Перегляд вихідного коду сторінки Циклоїда

[[Файл:Cycloid f.gif|thumb|400px|Точка на колі, яке котиться, описує циклоїду]]
'''Циклоїда''' (від {{lang-el|κυκλοειδής}}&nbsp;—  круглий)&nbsp;— плоска [[трансцендентна крива]].
Циклоїда визначається кінематично як [[траєкторія]] фіксованої точки кола радіуса <math>r</math>, що котиться без ковзання по [[пряма|прямій]].

== Рівняння ==

Приймемо горизонтальну вісь координат як пряму, по якій котиться коло радіуса <math>r</math>.
* Циклоїда описується параметричними рівняннями
:<math>x = r\theta - r \sin \theta</math>,
:<math>y = r - r \cos \theta</math>.
* Використавши <math>(r-y)/r = \cos\theta</math> запишемо рівняння в [[декартова система координат|декартовій системі координат]]:
:<math>x=r \arccos \frac {r-y}{r} - \sqrt{2ry-y^2}</math>
* Циклоїда може бути отримана як розв'язок [[диференціальні рівняння|диференціального рівняння]]:
:<math>\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}.</math>
* Також через [[Формула тангенса половинного кута|котангенс половинного кута]]:
:<math>\frac{dy}{dx} = \cot\tfrac{\theta}2.</math>
{{Доведення1|qed=|<math>\begin{align}
\frac{dx}{d\theta} &= r - r \cos\theta = y \\
\frac{dy}{d\theta} &= r \sin\theta = \sqrt{2ry-y^2} \\
\end{align}</math>}}

== Властивості ==

* Циклоїда — [[періодична функція]] по осі абсцис, з періодом <math>2\pi r</math>. За межі періоду зручно прийняти особливі точки ([[точка повернення|точки повернення]]) виду  <math>t=2\pi k</math>, де <math>k</math> — довільне [[Цілі числа|ціле число]].
* Для проведення [[Дотична|дотичної]] до циклоїди в довільній її точці ''A'' достатньо з'єднати цю точку з верхньою точкою кола. З'єднавши ''A'' з нижньою точкою кола, ми отримаємо [[Нормаль (геометрія)|нормаль]].
* Довжина арки циклоїди дорівнює <math>8r</math>. Цю властивість відкрив [[Крістофер Рен]] ([[1658]]).
* Площа під кожною аркою циклоїди втроє більша, ніж площа круга, що її породжує. [[Еванджеліста Торрічеллі]] повідомив, що цей факт [[Галілео Галілей|Галілей]] відкрив експериментально: порівнявши вагу пластинок з колом і з аркою циклоїди<ref>{{книга |автор=Александрова Н. В. |заголовок=История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник,  изд. 3-е |видавництво=ЛКИ |місце=СПб |рік=2008 |сторінки=213 |сторінок=248 |isbn=978-5-382-00839-4 }}</ref>
* Радіус [[кривина (математика)|кривини]] у першої арки циклоїди дорівнює <math>4r \sin\frac{t}{2}</math>.
* ''Перевернена циклоїда'' є кривою найшвидшого спуску (''[[брахістохрона|брахістохроною]]''). Більше того, вона має також властивість ''таутохронності'': пробне тіло, ковзаючи з будь-якої точки циклоїди, досягає горизонталі (найнижчої точки) за однаковий час.
* [[Період коливань]] [[матеріальна точка|матеріальної точки]], що без [[тертя]] ковзає по переверненій циклоїді, не залежить від [[амплітуда|амплітуди]]; цей факт [[Хрістіан Гюйгенс]] застосував для створення точних [[механічний годинник|механічних годинників]].
* [[Еволюта]] циклоїди є циклоїдою, [[Конгруентність (геометрія)|конгруентною]] вихідній, а саме - [[паралельність|паралельно]] зсунутої так, що [[Вершина кривої|вершини]] переходять у «вістря».
* [[Деталі машин]], які здійснюють [[одночасність|одночасно]] [[рівномірний рух|рівномірний]] [[обертання|обертальний]] і [[поступальний рух]], описують циклоїдальні [[крива|криві]] (циклоїда, [[епіциклоїда]], [[гіпоциклоїда]], [[трохоїда]], [[астроїда]]) (порівн. побудову  [[Лемніската Бернуллі|лемніскати Бернуллі]]).

== Історичний нарис ==

Першим із учених звернув увагу на циклоїду [[Микола Кузанський]] в [[XV]] столітті, але серйозне дослідження цієї кривої почалося тільки в [[XVII]]  столітті.
Назву ''циклоїда'' придумав [[Галілео Галілей]] (у Франції цю криву спочатку називали ''[[Рулета|рулеттою]]'').
Змістовне дослідження циклоїди провів сучасник Галілея [[Марен Мерсенн|Мерсенн]].
Серед [[трансцендентна крива|трансцендентних кривих]], тобто кривих, рівняння яких не може бути записане у вигляді [[многочлен]]а від <math>x, y</math>, циклоїда - перша з досліджуваних.

[[Паскаль Блез|Паскаль]] писав про циклоїду:
{{Цитата|Рулетта є  лінія настільки звичайною, що після прямої і кола немає лінії, яка зустрічається частіше; вона окреслюється перед очима кожного, що треба дивуватися тому, як її не розглянули давні… тому що це не що інше, як шлях, що описує у повітрі цвях колеса.}}

Нова крива швидко завоювала популярність і її піддали глибокому аналізу, у якому брали участь [[Рене Декарт|Декарт]], [[П'єр Ферма|Ферма]], [[Ісаак Ньютон|Ньютон]], [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніц]], брати [[Бернуллі]] та інші корифеї науки XVII-XVIII століть.
На циклоїді активно вигострювалися методи, що з'явились в ті роки [[Математичний аналіз|математичного аналізу]].

Той факт, що аналітичне дослідження циклоїди виявилося настільки ж успішним, як і аналіз алгебраїчних кривих, справив велике враження й став важливим аргументом на користь «зрівняння в правах» алгебраїчних і трансцендентних кривих.

== Див. також ==
* [[Рулета]]
* [[Циклоїдальний привід]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* ''Берман Г. Н.'' [http://ilib.mccme.ru/djvu/geometry/cicloida.htm Циклоида.] М., Наука, 1980, 112 с.
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53414/23598.html Циклоїда]}}
* {{MathWorld|urlname=Cycloid}}
* [https://web.archive.org/web/20100219141741/http://physics.nad.ru/curves.html Циклоїдальні криві] (''Анімація'').

{{Криві}}
[[Категорія:Рулети (криві)]]