Перегляд вихідного коду сторінки Центральна проста алгебра

В [[Теорія кілець|теорії кілець]] '''центральною простою алгеброю''' над [[Поле (алгебра)|полем]] ''K'' називається [[Алгебра над полем|асоціативна алгебра]] ''A'', яка є [[Просте кільце|простою]], і для якої [[Центр (алгебра)|центр]] є рівним ''K''. Особливо важливим є випадок скінченновимірних центральних простих алгебр і скінченна розмірність іноді є частиною означення.

== Приклади ==

* [[Комплексне число|Комплексні числа]] '''C''' є центральною простою алгеброю над собою але не над полем [[Дійсне число|дійсних чисел]] '''R''' (центром '''C''' є усе поле '''C''', а не лише '''R''').
* [[Кватерніон|Кватерніони]] '''H''' утворюють 4-вимірну центральну просту алгебру над '''R'''.
* Для будь-якого [[Просте кільце|простого кільця]] його центр є полем і це кільце є центральною простою алгеброю над своїм [[Центр (алгебра)|центром]].
* Кільце [[Квадратна матриця|квадратних матриць]] ''M''(''n'',''F'') розмірності ''n'' над полем ''F'' є центральною простою алгеброю над полем ''F'' (центром ''M''(''n'',''F'') є множина [[Скалярна матриця|скалярних матриць]], яка є ізоморфною полю ''F''). Більш загально кільце квадратних матриць ''M''(''n'',''D'') над [[Тіло (алгебра)|тілом]] ''D'' є центральною простою алгеброю над центром тіла ''D''.
* Оскільки кожне тіло є (як просте кільце) є центральною простою алгеброю над своїм центром і кільце квадратних матриць над полем є центральною простою алгеброю над цим полем, то кожна [[кватерніонна алгебра]] є центральною простою, оскільки кожна така алгебра є ізоморфною або [[Алгебра з діленням|алгебрі із діленням]] або кільцю квадратних матриць порядку 2 над полем. Навпаки кожна центральна проста алгебра розмірності 4 є ізоморфною кватерніонній алгебрі.

== Класи і група Брауера ==
{{main|Група Брауера}}
Згідно [[Теорема Веддерберна — Артіна|теореми Веддерберна]] скінченновимірна проста алгебра ''A'' є ізоморфною матричній алгебрі ''M''(''n'',''S'') для деякого [[Тіло (алгебра)|тіла]] ''S''. Дві скінченновимірні центральні прості алгебри ''A'' ~ ''M''(''n'',''S'') і ''B'' ~ ''M''(''m'',''T'') над полем ''F'' називаються ''подібними'' (еквівалентними за Брауером), якщо тіла ''S'' і ''T'' є ізоморфними. 

Еквівалентність Брауера можна задати також і в інший спосіб: скінченновимірні центральні прості алгебри ''A'' і ''B'' над полем ''F'' є еквівалентними якщо для деяких [[Натуральні числа|натуральних чисел]] ''n'' і ''m'' алгебра <math>A \otimes_F M(n,F)</math> є ізоморфною алгебрі <math>B \otimes_F M(m,F).</math> 

З означень очевидно, що у кожному класі Брауера міститься рівно одна [[алгебра з діленням]].

На множині класів Брауера можна ввести [[Група (математика)|групову операцію]]. Для цього використовується така властивість центральних простих алгебр: якщо ''А'' — центральна проста алгебра над полем ''F'', а ''В'' — проста алгебра, яка містить ''F'' у своєму центрі, то [[тензорний добуток]] <math>A \otimes_F B</math> є простою алгеброю. Якщо також ''В'' є центральною простою алгеброю, то і <math>A \otimes_F B</math> є центральною простою алгеброю. 

Для класів Брауера ''[A]'' і ''[B]'' тепер можна ввести <math>[A][B] = \left[A \otimes_F B \right ]</math>. Дана операція є коректно визначена і множина красів Брауера із цією операцією утворює [[Група (математика)|групу]]. Одержана група називається групою Брауера Br(''F'') поля ''F''.<ref name="L159">Lorenz (2008) p.159</ref>  Вона є завжди [[Абелева група|комутативною]] і [[Періодична група|періодичною.]].<ref name="L194">Lorenz (2008) p.194</ref>

== Властивості ==

* Якщо ''А'' є центральною простою алгеброю над полем ''F'', то довільний [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] алгебри <math>A \otimes_F B</math> має вид <math>A \otimes_F I,</math> де ''I'' — ідеал алгебри ''B''. Зокрема ''F''-алгебра <math>A \otimes_F B</math> буде простою тоді і тільки тоді, коли простою є ''F''-алгебра ''B''.
* Нехай для скінченновимірної алгебри ''А'' над полем ''F'', алгебра ''А<sup>op</sup> '' побудована на тому самому [[Векторний простір|векторному просторі]] із тією ж адитивною структурою і [[Множення на скаляр|множенням на скаляр]] але із множенням заданим як <math>(ab)_{A^{op}} = (ba)_A.</math> Тоді алгебра ''А'' є центральною простою тоді і тільки тоді, коли <math>A \otimes_F A^{op} \cong M(n,F),</math> де ''n'' — розмірність ''А'' над полем ''F''.
* Кожен [[автоморфізм]] центральної простої алгебри є внутрішнім автоморфізмом (наслідок [[Теорема Сколема — Нетер|теореми Сколема — Нетер]]).
*Якщо ''А'' є скінченновимірною центральною простою алгеброю над полем ''F'' і ''B'' її простою підалгеброю, то [[централізатор]] <math>B' = C_A(B)</math> алгебри ''B'' є теж простою підалгеброю. Окрім того також <math>B = C_A(B')</math> і для розмірностей виконується рівність dim<sub>''F''</sub>&nbsp;''A = dim<sub>F</sub>&nbsp;B dim<sub>F</sub>&nbsp;B'.''
* Розмірність центральної простої алгебри як векторного простору над своїм центром є завжди квадратом: [[квадратний корінь]] із цієї розмірності називається '''степенем'''.<ref name="GS21">Gille & Szamuely (2006) p.21</ref>  Степінь еквівалентної алгебри з діленням називається '''індексом алгебри''' <ref name="L163">Lorenz (2008) p.163</ref> Індекс центральної простої алгебри залежить лише від її класу Брауера.<ref name="GS100">Gille & Szamuely (2006) p.100</ref>
* '''Порядком''' центральної простої алгебри називається порядок її класу у групі Брауера. Порядок алгебри є дільником її індексу,<ref name="Jac60">Jacobson (1996) p.60</ref> і прості дільники в обох числах є однаковими.<ref name="Jac61">Jacobson (1996) p.61</ref><ref name="GS104">Gille & Szamuely (2006) p.104</ref><ref>{{cite book|title=Further Algebra і Applications|last=Cohn|first=Paul M.|year=2003|publisher=[[Springer-Verlag]]|page=208|isbn=1852336676}}</ref>
* Якщо ''D'' є центральною алгеброю з діленням над ''K'' і її індекс має розклад у добуток [[Просте число|простих чисел]]

:: <math>\mathrm{ind}(D) = \prod_{i=1}^r p_i^{m_i} \ </math>
: тоді ''D'' має розклад у [[тензорний добуток]]
:: <math>D = \bigotimes_{i=1}^r D_i \ </math>
: де кожна компонента ''D''<sub>''i''</sub> є центральною алгеброю з діленням індексу <math>p_i^{m_i}</math>, і компоненти є визначені з точністю до ізоморфізму.<ref name="GS105">Gille & Szamuely (2006) p.105</ref>

== Поле розщеплення ==
Поле ''E'' називається ''полем розщеплення'' для центральної простої алгебри ''A'' над ''K'' якщо ''A''⊗''E'' є ізоморфною кільцю матриць над ''E''. Для кожної скінченновимірної центральної простої алгебри існує поле розщеплення. У випадку якщо ''A'' є [[Алгебра з діленням|алгеброю з діленням]], її [[максимальне підполе]] є полем розщеплення. У загальному випадку існує поле розщеплення, яке є [[Сепарабельне розширення|сепарабельним розширення]] поля ''K'' степеня рівного індексу ''A'' і це поле розщеплення є ізоморфним підполю ''A''.<ref name="Jac2728">Jacobson (1996) pp.27-28</ref><ref name="GS101">Gille & Szamuely (2006) p.101</ref>  Наприклад, поле '''C''' розщеплює алгебру [[Кватерніони|кватерніонів]] '''H''' над '''R''':

: <math> t + x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k} \leftrightarrow
\left({\begin{array}{*{20}c} t + x i & y + z i \\ -y + z i & t - x i \end{array}}\right) . </math>

За допомогою поля розщеплення можна ввести поняття '''редукованої норми''' і '''редукованого сліду''' центральної простої алгебри ''A''.<ref name="GS378">Gille & Szamuely (2006) pp.37-38</ref>  Розглянувши вкладення ''A'' у кільце матриць над полем розщеплення, редуковані норма і слід є рівними визначнику і сліду відповідних елементів. Наприклад для алгебри кватерніонів '''H''', при розщепленні вище для елемента ''t'' + ''x'' '''i''' + ''y'' '''j''' + ''z'' '''k''' редукована норма є рівною ''t''<sup>2</sup> + ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup>, а редукований слід 2''t''.

Редукована норма є мультиплікативною, а редукований слід адитивним. Елемент ''a'' ''A'' є [[Оборотний елемент|оборотним]] якщо і тільки якщо його редукована норма є ненульовою і тому центральна проста алгебра є алгеброю з діленням якщо і тільки якщо редукована норма є ненульовою для всіх ненульовим елементів.<ref name="GS38">Gille & Szamuely (2006) p.38</ref>

== Примітки ==
{{reflist}}

== Див. також ==

* [[Алгебра над полем]]
* [[Просте кільце]]

== Література ==

* Ю.&nbsp;А.&nbsp;Дрозд, В.&nbsp;В.&nbsp;Кириченко Конечномерные алгебры, Киев: «Вища школа», 1980, 192с.
* {{cite book|title=Central Simple Algebras and Galois Cohomology|last1=Gille|first1=Philippe|last2=Szamuely|first2=Tamás|year=2006|series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|publisher=[[Cambridge University Press]]|volume=101|location=Cambridge|isbn=0-521-86103-9|mr=2266528}}
* {{cite book|title=Finite-dimensional division algebras over fields|last=Jacobson|first=Nathan|year=1996|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin|isbn=3-540-57029-2|zbl=0874.16002}}
* {{cite book|title=Introduction to Quadratic Forms over Fields|last=Lam|first=Tsit-Yuen|year=2005|series=Graduate Studies in Mathematics|publisher=American Mathematical Society|volume=67|isbn=0-8218-1095-2|mr=2104929|zbl=1068.11023}}
* {{cite book|title=Algebra.  Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics|last=Lorenz|first=Falko|year=2008|publisher=Springer|isbn=978-0-387-72487-4|zbl=1130.12001}}

[[Категорія:Алгебри]]
[[Категорія:Теорія кілець]]