Series Task View] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170118165522/http://cran.r-project.org/web/views/TimeSeries.html |date=18 січня 2017 }}&nbsp;— часові ряди в [[R (мова програмування)|R]] {{ref-en}}
* [http://earthpy.org/pandas-basics.html TimeSeries Analysis with Pandas] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161125093134/http://earthpy.org/pandas-basics.html |date=25 листопада 2016 }} {{ref-en}}

{{Статистика}}
{{Authority control}}

[[Категорія:Аналіз часових рядів|*]]
[[Категорія:Типи статистичних даних]]
[[Категорія:Моделювання]]
[[Категорія:Машинне навчання]]
[[Категорія:Математика в медицині]]