Перегляд вихідного коду сторінки Характеристична функція

[[Файл:Indicator function illustration.png|right|thumb|Тривимірний графік індикаторної функції, який відображає серповидну двовимірну підмножину <math>A</math> двовимірного квадрата — множина <math>X</math>, де точки <math>x\in A</math> мають координату '''''z=1''''' (''колір охри''), а точки <math>x\notin A</math> квадрата мають координату '''''z=0''''' (''червоний' колір').]]

'''Характеристична функція''' (''індикаторна функція'', ''індикатор'') [[підмножина|підмножини]] <math>A \subseteq X</math>&nbsp;— [[Функція (математика)|функція]], визначена на [[множина|множині]] <math> X</math>, яка визначає належність елемента <math> x \in X</math> підмножині <math>A</math>.

== Означення ==
Нехай <math>A\subseteq X</math>&nbsp;— деяка підмножина довільної множини <math>X</math>. Функцію <math>\mathbf{1}_A:X\to\{0,1\}</math>, означену таким чином:

: <math>\mathbf{1}_A(x) = 
\left\{\begin{matrix} 
1, &x \in A, \\
0, &x \notin A,
\end{matrix}\right.
</math>

називають характеристичною функцією або індикатором множини <math>A</math>.

Альтернативними позначеннями індикатора множини <math>A</math> є: <math>\chi_A\,</math> або <math>\mathbf{I}_A</math>, а іноді навіть <math>\ A(x)</math>. [[Дужка Айверсона|Нотація Айверсона]] дозволяє позначення <math>[x \in A]</math>.

([[Грецький алфавіт|Грецька літера]] <math>\ \chi</math> походить від початкової букви грецького написання слова ''характеристика''.)

'''Замітка'''. Позначення <math>\mathbf{1}_A</math> може означати [[тотожна функція|тотожну функцію]].

== Основні властивості ==

[[Відображення]], яке пов'язує підмножину <math>A \subseteq X</math> з її індикатором <math>\mathbf{1}_A</math>, є
[[Ін'єкція (математика)|ін'єкцією]]. Якщо <math>A</math> і <math>B</math>&nbsp;— дві підмножини <math>X \ </math>, то

: <math>\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B,</math>
: <math>\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B,</math>
: <math>\mathbf{1}_{A\triangle B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - 2(\mathbf{1}_{A\cap B}),</math>
: <math>\mathbf{1}_{A^c} = 1-\mathbf{1}_A. </math>

Загальніше, нехай <math>A_1,\ldots, A_n</math>&nbsp;— множина підмножин <math>X</math>. Тоді для довільного
<math>x \in X</math>

: <math> \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))</math>&nbsp;— добуток нулів та одиниць. Цей добуток набуває значення 1 для тих <math>x \in X</math>, які не належать жодній множині <math>A_k</math>, і 0 в іншому разі. Тому
: <math> \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.</math>

Розкладаючи ліву частину, отримуємо

: <math> \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k}, </math>

де <math>|F|</math>&nbsp;— [[потужність множини|потужність]] <math>F</math>. Це&nbsp;— одна з форм запису [[Формула включень-виключень|принципу включення-виключення]]. Отже, індикатор&nbsp;— корисне позначення в [[комбінаторика|комбінаториці]], яке використовують також і в інших областях, наприклад в [[теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]]: якщо <math>X</math>&nbsp;— [[ймовірнісний простір]] з ймовірнісною мірою <math>\mathbf{P}</math>, а <math>A</math>&nbsp;— [[вимірна множина]], то індикатор <math>\mathbf{1}_A</math> стає [[випадкова величина|випадковою величиною]], чиє [[математичне очікування]] дорівнює ймовірності <math>A:</math>

: <math>E(\mathbf{1}_A)= \int\limits_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\mathbf{P} = \int\limits_{A} d\mathbf{P} = \mathbf{P}(A).\quad </math>

[[Дисперсія випадкової величини|Дисперсія]] та [[коваріація]] для цієї випадкової змінної визначаються за формулами:

: <math>\operatorname{Var}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A)(1 - \operatorname{P}(A)) </math>

: <math> \operatorname{Cov}(\mathbf{1}_A (\omega), \mathbf{1}_B (\omega)) = \operatorname{P}(A \cap B) - \operatorname{P}(A)\operatorname{P}(B) </math>

== Зауваження щодо позначення та термінології ==
Позначення <math>A</math> також використовують для позначення <math>\mathbf{X}_A</math>, {{нп|Характеристична функція (опуклий аналіз)|характеристичної функції||Characteristic function (convex analysis)}} в [[Опуклий аналіз|опуклому аналізі]], яку означують як [[Обернене число|обернене]] до стандартного означення характеристичної функції.

Термін «[[Характеристична функція випадкової величини|характеристична функція]]» має незалежне значення в [[Теорія ймовірностей|класичній теорії ймовірностей]]. З цієї причини {{нп|Список математичних імовірнісників|традиційні ймовірнісники||List of mathematical probabilists}} використовують термін '''індикаторна функція''' майже ексклюзивно, тоді як математики в інших областях для опису функції, що вказує на приналежність до множини, використовують скоріше термін ''характеристична функція''.''

У [[Нечітка логіка|нечіткій логіці]] та [[Багатозначна логіка|сучасній багатозначній логіці]] предикати є [[Характеристична функція випадкової величини|характеристичними функціями]] [[Розподіл ймовірностей|розподілу ймовірності]]. Тобто, строгу істинну/хибну оцінку предикату замінюють величиною, що інтерпретують як степінь істинності.

== Середнє значення, дисперсія та коваріація ==
Для заданого [[Ймовірнісний простір|ймовірнісного простору]] <math>\textstyle (\Omega, \mathcal F, \operatorname{P})</math>, та <math>A \in \mathcal F</math>, індикаторну випадкову змінну <math>\mathbf{1}_A \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> означують як <math>\mathbf{1}_A (\omega) = 1 </math>, якщо <math> \omega \in A,</math>, інакше <math>\mathbf{1}_A (\omega) = 0.</math>

;[[Середнє значення]]: <math>\operatorname{E}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A) </math>.

;[[Дисперсія випадкової величини|Дисперсія]]: <math>\operatorname{Var}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A)(1 - \operatorname{P}(A)) </math>.

;[[Коваріація]]: <math> \operatorname{Cov}(\mathbf{1}_A (\omega), \mathbf{1}_B (\omega)) = \operatorname{P}(A \cap B) - \operatorname{P}(A)\operatorname{P}(B) </math>.

== Характеристична функція в теорії рекурсії, ''представляльна функція'' Геделя та Кліні ==
[[Курт Гедель]] описав ''представляльну функцію''<ref>{{e2u|representing|2}}</ref><ref>{{e2u|representing|4}}</ref><ref>{{e2u|представляльний|5}}</ref> ({{lang-en|representing function}}) у своїй праці 1934 року «Про нерозв'язні твердження формальних математичних систем» (цю працю опубліковано на стор. 41-74 книжки «Нерозв'язне», «The Undecidable», під редагуванням [[Мартін Девіс|Мартіна Девіса]]):

: «Кожному класові чи відношенню <math>R</math> повинна відповідати представляльна функція <math>\varphi(x_{1},\dots,x_{n})=0</math> , якщо <math>R(x_{1},\dots,x_{n})</math> та <math>\varphi(x_{1},\dots,x_{n})=1</math>, якщо <math>\sim R(x_{1},\dots,x_{n})</math>.» (стор.&nbsp;42; «~» позначує логічне обернення, тобто «НЕ»).

[[Стівен Коул Кліні|Стівен Кліні]] (1952) (стор.&nbsp;227) запропонував таке саме означення в контексті [[Примітивно-рекурсивна функція|примітивно-рекурсивних функцій]] як функції <math>\varphi</math> від предикату <math>R</math>, що набуває значення <math>0</math>, якщо предикат є істинним, та <math>1</math>, якщо предикат є хибним.

Наприклад, оскільки добуток характеристичних функцій <math>\varphi_{1} \varphi_{2} \cdots \varphi_{n}=0</math>, якщо будь-яка з ціх функцій дорівнює <math>0</math>, то вона відіграє роль логічного АБО: ЯКЩО <math>\varphi_{1}=0</math> АБО <math>\varphi_{2}=0</math> АБО . . . АБО <math>\varphi_{n}=0</math> ТОДІ їх добуток дорівнює <math>0</math>. Те, що видається сучасному читачеві як логічне обернення представляльної функції, тобто, що представляльна функція дорівнює <math>0</math>, коли функція <math>R</math> є «істинною» чи «вдоволеною», відіграє корисну роль в означенні Кліні логічних функцій «OR», «AND», та «IMPLY» (стор.&nbsp;228), обмежених (стор.&nbsp;228) та необмежених (стор.&nbsp;279 і далі) [[μ-оператор]]ів (Кліні, 1952), та функції «CASE» (стор.&nbsp;229).

== Характеристична функція в теорії нечітких множин ==
В класичній математиці характеристичні функції множин набувають лише значень 1 (елемент) та 0 (не елемент). В [[Теорія нечітких множин|теорії нечітких множин]] характеристичні функції узагальнюють до набування значень з дійсного одиничного проміжку [0, 1], або, загальніше, з деякої [[Універсальна алгебра|алгебри]] або {{нп|Структура (математична логіка)|структури||Structure (mathematical logic)}} (яка зазвичай повинна бути щонайменше [[Частково впорядкована множина|частково впорядкованою множиною]] або [[Ґратка (порядок)|ґраткою]]). Такі узагальнені характеристичні функції частіше називають [[Функція належності|функціями належності]], а відповідні «множини» називаються ''нечіткими'' множинами. Нечіткі множини моделюють поступову зміну {{нп|Ступінь істинності|ступеня істинності||Degree of truth}}, що спостерігається у багатьох [[предикат]]ів реального світу, таких як «високий», «теплий» тощо.

== Примітки ==
{{Примітки}}

== Див. також ==
* [[Характеристична функція випадкової величини]]
* [[Характеристична функція (теорія ігор)]]
* [[Вільні і зв'язані змінні]]
* [[Функція належності]]
* [[Проста функція]]
* {{нп|Міра Дірака|||Dirac measure}}
* [[Лапласіан індикатора]]
* [[Дельта-функція Дірака]]
* [[Розширення логіки предикатів]]
* [[Функція Гевісайда]]
* [[Дужка Айверсона]]
* [[Символ Кронекера]], функція, яку можна розглядати як індикатор для [[відношення рівності]]
* {{нп|Дужки Маколея|||Macaulay brackets}}
* [[Мультимножина]]
* {{нп|Фіктивна змінна (статистика)|||Dummy variable (statistics)}}
* [[Задача класифікації]]
* [[Функція втрат 0-1]]

== Джерела ==
* {{Cite book |last=Folland |first=G.B. |title=Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications |url=https://archive.org/details/realanalysismode0000foll_q2y3 |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |year=1999 |isbn=978-0-471-31716-6 |edition=Second}} {{ref-en}}
* {{CLRS|chapter=Section 5.2: Indicator random variables}}
* {{Cite book |title=The Undecidable |url=https://archive.org/details/undecidablebasic0000mart |publisher=Raven Press Books, Ltd. |year=1965 |editor-last=Davis |editor-first=Martin |editor-link=Мартін Девіс |location=New York}} {{ref-en}}
* {{Cite book |last=Kleene |first=Stephen |title=Introduction to Metamathematics |publisher=Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company |year=1971 |location=Netherlands |type=Sixth Reprint with corrections |author-link=Стівен Коул Кліні |origyear=1952}} {{ref-en}}

{{Перекласти|en|дата=квітень 2020}}

[[Категорія:Типи функцій]]
[[Категорія:Теорія множин]]
[[Категорія:Теорія міри]]
[[Категорія:Теорія ймовірностей]]
[[Категорія:Математична логіка]]
[[Категорія:Основні поняття теорії множин]]