Перегляд вихідного коду сторінки Циклічний підклас

'''Циклічні підкласи''' — підмножини нерозкладного періодичного класу [[ланцюг Маркова|ланцюга Маркова]] такі, що ланцюг проходить їх один за одним по черзі.

==Теорема==

Нехай дано [[ланцюг Маркова]] <math>\{X_n\}_{n \ge 0}</math> з дискретним часом, дискретним простором станів <math>S</math> і матрицею перехідних ймовірностей <math>P</math>. Нехай <math>C \subset S</math> — [[нерозкладний клас]] станів  періодом <math>d</math>. тоді існує [[розбиття множини]] <math>C</math>: <math>C_0,\ldots, C_{d-1} \subset C</math>, тобто
:<math>C_k \cap C_l = \emptyset,\; k \not= l, \quad \bigcup\limits_{k=0}^{d-1} C_k = C</math>
таке, що
:<math>\mathbb{P}(X_{n+1} \in C_{k+1 \!\!\!\!\!\mod d} \mid X_n \in C_{k}) = 1, \quad k = 0,\ldots, d-1, \; n \in \mathbb{N}</math>.

== Зауваження==

Таким чином усередині будь-якого нерозкладного періодичного класу ланцюг Маркова описує шлях: 
:<math>C_k \to C_{k+1} \to \cdots \to C_{d-1} \to C_0 \to \cdots \to C_{k-1} \to C_k \to \cdots</math>,
де <math>k</math> — індекс початкової підмножини.

== Визначення==

Побудовані таким чином підмножини <math>C_k,\; k=1,\ldots, d-1</math> називаються '''циклічними підкласами'''.

==Ланцюг всередині циклічного підкласу ==

Очевидно маємо:
:<math>\mathbb{P}(X_{n+d} \in C_{k} \mid X_n \in C_{k}) = 1, \quad k = 0,\ldots, d-1, \; n \in \mathbb{N}</math>,
тобто через кожні <math>d</math> кроків ланцюг повертається в той же циклічний підклас. Тоді для будь-якого фіксованого <math>k = 0,\ldots,d-1</math> можна побудувати новий ланцюг Маркова <math>\left\{X_n^{(k)}\right\}_{n \ge 0}</math> з множиною станів <math>C_k</math> і матрицею перехідних ймовірностей <math>P^d</math>. Цей ланцюг буде [[Нерозкладний ланцюг Маркова|нерозкладним]] і [[Періодичний стан|аперіодичним]]. Таким чином, вивчення багатьох питань поведінки ланцюга Маркова зводиться до випадку аперіодичного нерозкладного ланцюга.
[[Категорія:Марковські процеси]]