Перегляд вихідного коду сторінки Ціле число

{{Side_box |style=width:20.0em |text={{center|[[File:Latex integers.svg|100px|Символ ''Zahlen'' часто застосовують для позначення множини всіх цілих чисел]]}} |below=Символ ''[[wikt:Zahlen|Zahlen]]'' часто застосовують для позначення множини всіх цілих чисел (див. [[Таблиця математичних символів]])}}
[[Файл:Venn_Diagram_of_Numbers.svg|lang=uk|міні|300px|Відображення [[натуральні числа|натуральних]], '''цілих''', [[раціональні числа|раціональних]], [[дійсне число|дійсних]] і [[комплексне число|комплексних чисел]] <br/>[[Кола Ейлера|колами Ейлера]]]]
'''Ці́лі чи́сла'''&nbsp;— в [[математика|математиці]] елементи [[множина|множини]]
<math>\Z = \lbrace \ldots -3, \, -2, \, -1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3 \, \ldots \rbrace</math>, яка утворюється [[замикання (математика)|замиканням]] [[натуральне число|натуральних чисел]] відносно [[віднімання]]. Таким чином, цілі числа замкнуті відносно [[додавання]], віднімання та [[множення]].

Необхідність розгляду цілих чисел викликана неможливістю в загальному випадку відняти від одного натурального числа інше — можна віднімати тільки менше число від більшого. Введення нуля і від’ємних чисел робить віднімання такою ж повноцінною операцією, як додавання{{sfn|Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=37}}.

Множина цілих чисел складається з
* множини натуральних чисел <math>\N</math>,
* [[0 (число)|нуля]]&nbsp;— розв'язку <math>x=0\,</math> рівняння <math>a+x=a,\ a\in \N</math>,
* множини [[від'ємне число|від'ємних чисел]]&nbsp;— множини розв'язків <math>x=-a\,</math> усіх рівнянь виду <math>a+x=0,\ a\in \N</math>.

Для позначення множини цілих чисел використовується символ {{math|ℤ}}, який може в різних авторів використовуватися для позначення групи множин: {{math|ℤ<sup>+</sup>}}, {{math|ℤ<sub>+</sub>}} або {{math|ℤ<sup>></sup>}} для позначення [[Додатне число|додатних]] цілих чисел, {{math|ℤ<sup>≥</sup>}} для не від'ємних цілих чисел, {{math|ℤ<sup>≠</sup>}} для всіх цілих чисел крім нуля. Деякі автори використовують позначення {{math|ℤ<sup>*</sup>}} для всіх цілих чисел крім нуля, інші для позначення не від'ємних цілих чисел, або для {{math|{–1, 1}{{void}}}}.

[[Дійсне число]] є цілим, якщо його [[Десятковий дріб|десяткове подання]] не містить [[Дробова частина числа|дробової частини]] (але може містити знак). Приклади дійсних чисел:

: Числа 142857; 0; –273 є цілими.
: Числа 5½; 9,75 не є цілими.

== Історія ==
Розвиток математики почався з навичок практичної лічби (один, два, три, чотири…), тому натуральні числа виникли ще в доісторичний період як [[ідеалізація]] [[Скінченна множина|скінченної множини]] однорідних, стійких і неподільних об'єктів (людей, овець, днів тощо). Додавання з'явилося як [[математична модель]] таких важливих подій, як об'єднання кількох множин (стад, мішків тощо) в одне, а [[віднімання]] відображало, навпаки, відокремлення частини множини. Множення для натуральних чисел з'явилося в якості, так би мовити, пакетного додавання: 3{{nbsp}}×{{nbsp}}4 означало суму «{{num|3|рази}} по{{nbsp}}4», тобто {{nobr|4 + 4 + 4}}. Властивості і взаємозв'язок операцій відкривалися поступово<ref>{{книга-ру|автор=Мах Э.|часть=Познание и заблуждение|заглавие=Альберт Эйнштейн и теория гравитации|место=М.|издательство=Мир|год=1979|страницы=74 (подстрочное примечание)|страниц=592}}: «перш ніж виникне поняття про число, має існувати досвід, що в зрозумілому сенсі ''рівноцінні'' об'єкти існують ''множинно і незмінно''».</ref><ref>{{книга-ру |автор={{нп|Моріс Клайн|Клайн М.|ru|Клайн, Морис}} |заглавие=Математика. Утрата определённости |издательство=Мир |место=М. |год=1984 |страниц=446 |страницы=109—112}}</ref>.

Початковим кроком на шляху розширення натуральних чисел стала поява нуля; першими цей символ стали застосовувати, напевно, [[Індійська математика|індійські математики]]. Спочатку нуль застосовувався не як число, а як цифра при позиційному запису чисел, потім поступово став визнаватися і як повноцінне число, що означає відсутність чого-небудь (наприклад, повне розорення торговця)<ref>{{Книга-ру|автор=Ламберто Гарсия дель Сид|часть=Особые числа других культур|заглавие=Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии|издательство=DeAgostini|год=2014|том=21|страницы=115|страниц=159|серия=Мир математики|isbn=978-5-9774-0716-8}}</ref>.

Від'ємні числа вперше стали використовувати в [[Історія Китаю#Стародавній Китай|Стародавньому Китаї]] та Індії, де їх розглядали як математичний образ «боргу». [[Математика в Стародавньому Єгипті|Стародавній Єгипет]], [[Вавилонська математика|Вавилон]] та [[Давньогрецька математика|Стародавня Греція]] не використовували від'ємних чисел, а якщо виходили від'ємні корені рівнянь (при відніманні), вони відкидалися як неможливі. Виняток становив [[Діофант Александрійський]], який у III столітті вже знав «правило знаків» і вмів множити від'ємні числа. Однак він розглядав їх лише як проміжний етап, корисний для обчислення остаточного додатного результату. Корисність і законність від'ємних чисел утверджувалися поступово. Індійський математик [[Брамагупта]] (VII століття) вже розглядав їх нарівні з додатними<ref name="GLE1964">{{книга-ру|автор=[[Глейзер Герш Ісаакович|Глейзер Г. І.]]|заглавие=История математики в школе|издательство=Просвещение|место=М.|год=1964|страницы=132—135|страниц=376}}</ref>.

В Європі визнання настало на тисячу років пізніше, та й то довгий час від'ємні числа називали «помилковими», «уявними» або «абсурдними». Перший опис їх у європейській літературі з'явився у «[[Книга абака|Книзі абака]]» [[Фібоначчі|Леонарда Пізанського]] (1202), який також трактував від'ємні числа як борг. [[Рафаель Бомбеллі]] і [[Альбер Жирар]] у своїх працях вважали від'ємні числа цілком допустимими і корисними, зокрема, для позначення нестачі чого-небудь. Вільно використовували від'ємні числа {{нп|Нікола Шюке|||Nicolas Chuquet}} (1484 рік) і [[Міхаель Штифель]] (1544)<ref name="GLE1964" />.

У XVII столітті, з появою [[Аналітична геометрія|аналітичної геометрії]], від'ємні числа отримали наочне геометричне подання на [[Числова вісь|числовій осі]]. З цього моменту настає повна рівноправність. Легалізація від'ємних чисел призвела до численних зручностей, наприклад, перенесення доданків рівняння в іншу його частину стало можливим незалежно від знаку цього доданка (раніше, наприклад, рівняння <math>x^3+ax=b</math> і <math>x^3=ax+b</math> вважалися принципово різними){{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=113—114}}.

Проте теорія від'ємних чисел довго перебувала в стадії становлення. [[Блез Паскаль]], наприклад, вважав, що <math>0-4=0</math>, оскільки «ніщо не може бути менше, ніж ніщо»<ref>''Сухотин А. К.'' Мінливості наукових ідей. М.: Мовляв. гвардія. 1991, стор 34.</ref>. Жваво обговорювалася дивна пропорція <math>1:\left(-1\right) = \left(-1\right):1</math>&nbsp;— у неї перший член зліва більше другого, а праворуч&nbsp;— навпаки, і виходить, що більше дорівнює меншому («парадокс [[Антуан Арно (син)|Арно]]»). [[Джон Валліс]] вважав, що від'ємні числа менші від нуля, але разом з тим більші, ніж нескінченність<ref>{{книга-ру|часть=Отрицательные числа|автор=Панов В. Ф.|заглавие=Математика древняя и юная|издание=Изд. 2-е, исправленное|место=М.|издательство=[[Московський державний технічний університет імені Баумана|МГТУ им. Баумана]]|год=2006|страниц=648|страницы=399|isbn=5-7038-2890-2}}</ref>. Невідомо також, який сенс має множення від'ємних чисел, і чому добуток від'ємних&nbsp;— додатний; на цю тему проходили запеклі дискусії. Відгомоном тих часів є та обставина, що в сучасній арифметиці операція віднімання і знак від'ємних чисел позначаються одним символом ([[мінус]]), хоча алгебраїчно це абсолютно різні поняття. [[Карл Фрідріх Гаусс]] у 1831 році вважав за потрібне роз'яснити, що від'ємні числа принципово мають ті ж права, що й додатні, а те, що вони застосовуються не до всіх речей, нічого не означає, тому що дроби теж застосовуються не до всіх речей (наприклад, незастосовні при підрахунку людей)<ref>''Александрова Н. Ст.'' Математичні терміни.(довідник). М.: Вища школа, 1978, стор 164.</ref>.

Повна і цілком строга теорія від'ємних чисел була створена лише в XIX столітті ([[Вільям Ровен Гамільтон|Вільям Гамільтон]] і [[Герман Грассман|Герман Гюнтер Грассман]])<ref>{{книга-ру |часть=Математика XVIII столетия |заглавие=История математики |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах |место=М. |издательство=[[Наука (видавництво)|Наука]] |год=1972 |том=III |страницы=48—49}}</ref>.

== Теоретико-множинні властивості ==
* <math>\Z</math>&nbsp;— [[зліченна множина]].
* <math>\Z</math>&nbsp;— [[лінійно впорядкована множина]] без [[верхня та нижня межа|верхньої та нижньої межі]].

== Додатні та від'ємні числа ==
Відповідно до своєї побудови, множина цілих чисел складається з трьох частин:

# Натуральні числа (або, що те ж саме, цілі додатні). Вони виникають природним чином при лічбі (1, 2, 3, 4, 5…){{sfn|Элементарная математика|1976|с=18}}.
# Нуль&nbsp;— число, що позначається <math>0</math>. Його визначальна властивість: <math>0+n=n+0=n</math> для будь-якого числа <math>n</math>.
# Цілі від'ємні числа.

[[Файл:Диаграмма4.svg|міні|240x240пкс|Протилежні числа (4 та -4)]]
Від'ємні числа при запису позначаються спереду знаком [[мінус]]: <math>-1, -2, -3\dots</math> Для кожного цілого числа <math>a</math> існує і єдине '''протилежне''' йому число, що позначається <math>-a</math> і яке володіє тією властивістю, що <math>a+(-a)=0.</math> Якщо <math>a</math> додатне, то протилежне йому число&nbsp;— від'ємне, і навпаки. Нуль протилежний самому собі.

[[Модуль (математика)|Абсолютною величиною]] цілого числа <math>a</math> називається це число з відкинутим знаком{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=114}}. Позначення: <math>\left| a \right|.</math>

: Приклади: <math>\left| 4 \right| = 4;\ \left| -5 \right| = 5;\ \left| 0 \right| = 0</math>

== Алгебричні властивості ==
[[Файл:Number-line.svg|right|thumb|300px|Цілі числа можна розглядати як дискретні, рівномірно розподілені точки на нескінченно довгій [[Числова вісь|числовій осі]]. На зображенні, не-[[Знак (математика)|від'ємні]] цілі показано фіолетовим, а від'ємні числа показано червоним.]]

* <math>\Z</math> не є замкнутою відносно ділення двох цілих чисел (наприклад, 1/2).
* <math>(\Z,+)</math> є [[абелева група|абелевою групою]].
* <math>(\Z, *)</math> є [[комутативність|комутативним]] [[моноїд]]ом.
* <math>(\Z,+)</math>&nbsp;— єдина нескінченна [[циклічна група]].
* <math>(\Z,+,*)</math> є [[комутативне кільце|комутативним кільцем]] (це слідує з двох перелічених вище властивостей).
* <math>(\Z,+,*)</math> не є [[поле (алгебра)|полем]]. Найменше поле, що включає цілі числа є [[множина раціональних чисел]] <math>\Q.</math>

У множині цілих чисел визначено три основні арифметичні операції: додавання, обернене до додавання віднімання та множення. Є також важлива операція, специфічна для натуральних і цілих чисел: [[ділення з остачею]]. Нарешті, для цілих чисел визначено [[Відношення порядку|порядок]], що дозволяє порівнювати числа одне з одним.

=== Додавання і віднімання ===
Наведена таблиця ілюструє основні властивості додавання{{sfn|Элементарная математика|1976|с=24—28|name=ELEM}} для будь-яких цілих <math>a,b,c</math>:
{| class="wikitable"
!Властивість
!Алгебраїчна запис
|-
|[[Комутативність]]
|<math>a+b = b+a</math>
|-
|[[Асоціативність]]
|<math>a + \left( b+c \right) = \left( a+b \right) + c</math>
|-
|Властивість нуля
|<math>a+0 = a</math>
|-
|Властивість [[Обернений елемент|протилежного елемента]]
|<math>a + \left( -a \right) = 0</math>
|}
При додаванні і відніманні цілих чисел виконуються такі ''правила знаків''{{sfn|Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=39}}, які слід враховувати при розкритті дужок:

: <math>- \left( -a \right) = a;\ - \left( a+b \right) = -a-b; \ - \left( a-b \right) = -a+b.</math>

'''Правила додавання цілих чисел'''{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=114—115}}.

# При додаванні цілих чисел з однаковими знаками треба додати їхні абсолютні величини і приписати результату знак доданків. Приклад; <math>-14 + \left( -28 \right) = -42</math>.
# При додаванні цілих чисел з різними знаками, треба порівняти їхні абсолютні величини, від більшої відняти меншу і приписати результату знак того доданка, у якого абсолютна величина більша. Приклади: <math>-4+9 = 9-4 = 5;\ -9+4 = - \left( 9-4 \right) = -5</math>.
# Віднімання <math>a-b</math> для цілих чисел завжди можна виконати, і результат можна знайти як <math>a + \left( -b \right).</math> Приклад: <math>26 - 51 = 26 + \left( -51 \right) = -25</math>.
# Геометрично додавання можна наочно уявити як зсув числа вздовж числової осі (див. малюнок на початку статті), причому додавання додатного числа викликає зсув праворуч, а від'ємного&nbsp;— ліворуч. Наприклад, для числа <math>-3</math> додавання до нього <math>4</math> означає зсув вправо на 4 одиниці; наочно видно, що виходить <math>+1</math>. Аналогічно <math>-3 + \left( -4 \right)</math>, зміщуючи <math>-3</math> вліво на 4 одиниці, отримаємо в результаті <math>-7</math>.
# Віднімання можна наочно уявити аналогічно, але в цьому випадку, навпаки, віднімання додатного числа викликає зсув вліво, а від'ємного&nbsp;— вправо. Наприклад, <math>5-7</math> зміщує <math>5</math> на 7 одиниць&nbsp;— до числа <math>-2</math>, а <math>5 - \left( -7 \right)</math> зміщує його вправо&nbsp;— до числа <math>12</math>.

=== Множення і піднесення до степеня ===
Множення чисел <math>a,b</math> далі позначається <math>a \times b</math> або (тільки у разі буквених позначень) просто <math>ab</math>. У таблиці описано основні властивості множення для будь-яких цілих <math>a,b,c</math>:
{| class="wikitable"
!Властивість
!Алгебраїчна запис
|-
|[[Комутативність]]
|<math>a \times b = b \times a</math>
|-
|[[Асоціативність]]
|<math>a \times \left( b \times c \right) = \left( a \times b \right) \times c</math>
|-
|Властивість одиниці
|<math>a \times 1 = a</math>
|-
|Властивість нуля
|<math>a \times 0 = 0</math>
|-
|[[Дистрибутивність]] множення відносно додавання
|<math>a \times \left( b+c \right) = a \times b + a \times c</math>
|}
При множенні цілих чисел виконуються ''правила знаків''{{sfn|Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=39}}, які слід враховувати, розкриваючи дужки:

: <math>\left( -a \right) b = a \left( -b \right) = -ab; \ \left( -a \right) \left( -b \right) = ab</math>

'''Наслідок''': добуток чисел з однаковими знаками додатний, з різними&nbsp;— від'ємний.

[[Піднесення до степеня|Піднесення до натурального степеня]] цілих чисел визначається так само, як і для натуральних чисел:

: <math>a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots \cdot a}_{n}</math>

Властивості піднесення до степеня цілих чисел також такі самі, як у натуральних:

: <math>\left( ab \right)^n = a^nb^n;\quad a^ma^n = a^{m+n};\quad \left( a^m \right)^n = a^{mn}</math>

На доповнення до цього визначення, прийнято угоду про нульовий степінь: <math>a^0 = 1</math> для будь-якого цілого <math>a.</math> Підставою для такої угоди служить бажання зберегти наведені вище властивості і для нульового показника степеня: <math>a^0a^n=a^{0+n}=a^n,</math> звідки ясно, що <math>a^0 =1.</math>

=== Упорядкованість ===
<math>\mathbb{Z}</math>&nbsp;— [[лінійно впорядкована множина]]. Порядок у ній задається співвідношеннями:

: <math>\dots  -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \dots</math>

Ціле число '''додатне''', якщо воно більше від нуля, '''від'ємне''', якщо менше від нуля. Додатними цілими числами є натуральні числа і тільки вони. Від'ємні числа&nbsp;— це числа, протилежні додатним. Нуль не є ані додатним, ані від'ємним. Будь-яке від'ємне число менше від будь-якого додатного.

Для будь-яких цілих чисел <math>a,b,c,d</math> справедливі такі співвідношення{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=172—173|name=VYG172}}.

# Якщо <math>a<b</math>, то для будь-якого <math>c</math> буде <math>a+c<b+c</math>.
# Якщо <math>a<b</math> і <math>c<d</math>, то <math>a+c<b+d</math>.
# Якщо <math>a<b</math> і <math>c>0</math>, то <math>ac<bc</math>.
# Якщо <math>a<b</math> і <math>c<0</math>, то <math>ac>bc</math>.

Для порівняння двох від'ємних чисел існує правило: більше те число, в якого [[Модуль (математика)|абсолютна величина]] ''менша''. Наприклад, <math>-6 < -5</math>.

=== Подільність ===

==== Ділення з остачею ====
Операція ділення, взагалі кажучи, не визначена на множині цілих чисел. Наприклад, не можна поділити <math>3</math> на <math>2</math>&nbsp;— немає такого цілого числа, яке, помножене на <math>2</math>, дасть <math>3</math>. Але можна визначити так зване ділення з остачею<ref name="BSE">{{книга-ру |часть=Деление |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5{{nbsp}}томах) |место=М. |ref=Математическая энциклопедия |том=2 |год=1979 |издательство=[[Велика російська енциклопедія (видавництво)|Советская энциклопедия]]}}</ref>:

: Для будь-яких цілих <math>a, b</math> (де <math>b \ne 0</math>) існує єдиний набір цілих чисел <math>q,r</math> такий, що <math>a = bq + r</math>, де <math>0 \leqslant r < \left| b \right|.</math>

Тут ''a''&nbsp;— [[Ділення|ділене]], ''b''&nbsp;— [[Подільність|дільник]], ''q''&nbsp;— (неповна) частка, ''r''&nbsp;— остача від ділення (завжди невід'ємна). Якщо остача дорівнює нулю, кажуть, що ділення виконується ''націло''<ref name="BSE" />.

; Приклади
:

* При діленні з остачею додатного числа <math>a = 78</math> на <math>b = 33</math> отримуємо неповну частку <math>q = 2</math> і остачу <math>r = 12</math>. Перевірка: <math>78 = 33 \times 2 + 12.</math>
* При діленні з остачею від'ємного числа <math>a = -78</math> на <math>b = 33</math> отримуємо неповну частку <math>q = -3</math> і остачу <math>r = 21</math>. Перевірка: <math>-78 = 33 \times (-3) + 21.</math>
* При діленні з остачею числа <math>a = 78</math> на <math>b = 26</math> отримуємо [[Ділення|частку]] <math>q = 3</math> і остачу <math>r = 0</math>, тобто ділення виконується націло. Для швидкого з'ясування, чи ділиться задане число <math>a</math> на (невелика) число <math>b</math> існують [[Ознака подільності чисел|ознаки подільності]].

На операції ділення з остачею ґрунтуються [[Модульна арифметика|теорія порівнянь]] і [[алгоритм Евкліда]].

==== Ділення націло. Дільники ====
Як визначено вище, число <math>a</math> ділиться (націло) на число <math>b</math>якщо існує ціле число <math>q</math> таке, що <math>a=bq</math>. Символічний запис: <math>b|a</math>. Існують кілька рівносильних словесних формулювань зазначеної подільності<ref>{{книга-ру|автор=Сушкевич А. К.|заглавие=Теория чисел. Элементарный курс|место=Х.|издательство=Изд-во Харьковского университета|год=1954|страницы=5}}</ref>:

* <math>a</math> ділиться (націло) на <math>b</math>.
* <math>b</math> є [[Подільність|дільником]] <math>a</math> (або: <math>b</math> ділить <math>a</math>).
* <math>a</math> кратне <math>b</math>.

Кожне ціле число <math>n</math>, не рівне нулю або <math>\pm 1</math>має 4 ''тривіальні'' дільники: <math>1, -1, n, -n</math>. Якщо інших дільників немає, число називається [[Просте число|простим]]{{sfn|Элементарная математика|1976|с=20}}.

Поняття [[Найбільший спільний дільник|найбільшого спільного дільника]] двох цілих чисел, розкладання цілого числа на [[Просте число|прості множники]] і [[основна теорема арифметики]] цілих чисел практично збігаються (з можливим урахуванням знака) з аналогами цих понять для натуральних чисел<ref>{{книга-ру |ответственный=сост. С. В. Поморцева, О. В. Иванова |часть=Понятие делимости |заглавие=Элементы теории делимости: Методические рекомендации для студентов факультета педагогики и психологии детства |ссылка часть=http://test.ya-znau.ru/znaniya/zn/121 |место=Омск |издательство=Омский гос. пед. университет |год=2008 |страниц=37 |isbn=}}</ref>.

== Цілі і дійсні числа ==
Існують практичні задачі, в яких необхідно [[Округлення|округлити]] [[Дійсне число|дійсне значення]] до цілого, тобто замінити його на найближче (у той або інший бік) ціле. Оскільки виконувати округлення можна різними способами, для уточнення можна використовувати [[Округлення|символи Айверсона]]"<ref>{{книга-ру |автор=[[Дональд Кнут|Кнут Д.]] |заглавие=Искусство программирования для ЭВМ. Т.{{nbsp}}1. Основные алгоритмы |место=М. |издательство=[[Мир (видавництво)|Мир]] |год=1976 |страниц=735 |страницы=68}}</ref>:

: <math>\lfloor x \rfloor</math>&nbsp;— найближчим до <math>x</math> ціле в бік зменшення (функція «підлога», {{lang-en|floor}}, або «[[Ціла частина числа|ціла частина]]»). Традиційно використовуються також позначення [[Карл Фрідріх Гаусс|Гауса]] <math>[x]</math> або позначення [[Адрієн-Марі Лежандр|Лежандра]] <math>E\left(x\right)</math>.
: <math>\lceil x \rceil</math>&nbsp;— найближче до <math>x</math> ціле в бік збільшення (функція «стеля», {{lang-en|ceiling}}).

Залежно від особливостей постановки задачі, можуть зустрітися й інші методи: округлити до найближчого цілого або відсікти дробову частину (останній варіант для від'ємних <math>x</math> відрізняється від функції «ціла частина»).

Інший клас задач, що зв'язують цілі і дійсні числа&nbsp;— наближення дійсного числа відношенням цілих, тобто [[Раціональні числа|раціональним числом]]. Доведено, що будь-яке дійсне число можна з будь-якою бажаною точністю наблизити раціональним, найкращим інструментом для такого наближення служать [[Ланцюговий дріб|безперервні (ланцюгові) дроби]]<ref>{{книга-ру|автор=Хинчин А. Я.|заглавие=Цепные дроби|место=М.|издательство=ГИФМЛ|год=1960|ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/hinchin-cep-dr.htm}}</ref>.

== Застосування ==

=== У прикладних науках ===
[[Файл:US_Navy_070317-N-3642E-379_During_the_warmest_part_of_the_day,_a_thermometer_outside_of_the_Applied_Physics_Laboratory_Ice_Station's_(APLIS)_mess_tent_still_does_not_break_out_of_the_sub-freezing_temperatures.jpg|міні|240x240пкс|Позначки цілих значень температури на шкалі [[термометр]]а]]
Цілі числа широко застосовуються при дослідженні об'єктів, які за своєю природою або за особливостями постановки задачі неподільні (наприклад, люди, кораблі, будівлі, іноді дні і&nbsp;т.&nbsp;ін.). Від'ємні числа також можуть знайти застосування в таких моделях&nbsp;— скажімо, при плануванні торговельних угод можна продажі позначати додатними числами, а купівлі&nbsp;— від'ємними. Приклад з фізики&nbsp;— [[Квантове число|квантові числа]], що грають фундаментальну роль у мікросвіті; всі вони&nbsp;— цілі (або [[Напівціле число|напівцілі]]) числа зі знаком<ref>{{книга-ру|автор=Сивухин Д. В.|заглавие=Общий курс физики|часть=§{{nbsp}}38. Четыре квантовых числа электрона и тонкая структура спектральных термов|страницы=226|место=М.|год=2005|том=5 Атомная и ядерная физика| издательство=}}.
</ref>.

Для розв'язання задач, що виникають при цьому, розроблені спеціальні математичні методи, що враховують специфіку проблем. Зокрема, розв'язування в цілих числах алгебраїчних рівнянь (різних степенів) розглядає теорія «[[Діофантові рівняння|діофантових рівнянь]]»<ref>{{книга-ру|автор=[[Гельфонд Олександр Йосипович|Гельфонд А. О.]]|заглавие=Решение уравнений в целых числах|серия=Популярные лекции по математике|место=М.|издательство=Наука|год=1978|ссылка=http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a08.htm}}</ref>. Питання цілочисельної оптимізації досліджує [[цілочисельне програмування]]<ref>{{книга-ру|автор=Карманов В. Г.|заглавие=Математическое программирование|место=М.|издательство=Наука|год=1986|страниц=288}}</ref>.

=== В інформатиці ===
[[Ціле число (тип даних)|Тип ціле число]]&nbsp;— найчастіше один з основних [[Тип даних|типів даних]] у [[Мова програмування|мовах програмування]]. Цілі типи даних зазвичай реалізуються як фіксований набір [[біт]]ів, один з яких кодує знак числа, а інші&nbsp;— двійкові цифри. Сучасні [[комп'ютер]]и мають багатий набір команд для арифметичних операцій з цілими числами<ref>{{книга-ру|автор=М. Бен-Ари.|часть=Глава{{nbsp}}4. Элементарные типы данных|заглавие=Языки программирования. Практический сравнительный анализ|оригинал=Understanding Programming Language|место=М.|издательство=Мир|год=2000|страницы=53—74|страниц=366|isbn=5-03-003314-9|ref=Бен-Ари}}</ref>.

== Місце в загальній алгебрі ==
[[Файл:Set_of_real_numbers_(diagram).svg|міні|320x320пкс|Ієрархія числових множин:<br/>
<math>\mathbb{N}</math>&nbsp;— [[натуральні числа]]<br/>
<math>\mathbb{Z}</math>&nbsp;— цілі числа<br/>
<math>\mathbb{Q}</math>&nbsp;— [[раціональні числа]]<br/>
<math>\mathbb{R}</math>&nbsp;— [[Дійсне число|дійсні числа]]<br/>
<math>\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math>&nbsp;— [[ірраціональні числа]]]]
З точки зору [[Абстрактна алгебра|загальної алгебри]], <math>\mathbb{Z}</math> щодо додавання і множення є нескінченним [[Комутативність|коммутативним]] [[Кільце (алгебра)|кільцем]] з одиницею, без [[Дільник нуля|дільників нуля]] ([[область цілісності]]). Кільце цілих чисел є [[Евклідове кільце|евклідовим]] (і, отже, [[Факторіальне кільце|факторіальним]]) і [[Кільце Нетер|кільцем Нетер]], але не є [[Кільце Артіна|артіновим]]. Якщо розширити це кільце, додавши до нього всілякі [[Дріб|дроби]] (див. [[поле часток]]), вийде [[Поле (алгебра)|поле]] [[Раціональні числа|раціональних чисел]] (<math>\mathbb{Q}</math>); у ньому вже виконується будь-яке ділення, крім ділення на нуль<ref name="VIN">{{книга-ру|автор=Винберг Э. Б.|заглавие=Курс алгебры. 2-е изд|место=М.|издательство=Изд-во [[Московський центр неперервної математичної освіти|МЦНМО]]|год=2013|страницы=15—16, 113—114 |страниц=590 |isbn=978-5-4439-0209-8}}</ref><ref>{{книга-ру |автор=Атья М., Макдональд И. |заглавие=Введение в коммутативную алгебру |место=М. |издательство=Мир |год=1972 |страницы=94 |страниц=160}}</ref>.

Відносно операції додавання <math>\mathbb{Z}</math> є [[Абелева група|абелевою групою]], і, отже, також [[Циклічна група|циклічною групою]], оскільки кожен ненульовий елемент <math>\mathbb{Z}</math> може бути записаний у вигляді скінченної суми {{Nobr|1 + 1 + … + 1}} або {{Nobr|(−1) + (−1) + … + (−1)}}. Фактично, <math>\mathbb{Z}</math> є ''єдиною'' нескінченною циклічною групою відносно додавання через те, що будь-яка нескінченна циклічна [[Група (математика)|група]] [[Ізоморфізм|ізоморфна]] групі <math>(\mathbb{Z},+)</math>. Відносно множення <math>\mathbb{Z}</math> не утворює групу, оскільки у множині цілих чисел ділення, взагалі кажучи, неможливе<ref name="VIN" />.

Множина цілих чисел зі звичайним [[Відношення порядку|порядком]] є [[Впорядковане кільце|впорядкованим кільцем]], але не є [[Цілком впорядкована множина|цілком впорядкованою]], оскільки, наприклад, серед від'ємних чисел немає найменшого. Проте її можна зробити цілком упорядкованою, якщо визначити нестандартне відношення «менше або дорівнює»<ref>{{книга-ру |автор=Дональд Кнут |место=М. |издательство=Мир |год=1976 |страницы=571 (15b) |заглавие=Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы |страниц=736 }}</ref>, яке позначимо <math>\preccurlyeq</math> і визначимо таким чином:

: <math>a \preccurlyeq b,</math> якщо або <math>a=b,</math> або <math>|a|<|b|,</math> або <math>|a|=|b|</math> і <math>a<0<b.</math>

Тоді порядок цілих чисел буде таким: <math>0  \preccurlyeq -1 \preccurlyeq 1 \preccurlyeq -2 \preccurlyeq 2 \dots</math> Зокрема, <math>-1</math> буде найменшим від'ємним числом. <math>\mathbb{Z}</math> з новим порядком буде цілком упорядкованою множиною, але вже не буде впорядкованим кільцем, оскільки цей порядок не узгоджений з операціями кільця: наприклад, з <math>1 \preccurlyeq -2</math>, додавши зліва і справа 1, отримуємо неправильну нерівність <math>2 \preccurlyeq -1.</math>

Будь-яке впорядковане кільце з одиницею і без [[Дільник нуля|дільників нуля]] містить одне і тільки одне [[підкільце]], ізоморфне <math>\mathbb{Z}</math>{{sfn|Числовые системы|1975|с=100}}.

== Логічні основи ==
Розширення натуральних чисел до цілих, як і будь-яке інше розширення [[Алгебрична структура|алгебричної структури]], ставить багато питань, основні з яких&nbsp;— як визначити операції над новим типом чисел (наприклад, як визначити множення від'ємних чисел), які властивості вони тоді будуть мати і (головне питання) чи припустиме таке розширення, чи не призведе воно до нездоланних суперечностей. Для аналізу подібних питань треба сформувати набір аксіом для цілих чисел.

=== Аксіоматика цілих чисел ===
Найпростіше визначити аксіоматику множини цілих чисел <math>\mathbb{Z}</math>якщо спиратися на вже побудовану множину натуральних чисел <math>\mathbb{N}</math> (яка вважається несуперечливою, а властивості її&nbsp;— відомими). А саме, визначимо <math>\mathbb{Z}</math> як мінімальне [[Кільце (алгебра)|кільце]], що містить множину натуральних чисел. Більш строго, аксіоми цілих чисел такі{{sfn|Числовые системы|1975|с=95—96}}{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=160—162}}.

: '''Z1''': Для будь-яких цілих чисел <math>a,b</math> визначена їх сума <math>a+b</math>.
: '''Z2''': Додавання [[Комутативність|комутативне]]: <math>a+b = b+a</math>. Для скорочення, фразу «для будь-яких <math>a,b\dots</math>» далі, як правило, опускаємо.
: '''Z3''': Додавання [[Асоціативність|асоціативне]]: <math>\left( a+b \right) + c = a + \left( b+c \right).</math>
: '''Z4''': Існує елемент 0 (нуль) такий, що <math>a+0 = a</math>.
: '''Z5''': Для будь-якого цілого числа <math>a</math> існує ''протилежний йому'' елемент <math>-a</math> такий, що <math>a + \left( -a \right) = 0.</math>
: '''Z6''': Для будь-яких цілих чисел <math>a,b</math> визначено їх добуток <math>ab</math>.
: '''Z7''': Множення [[Асоціативність|асоціативне]]: <math>\left( ab \right) c = a \left( bc \right).</math>
: '''Z8''': Множення пов'язане з додаванням [[Дистрибутивність|розподільними]] (дистрибутивними) законами: <math>\left( a+b \right) c = ac + bc;\ c \left( a+b \right) = ca+cb.</math>
: '''Z9''': Множина цілих чисел <math>\mathbb{Z}</math> містить підмножину, [[Ізоморфізм|ізоморфну]] множині натуральних чисел <math>\mathbb{N}</math>. Для спрощення далі цю підмножину позначено тією ж буквою <math>\mathbb{N}</math>.
: '''Z10''' (''аксіома мінімальності''): нехай <math>M</math>&nbsp;— підмножина <math>\mathbb{Z}</math>, що включає <math>\mathbb{N}</math> і така, що операція віднімання не виводить за межі <math>M</math>. Тоді <math>M</math> збігається зі всією <math>\mathbb{Z}</math>.

З цих аксіом випливають як наслідки всі інші властивості цілих чисел, зокрема комутативність множення, упорядкованість, правила [[Подільність|ділення націло]] і [[ділення з остачею]]{{sfn|Числовые системы|1975|с=96—98}}. Покажемо, наприклад, як уводиться [[Відношення порядку|порядок]] цілих чисел. Будемо говорити, що <math>a<b</math>, якщо <math>b-a</math> є натуральне число. Аксіоми порядку легко перевіряються. З визначення відразу випливає, що всі натуральні числа більші від нуля (''додатні''), а всі протилежні їм&nbsp;— менші від нуля (''від'ємні''). Для натуральних чисел новий порядок збігається зі старим{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=170—171}}.

Наведена аксіоматика цілих чисел ''категорична'', тобто будь-які її [[Числення висловлень|моделі]] [[Кільце (алгебра)|ізоморфні як кільця]]{{sfn|Числовые системы|1975|с=98}}.

=== Несуперечливість ===
Стандартний спосіб довести несуперечність нової структури&nbsp;— [[Числення висловлень|змоделювати]] (''інтерпретувати'') її аксіоми за допомогою об'єктів іншої структури, чия несуперечність сумнівів не викликає. У нашому випадку ми повинні реалізувати ці аксіоми на базі пар натуральних чисел{{sfn|Числовые системы|1975|с=100—102|name=NECH100}}.

Розглянемо всі можливі [[Впорядкована пара|впорядковані пари]] натуральних чисел <math>\left(a,b\right)</math>. Щоб сенс подальших визначень став зрозумілим, відразу пояснимо, що ми маємо намір надалі кожну таку пару розглядати як ціле число <math>a-b,</math> наприклад, пари <math>\left(3,2\right)</math> або <math>\left(6,5\right)</math> будуть зображати одиницю, а пари <math>\left(1,4\right)</math> або <math>\left(8,11\right)</math> зображатимуть <math>-3.</math>

Далі визначимо{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=162—168|name=EEM162}}:

# Пари <math>\left(a,b\right)</math> і <math>\left(c,d\right)</math> вважаються рівними, якщо <math>a+d=b+c</math>. Це пов'язано з тим, що, як показано в прикладах, будь-яке ціле число можна подати нескінченним числом пар.
# '''Додавання''': сума пар <math>\left(a,b\right)</math> і <math>\left(c,d\right)</math> визначається як пара <math>\left(a+c,b+d\right)</math>.
# '''Множення''': добуток пар <math>\left(a,b\right)</math> і <math>\left(c,d\right)</math> визначається як пара <math>\left(ac+bd, ad+bc\right)</math>.

Неважко перевірити, що результати додавання і множення не змінюються, якщо будь-яку пару ми замінимо на рівну їй, тобто нова пара-результат буде рівною попередній (у зазначеному визначенням 1 сенсі рівності). Неважко також переконатися, що описана структура пар задовольняє всьому наведеному переліку аксіом цілих чисел. Додатні числа моделюються парами <math>\left(a,b\right)</math>, яких <math>a>b</math>, нуль зображують пари виду <math>\left(a,a\right)</math>, а пари <math>\left(a,b\right)</math> з <math>a<b</math> відповідають від'ємним числам.

Ця модель дозволяє прояснити, як з аксіом цілих чисел однозначно випливають їх властивості; покажемо це для «правила знаків». Наприклад, помноживши два «від'ємні числа» <math>\left(a,b\right)</math> і <math>\left(c,d\right)</math>, у яких <math>a<b,\ c<d</math>ми за визначенням отримаємо пару <math>\left(ac+bd, ad+bc\right)</math>. Різниця <math>ac+bd - \left(ad+bc\right)</math> дорівнює <math>\left(b-a\right)\left(d-c\right)</math>, це число додатне, тому пара-добуток зображує додатне ціле число, отже, добуток від'ємних чисел додатний. Будь-яке інше правило (скажімо, «добуток від'ємних чисел від'ємний») зробило б теорію цілих чисел суперечливою.

Описана модель доводить, що наведена аксіоматика цілих чисел несуперечлива. Тому що якби у ній була суперечність, то це означало б суперечність і в базовій для даної моделі арифметиці натуральних чисел, яку ми заздалегідь припустили несуперечливою.

== Потужність множини ==
Множина цілих чисел нескінченна. Хоча натуральні числа становлять лише частину множини цілих чисел, цілих чисел стільки ж, скільки натуральних, в тому сенсі, що [[потужність множини]] цілих чисел така ж, як і множини натуральних&nbsp;— обидві вони [[Зліченна множина|зліченні]]<ref>{{книга-ру|автор=[[Вілєнкін Наум Якович|Н. Я. Виленкин]]|заглавие=Рассказы о множествах|ссылка=http://ilib.mccme.ru/pdf/rasomn.pdf|место=М.|издательство=МЦНМО|год=2005|isbn=5-94057-036-4|издание=3-е изд.|страницы=65—66|страниц=150}}</ref>.

== Варіації та узагальнення ==
Деякі алгебраїчні структури за своїми властивостями схожі на кільце цілих чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Серед них:

* [[Гауссові числа|Гауссові цілі числа]]. Це [[Комплексне число|комплексні числа]] <math>a+bi</math>, де <math>a,b</math>&nbsp;— цілі числа. Для гаусових чисел, як і для звичайних цілих, можна визначити поняття [[Подільність|дільників]], [[Просте число|простого числа]] і [[Модульна арифметика|порівняння за модулем]]. Справедливий аналог [[Основна теорема арифметики|основної теореми арифметики]]<ref>{{книга-ру|автор=Окунев Л. Я.|заглавие=Целые комплексные числа|место=М.|год=1941|издательство=Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР|страниц=56}}</ref>.
* [[Ціле число Ейзенштейна|Цілі числа Ейзенштейна]]<ref>{{Cite web|title=Eisenstein Integer|url=http://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html|last=Eric W. Weisstein|accessdate=2017-08-19|archive-date=15 грудня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201215163827/https://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html}}</ref>.

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Див. також ==
{{Вікіцитати1}}
{{Вікіпідручник|Основні числові системи}}
* [[0,(9)]]
* [[Основна теорема арифметики]]
* [[Послідовність цілих чисел]]
* [[Таблиця математичних символів]]

{{Quantity}}

[[Категорія:Цілі числа]]
[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Елементарна математика]]
[[Категорія:Теорія абелевих груп]]