Перегляд вихідного коду сторінки Центровані багатокутні числа

{{не плутати|Центральні багатокутні числа|центральними багатокутними числами}}
{{не плутати|Багатокутні числа|багатокутними числами}}
'''Центровані багатокутні числа'''&nbsp;— це клас плоских <math>k</math>-кутних [[Фігурні числа|фігурних чисел]] (<math>k \geqslant 3</math>), одержуваних такою геометричною побудовою. Спочатку на площині фіксується певна центральна точка. Потім навколо неї будується правильний <math>k</math>-кутник з <math>k</math> точками вершин, кожна сторона містить дві точки (див. малюнок). Далі зовні будуються нові шари <math>k</math>-кутників, причому кожна їхня сторона на новому шарі містить на одну точку більше, ніж у попередньому шарі, тобто, починаючи з другого шару, кожен наступний шар містить на <math>k</math> більше точок, ніж попередній. Загальне число точок усередині кожного шару і приймається за центроване багатокутне число (точка в центрі вважається початковим шаром){{Sfn|Деза Е., Деза М.|2016|с=39—40}}.

Приклади побудови центрованих багатокутних чисел:
{|
!Трикутні
![[Центроване квадратне число|Квадратні]]
!П'ятикутні
!Шестикутні
|-
|[[Файл:Centered_triangular_number_19.svg|120x120пкс]]
|[[Файл:Centered_square_number_25.svg|120x120пкс]]
|[[Файл:Centered_pentagonal_number_31.svg|120x120пкс]]
|[[Файл:Hex_number_37.svg|136x136пкс]]
|}
З побудови видно, що центровані багатокутні числа виходять як [[Ряд (математика)|часткові суми]] такого ряду: <math>1+k+2k+3k+4k+\dots</math> (наприклад, [[Центроване квадратне число|центровані квадратні числа]], для яких <math>k=4,</math> утворюють послідовність: <math>1, 5, 13, 25, 41\dots</math>) Цей ряд можна записати як <math>1+k(1+2+3+4+\dots).</math>, звідки видно, що в дужках&nbsp;— породжувальний ряд класичних [[Трикутне число|трикутних чисел]]. Отже, кожну послідовність центрованих <math>k</math>-кутних чисел, починаючи з 2-го елементу, можна подати як <math>kT_n+1,</math> де <math>T_n (n=1,2,3\dots)</math>&nbsp;— послідовність трикутних чисел. Наприклад, центровані квадратні числа&nbsp;— це помножені на 4 трикутні числа плюс 1, породжувальний ряд для них має вигляд: <math>1+4+8+12\dots</math>{{Sfn|Деза Е., Деза М.|2016|с=40—41}}

Загальна формула для <math>n</math>-го центрованого {{Nobr|<math>k</math>-кутного}} числа <math>C^{(k)}_n</math>:

: 
{{NumBlk|:|<math>C^{(k)}_n = 1+k\frac{n(n-1)}{2} = \frac{kn^2-kn+2}{2}; \ n=1,2,3\dots</math>}}

== Зведена таблиця ==
{| class="wikitable"
!Число кутів '''k'''
!Тип числа
!Початок послідовності
!Посилання на OEIS
|-
|3
|[[центроване трикутне число|Центровані трикутні числа]]
|1, 4, 10, 19, 31, …
|A005448
|-
|4
|[[Центроване квадратне число|Центровані квадратні числа]]
|1, 5, 13, 25, 41, …
|A001844
|-
|5
|[[Центроване п'ятикутне число|Центровані п'ятикутні числа]]
|1, 6, 16, 31, 51, …
|A005891
|-
|6
|[[Центроване шестикутне число|Центровані шестикутні числа]]
|1, 7, 19, 37, 61, …
|A003215
|-
|7
|[[Центроване семикутне число|Центровані семикутні числа]]
|1, 8, 22, 43, 71, …
|A069099
|-
|8
|[[Центроване восьмикутне число|Центровані восьмикутні числа]]
|1, 9, 25, 49, 81, …
|A016754
|-
|9
|[[Центроване дев'ятикутне число|Центровані дев'ятикутні числа]]
|1, 10, 28, 55, 91, …
|A060544
|-
|10
|[[Центроване десятикутне число|Центровані десятикутні числа]]
|1, 11, 31, 61, 101, …
|A062786
|}
і так далі.

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==

* {{Книга
|автор = Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф.
|ref = За страницами учебника математики
|заголовок = За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия
|ISBN = 5-09-006575-6
|місце = М.
|видавництво = Просвещение
|рік = 1996
|сторінки = 30
|сторінок = 320
}}
* {{Книга
|автор = Глейзер Г. И.
|заголовок = История математики в школе
|посилання = http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm
|видавництво = Просвещение
|місце = М.
|рік = 1964
|сторінок = 376
|назва = 
|archivedate = 4 грудня 2017
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20171204234104/http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm
}}
* {{Книга
|автор = Деза Е., Деза М.
|заголовок = Фигурные числа
|ref = Деза Е., Деза М.
|місце = М.
|видавництво = МЦНМО
|рік = 2016
|сторінок = 349
|ISBN = 978-5-4439-2400-7
}}

== Посилання ==
* {{Mathworld||urlname=CenteredPolygonalNumber|title=Центроване багатокутне число}}
* [http://www.e-osnova.ru/PDF/osnova_3_40_7873.pdf Фігурні числа] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181123132317/http://www.e-osnova.ru/PDF/osnova_3_40_7873.pdf |date=23 листопада 2018 }} {{ref-ru}}
{{Класи натуральних чисел}}
[[Категорія:Фігурні числа]]