Перегляд вихідного коду сторінки Фільтр Калмана

[[Файл:Basic concept of Kalman filtering.svg|lang=uk|thumb|400px|Фільтр Калмана відстежує оцінюваний стан системи та дисперсію або невизначеність оцінки. Оцінка оновлюється з використанням моделі переходу, та вимірювань. <math>\hat{x}_{k\mid k-1}</math> позначає оцінку стану системи у момент часу ''k'' до того, як ''k''-те вимірювання ''y''<sub>''k''</sub> було взято до уваги; <math>P_{k\mid k-1}</math> є відповідною невизначеністю.]]

'''Фільтр Калмана''' ({{lang-en|Kalman filter}}), відомий також як '''лінійно-квадратичне оцінювання''' ({{lang-en|linear quadratic estimation, LQE}}),&nbsp;— це [[алгоритм]], що використовує послідовності вимірювань протягом часу, які містять [[Статистичний шум|шум]] (випадкові відхилення) та інші неточності, й видає оцінки невідомих змінних, що є потенційно точнішими за базовані на самих лише вимірюваннях. Формальніше, фільтр Калмана працює [[Рекурсія|рекурсивно]] на потоках зашумлених вхідних даних, і видає статистично оптимальну [[Теорія оцінювання|оцінку]] базового [[Простір станів (теорія керування)|стану системи]]. Фільтр названо на честь [[Рудольф Калман|Рудольфа Калмана]], одного з головних розробників його теорії.

Фільтр Калмана має численні [[Фільтр Калмана#Застосування|застосування]] у технології. Поширеним є застосування для [[Наведення, навігація та керування|наведення, навігації та керування]] транспортними засобами, особливо літаками та космічними апаратами. Крім того, фільтр Калмана є широко застосовуваною концепцією в аналізі [[Часовий ряд|часових рядів]], що використовується у таких галузях як [[обробка сигналів]] та [[економетрія]]. Фільтри Калмана також є однією з головних тем у [[Планування руху|плануванні]] та [[Теорія оптимального управління|керуванні]] роботизованим рухом, й іноді включаються до {{Не перекладено|Оптимізація траєкторії|оптимізації траєкторії||Trajectory optimization}}.

Цей алгоритм працює як двокроковий процес. На кроці передбачення фільтр Калмана видає оцінки змінних поточного стану, разом із їхніми [[Невизначеність вимірювання|невизначеностями]]. Щойно отримано спостереження виходу наступного вимірювання (неодмінно якоюсь мірою спотворене відхиленням, включно з випадковим шумом), ці оцінки уточнюються з використанням [[Середнє зважене|середнього зваженого]], в якому більше ваги надається оцінкам з вищою визначеністю. Через рекурсивну природу алгоритму він може працювати в [[Система керування реального часу|реальному часі]], використовуючи лише наявні вхідні вимірювання, попередньо обчислений стан та його матрицю невизначеності; ніякої додаткової інформації не потрібно.

Поширеним є хибне уявлення, що фільтр Калмана передбачає, що всі вектори помилок та вимірювання мають [[нормальний розподіл]]. Оригінальна робота Калмана виводила цей фільтр з використанням теорії прямокутної проєкції, щоби показати, що коваріація мінімізується, і цей результат не вимагає жодного припущення, наприклад, що [[Похибки та залишки|похибки]] мають нормальний розподіл.<ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Kalman
 | ім'я                = R.E.
 | посилання_на_автора = Рудольф Калман
 | співавтори          = 
 | рік                 = 1960
 | місяць              = 
 | назва               = A new approach to linear filtering and prediction problems
 | журнал              = Journal of Basic Engineering
 | том                 = 82
 | місце               = 
 | видавництво         = 
 | випуск              = 1
 | сторінки            = 35–45
 | doi                 = 10.1115/1.3662552
 | id                  = 
 | url                 = 
 | формат              = 
 | дата_отримання      = 
 | цитати              = 
}} {{ref-en}}

</ref> Він потім показав, що цей фільтр видає точну оцінку умовної ймовірності в особливому випадку, коли похибки мають нормальний розподіл.

Також було розроблено розширення та узагальнення цього методу, такі як [[розширений фільтр Калмана]] ({{lang-en|Extended Kalman filter, EKF}}) та [[беззапаховий фільтр Калмана]] ({{lang-en|Unscented Kalman filter, UKF}}), що працюють на нелінійних системах. Базовою моделлю є [[Баєсова мережа|баєсова модель]], подібна до [[Прихована марковська модель|прихованої марковської моделі]], але в якій [[Простір станів (теорія керування)|простір станів]] [[Латентна змінна|латентних змінних]] є безперервним, і де всі латентні та спостережувані змінні мають нормальні розподіли.

== Найменування та історичний розвиток ==
[[Файл:Rudolf Kalman.jpg|thumbnail|[[Рудольф Калман]], співвинахідник та розробник фільтру Калмана.]]

Фільтр названо на честь угорського емігранта [[Рудольф Калман|Рудольфа Калмана]], хоча {{Не перекладено|Торвальд Тіле|||Thorvald N. Thiele}}<ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Lauritzen
 | ім'я                = Steffen L.
 | посилання_на_автора = :en:Steffen Lauritzen
 | рік                 = 1981
 | назва               = Time series analysis in 1880. A discussion of contributions made by T.N. Thiele
 | журнал              = International Statistical Review
 | том                 = 49
 | сторінки            = 319–333
}} {{ref-en}}

</ref><ref>

{{cite book
| прізвище                = Lauritzen
| ім'я                    = Steffen L.
| автор-посилання         = :en:Steffen Lauritzen
| назва                   = Thiele: Pioneer in Statistics
| url                     = http://www.oup.com/uk/catalogue/?ci=9780198509721
| рік                     = 2002
| видавець                = Oxford University Press
| isbn                    = 0-19-850972-3
}} {{ref-en}}

</ref> та {{Не перекладено|Пітер Сверлінг|||Peter Swerling}} розробили подібний алгоритм раніше. Річард Бюсі ({{lang-en|Richard S. Bucy}}) з [[Університет Південної Каліфорнії|Університету Південної Каліфорнії]] також зробив внесок до цієї теорії, тому її часто називають фільтром Калмана-Бюсі.
{{Не перекладено|Стенлі Ф. Шмідт|Стенлі Шмідт||Stanley F. Schmidt}} вважається розробником першої реалізації фільтра Калмана. Під час свого візиту до [[Дослідницький центр Еймса|Дослідницького центру Еймса НАСА]] Калман побачив застосовність своїх ідей до задачі оцінювання траєкторії для [[Космічна програма «Аполлон»|програми «Аполлон»]], що призвело до їхнього включення до навігаційного комп'ютера Аполлону.
Цей фільтр Калмана було вперше описано та частково розроблено в технічних працях Сверлінга (1958), Калмана (1960) та Калмана і Бюсі (1961).

Фільтри Калмана були життєво важливими в реалізації [[Навігаційна система|навігаційних систем]] [[Атомний підводний човен|атомних]] [[Атомний підводний човен з балістичними ракетами|підводних човнів з балістичними ракетами]] [[ВМС США]] та в системах наведення і навігації [[Крилата ракета|крилатих ракет]], таких як [[Томагавк (ракета)|ракета Томагавк]] ВМС США та [[AGM-86|крилаті ракети класу «повітря-земля»]] [[ВПС США]]. Він також використовується в системах наведення і навігації [[Космічний човник|космічних човників]] [[НАСА]] та системах [[Система орієнтації космічного приладу|керування орієнтацією]] та навігації [[Міжнародна космічна станція|Міжнародної космічної станції]].

Цей цифровий фільтр іноді називають ''фільтром Стратоновича-Калмана-Бюсі'', оскільки він є окремим випадком загальнішого нелінійного фільтру, розробленого дещо раніше радянським [[математик]]ом [[Стратонович Руслан Леонтійович|Русланом Стратоновичем]].<ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Стратонович
 | ім'я                = Р. Л.
 | посилання_на_автора = Руслан Стратонович
 | рік                 = 1959
 | назва               = Оптимальные нелинейные системы, осуществляющие выделение сигнала с постоянными параметрами из шума
 | журнал              = Радиофизика
 | том                 = 2
 | видавництво         = Изв. ВУЗов
 | випуск              = 6
 | сторінки            = 892–901
}} {{ref-ru}}

</ref><ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Стратонович
 | ім'я                = Р. Л.
 | посилання_на_автора = Руслан Стратонович
 | рік                 = 1959
 | назва               = К теории оптимальной нелинейной фильтрации случайных функций
 | журнал              = Теория вероятности и ее применения
 | том                 = IV
 | випуск              = 2
 | сторінки            = 239-241
}} {{ref-ru}}

</ref><ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Стратонович
 | ім'я                = Р. Л.
 | посилання_на_автора = Руслан Стратонович
 | рік                 = 1960
 | назва               = Применение теории процессов Маркова для оптимальной фильтрации сигналов
 | журнал              = Радиотехника и электроника
 | том                 = V
 | випуск              = 11
 | сторінки            = 1751-1763
}} {{ref-ru}}

</ref><ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Стратонович
 | ім'я                = Р. Л.
 | посилання_на_автора = Руслан Стратонович
 | рік                 = 1960
 | назва               = Условные процессы Маркова
 | журнал              = Теория вероятности и ее применения
 | том                 = V
 | випуск              = 2
 | сторінки            = 172-195
}} {{ref-ru}}

</ref> Фактично, деякі з рівнянь окремих випадків лінійних фільтрів з'явилися у цих працях Стратоновича, що було опубліковано до літа 1960 року, коли Калман зустрівся зі Стратоновичем під час конференції в Москві.

== Огляд обчислення ==

Фільтр Калмана використовує модель динаміки системи (наприклад, фізичні закони руху), відомі впливи керування на цю систему, та багатократні послідовні вимірювання (наприклад, від давачів) для формування оцінки змінних величин системи (її [[Простір станів (теорія керування)|стану]]), що є кращою за оцінку, отриману з використанням самих лише вимірювань. По суті, він є загальним алгоритмом [[злиття давачів]] та [[злиття даних]].

Всі вимірювання, та обчислення на базі моделей є до певної міри оцінками. Зашумлені дані давачів, наближення в рівняннях, що описують, як система змінюється, та не враховувані зовнішні фактори вводять деяку невизначеність стосовно виведених значень стану системи. Фільтр Калмана усереднює передбачення стану системи з новим вимірюванням за допомогою [[Середнє зважене|середнього зваженого]]. Призначенням вагових коефіцієнтів є те, що значенням з кращою (тобто, меншою) оціненою невизначеністю «довіряється» більше. Вагові коефіцієнти обчислюються з [[Коваріація|коваріації]], міри оціненої невизначеності передбачення стану системи. Результатом середнього зваженого є оцінка нового стану, що лежить між передбаченим та виміряним станами, і має кращу оцінену невизначеність, ніж кожен з них окремо. Цей процес повторюється на кожному такті, і нова оцінка та її коваріація інформують передбачення, що використовується на наступній ітерації. Це означає, що фільтр Калмана працює [[Рекурсивний фільтр|рекурсивно]], і вимагає для обчислення нового стану лише крайнього «найкращого припущення» про стан системи, а не всієї його історії.

Оскільки визначеність вимірювань часто складно виміряти точно, є звичним розглядати поведінку фільтру в термінах '''[[Передавальний коефіцієнт|передавального коефіцієнту]]''' ({{lang-en|gain}}, {{lang-ru|коэффициент усиления}}). Передавальний коефіцієнт Калмана є функцією відносної визначеності вимірювань та оцінки поточного стану системи, і може «налаштовуватися» для досягнення певної продуктивності. При високому передавальному коефіцієнті фільтр віддає більше ваги вимірюванням, і, отже, точніше слідує ним. При низькому передавальному коефіцієнті фільтр щільніше слідує передбаченням моделі, згладжуючи шум, але знижуючи швидкість реагування. У граничних випадках, одиничний передавальний коефіцієнт призводить до повного ігнорування фільтром оцінки стану, тоді як нульовий передавальний коефіцієнт призводить до ігнорування вимірювань.

При виконанні фактичних розрахунків для фільтру (див. нижче) оцінка стану та коваріації для обробки декількох вимірів, залучених в одному наборі розрахунків, кодуються у [[Матриця (математика)|матриці]]. Це дозволяє представляти лінійні взаємозв'язки між різними [[Змінна стану|змінними стану]] (такими як положення, швидкість та прискорення) у будь-яких моделях переходу чи коваріаціях.

== Приклад застосування ==
Як приклад застосування, розгляньмо задачу визначення точного положення вантажівки. Вантажівку може бути обладнано пристроєм [[GPS]], що надає оцінку положення в межах кількох метрів. Оцінка GPS, ймовірно, буде зашумленою; зчитування швидко «стрибають довкола», проте завжди залишаючись в межах кількох метрів від дійсного положення. Крім того, оскільки вантажівка, як очікується, слідує законам фізики, її положення також може бути оцінене шляхом інтегрування її швидкості за часом, визначеної відстежуванням обертів коліс та кута повороту керма. Цей прийом відомий як [[Числення координат|зчислення]]. Як правило, зчислення надаватиме дуже плавну оцінку положення вантажівки, але вона {{Не перекладено|Дрейф (телекомунікації)|дрейфуватиме||Drift (telecommunication)}} з часом у процесі накопичення маленьких помилок.

У цьому прикладі фільтр Калмана можна розглядати як такий, що працює у дві окремі фази: передбачення та уточнення. У фазі передбачення старе положення вантажівки модифікуватиметься відповідно до фізичних [[Закони Ньютона|законів руху]] (динамічна модель, або модель «переходу стану»), плюс будь-які зміни, створені педаллю газу та кермом. Обчислюватиметься не лише оцінка нового положення, але й нова коваріація. Можливо, коваріація пропорційна швидкості вантажівки, оскільки ми менш впевнені у точності оцінки положення зчисленням на високих швидкостях, але дуже впевнені в такій оцінці положення при повільному русі. Далі, у фазі уточнення з пристрою GPS отримується вимірювання положення вантажівки. Разом з цим вимірюванням надходить певна невизначеність, і її коваріація по відношенню до невизначеності <!-- Все ж таки, коваріація чого? І по відношенню до чого, до невизначеності? --> передбачення з попередньої фази визначає, наскільки нове вимірювання вплине на оновлене положення. В ідеалі, якщо оцінки зчислення, як правило, дрейфують від дійсного стану, то вимірювання GPS повинні притягувати оцінку положення назад до дійсного положення, але не збурювати її до такої міри, що вона стане швидко змінюваною та зашумленою.

== Технічний опис та контекст ==
Фільтр Калмана є ефективним [[Рекурсивний фільтр|рекурсивним фільтром]], що [[Статистична оцінка|оцінює]] внутрішній стан [[Лінійна динамічна система|лінійної динамічної системи]] з послідовності [[шум|зашумлених]] вимірювань. Він використовується у широкому спектрі [[Інженерія|інженерних]] та [[Економетрія|економічних]] застосувань, від [[радар]]ів та [[Комп'ютерний зір|комп'ютерного зору]] до оцінювання структурних макроекономічних моделей,<ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Strid
 | ім'я                = Ingvar
 | співавтори          = Walentin Karl
 | рік                 = 2009
 | місяць              = квітень
 | назва               = Block Kalman Filtering for Large-Scale DSGE Models
 | журнал              = Computational Economics
 | видавництво         = Springer
 | том                 = 33
 | сторінки            = 277–304
 | url                 = http://www.riksbank.se/en/Press-and-published/Published-from-the-Riksbank/Other-reports/Working-Paper-Series/2008/No-224-Block-Kalman-filtering-for-large-scale-DSGE-models/
 | випуск              = 3
 | doi                 = 10.1007/s10614-008-9160-4
}} {{ref-en}}

</ref><ref>{{Cite web
 |author=Martin Møller Andreasen
 |year=2008
 |title=Non-linear DSGE Models, The Central Difference Kalman Filter, and The Mean Shifted Particle Filter
 |url=ftp://ftp.econ.au.dk/creates/rp/08/rp08_33.pdf
 |format=PDF
 |postscript=<!--None-->
 |url-status=dead
 }} {{ref-en}}</ref> і є важливою темою в [[Теорія керування|теорії керування]] та в проектуванні [[Система керування|систем керування]]. Поряд з {{Не перекладено|Лінійно-квадратичний регулятор|лінійно-квадратичним регулятором||Linear–quadratic regulator}} ({{lang-en|LQR}}), фільтр Калмана розв'язує задачу {{Не перекладено|Лінійно-квадратичне ґаусове керування|лінійно-квадратичного ґаусового керування||Linear–quadratic–Gaussian control}} ({{lang-en|LQG}}). Фільтр Калмана, лінійно-квадратичний регулятор та лінійно-квадратичний ґаусів контролер є рішеннями чи не найфундаментальніших задач теорії керування.

У більшості застосувань внутрішній стан є набагато більшим (має більше [[Ступені вільності|ступенів вільності]]) за нечисленні «спостережувані» параметри, що вимірюються. Однак, комбінуючи послідовності вимірювань, фільтр Калмана може оцінювати весь внутрішній стан.

У {{Не перекладено|Теорія Демпстера — Шафера|теорії Демпстера — Шафера||Dempster–Shafer theory}} кожне рівняння стану або спостереження розглядається як особливий випадок {{Не перекладено|Лінійна функція довіри|лінійної функції довіри||Linear belief function}}, і фільтр Калмана є особливим випадком поєднання лінійних функцій довіри на [[Деревна декомпозиція|дереві з'єднань]], або [[Ланцюги Маркова|дереві Маркова]]. Додаткові підходи включають [[Фільтр переконань|фільтри переконань]], що використовують [[Теорема Баєса|Баєсове]] або доказове уточнення рівнянь стану.

Наразі розроблено найрізноманітніші фільтри Калмана, починаючи від первісного формулювання Калмана, що тепер називається «простим» фільтром Калмана, фільтру Калмана-Бюсі, «розширеного» фільтру Шмідта, [[Фільтр Калмана#Інформаційний фільтр|інформаційного фільтру]], та низки «квадратно-кореневих» фільтрів, розроблених Бірманом, Торнтон та багатьма іншими. Чи не найширше застосовуваним типом дуже простого фільтру Калмана є [[ФАПЧ|фазове автопідстроювання частоти]], що наразі є повсюдним у радіоприймачах, особливо у радіоприймачах із [[Частотна модуляція|частотною модуляцією]] ([[FM радіо|FM]]), телевізорах, приймачах [[Супутниковий зв'язок|супутникового зв'язку]], системах зв'язку у відкритому космосі, та майже в будь-якому іншому [[Електроніка|електронному]] обладнанні зв'язку.

== Базова модель динамічної системи ==
{{Розширити розділ|дата=лютий 2014}}

Фільтри Калмана базуються на [[Дискретизація|дискретизованих]] за часом [[Лінійна динамічна система|лінійних динамічних системах]]. Вони моделюються [[Ланцюги Маркова|ланцюгами Маркова]], побудованими на [[Лінійне відображення|лінійних операторах]], що збурюються похибками, що можуть включати [[Нормальний розподіл|ґаусів]] [[Завади|шум]]. [[Простір станів (теорія керування)|Стан]] системи представляється [[вектор]]ом [[Дійсні числа|дійсних чисел]]. На кожному [[Такт (техніка)|такті]] {{Не перекладено|Дискретний час|дискретного часу||Discrete time}} до стану застосовується лінійний оператор для продукування нового стану, з домішуванням якогось шуму, і, опціонально, якоїсь інформації від засобів керування системою, якщо вони відомі. Відтак інший лінійний оператор, змішаний з іще додатковим шумом, застосовується до справжнього («прихованого») стану для продукування спостережуваних виходів. Фільтр Калмана можна розглядати як аналог [[Прихована марковська модель|прихованої марковської моделі]], з тією ключовою відмінністю, що змінні прихованого стану приймають значення у безперервному просторі (на відміну від дискретного простору стану, як у прихованій марковській моделі). Між рівняннями фільтру Калмана та прихованої марковської моделі існує сильна [[дуальність]]. Огляд цієї та інших моделей наводять Ровейс та {{Не перекладено|Зубін Ґарамані|Ґарамані||Zoubin Ghahramani}} (1999),<ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Roweis
 | ім'я                = S.
 | посилання_на_автора = 
 | співавтори          = Ghahramani Z.
 | рік                 = 1999
 | місяць              = February
 | назва               = A unifying review of linear Gaussian models
 | журнал              = Neural Comput.
 | том                 = 11
 | місце               = 
 | видавництво         = 
 | випуск              = 2
 | сторінки            = 305–345
 | doi                 = 
 | id                  = 
 | url                 = http://www.mitpressjournals.org/doi/abs/10.1162/089976699300016674
 | формат              = 
 | дата_отримання      = 
 | цитати              = 
}} {{ref-en}}

</ref> та {{Не перекладено|Джеймс Гамільтон|Гамільтон||James D. Hamilton}} (1994), глава 13.<ref name='hamilton'>

{{cite book
 | прізвище                = Hamilton
 | ім'я                    = J.
 | назва                   = Time Series Analysis
 | url                = https://archive.org/details/timeseriesanalys0000hami
 | рік                     = 1994
 | видавець                = Princeton University Press
 | розділ                  = Chapter 13, 'The Kalman Filter'
}} {{ref-en}}

</ref>

Для того, щоби використовувати фільтр Калмана для оцінювання внутрішнього стану процесу, маючи лише послідовність зашумлених спостережень, необхідно змоделювати процес відповідно до моделі фільтру Калмана. Це означає задання наступних матриць: '''F'''<sub>''k''</sub>, моделі переходу станів; '''H'''<sub>''k''</sub>, моделі спостереження; '''Q'''<sub>''k''</sub>, коваріації шуму процесу; '''R'''<sub>''k''</sub>, коваріації шуму спостереження; та іноді '''B'''<sub>''k''</sub>, моделі керування, для кожного моменту часу, ''k'', як описано нижче.

[[Файл:Kalman filter model 2.svg|lang=uk|right|thumb|631px|Базова модель фільтру Калмана. Квадрати представляють [[Матриця (математика)|матриці]]. Еліпси представляють [[Багатовимірний нормальний розподіл|багатовимірні нормальні розподіли]] (із включеними середніми значеннями та матрицями [[Коваріація|коваріацій]]). Не обведені значення є [[Векторний простір|векторами]]. У цьому простому випадку різні матриці є незмінними в часі, й тому індекси пропущено, але фільтр Калмана дозволяє будь-якій з них змінюватися на кожному такті.]]

Модель фільтру Калмана припускає, що справжній стан у момент часу ''k'' виводиться зі стану в (''k''&nbsp;−&nbsp;1) відповідно до

: <math> \mathbf{x}_{k} = \mathbf{F}_{k} \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{B}_{k} \mathbf{u}_{k} + \mathbf{w}_{k} </math>

де
* '''F'''<sub>''k''</sub> є моделлю переходу стану, що застосовується до попереднього стану '''x'''<sub>''k''−1</sub>;
* '''B'''<sub>''k''</sub> є моделлю впливів керування, що застосовується до вектора керування '''u'''<sub>''k''</sub>;
* '''w'''<sub>''k''</sub> є шумом процесу, що, як вважається, має [[багатовимірний нормальний розподіл]] з нульовим середнім значенням і з [[Коваріаційна матриця|коваріацією]] <!-- можливо, варто покращити переклад --> '''Q'''<sub>''k''</sub>.

: <math>\mathbf{w}_k \sim N(0, \mathbf{Q}_k) </math>

У момент часу ''k'' спостереження (або вимірювання) '''z'''<sub>''k''</sub> справжнього стану '''x'''<sub>''k''</sub> робиться відповідно до

: <math>\mathbf{z}_k = \mathbf{H}_{k} \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k</math>

де '''H'''<sub>''k''</sub> є моделлю спостереження, що відображає простір справжнього стану у спостережуваний простір, і '''v'''<sub>''k''</sub> є шумом спостереження, що, як вважається, є ґаусовим [[Білий шум|білим шумом]] з нульовим середнім значенням і з коваріацією '''R'''<sub>''k''</sub>.

: <math>\mathbf{v}_k \sim N(0, \mathbf{R}_k) </math>

Початковий стан і вектори шуму на кожному такті {'''x'''<sub>0</sub>, '''w'''<sub>1</sub>, …, '''w'''<sub>''k''</sub>, '''v'''<sub>1</sub> … '''v'''<sub>''k''</sub>} вважаються взаємно [[Незалежність (імовірність)|незалежними]].

Багато реальних динамічних систем не вписуються до цієї моделі точно. Насправді, неврахована динаміка здатна значно погіршити продуктивність фільтру, навіть якщо він мав працювати з невідомими випадковими сигналами як входами. Причиною цього є те, що ефект від неврахованої динаміки залежить від входу, і, отже, може привести алгоритм оцінювання до нестабільності (він розходиться). З іншого боку, сигнали незалежного білого шуму не призводитимуть до розходження алгоритму. Задача відокремлення шуму вимірювань та не змодельованої динаміки є складною, і трактується у теорії керування в рамках [[Робастне керування|робастного керування]].<ref name="ishihara06">Ishihara JY, Terra MH, Campos JCT (2006) «Robust Kalman filter for descriptor systems».
IEEE Trans. on Automatic Control, v51n8. [http://dx.doi.org/10.1109/TAC.2006.878741 стаття] {{DOI|10.1109/TAC.2006.878741}} {{ref-en}}</ref><ref name="terra14">Terra MH, Cerri JP, Ishihara JY (2014) «Optimal Robust Linear Quadratic Regulator for Systems Subject to Uncertainties».
IEEE Trans. on Automatic Control, v59n9. [http://dx.doi.org/10.1109/TAC.2014.2309282 стаття] {{DOI|10.1109/TAC.2014.2309282}} {{ref-en}}</ref>

== Деталі ==
{{Refimprovesect|date=лютий 2014}}

Фільтр Калмана є [[Рекурсивний фільтр|рекурсивним]] оцінювачем. Це означає, що для обчислення оцінки поточного стану необхідні лише оцінка стану з попереднього кроку та поточні вимірювання. На відміну від пакетних методів оцінювання, історія спостережень та/або оцінок не потрібні. Надалі запис <math>\hat{\mathbf{x}}_{n\mid m}</math> представляє оцінку <math>\mathbf{x}</math> в момент часу ''n'' при заданих спостереженнях по момент часу ''m ≤ n'' включно.

Стан фільтру представляється двома змінними:
* <math>\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}</math>, ''[[Емпірика|апостеріорною]]'' оцінкою стану в момент часу ''k'' при заданих спостереженнях по момент часу ''k'' включно;
* <math>\mathbf{P}_{k\mid k}</math>, ''апостеріорною'' коваріаційною матрицею помилок (мірою оцінки [[Точність вимірювань|точності]] отриманої оцінки стану).

Фільтр Калмана може бути записано у вигляді одного рівняння, однак найчастіше його представляють як дві окремі стадії: '''передбачення''' ({{lang-en|prediction}}, {{lang-ru|экстраполяция}}) та '''уточнення''' ({{lang-en|update}}, {{lang-ru|коррекция}}). Стадія передбачення використовує оцінку стану з попереднього моменту часу для отримання оцінки стану в поточний момент часу. Передбачена оцінка стану також відома як ''апріорна'' оцінка стану, оскільки, хоча це й оцінка стану в поточний момент часу, вона не включає інформацію про спостереження з поточного моменту часу. У фазі уточнення поточне ''апріорне'' передбачення об'єднується з поточною інформацією спостереження для уточнення оцінки стану. Ця поліпшена оцінка називається ''апостеріорною'' оцінкою стану.

Як правило, ці дві фази чергуються: передбачення просуває стан до наступного запланованого спостереження, а уточнення включає і це спостереження. Проте, це не є обов'язковим; якщо спостереження з якоїсь причини не доступне, уточнення може бути пропущено, і виконано декілька кроків передбачення. Аналогічно, якщо в один і той же момент часу доступно декілька незалежних спостережень, може бути виконано декілька кроків уточнення (як правило, з різними матрицями спостереження '''H'''<sub>''k''</sub>).<ref>{{cite journal
 |last1=Kelly
 |first1=Alonzo
 |title=A 3D state space formulation of a navigation Kalman filter for autonomous vehicles
 |journal=DTIC Document
 |date=1994
 |page=13
 |url=http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a282853.pdf
 |accessdate=2014-12-30
 |archive-date=2016-03-04
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304064006/http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a282853.pdf
 }} {{ref-en}}</ref><ref>

{{cite web
 |last1=Reid
 |first1=Ian
 |last2=Term
 |first2=Hilary
 |title=Estimation II
 |url=http://www.robots.ox.ac.uk/~ian/Teaching/Estimation/LectureNotes2.pdf
 |website=www.robots.ox.ac.uk
 |publisher=Oxford University
 |accessdate=6 серпня 2014
}} {{ref-en}}

</ref>

=== Передбачення ===
{|
|-
| style="width:56.7%;"| Передбачена (апріорна) оцінка стану
|
| <math>\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} = \mathbf{F}_{k}\hat{\mathbf{x}}_{k-1\mid k-1} + \mathbf{B}_{k} \mathbf{u}_{k}  </math>
|-
| Коваріація передбаченої (апріорної) оцінки
|
| <math>\mathbf{P}_{k\mid k-1} =  \mathbf{F}_{k} \mathbf{P}_{k-1\mid k-1} \mathbf{F}_{k}^{\text{T}} + \mathbf{Q}_{k} </math>
|}

=== Уточнення ===

{|
|-
| style="width:60%;"| Нововведення <!-- innovation --> (відхилення) вимірювання
|
| <math>
\tilde{\mathbf{y}}_k = \mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}
</math>
|-
| Коваріація нововведень (відхилення)
|
| <math>\mathbf{S}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^T + \mathbf{R}_k </math>
|-
| ''Оптимальний'' передавальний коефіцієнт Калмана
|
| <math>\mathbf{K}_k = \mathbf{P}_{k\mid k-1}\mathbf{H}_k^T \mathbf{S}_k^{-1}</math>
|-
| Оновлена (апостеріорна) оцінка стану
|
| <math>\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k} = \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} + \mathbf{K}_k\tilde{\mathbf{y}}_k</math>
|-
| Коваріація оновленої (апостеріорної) оцінки
|
| <math>\mathbf{P}_{k|k} = (I - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \mathbf{P}_{k|k-1}</math>
|}

Наведені вище формули оновленої оцінки та коваріації є справедливими лише для оптимального передавального коефіцієнту Калмана. Використання інших значень передавального коефіцієнту вимагає складнішої формули, що знаходиться у розділі [[#Виведення|Виведення]].

=== Інваріанти ===
Якщо модель є точною, і значення <math>\hat{\mathbf{x}}_{0\mid 0}</math> та <math>\mathbf{P}_{0\mid 0}</math> точно відображають розподіл значень початкового стану, то зберігаються наступні інваріанти: (всі оцінки мають нульове середнє значення)
* <math>\mathbf{E}[\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}] = \textrm{E}[\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}] = 0</math>
* <math>\textrm{E}[\tilde{\mathbf{y}}_k] = 0</math>
де <math>\textrm{E}[\xi]</math> є [[Математичне сподівання|математичним сподіванням]] <math>\xi</math>, і матриці коваріацій точно відображають коваріацію оцінок
* <math>\mathbf{P}_{k\mid k} = \mathrm{cov}(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k})</math>
* <math>\mathbf{P}_{k\mid k-1} = \mathrm{cov}(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1})</math>
* <math>\mathbf{S}_{k} = \mathrm{cov}(\tilde{\mathbf{y}}_k)</math>

=== Оцінювання коваріацій шумів Q<sub>''k''</sub> та R<sub>''k''</sub> ===
Практична реалізація фільтру Калмана часто ускладнюється важкістю отримання гарної оцінки матриць коваріацій шумів '''Q'''<sub>''k''</sub> та '''R'''<sub>''k''</sub>. У цій галузі було зроблено широкі дослідження для отримання цих коваріацій з даних. Одним з найперспективніших та найпрактичніших підходів до виконання цього є прийом '''автоковаріаційних найменших квадратів''' ({{lang-en|Autocovariance Least-Squares, ALS}}), що використовує [[Автоковаріація|автоковаріації]] із затримкою звичайних робочих даних для оцінювання цих коваріацій.<ref>{{cite book
 |прізвище     = Rajamani
 |ім'я         = Murali
 |назва        = Data-based Techniques to Improve State Estimation in Model Predictive Control
 |url          = http://jbrwww.che.wisc.edu/theses/rajamani.pdf
 |формат       = PDF
 |тип          = PhD Thesis
 |рік          = 2007
 |видавець     = University of Wisconsin-Madison
 |accessdate   = 2014-02-21
 |archive-date = 2016-03-04
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20160304194938/http://jbrwww.che.wisc.edu/theses/rajamani.pdf
}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304194938/http://jbrwww.che.wisc.edu/theses/rajamani.pdf |date=2016-03-04 }} {{ref-en}}</ref><ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Rajamani
 | ім'я                = Murali R.
 | посилання_на_автора = 
 | співавтори          = Rawlings James B.
 | рік                 = 2009
 | місяць              = 
 | назва               = Estimation of the disturbance structure from data using semidefinite programming and optimal weighting
 | журнал              = Automatica
 | том                 = 
 | місце               = 
 | видавництво         = 
 | випуск              = 45
 | сторінки            = 142–148
 | doi                 = 
 | id                  = 
 | url                 = http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S000510980800366X
 | формат              = 
 | дата_отримання      = 
 | цитати              = 
 | doi                 = 10.1016/j.automatica.2008.05.032
}} {{ref-en}}

</ref> Код [[GNU Octave]] та [[Matlab]], що використовується для обчислення матриць коваріацій шумів з використанням прийому автоковаріаційних найменших квадратів, доступний для завантаження під ліцензією [[GNU General Public License]].<ref>{{Cite web
 |author=Fernando V. Lima
 |year=
 |title=Autocovariance Least-Squares Toolbox
 |url=http://jbrwww.che.wisc.edu/software/als/
 |format=
 |postscript=<!--None-->
 |publisher=Jbrwww.che.wisc.edu
 |accessdate=02 червня 2014
 |archive-date=2016-11-28
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161128042921/http://jbrwww.che.wisc.edu/software/als/
 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161128042921/http://jbrwww.che.wisc.edu/software/als/ |date=2016-11-28 }} {{ref-en}}</ref>

=== Оптимальність та продуктивність ===
З теорії випливає, що фільтр Калмана є оптимальним у випадках, коли а) модель точно відповідає справжній системі, б) вхідний шум є білим, та в) коваріації шуму відомі точно. Протягом крайніх десятиліть було запропоновано декілька методів визначення коваріацій шуму, включно з автоковаріаційними найменшими квадратами, що їх було згадано у попередньому розділі. Після того, як коваріації оцінено, корисно оцінювати продуктивність фільтру, тобто, чи можливо поліпшити якість оцінювання стану. Якщо фільтр Калмана працює оптимально, то послідовність нововведень (похибка передбачення виходу) є білим шумом, отже, властивість білизни нововведень вимірює продуктивність фільтру. Для цього може застосовуватися кілька різних методів. Три перевірки оптимальності з числовими прикладами описано у&nbsp;<ref>

{{cite book
| прізвище                = Matisko
| ім'я                    = P.
| прізвище2               = Havlena
| ім'я2                   = V.
| назва                   = Optimality tests and adaptive Kalman filter.
| рік                     = 2012
| видавець                = Proceedings of 16th IFAC System Identification Symposium
| розміщення              = Brussels, Belgium
}} {{ref-en}}

</ref>.

== Приклад застосування, технічний ==
[[Файл:kalman.png|thumb|{{color box|black}} Дійсний стан;<br/>{{color box|green}} результат фільтрування;<br/>{{color box|red}} спостереження.]]
Уявімо вагонетку на нескінченно довгих ідеальних прямих рейках за повної відсутності [[тертя]]. Початково ця вагонетка стоїть нерухомо у положенні 0, але її штовхають туди й сюди випадковими неконтрольованими силами. Ми вимірюємо положення вагонетки кожні Δ''t'' секунд, але ці вимірювання є неточними; ми хочемо підтримувати модель того, де знаходиться вагонетка, і якою є її [[швидкість]]. Тут ми покажемо, як ми отримаємо модель, з якої ми зробимо наш фільтр Калмана.

Оскільки <math>\mathbf F, \mathbf H, \mathbf R, \mathbf Q</math> є сталими, їхні часові індекси опущено.

Положення та швидкість вагонетки описуються лінійним простором стану

: <math>\mathbf{x}_{k} = \begin{bmatrix} x \\ \dot{x} \end{bmatrix} </math>

де <math>\dot{x}</math> є швидкістю, тобто, [[Похідна|похідною]] положення по відношенню до часу.

Вважатимемо, що між моментами часу (''k''&nbsp;−&nbsp;1) та ''k'' неконтрольовані сили спричиняють стале прискорення ''a''<sub>''k''</sub>, що має [[нормальний розподіл]] із нульовим середнім значенням, та [[Стандартне відхилення|стандартним відхиленням]] ''σ''<sub>''a''</sub>. Із [[Закони Ньютона|законів руху Ньютона]] ми робимо висновок, що

: <math>\mathbf{x}_{k} = \mathbf{F} \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{G}a_{k}</math>

(зазначте, що тут немає члена <math>\mathbf{B}u</math>, оскільки ми не маємо відомих впливів керування); натомість ми вважаємо, що ''a''<sub>''k''</sub> є наслідком невідомого впливу, і <math>\mathbf{G}</math> прикладає цей вплив до вектора стану), де

: <math>\mathbf{F} = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>

та

: <math>\mathbf{G} = \begin{bmatrix} \frac{\Delta t^2}{2} \\[6pt] \Delta t \end{bmatrix}, </math>

так що

: <math>\mathbf{x}_{k} = \mathbf{F} \mathbf{x}_{k-1} +  \mathbf{w}_{k},</math>

де <math>\mathbf{w}_{k} \sim N(0,  \mathbf{Q})</math> та

: <math>\mathbf{Q}=\mathbf{G}\mathbf{G}^{\text{T}}\sigma_a^2 =\begin{bmatrix} \frac{\Delta t^4}{4} & \frac{\Delta t^3}{2} \\[6pt] \frac{\Delta t^3}{2} & \Delta t^2 \end{bmatrix}\sigma_a^2.</math>

На кожному такті робиться зашумлене вимірювання справжнього положення вагонетки. Припустімо, що шум вимірювання ''v''<sub>''k''</sub> також має нормальний розподіл із нульовим середнім значенням, та стандартним відхиленням ''σ''<sub>''z''</sub>.

: <math>\mathbf{z}_{k} = \mathbf{H x}_{k} + \mathbf{v}_{k},</math>

де

: <math>\mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} </math>

та

: <math>\mathbf{R} = \textrm{E}[\mathbf{v}_k \mathbf{v}_k^{\text{T}}] = \begin{bmatrix} \sigma_z^2 \end{bmatrix}. </math>

Ми знаємо початковий стан вагонетки з бездоганною точністю, тому ми встановлюємо

: <math>\hat{\mathbf{x}}_{0\mid 0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} </math>

і, щоби повідомити фільтрові, що ми знаємо точне положення та швидкість, ми даємо йому нульову коваріаційну матрицю:

: <math>\mathbf{P}_{0\mid 0} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}. </math>

Якщо початкове положення та швидкість відомі лише приблизно, то коваріаційну матрицю має бути заповнено із відповідною дисперсією на її діагоналі

: <math>\mathbf{P}_{0\mid 0} = \begin{bmatrix} \sigma_x^2 & 0 \\ 0 & \sigma_x^2 \end{bmatrix}. </math>

Фільтр тоді надасть перевагу інформації з першого вимірювання перед інформацією, що вже є у моделі.

== Виведення ==
{{Refimprovesect|date=лютий 2014}}

=== Виведення коваріаційної матриці апостеріорної оцінки ===

Починаючи з нашого інваріанту коваріації похибки '''P'''<sub>''k''&nbsp;|&nbsp;''k''</sub>, як наведено вище,

: <math>\mathbf{P}_{k\mid k}  = \mathrm{cov}(\mathbf{x}_{k} - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k})</math>

підставмо визначення <math>\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}</math>
: <math>\mathbf{P}_{k\mid k} = \textrm{cov}(\mathbf{x}_{k} - (\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} + \mathbf{K}_k\tilde{\mathbf{y}}_{k}))</math>
і підставмо <math>\tilde{\mathbf{y}}_k</math>
: <math>\mathbf{P}_{k\mid k} = \textrm{cov}(\mathbf{x}_{k} - (\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} + \mathbf{K}_k(\mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1})))</math>
та <math>\mathbf{z}_{k}</math>
: <math>\mathbf{P}_{k\mid k} = \textrm{cov}(\mathbf{x}_{k} - (\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} + \mathbf{K}_k(\mathbf{H}_k\mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k - \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1})))</math>
і, зібравши вектори похибки, ми отримаємо
: <math>\mathbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}((I - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_{k})(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}) - \mathbf{K}_k \mathbf{v}_k )</math>
Оскільки вектор вимірювань '''v'''<sub>''k''</sub> є некорельованим з іншими членами, це перетворюється на
: <math>\mathbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}((I - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_{k})(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}))  + \textrm{cov}(\mathbf{K}_k \mathbf{v}_k )</math>
за властивостями [[Коваріаційна матриця|векторної коваріації]] це перетворюється на
: <math>\mathbf{P}_{k\mid k} = (I - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_{k})\textrm{cov}(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1})(I - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_{k})^{\text{T}}  + \mathbf{K}_k\textrm{cov}(\mathbf{v}_k )\mathbf{K}_k^{\text{T}}</math>
що, з використанням нашого інваріанту на '''P'''<sub>''k''&nbsp;|&nbsp;''k''-1</sub> та визначення '''R'''<sub>''k''</sub>, стає
: <math>\mathbf{P}_{k\mid k} = 
(I - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_{k}) \mathbf{P}_{k\mid k-1} (I - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_{k})^\text{T} +
\mathbf{K}_k \mathbf{R}_k \mathbf{K}_k^\text{T}
</math>
Ця формула (іноді відома як «'''форма Джозефа'''» рівняння коваріації уточнення) є чинною для будь-якого значення '''K'''<sub>''k''</sub>. Виявляється, що, якщо '''K'''<sub>''k''</sub> є оптимальним передавальним коефіцієнтом Калмана, то вона підлягає подальшому спрощенню, як показано нижче.

=== Виведення передавального коефіцієнту Калмана ===

Фільтр Калмана є оцінювачем з {{Не перекладено|Мінімальна середньоквадратична похибка|мінімальною середньоквадратичною похибкою||Minimum mean square error}}. Похибкою в апостеріорній оцінці стану є
: <math>\mathbf{x}_{k} - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}</math>

Ми прагнемо звести до мінімуму очікуване значення квадрату величини цього вектора, <math>\mathbf{E}[\|\mathbf{x}_{k} - \hat{\textbf{x}}_{k|k}\|^2]</math>. Це еквівалентне мінімізації [[Слід матриці|сліду]] [[Коваріаційна матриця|коваріаційної матриці]] апостеріорної оцінки <math> \mathbf{P}_{k|k} </math>. Розкриваючи члени наведеного вище рівняння та збираючи, ми отримуємо:

: <math>
\begin{align}
\mathbf{P}_{k\mid k} & = \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\text{T} \mathbf{K}_k^\text{T} + \mathbf{K}_k (\mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\text{T} + \mathbf{R}_k) \mathbf{K}_k^\text{T} \\[6pt]
& = \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\text{T} \mathbf{K}_k^\text{T} + \mathbf{K}_k \mathbf{S}_k\mathbf{K}_k^\text{T}
\end{align}
</math>

Слід мінімізовано, коли його {{Не перекладено|Числення матриць|матрична похідна||Matrix calculus}} по відношенню до матриці передавального коефіцієнту є нульовою. Використовуючи {{Не перекладено|Числення матриць#Тотожності|правила градієнтних матриць||Matrix calculus#Identities}} та симетрію задіяних матриць, ми знаходимо, що
: <math>\frac{\partial \; \mathrm{tr}(\mathbf{P}_{k\mid k})}{\partial \;\mathbf{K}_k} = -2 (\mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1})^\text{T} + 2 \mathbf{K}_k \mathbf{S}_k  = 0.</math>

Розв'язання цього для '''K'''<sub>''k''</sub> дає передавальний коефіцієнт Калмана:

: <math>\mathbf{K}_k \mathbf{S}_k = (\mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1})^\text{T} = \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\text{T}</math>

: <math> \mathbf{K}_{k} = \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\text{T} \mathbf{S}_k^{-1}</math>

Цей передавальний коефіцієнт, відомий як ''оптимальний передавальний коефіцієнт Калмана'', є таким, що при застосуванні дає оцінки з {{Не перекладено|Мінімальна середньоквадратична похибка|мінімальною середньоквадратичною похибкою||Minimum mean square error}}.

=== Спрощення формули коваріації апостеріорної похибки ===
Формулу, що використовується для обчислення коваріації апостеріорної похибки, може бути спрощено, коли передавальний коефіцієнт Калмана дорівнює оптимальному значенню, виведеному вище. При домножуванні обох частин нашої формули передавального коефіцієнту Калмана вище на '''S'''<sub>''k''</sub>'''K'''<sub>''k''</sub><sup>''T''</sup> випливає, що
: <math>\mathbf{K}_k \mathbf{S}_k \mathbf{K}_k^\mathrm{T} = \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\mathrm{T} \mathbf{K}_k^\mathrm{T}</math>
Повертаючись до нашої розширеної формули коваріації апостеріорної похибки
: <math> \mathbf{P}_{k\mid k} = \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1}  - \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\mathrm{T} \mathbf{K}_k^\mathrm{T} + \mathbf{K}_k \mathbf{S}_k \mathbf{K}_k^\mathrm{T}</math>
ми виявляємо, що останні два члени скорочуються, даючи
: <math> \mathbf{P}_{k\mid k} = \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} = (I - \mathbf{K}_{k} \mathbf{H}_{k}) \mathbf{P}_{k\mid k-1}.</math>

Ця формула є обчислювально простішою, і тому майже завжди використовується на практиці, але вона є правильною лише для оптимального передавального коефіцієнта. Якщо арифметична точність є незвичайно низькою, викликаючи проблеми із [[Числова стійкість|обчислювальною стійкістю]], або якщо свідомо застосовується не оптимальний передавальний коефіцієнт Калмана, це спрощення застосовувати не можна; повинна застосовуватися формула коваріації апостеріорної похибки, описана вище.

== Аналіз вразливості ==
{{Refimprovesect|date=лютий 2014}}

Фільтрувальні рівняння Калмана надають оцінку стану <math>\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}</math> та коваріацію її похибки <math>\mathbf{P}_{k\mid k}</math> рекурсивно. Оцінка та її якість залежать від параметрів системи та статистик шуму, поданих до оцінювача як вхідні дані. Цей розділ аналізує вплив невизначеностей у статистичних вхідних даних до фільтру.<ref name=anderson>

{{Cite book
 |last= Anderson
 |first= Brian D. O.
 |last2=Moore
 |first2=John B.
 |year=1979
 |title=Optimal Filtering
 |url= https://archive.org/details/optimalfiltering00ande
 |publisher=[[Prentice Hall]]
 |place=New York
 |pages=[https://archive.org/details/optimalfiltering00ande/page/n138 129]–133
 |isbn= 0-13-638122-7
}} {{ref-en}}

</ref> За відсутності надійних статистик або істинних значень мартиць коваріації шуму <math>\mathbf{Q}_{k}</math> та <math>\mathbf{R}_{k}</math> вираз

: <math>\mathbf{P}_{k\mid k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k\mathbf{H}_k)\mathbf{P}_{k\mid k-1}(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k\mathbf{H}_k)^\mathrm{T} + \mathbf{K}_k\mathbf{R}_k\mathbf{K}_k^\mathrm{T} </math>

більше не надає справжньої коваріації похибки. Іншими словами, <math>\mathbf{P}_{k\mid k} \neq E[(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k})(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k})^\mathrm{T}]</math>. У більшості застосунків [[Системи реального часу|реального часу]] матриці коваріацій, що використовуються при розробці фільтру Калмана, відрізняються від фактичних матриць коваріації шуму.{{citation needed|date=лютий 2014}} Аналіз вразливості описує поведінку коваріації похибки оцінки, коли коваріації шуму, а також системні матриці <math>\mathbf{F}_{k}</math> та <math>\mathbf{H}_{k}</math>, що подаються як вхідні дані до фільтру, є невірними. Отже, цей аналіз вразливості описує стійкість (або вразливість) оцінювача до невірно визначених статистичних та параметричних вхідних даних.

Це обговорення обмежене аналізом вразливості похибки для випадку статистичних невизначеностей. Тут фактичні коваріації шуму позначаються як <math>\mathbf{Q}^{a}_k</math> та <math>\mathbf{R}^{a}_k</math> відповідно, тоді як проектними значеннями, що використовуються в оцінювачі, є <math>\mathbf{Q}_k</math> та <math>\mathbf{R}_k</math> відповідно. Коваріація фактичної похибки позначається як <math>\mathbf{P}_{k\mid k}^a</math>, та як <math>\mathbf{P}_{k\mid k}</math>&nbsp;— обчислювана фільтром Калмана, що згадується як {{Не перекладено|Алгебраїчне рівняння Ріккаті|змінна Ріккаті||Algebraic Riccati equation}}. Коли <math>\mathbf{Q}_k \equiv \mathbf{Q}^{a}_k</math> та <math>\mathbf{R}_k \equiv \mathbf{R}^{a}_k</math>, це означає, що <math>\mathbf{P}_{k\mid k} = \mathbf{P}_{k\mid k}^a</math>. При обчисленні коваріації фактичної похибки з використанням <math>\mathbf{P}_{k\mid k}^a = E[(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k})(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k})^T] </math> підставлення для <math>\widehat{\mathbf{x}}_{k\mid k}</math> та використання того факту, що <math>E[\mathbf{w}_k\mathbf{w}_k^T] = \mathbf{Q}_{k}^a</math> та <math>E[\mathbf{v}_k\mathbf{v}_k^T] = \mathbf{R}_{k}^a</math>, дає в результаті наступні рекурсивні рівняння для <math>\mathbf{P}_{k\mid k}^a</math> :

: <math>\mathbf{P}_{k\mid k-1}^a = \mathbf{F}_k\mathbf{P}_{k-1\mid k-1}^a\mathbf{F}_k^\mathrm{T} + \mathbf{Q}_k^a </math>

та

: <math>\mathbf{P}_{k\mid k}^a = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k\mathbf{H}_k)\mathbf{P}_{k\mid k-1}^a(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k\mathbf{H}_k)^\mathrm{T} + \mathbf{K}_k\mathbf{R}_k^a\mathbf{K}_k^\mathrm{T} </math>

При обчисленні <math>\mathbf{P}_{k\mid k}</math> фільтр умисно неявно припускає, що <math>E[\mathbf{w}_k\mathbf{w}_k^T] = \mathbf{Q}_{k}</math> та <math>E[\mathbf{v}_k\mathbf{v}_k^T] = \mathbf{R}_{k}</math>. Зверніть увагу, що рекурсивні вирази для <math>\mathbf{P}_{k\mid k}^a</math> та <math>\mathbf{P}_{k\mid k}</math> є ідентичними, за винятком наявності <math>\mathbf{Q}_{k}^a</math> та <math>\mathbf{R}_{k}^a</math> на місці проектних значень <math>\mathbf{Q}_{k}</math> та <math>\mathbf{R}_{k}</math> відповідно.

== Квадратнокоренева форма ==
Однією з проблем фільтру Калмана є його [[Числова стійкість|обчислювальна стійкість]]. Якщо коваріація шуму процесу '''Q'''<sub>''k''</sub> є малою, то похибка [[округлення]] часто призводить до обчислення малих додатних [[Власне значення матриці|власних значень]] як від'ємних. Це робить числове представлення матриці коваріації стану '''P''' [[Невизначена матриця|невизначеним]], хоча його справжня форма є [[Додатноозначена матриця|додатньовизначеною]].

Додатньовизначені матриці мають таку властивість, що вони мають [[Квадратний корінь матриці|квадратний корінь]] [[Трикутна матриця|трикутної матриці]] '''P'''&nbsp;=&nbsp;'''S'''·'''S'''<sup>T</sup>. Це може обчислюватися ефективно з використанням алгоритму [[Розклад Холецького|розкладу Холецького]], але що важливіше, якщо коваріація зберігається в такому вигляді, вона ніколи не матиме від'ємної діагоналі, та не стане асиметричною. Еквівалентною формою, що дозволяє уникати численних операцій добування [[Квадратний корінь|квадратного кореня]], потрібних для квадратного кореня з матриці, проте зберігаючи бажані числові властивості, є форма U-D-розкладу, '''P'''&nbsp;=&nbsp;'''U'''·'''D'''·'''U'''<sup>T</sup>, де '''U''' є [[Трикутна матриця|унітрикутною матрицею]] (з одиничною діагоналлю), а '''D''' є діагональною матрицею.

Між цими двома, U-D факторизація використовує такий самий об'єм пам'яті, й почасти менше обчислювань, і є найчастіше застосовуваною квадратнокореневою формою. (Рання література з відносної ефективності є дещо оманливою, оскільки вона виходить з того, що квадратні корені були значно витратнішими за часом, ніж ділення,<ref name=thornton/>{{rp|69}}, тоді як у комп'ютерах XXI сторіччя вони лише трохи витратніші.)

Ефективні алгоритми для стадій передбачення й уточнення Калмана у квадратнокореневій формі було розроблено Джеральдом Бірманом та Катериною Торнтон.<ref name=thornton>

{{Стаття
 | прізвище            = Thornton
 | ім'я                = Catherine L.
 | посилання_на_автора = 
 | співавтори          = 
 | рік                 = 15 жовтня 1976
 | місяць              = 
 | назва               = Triangular Covariance Factorizations for Kalman Filtering
 | журнал              = NASA Technical Memorandum
 | том                 = 
 | місце               = 
 | видавництво         = [[NASA]]
 | випуск              = 33-798
 | сторінки            = 
 | doi                 = 
 | id                  = 
 | url                 = http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19770005172_1977005172.pdf
 | формат              = PDF
 | дата_отримання      = 
 | цитати              = 
}} {{ref-en}}

</ref><ref name = "bierman"/>

Основою іншого типу обчислювально ефективного та стійкого квадратнокореневого фільтра є [[LDL-розклад|'''L'''·'''D'''·'''L'''<sup>T</sup>-розклад]] матриці коваріації нововведень '''S'''<sub>k</sub>.<ref name=barshalom>

{{Cite book
 |last=Bar-Shalom
 |first= Yaakov
 |last2=Li
 |first2=X. Rong
 |last3=Kirubarajan
 |first3=Thiagalingam
 |date=липень 2001
 |title=Estimation with Applications to Tracking and Navigation
 |url=https://archive.org/details/estimationwithap00bars
 |publisher=[[John Wiley & Sons]]
 |place=New York
 |isbn =978-0-471-41655-5
 |pages=[https://archive.org/details/estimationwithap00bars/page/n329 308]–317
}} {{ref-en}}

</ref> Алгоритм починає з [[LU розклад матриці|LU-розкладу]], реалізованого як у Linear Algebra PACKage ([[LAPACK]]). Ці результати розкладаються далі у структуру '''L'''·'''D'''·'''L'''<sup>T</sup> методами, запропонованими {{Не перекладено|Ген Голуб|Голубом||Gene H. Golub}} та {{Не перекладено|Чарльз Ван Лоан|Ван Лоаном||Charles F. Van Loan}} (алгоритм 4.1.2) для [[Симетрична матриця|симетричної]] [[Невироджена матриця|невиродженої]] матриці.<ref name=golub>

{{Cite book
 |last=Golub
 |first=Gene H.
 |authorlink=Ген Голуб
 |first2=Charles F.
 |last2=Van Loan
 |authorlink2=Чарльз Ван Лоан
 |year=1996
 |title=Matrix Computations
 |url=https://archive.org/details/matrixcomputatio00golu_508
 |publisher=[[Університет Джонса Гопкінса|Johns Hopkins University]]
 |edition=третє
 |page=[https://archive.org/details/matrixcomputatio00golu_508/page/n165 139]
 |isbn =978-0-8018-5414-9
 |place =Baltimore, Maryland
 |series=Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences
}} {{ref-en}}

</ref> У будь-якій [[Вироджена матриця|виродженій]] матриці коваріації робиться таке {{Не перекладено|Опорний елемент матриці|переставлення||Pivot element}}, щоби блок головної діагоналі був невиродженим та [[Число обумовленості|добре обумовленим]]. Алгоритм переставлення повинен зберігати будь-яку частину матриці коваріацій нововведень, що безпосередньо відповідає спостережуваним змінним стану '''H'''<sub>k</sub>·'''x'''<sub>k|k-1</sub>, що пов'язані з допоміжними спостереженнями в '''y'''<sub>k</sub>. Квадратнокореневий '''L'''·'''D'''·'''L'''<sup>T</sup>-фільтр вимагає [[Ортогоналізація|ортогоналізації]] вектора спостережень.<ref name = "bierman"/><ref name = "barshalom"/> Це може робитися за допомогою {{Не перекладено|Обернений квадратний корінь|оберненого квадратного кореня||Inverse square root}} матриці коваріацій для допоміжних змінних з використанням методу 2 з {{Не перекладено|Ніколас Хайям|Хаяма||Nicholas Higham}} (2002, с.&nbsp;263).<ref name=higham>

{{Cite book
 |first=Nicholas J.
 |last=Higham
 |authorlink=Ніколас Хайям
 |year=2002
 |title=Accuracy and Stability of Numerical Algorithms
 |url=https://archive.org/details/accuracystabilit00high_677
 |edition=друге
 |isbn =978-0-89871-521-7
 |page=[https://archive.org/details/accuracystabilit00high_677/page/n708 680]
 |publisher=[[Товариство з промислової та прикладної математики|Society for Industrial and Applied Mathematics]]
 |place =Philadelphia, PA
}} {{ref-en}}

</ref>

== Взаємозв'язок із рекурсивним баєсовим оцінюванням ==
Фільтр Калмана може бути представлено як одну з найпростіших [[Динамічна баєсова мережа|динамічних баєсових мереж]]. Фільтр Калмана рекурсивно обчислює оцінки справжніх значень станів протягом часу, використовуючи вхідні вимірювання та математичну модель процесу. Подібним чином, [[рекурсивне баєсове оцінювання]] рекурсивно обчислює [[Оцінка густини|оцінку]] невідомої [[Густина імовірності|функції густини ймовірності]] протягом часу, використовуючи вхідні вимірювання та математичну модель процесу.<ref>

{{Цитата:Стаття
 | last = Masreliez
 | first = C. Johan
 | authorlink = 
 | coauthors = Martin R D
 | year = 1977
 | month = липень
 | title = Robust Bayesian estimation for the linear model and robustifying the Kalman filter
 | journal = EEE Trans. Automatic Control
 | volume = 22
 | issue = 3
 | pages = 361 - 371
 | doi =
 | id = 
 | url = http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=1101538
 | format = 
 | accessdate = 
 | quotes = 
}} {{ref-en}}

</ref>

У рекурсивному баєсовому оцінюванні справжній стан вважається неспостережуваним [[Марковський процес|марковським процесом]], а вимірювання є спостережуваними станами [[Прихована марковська модель|прихованої марковської моделі]] (ПММ).

[[Файл:HMM Kalman Filter Derivation.svg|center|Прихована марковська модель]]

Через [[марковське припущення]] справжній стан є умовно незалежним від усіх станів, раніших за безпосередньо попередній.

: <math>p(\textbf{x}_k\mid \textbf{x}_0,\dots,\textbf{x}_{k-1}) = p(\textbf{x}_k\mid \textbf{x}_{k-1})</math>

Аналогічно, вимірювання на ''k''-тому такті залежить лише від поточного стану, і є умовно незалежним від усіх інших станів до нього.

: <math>p(\textbf{z}_k\mid\textbf{x}_0,\dots,\textbf{x}_{k}) = p(\textbf{z}_k\mid \textbf{x}_{k} )</math>

Використовуючи ці припущення, розподіл ймовірності над усіма станами прихованої марковської моделі можна записати просто як:

: <math>p(\textbf{x}_0,\dots,\textbf{x}_k, \textbf{z}_1,\dots,\textbf{z}_k) = p(\textbf{x}_0)\prod_{i=1}^k p(\textbf{z}_i\mid \textbf{x}_i)p(\textbf{x}_i\mid \textbf{x}_{i-1})</math>

Однак, коли фільтр Калмана використовується для оцінки стану '''x''', то розподіл ймовірності, що шукається, є пов'язаним з поточним станом, що обумовлений вимірюваннями по поточний такт. Це досягається за рахунок ізолювання та поділу попередніх станів ймовірністю множини вимірювань. <!-- ~ -->

Це призводить до того, що стадії ''передбачення'' та ''уточнення'' фільтру Калмана записуються ймовірнісно. Розподіл ймовірності, пов'язаний із передбачуваним станом, є сумою ([[інтеграл]]ом) добутків розподілів ймовірностей, пов'язаних із переходом від (''k''&nbsp;−&nbsp;1)-го такту до ''k''-того, та розподілу ймовірностей, пов'язаного з попереднім станом, за всіма можливими <math>x_{k-1}</math>.

: <math> p(\textbf{x}_k\mid \textbf{Z}_{k-1}) = \int p(\textbf{x}_k \mid  \textbf{x}_{k-1}) p(\textbf{x}_{k-1} \mid  \textbf{Z}_{k-1} )  \, d\textbf{x}_{k-1} </math>

Множина вимірювань по час ''t'' є
: <math> \textbf{Z}_{t} = \left \{ \textbf{z}_{1},\dots,\textbf{z}_{t} \right \} </math>

Розподіл ймовірності уточнення є пропорційним до добутку ймовірності вимірювання та передбаченого стану.
: <math> p(\textbf{x}_k\mid \textbf{Z}_{k}) = \frac{p(\textbf{z}_k\mid \textbf{x}_k) p(\textbf{x}_k\mid \textbf{Z}_{k-1})}{p(\textbf{z}_k\mid \textbf{Z}_{k-1})} </math>

Знаменник
: <math>p(\textbf{z}_k\mid \textbf{Z}_{k-1}) = \int p(\textbf{z}_k\mid \textbf{x}_k) p(\textbf{x}_k\mid \textbf{Z}_{k-1}) d\textbf{x}_k</math>
є членом нормалізації.

Рештою функцій густини ймовірності є

: <math> p(\textbf{x}_k \mid  \textbf{x}_{k-1}) = \mathcal{N}(\textbf{F}_k\textbf{x}_{k-1}, \textbf{Q}_k)</math>

: <math> p(\textbf{z}_k\mid \textbf{x}_k) = \mathcal{N}(\textbf{H}_{k}\textbf{x}_k, \textbf{R}_k) </math>

: <math> p(\textbf{x}_{k-1}\mid \textbf{Z}_{k-1}) = \mathcal{N}(\hat{\textbf{x}}_{k-1},\textbf{P}_{k-1} )</math>

Зауважте, що функція густини ймовірності на попередньому такті індуктивно вважається оціненим станом та коваріацією. Це виправдано, оскільки фільтр Калмана, як оптимальний оцінювач, робить найкраще використання вимірювань, отже, функція густини ймовірності для <math>\mathbf{x}_k</math> при заданих вимірюваннях <math>\mathbf{Z}_k</math> є оцінкою фільтру Калмана.

== Відособлена правдоподібність ==

У зв'язку із наведеною вище рекурсивною баєсовою інтерпретацією, фільтр Калмана можна розглядати як [[Породжувальна модель|породжувальну модель]], тобто як процес для ''породження'' потоку випадкових спостережень '''z''' = ('''z'''<sub>''0''</sub>, '''z'''<sub>''1''</sub>, '''z'''<sub>''2''</sub>, …). Конкретніше, цим процесом є

# Взяти прихований стан <math>\mathbf{x}_0</math> з нормального апріорного розподілу <math>p(\mathbf{x}_0) = \mathcal{N}(\hat{\mathbf{x}}_{0\mid 0}, \mathbf{P}_{0\mid 0})</math>.
# Взяти спостереження <math>\mathbf{z}_0</math> із моделі спостереження <math>p(\mathbf{z}_0\mid \mathbf{x}_0) = \mathcal{N}(\mathbf{H}_0\mathbf{x}_0, \mathbf{R}_0)</math>.
# Для <math>k = 1,2,3,... \ldots</math> виконати
## Взяти наступний прихований стан <math>\mathbf{x}_k</math> з моделі переходу <math>p(\mathbf{x}_{k} \mid \mathbf{x}_{k-1}) = \mathcal{N}(\mathbf{F}_{k} \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{B}_k\mathbf{u}_k, \mathbf{Q}_k)</math>.
## Взяти спостереження <math>\mathbf{z}_k</math> з моделі спостереження <math>p(\mathbf{z}_k\mid \mathbf{x}_k) = \mathcal{N}(\mathbf{H}_k\mathbf{x}_k, \mathbf{R}_k)</math>.

Зауважте, що цей процес має ідентичну структуру до [[Прихована марковська модель|прихованої марковської моделі]], за тим винятком що дискретні стани та спостереження замінено безперервними змінними, що вибираються з ґаусових розподілів.

У деяких застосуваннях корисно обчислювати ''ймовірність'' того, що фільтр Калмана із заданим набором параметрів (апріорним розподілом, моделями переходу та спостереження, та впливами керування) згенерує певний спостережуваний сигнал. Ця ймовірність відома як [[відособлена правдоподібність]], оскільки вона інтегрує над значеннями змінних прихованого стану («відособлює» їх), так що її може бути обчислено з використанням лише спостережуваного сигналу. Ця відособлена правдоподібність є корисною для оцінювання різних варіантів параметрів, або для порівняння фільтру Калмана з іншими моделями за допомогою [[Баєсове порівняння моделей|баєсового порівняння моделей]].

Відособлену правдоподібність просто обчислювати як побічний ефект рекурсивного обчислення фільтрування. За [[Ланцюгове правило (ймовірності)|ланцюговим правилом]] цю правдоподібність може бути розкладено як добуток ймовірностей кожного спостереження за умови попередніх спостережень,
: <math>p(\mathbf{z}) = \prod_{k=0}^T p(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{z}_{k-1}, \ldots,\mathbf{z}_0)</math>,

і, оскільки фільтр Калмана описує марковський процес, уся доречна інформація з попередніх спостережень міститься в оцінці поточного стану <math>\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}, \mathbf{P}_{k\mid k-1}</math>. Отже, відособлена правдоподібність задається як
: <math>\begin{align}
p(\mathbf{z}) &= \prod_{k=0}^T \int p(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{x}_k ) p(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{z}_{k-1}, \ldots,\mathbf{z}_0 ) d \mathbf{x}_k\\
&= \prod_{k=0}^T \int \mathcal{N}(\mathbf{z}_k;  \mathbf{H}_k\mathbf{x}_k, \mathbf{R}_k) \mathcal{N}(\mathbf{x}_k;  \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}, \mathbf{P}_{k\mid k-1})  d \mathbf{x}_k\\
&= \prod_{k=0}^T \mathcal{N}(\mathbf{z}_k;  \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}, \mathbf{R}_k + \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^T )\\
&= \prod_{k=0}^T \mathcal{N}(\mathbf{z}_k;  \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}, \mathbf{S}_k),
\end{align}</math>
тобто, добуток ґаусових густин, кожна з яких відповідає густині одного спостереження '''z'''<sub>''k''</sub> за поточного розподілу фільтрування <math>\mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}, \mathbf{S}_k</math>. Це може легко обчислюватися як просте рекурсивне уточнення; однак, для уникнення [[зникнення порядку]], у практичних реалізаціях зазвичай бажано натомість обчислювати логарифмічну відособлену правдоподібність <math>\ell = \log p(\mathbf{z})</math>. Покладаючи, що <math>\ell^{(-1)} = 0</math>, це може бути зроблено через правило рекурсивного уточнення
: <math>\ell^{(k)} = \ell^{(k-1)} - \frac{1}{2} \left(\tilde{\mathbf{y}}_k^T \mathbf{S}^{-1}_k \tilde{\mathbf{y}}_k + \log \left|\mathbf{S}_k\right| + \log 2\pi \right)</math>.

Важливим застосуванням, де використовується така (логарифмічна) правдоподібність спостережень (за заданих параметрів фільтру), є багатоцільове відстежування. Наприклад, розгляньмо сценарій відстежування об'єктів, у якому потік спостережень є входом, проте не відомо, скільки об'єктів є на сцені (або кількість об'єктів є відомою, але більшою за один). За такого сценарію може бути не відомо апріорі, які спостереження/вимірювання яким об'єктом було породжено. Багатогіпотезний відстежувач ({{lang-en|Multiple Hypothesis Tracker, MHT}}) типово формуватиме різні гіпотези пов'язаності слідів, де кожна гіпотеза розглядатиметься як фільтр Калмана (у лінійному ґаусовому випадку) з особливим набором параметрів, пов'язаних із об'єктом, стосовно якого будується гіпотеза. Таким чином, важливо обчислювати правдоподібність спостережень з точки зору різних гіпотез, з тих міркувань, що може бути знайдено найправдоподібнішу.

== Інформаційний фільтр ==
В інформаційному, або обернено-коваріаційному, фільтрі оцінювану коваріацію та оцінюваний стан заступають [[Інформаційна матриця за Фішером|інформаційна матриця]] та [[Інформація за Фішером|інформаційний]] вектор відповідно. Вони визначаються як:

: <math>\textbf{Y}_{k\mid k} =  \textbf{P}_{k\mid k}^{-1} </math>
: <math>\hat{\textbf{y}}_{k\mid k} =  \textbf{P}_{k\mid k}^{-1}\hat{\textbf{x}}_{k\mid k} </math>

Аналогічно, передбачувана коваріація та стан мають рівноцінні інформаційні форми, що визначаються як

: <math>\textbf{Y}_{k\mid k-1} =  \textbf{P}_{k\mid k-1}^{-1} </math>
: <math>\hat{\textbf{y}}_{k\mid k-1} =  \textbf{P}_{k\mid k-1}^{-1}\hat{\textbf{x}}_{k\mid k-1} </math>

як мають і коваріація вимірювання та вектор вимірювання, що визначаються як

: <math>\textbf{I}_{k} = \textbf{H}_{k}^{\text{T}} \textbf{R}_{k}^{-1} \textbf{H}_{k} </math>
: <math>\textbf{i}_{k} = \textbf{H}_{k}^{\text{T}} \textbf{R}_{k}^{-1} \textbf{z}_{k} </math>

Оновлення інформації тепер стає простою сумою.

: <math>\textbf{Y}_{k\mid k} = \textbf{Y}_{k\mid k-1} + \textbf{I}_{k}</math>
: <math>\hat{\textbf{y}}_{k\mid k} = \hat{\textbf{y}}_{k\mid k-1} + \textbf{i}_{k}</math>

Головною перевагою інформаційного фільтру є те, що на кожному такті може бути відфільтровано ''N'' вимірювань, просто додаванням їхніх інформаційних матриць та векторів.

: <math>\textbf{Y}_{k\mid k} = \textbf{Y}_{k\mid k-1} + \sum_{j=1}^N \textbf{I}_{k,j}</math>
: <math>\hat{\textbf{y}}_{k\mid k} = \hat{\textbf{y}}_{k\mid k-1} + \sum_{j=1}^N \textbf{i}_{k,j}</math>

Для передбачення інформаційним фільтром інформаційну матрицю та вектор може бути перетворено назад до їхніх еквівалентів простору станів, або, як варіант, може використовуватися передбачення інформаційного простору. <!-- Щось в англомовній версії теж якось дивно написано. Схоже, що англійська тут перекладалася з французької. У французькій, наче, так. -->

: <math>\textbf{M}_{k} = 
  [\textbf{F}_{k}^{-1}]^{\text{T}} \textbf{Y}_{k-1\mid k-1} \textbf{F}_{k}^{-1} </math>

: <math>\textbf{C}_{k} = 
  \textbf{M}_{k} [\textbf{M}_{k}+\textbf{Q}_{k}^{-1}]^{-1}</math>
: <math>\textbf{L}_{k} = 
  I - \textbf{C}_{k} </math>
: <math>\textbf{Y}_{k\mid k-1} = 
  \textbf{L}_{k} \textbf{M}_{k} \textbf{L}_{k}^{\text{T}} +
  \textbf{C}_{k} \textbf{Q}_{k}^{-1} \textbf{C}_{k}^{\text{T}}</math>

: <math>\hat{\textbf{y}}_{k\mid k-1} = 
  \textbf{L}_{k} [\textbf{F}_{k}^{-1}]^{\text{T}}\hat{\textbf{y}}_{k-1\mid k-1} </math>

Зауважте, що ''F'' та ''Q'' не залежать від часу, і їх може бути [[кеш]]овано. Зауважте також, що ''F'' and ''Q'' мають бути [[Обернена матриця|оберненими]].

== Згладжувач із фіксованим запізнюванням ==
{{Refimprovesect|date=лютий 2014}}

Оптимальний згладжувач із фіксованим запізнюванням ({{lang-en|fixed-lag smoother}}) надає оптимальну оцінку <math>\hat{\textbf{x}}_{k-N \mid  k}</math> для заданого фіксованого запізнювання <math>N</math>, використовуючи вимірювання з <math>\textbf{z}_{1}</math> по <math>\textbf{z}_{k}</math>. Його може бути виведено з використанням попередньої теорії через поповнений стан, і головним рівнянням цього фільтру є наступне:

: <math>
	\begin{bmatrix}
		\hat{\textbf{x}}_{t\mid t} \\
		\hat{\textbf{x}}_{t-1\mid t} \\
		\vdots \\
		\hat{\textbf{x}}_{t-N+1\mid t} \\
	\end{bmatrix}
	=
	\begin{bmatrix}
		\textbf{I} \\
		0 \\
		\vdots \\
		0 \\
	\end{bmatrix}
	\hat{\textbf{x}}_{t\mid t-1}
	+
	\begin{bmatrix}
		0		& \ldots	& 0 \\
		\textbf{I}	& 0		& \vdots \\
		\vdots		& \ddots	& \vdots \\
		0		& \ldots	& I \\
	\end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}
		\hat{\textbf{x}}_{t-1\mid t-1} \\
		\hat{\textbf{x}}_{t-2\mid t-1} \\
		\vdots \\
		\hat{\textbf{x}}_{t-N+1\mid t-1} \\
	\end{bmatrix}
	+
	\begin{bmatrix}
		\textbf{K}^{(0)} \\
		\textbf{K}^{(1)} \\
		\vdots \\
		\textbf{K}^{(N-1)} \\
	\end{bmatrix}
	\textbf{y}_{t\mid t-1}
</math>

де
* <math> \hat{\textbf{x}}_{t\mid t-1} </math> оцінюється стандартним фільтром Калмана;
* <math> \textbf{y}_{t\mid t-1} = \textbf{z}(t) - \textbf{H}\hat{\textbf{x}}_{t\mid t-1} </math> це нововведення, що створюється виходячи з оцінки стандартного фільтру Калмана;
* різні <math> \hat{\textbf{x}}_{t-i\mid t} </math> з <math> i = 0,\ldots,N </math> є новими змінними, тобто, їх немає у стандартному фільтрі Калмана;
* передавальні коефіцієнти обчислюються за наступною схемою:
:: <math>
\textbf{K}^{(i)} =
\textbf{P}^{(i)} \textbf{H}^{T}
\left[
	\textbf{H} \textbf{P} \textbf{H}^\mathrm{T} + \textbf{R}
\right]^{-1}
</math>
: та
:: <math>
\textbf{P}^{(i)} =
\textbf{P}
\left[
	\left[
		\textbf{F} - \textbf{K} \textbf{H}
	\right]^{T}
\right]^{i}
</math>
: де <math> \textbf{P} </math> та <math> \textbf{K} </math> є коваріацією похибки передбачення та передавальними коефіцієнтами стандартного фільтру Калмана (тобто, <math> \textbf{P}_{t\mid t-1} </math>).

Якщо коваріацію похибки оцінки визначено так, що

: <math>
\textbf{P}_{i} :=
E
\left[
	\left(
		\textbf{x}_{t-i} - \hat{\textbf{x}}_{t-i\mid t}
	\right)^{*}
	\left(
		\textbf{x}_{t-i} - \hat{\textbf{x}}_{t-i\mid t}
	\right)
	\mid
	z_{1} \ldots z_{t}
\right],
</math>

тоді ми маємо, що поліпшення оцінки <math> \textbf{x}_{t-i} </math> визначається за формулою:

: <math>
\textbf{P}-\textbf{P}_{i} =
\sum_{j = 0}^{i}
\left[
	\textbf{P}^{(j)} \textbf{H}^{T}
	\left[
	\textbf{H} \textbf{P} \textbf{H}^\mathrm{T} + \textbf{R}
	\right]^{-1}
	\textbf{H} \left( \textbf{P}^{(i)} \right)^\mathrm{T}
\right]
</math>

== Згладжувачі з фіксованим інтервалом ==
Оптимальний згладжувач з фіксованим інтервалом надає оптимальну оцінку <math>\hat{\textbf{x}}_{k \mid  n}</math> (<math>k < n</math>), використовуючи вимірювання з фіксованого інтервалу з <math>\textbf{z}_{1}</math> по <math>\textbf{z}_{n}</math>. Це також називається '''згладжуванням Калмана'''. У загальному користуванні є кілька алгоритмів згладжування.

=== Рауха-Дуна-Штрібеля ===
Згладжувач Рауха-Дуна-Штрібеля ({{lang-en|Rauch–Tung–Striebel, RTS}}) є ефективним двопрохідним алгоритмом для згладжування з фіксованим інтервалом.<ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Rauch
 | ім'я                = H.E.
 | співавтори          = Tung F., Striebel C. T.
 | назва               = Maximum likelihood estimates of linear dynamic systems
 | журнал              = AIAA J
 | том                 = 3
 | випуск              = 8
 | сторінки            = 1445–1450
 | рік                 = 1965
 | місяць              = серпень
 | url = http://pdf.aiaa.org/getfile.cfm?urlX=7%3CWIG7D%2FQKU%3E6B5%3AKF2Z%5CD%3A%2B82%2A%40%24%5E%3F%40%20%0A&urla=%25%2ARL%2F%220L%20%0A&urlb=%21%2A%20%20%20%0A&urlc=%21%2A0%20%20%0A&urld=%21%2A0%20%20%0A&urle='%2BB%2C'%22%20%22KT0%20%20%0A
 | doi = 10.2514/3.3166
 | bibcode =  1965AIAAJ...3.1445
}} {{ref-en}}

</ref>

Поступальний прохід такий самий, як і алгоритм звичайного фільтру Калмана. Ці ''відфільтровані'' оцінки станів <math>\hat{\textbf{x}}_{k\mid k}</math> та коваріації <math>\textbf{P}_{k\mid k}</math> зберігаються для використання на зворотньому проході.

На зворотньому проході ми обчислюємо ''згладжені'' оцінки станів <math>\hat{\textbf{x}}_{k\mid n}</math> та коваріації <math>\textbf{P}_{k\mid n}</math>. Ми починаємо з крайнього такту, і просуваємося у зворотньому напрямку часу, використовуючи наступні рекурсивні рівняння:

: <math>\hat{\textbf{x}}_{k\mid n} = \hat{\textbf{x}}_{k\mid k} + \textbf{C}_k ( \hat{\textbf{x}}_{k+1\mid n} - \hat{\textbf{x}}_{k+1\mid k} ) </math>
: <math>\textbf{P}_{k\mid n} = \textbf{P}_{k\mid k} + \textbf{C}_k ( \textbf{P}_{k+1\mid n} - \textbf{P}_{k+1\mid k} ) \textbf{C}_k^\mathrm{T} </math>
де
: <math> \textbf{C}_k = \textbf{P}_{k\mid k} \textbf{F}_k^\mathrm{T} \textbf{P}_{k+1\mid k}^{-1} </math>

=== Видозмінений згладжувач Брайсона-Фрейзера ===

Альтернативою алгоритмові Рауха-Дуна-Штрібеля є видозмінений фіксовано-інтервальний згладжувач Брайсона-Фрейзера ({{lang-en|modified Bryson–Frazier, MBF}}), розроблений Бірманом.<ref name=bierman>

{{Стаття
 | прізвище            = Bierman
 | ім'я                =  G.J.
 | назва               = Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation
 | видавництво         = Academic Press
 | рік                 = 1977
 | bibcode             = 1977fmds.book.....B
 | журнал              = Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation
}} {{ref-en}}

</ref> Він також використовує зворотній прохід, що обробляє дані фільтру Калмана, збережені на поступальному проході. Рівняння для зворотнього проходу включають рекурсивне обчислення даних, що використовуються на кожному моменті часу спостереження для обчислення згладженого стану та коваріації.

Цими рекурсивними рівняннями є

: <math>\tilde{\Lambda}_k =  \textbf{H}_k^T \textbf{S}_k^{-1} \textbf{H}_k + \hat{\textbf{C}}_k^T \hat{\Lambda}_k \hat{\textbf{C}}_k</math>
: <math>\hat{\Lambda}_{k-1} = \textbf{F}_k^T\tilde{\Lambda}_{k}\textbf{F}_k</math>
: <math>\hat{\Lambda}_n = 0</math>
: <math>\tilde{\lambda}_k =  -\textbf{H}_k^T \textbf{S}_k^{-1} \textbf{y}_k + \hat{\textbf{C}}_k^T \hat{\lambda}_k</math>
: <math>\hat{\lambda}_{k-1} = \textbf{F}_k^T\tilde{\lambda}_{k}</math>
: <math>\hat{\lambda}_n = 0</math>

де <math>\textbf{S}_k</math> є залишковою коваріацією, а <math>\hat{\textbf{C}}_k = \textbf{I} - \textbf{K}_k\textbf{H}_k</math>. Згладжений стан та коваріацію може бути знайдено підстановкою в рівняннях

: <math>\textbf{P}_{k\mid n} = \textbf{P}_{k\mid k} - \textbf{P}_{k\mid k}\hat{\Lambda}_k\textbf{P}_{k\mid k}</math>
: <math>\textbf{x}_{k\mid n} = \textbf{x}_{k\mid k} - \textbf{P}_{k\mid k}\hat{\lambda}_k</math>

або

: <math>\textbf{P}_{k\mid n} = \textbf{P}_{k\mid k-1} - \textbf{P}_{k\mid k-1}\tilde{\Lambda}_k\textbf{P}_{k\mid k-1}</math>
: <math>\textbf{x}_{k\mid n} = \textbf{x}_{k\mid k-1} - \textbf{P}_{k\mid k-1}\tilde{\lambda}_k.</math>

Важливою перевагою видозміненого згладжувача Брайсона-Фрейзера є те, що він не вимагає знаходження оберненої матриці до коваріаційної.

=== Мінімально-дисперсійний згладжувач ===

Мінімально-дисперсійний згладжувач ({{lang-en|minimum-variance smoother}}) може досягати найкращої можливої продуктивності відносно похибки, за умови, якщо моделі є лінійними, а їхні параметри та статистики шуму відомі точно.<ref>{{Стаття
 | прізвище            = Einicke
 | ім'я                =  G.A.
 | назва               = Optimal and Robust Noncausal Filter Formulations
 | журнал              = IEEE Trans. Signal Processing
 | том                 = 54
 | випуск              = 3
 | сторінки            = 1069–1077
 | рік                 = 2006
 | місяць              = березень
 | bibcode             = 2006ITSP...54.1069E
 | doi                 = 10.1109/TSP.2005.863042
}} {{ref-en}}</ref> Цей згладжувач є залежним від часу стано-просторовим узагальненням оптимального непричинного ({{lang-en|non-causal}}) {{Не перекладено|Фільтр Вінера|фільтру Вінера||Wiener filter}}.

Обчислення цього згладжувача виконуються у два проходи. Поступальні обчислення включають передбачувач на один крок вперед, і задаються рівняннями
: <math>\hat{\textbf{x}}_{k+1\mid k} = \textbf{(F}_{k}-\textbf{K}_{k}\textbf{H}_{k})\hat{\textbf{x}}_{k\mid k-1} + \textbf{K}_{k} \textbf{z}_{k}  </math>
: <math>{\alpha}_{k} = -\textbf{S}_k^{-1/2} \textbf{H}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k\mid k-1} +
\textbf{S}_k^{-1/2} \textbf{z}_{k} </math>

Наведена вище система відома як обернений [[Метод Вінера — Гопфа|фактор Вінера — Хопфа]]. Зворотня рекурсія є спряженою до наведеної вище поступальної системи. Результат зворотнього проходу <math>\beta_{k}</math> може розраховуватися використанням поступальних рівнянь на оберненому в часі <math>\alpha_{k}</math>, і оберненні результату в часі. У випадку оцінювання виходу згладжена оцінка задається як
: <math>\hat{\textbf{y}}_{k\mid N} = \textbf{z}_{k} - \textbf{R}_{k}\beta_{k}   </math>

Взяття причинної ({{lang-en|causal}}) частини цього мінімально-дисперсійного згладжувача дає
: <math>\hat{\textbf{y}}_{k\mid k} = \textbf{z}_{k} - \textbf{R}_{k} \textbf{S}_k^{-1/2} \alpha_{k}   </math>

що ідентично мінімально-дисперсному фільтрові Калмана. Наведені вище рішення мінімізують дисперсію похибки оцінки виходу. Зауважте, що виведення згладжувача Рауха-Дуна-Штрібеля передбачає, що базові розподіли є [[Нормальний розподіл|нормальними]], тоді як мінімально-дисперсні рішення&nbsp;— ні. Оптимальні згладжувачі для оцінки стану та оцінки входу може бути побудовано аналогічно.

Версію наведеного вище згладжувача для безперервного часу описано в&nbsp;<ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Einicke
 | ім'я                =  G.A.
 | назва               = Asymptotic Optimality of the Minimum-Variance Fixed-Interval Smoother
 | журнал              = IEEE Trans. Signal Processing
 | том                 = 55
 | випуск              = 4
 | сторінки            = 1543–1547
 | рік                 = 2007
 | місяць              = квітень
 | bibcode             = 2007ITSP...55.1543E
 | doi                 = 10.1109/TSP.2006.889402
}} {{ref-en}}

</ref><ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Einicke
 | ім'я                =  G.A.
 | співавтори          = Ralston J.C., Hargrave C.O., Reid D.C., Hainsworth D.W.
 | назва               = Longwall Mining Automation. An Application of Minimum-Variance Smoothing
 | журнал              = IEEE Control Systems Magazine
 | том                 = 28
 | випуск              = 6
 | сторінки            = 1543–1547
 | рік                 = 2008
 | місяць              = грудень
}} {{ref-en}}

</ref>.

Для обчислення приблизних оцінок [[Метод максимальної вірогідності|максимальної вірогідності]] невідомих параметрів простору станів у межах мінімально-дисперсійних фільтрів та згладжувачів можуть застосовуватися [[Алгоритм очікування-максимізації|алгоритми очікування-максимізації]]. Часто у припущеннях моделі залишаються невизначеності. Згладжувач, що залишає простір для невизначеностей, може бути сконструйовано додаванням додатньовизначеного члену до рівняння Ріккаті.<ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Einicke
 | ім'я                =  G.A.
 | назва               = Asymptotic Optimality of the Minimum-Variance Fixed-Interval Smoother
 | журнал              = IEEE Trans. Automatic Control
 | том                 = 54
 | випуск              = 12
 | сторінки            = 2904–2908
 | рік                 = 2009
 | місяць              = грудень
 | bibcode = 2007ITSP...55.1543E
 | doi = 10.1109/TSP.2006.889402 
}} {{ref-en}}

</ref>

У випадках, коли моделі є нелінійними, у рекурсіях мінімально-дисперсійного фільтру та згладжувача можуть бути покрокові лінеаризації ([[Розширений фільтр Калмана|розширене фільтрування Калмана]]).

== Частотно зважені фільтри Калмана ==

У 1930-х роках Флетчером ({{lang-en|Fletcher }}) та Мансоном ({{lang-en|Munson}}) було проведено піонерське дослідження зі сприйняття звуків на різних [[Звук#Частота|частотах]]. Їхня праця привела до стандартного способу зваженого вимірювання рівнів звуку в дослідженнях промислового [[шум]]у та втрати [[слух]]у. Відтоді частотні зважування використовувалися при розробці фільтрів та контролерів для керування продуктивністю в межах цільових частотних смуг.

Зазвичай, функція формування частоти використовується для зважування середньої потужності похибки спектральної щільності у визначеній смузі частот. Нехай <math>\textbf{y}</math>&nbsp;— <math>\hat{\textbf{y}}</math> позначає похибку вихідної оцінки, що проявляє звичайний фільтр Калмана. Також, нехай <math>\textbf{W}</math> позначає причинну функцію передачі частотного зважування. Оптимальний розв'язок, що мінімізує дисперсію <math>\textbf{W}</math> (<math>\textbf{y}</math>&nbsp;— <math>\hat{\textbf{y}}</math>), виникає просто через побудову <math>\textbf{W}^{-1} \hat{\textbf{y}}</math>.

Будова <math>\textbf{W}</math> залишається відкритим питанням. Одним зі шляхів просування є визначити систему, що генерує похибку оцінки, і встановити <math>\textbf{W}</math> рівною зворотньому тієї системи.<ref>

{{cite journal
 | last = Einicke
 | first =  G.A.
 | title = Iterative Frequency-Weighted Filtering and Smoothing Procedures
 | journal = IEEE Signal Processing Letters
 | volume = 21
 | issue = 12
 | pages = 1467–1470
 | date=December 2014
 | doi = 10.1109/LSP.2014.2341641
}} {{ref-en}}

</ref> Ця процедура може повторюватися для отримання покращення середньоквадратичної похибки ціною зростання порядка фільтру. Такий самий прийом може застосовуватися і до згладжувачів.

== Нелінійні фільтри ==

Основний фільтр Калмана обмежено припущенням лінійності. Складніші системи, однак, можуть бути і нелінійними. Нелінійність може бути пов'язана або з моделлю процесу, або з моделлю спостереження, або з обома.

=== Розширений фільтр Калмана ===
{{Main|Розширений фільтр Калмана}}

У розширеному фільтрі Калмана ({{lang-en|extended Kalman filter, EKF}}) моделі переходу стану та спостереження не повинні бути обов'язково лінійними функціями стану, натомість вони можуть бути нелінійними [[Диференційовна функція|диференційовними функціями]].

: <math>\textbf{x}_{k} = f(\textbf{x}_{k-1}, \textbf{u}_{k}) + \textbf{w}_{k}</math>

: <math>\textbf{z}_{k} = h(\textbf{x}_{k}) + \textbf{v}_{k}</math>

Функція ''f'' може використовуватися для обчислення передбачуваного стану з попередньої оцінки, і, аналогічно, функція ''h'' може використовуватися для обчислення передбачуваного вимірювання з передбаченого стану. Проте, ''f'' та ''h'' не можуть застосовуватися до коваріації безпосередньо. Натомість обчислюється матриця часткових похідних ([[матриця Якобі]]).

На кожному такті матриця Якобі обчислюється для поточних передбачених станів. Ці матриці можуть використовуватися у рівняннях фільтру Калмана. Цей процес, по суті, лінеаризує нелінійну функцію навколо поточної оцінки.

=== Беззапаховий фільтр Калмана ===
Коли моделі переходу стану та спостереження,&nbsp;— тобто, функції передбачення та уточнення <math>f</math> та <math>h</math>,&nbsp;— є сильно нелінійними, розширений фільтр Калмана може демонструвати особливо погану роботу.<ref name="JU97">

{{Стаття
 | прізвище            = Julier
 | ім'я                = Simon J.
 | співавтори          = Uhlmann, Jeffrey K.
 | назва               = A new extension of the Kalman filter to nonlinear systems
 | журнал              = Int. Symp. Aerospace/Defense Sensing, Simul. and Controls
 | том                 = 3
 | url                 = http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/media/pdf/Julier1997_SPIE_KF.pdf
 | дата_отримання      = 03.05.2008
 | bibcode             = 1997SPIE.3068..182J
 | сторінки            = 182
 | doi                 = 10.1117/12.280797
 | series              = Signal Processing, Sensor Fusion, and Target Recognition VI
}} {{ref-en}}

</ref> Це відбувається тому, що коваріація передається через лінеаризацію базової нелінійної моделі. Беззапаховий фільтр Калмана ({{lang-en|unscented Kalman filter, UKF}})<ref name="JU97"/> використовує метод детерміністичної вибірки, відомий як [[беззапахове перетворення]], для вибору мінімального набору опорних точок (що називаються сигма-точками) навколо середнього значення. Ці сигма-точки ({{lang-en|sigma points}}) потім пропускаються через нелінійні функції, з чого отримуються середнє значення та коваріація оцінки. Результатом є фільтр, що точніше захоплює справжнє середнє значення та коваріацію. (Це можна перевіряти за допомогою [[Метод Монте-Карло|вибірки Монте-Карло]], або розкладу апостеріорної статистики в [[ряд Тейлора]].) На додачу, цей метод усуває вимогу явного обчислення матриць Якобі, що для складних функцій може бути саме по собі складною задачею (наприклад, вимагаючи складних похідних при аналітичній реалізації, або будучи обчислювально витратним при реалізації чисельній).

;Передбачення

Як і з розширеним фільтром Калмана, передбачення беззапахового фільтру Калмана може використовуватися незалежно від уточнення беззапахового фільтру Калмана, у комбінації з лінійним (або навіть розширеним) уточненням, або навпаки.

Оцінюваний стан та коваріація поповнюються середнім значенням та коваріацією шуму процесу.

: <math> \textbf{x}_{k-1\mid k-1}^{a} = [ \hat{\textbf{x}}_{k-1\mid k-1}^\mathrm{T} \quad E[\textbf{w}_{k}^\mathrm{T}] \ ]^\mathrm{T} </math>

: <math> \textbf{P}_{k-1\mid k-1}^{a} = \begin{bmatrix} & \textbf{P}_{k-1\mid k-1} & & 0 & \\ & 0 & &\textbf{Q}_{k} & \end{bmatrix} </math>

Множина 2''L''&nbsp;+&nbsp;1 сигма-точок отримується з поповнених стану та коваріації, де ''L'' є розмірністю поповненого стану.

: <math>\chi_{k-1\mid k-1}^{0} = \textbf{x}_{k-1\mid k-1}^{a}</math>
: <math>\chi_{k-1\mid k-1}^{i} =\textbf{x}_{k-1\mid k-1}^{a} + \left ( \sqrt{ (L + \lambda) \textbf{P}_{k-1\mid k-1}^{a} } \right )_{i}, \qquad i = 1,\ldots,L</math>
: <math>\chi_{k-1\mid k-1}^{i} = \textbf{x}_{k-1\mid k-1}^{a} - \left ( \sqrt{ (L + \lambda) \textbf{P}_{k-1\mid k-1}^{a} } \right )_{i-L}, \qquad i = L+1,\dots{},2L</math>

де

: <math>\left ( \sqrt{ (L + \lambda) \textbf{P}_{k-1\mid k-1}^{a} } \right )_{i}</math>

є ''i''-тим стовпцем матричного квадратного кореню виразу

: <math>(L + \lambda) \textbf{P}_{k-1\mid k-1}^{a}</math>

за визначенням, квадратний корінь <math>\textbf{A}</math> матриці <math>\textbf{B}</math> задовольняє

: <math>\textbf{B} \triangleq \textbf{A} \textbf{A}^\mathrm{T}. \, </math>

Матричний квадратний корінь повинен обчислюватися за допомогою обчислювально ефективних та стабільних методів, таких як [[розклад Холецького]].

: <math>\chi_{k\mid k-1}^{i} = f(\chi_{k-1\mid k-1}^{i}) \quad i = 0,\dots,2L </math>

де <math>f : R^{L} \rightarrow R^{|\textbf{x}|} </math>. Зважені сигма-точки рекомбінуються для отримання передбаченого стану та коваріації.

: <math>\hat{\textbf{x}}_{k\mid k-1} = \sum_{i=0}^{2L} W_{s}^{i} \chi_{k\mid k-1}^{i} </math>

: <math>\textbf{P}_{k\mid k-1} = \sum_{i=0}^{2L} W_{c}^{i}\ [\chi_{k\mid k-1}^{i} - \hat{\textbf{x}}_{k\mid k-1}] [\chi_{k\mid k-1}^{i} - \hat{\textbf{x}}_{k\mid k-1}]^\mathrm{T} </math>

де ваги для стану та коваріації задаються як:

: <math>W_{s}^{0} = \frac{\lambda}{L+\lambda}</math>
: <math>W_{c}^{0} = \frac{\lambda}{L+\lambda} + (1 - \alpha^2 + \beta)</math>
: <math>W_{s}^{i} = W_{c}^{i} = \frac{1}{2(L+\lambda)}</math>
: <math>\lambda = \alpha^2 (L+\kappa) - L\,\! </math>

<math>\alpha</math> та <math>\kappa</math> контролюють розкид сигма-точок. <math>\beta</math> пов'язане з розподілом <math>x</math>.
Звичайними значеннями є <math>\alpha=10^{-3}</math>, <math>\kappa=0</math> та <math>\beta=2</math>. Якщо справжній розподіл <math>x</math> є нормальним, то <math>\beta=2</math> є оптимальним.<ref>{{Cite book
 | прізвище1                   = Wan
 | ім'я1                   = Eric A.
 | прізвище2                   = van der Merwe
 | ім'я2                   = Rudolph
 | назва                   = The Unscented Kalman Filter for Nonlinear Estimation
 | url                   = http://www.lara.unb.br/~gaborges/disciplinas/efe/papers/wan2000.pdf
 | формат                   = PDF
 | accessdate                   = 21 лютого 2014
 | archiveurl                   = https://web.archive.org/web/20120303020429/http://www.lara.unb.br/~gaborges/disciplinas/efe/papers/wan2000.pdf
 | archivedate                   = 3 березня 2012
 | deadurl                   = yes
 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120303020429/http://www.lara.unb.br/~gaborges/disciplinas/efe/papers/wan2000.pdf |date= 3 березня 2012 }} {{ref-en}}</ref>

;Уточнення

Передбачений стан та коваріація поповнюються як раніше, але тепер середнім значенням та коваріацією шуму вимірювання.

: <math> \textbf{x}_{k\mid k-1}^{a} = [ \hat{\textbf{x}}_{k\mid k-1}^\mathrm{T} \quad E[\textbf{v}_{k}^\mathrm{T}] \ ]^\mathrm{T} </math>

: <math> \textbf{P}_{k\mid k-1}^{a} = \begin{bmatrix} & \textbf{P}_{k\mid k-1} & & 0 & \\ & 0 & &\textbf{R}_{k} & \end{bmatrix} </math>

Як і раніше, множина 2''L''&nbsp;+&nbsp;1 сигма-точок отримується з поповнених стану та коваріації, де ''L'' є розмірністю поповненого стану.

: <math>
\begin{align}
\chi_{k\mid k-1}^{0} & = \textbf{x}_{k\mid k-1}^{a} \\[6pt]
\chi_{k\mid k-1}^{i} & = \textbf{x}_{k\mid k-1}^{a} + \left ( \sqrt{ (L + \lambda) \textbf{P}_{k\mid k-1}^{a} } \right )_{i}, \qquad i = 1,\dots,L \\[6pt]
\chi_{k\mid k-1}^{i} & = \textbf{x}_{k\mid k-1}^{a} - \left ( \sqrt{ (L + \lambda) \textbf{P}_{k\mid k-1}^{a} } \right )_{i-L}, \qquad i = L+1,\dots,2L
\end{align}
</math>

Або ж, якщо використовувалося передбачення беззапахового фільтру Калмана, то можуть поповнюватися самі сигма-точки, відповідно до наступних рядків

: <math> \chi_{k\mid k-1} := [ \chi_{k\mid k-1}^\mathrm{T} \quad E[\textbf{v}_{k}^\mathrm{T}] \ ]^\mathrm{T} \pm \sqrt{ (L + \lambda) \textbf{R}_{k}^{a} }</math>

де

: <math> \textbf{R}_{k}^{a} = \begin{bmatrix} & 0 & & 0 & \\ & 0 & &\textbf{R}_{k} & \end{bmatrix} </math>

Сигма-точки пропускаються через функцію спостереження ''h''.

: <math>\gamma_{k}^{i} = h(\chi_{k\mid k-1}^{i}) \quad i = 0..2L </math>

Зважені сигма-точки рекомбінуються для отримання передбаченого вимірювання та передбаченої коваріації вимірювання.

: <math>\hat{\textbf{z}}_{k} = \sum_{i=0}^{2L} W_{s}^{i} \gamma_{k}^{i} </math>

: <math>\textbf{P}_{z_{k}z_{k}} = \sum_{i=0}^{2L} W_{c}^{i}\ [\gamma_{k}^{i} - \hat{\textbf{z}}_{k}] [\gamma_{k}^{i} - \hat{\textbf{z}}_{k}]^\mathrm{T} </math>

Матриця взаємної коваріації стану та вимірювання

: <math>\textbf{P}_{x_{k}z_{k}} = \sum_{i=0}^{2L} W_{c}^{i}\ [\chi_{k\mid k-1}^{i} - \hat{\textbf{x}}_{k\mid k-1}] [\gamma_{k}^{i} - \hat{\textbf{z}}_{k}]^\mathrm{T} </math>

використовується для обчислення передавального коефіцієнту Калмана беззапахового фільтру Калмана.

: <math>K_{k} = \textbf{P}_{x_{k}z_{k}} \textbf{P}_{z_{k}z_{k}}^{-1}</math>

Як і з фільтром Калмана, уточнений стан є передбаченим станом плюс нововведення, зважене передавальним коефіцієнтом Калмана,

: <math>\hat{\textbf{x}}_{k\mid k} = \hat{\textbf{x}}_{k\mid k-1} + K_{k}( \textbf{z}_{k} - \hat{\textbf{z}}_{k} )</math>

А уточнена коваріація є передбаченою коваріацією мінус передбачена коваріація вимірювання, зважена передавальним коефіцієнтом Калмана.

: <math>\textbf{P}_{k\mid k} = \textbf{P}_{k\mid k-1} - K_{k} \textbf{P}_{z_{k}z_{k}} K_{k}^\mathrm{T} </math>

== Фільтр Калмана-Бюсі ==

Фільтр Калмана-Бюсі ({{lang-en|Kalman–Bucy filter}}), названий на честь Річарда Сноудена Бюсі ({{lang-en|Richard Snowden Bucy}}), є версією фільтру Калмана для безперервного часу.<ref>

{{Cite book
| прізвище1               = Bucy
| ім'я1                   = R.S.
| прізвище2               = Joseph
| ім'я2                   = P.D.
| назва                   = Filtering for Stochastic Processes with Applications to Guidance
| видання                 = 2
| рік-оригіналу           = 1968
| рік                     = 2005
| видавець                = AMS Chelsea Publ.
| isbn                    = 0-8218-3782-6
}} {{ref-en}}

</ref><ref>

{{Cite book
| прізвище                = Jazwinski
| ім'я                    = Andrew H.
| назва                   = Stochastic processes and filtering theory
| url                = https://archive.org/details/stochasticproces0000jazw
| рік                     = 1970
| видавець                = Academic Press
| розміщення              = New York
| isbn                    = 0-12-381550-9
}} {{ref-en}}

</ref>

Він базується на моделі простору стану

: <math>\frac{d}{dt}\mathbf{x}(t) = \mathbf{F}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t)</math>

: <math>\mathbf{z}(t) = \mathbf{H}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{v}(t)</math>

де <math>\mathbf{Q}(t)</math> та <math>\mathbf{R}(t)</math> представляють інтенсивності двох членів з білим шумом <math>\mathbf{w}(t)</math> та <math>\mathbf{v}(t)</math> відповідно.

Цей фільтр складається з двох диференційних рівнянь, одного для оцінки стану, та одного для коваріації:

: <math>\frac{d}{dt}\hat{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{F}(t)\hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t) + \mathbf{K}(t) (\mathbf{z}(t)-\mathbf{H}(t)\hat{\mathbf{x}}(t))</math>

: <math>\frac{d}{dt}\mathbf{P}(t) = \mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t) + \mathbf{P}(t)\mathbf{F}^{T}(t) + \mathbf{Q}(t) - \mathbf{K}(t)\mathbf{R}(t)\mathbf{K}^{T}(t)</math>

де передавальний коефіцієнт Калмана задається як

: <math>\mathbf{K}(t)=\mathbf{P}(t)\mathbf{H}^{T}(t)\mathbf{R}^{-1}(t)</math>

Зауважте, що в цьому виразі для <math>\mathbf{K}(t)</math> коваріація шуму спостереження <math>\mathbf{R}(t)</math> представляє одночасно й коваріацію похибки передбачення (або ''нововведення'') <math>\tilde{\mathbf{y}}(t)=\mathbf{z}(t)-\mathbf{H}(t)\hat{\mathbf{x}}(t)</math>; ці коваріації є рівними лише у випадку безперервного часу.<ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Kailath
 | ім'я                = Thomas
 | рік                 = 1968
 | назва               = An innovation approach to least-squares estimation Part I: Linear filtering in additive white noise
 | журнал              = IEEE Transactions on Automatic Control
 | том                 = 13
 | випуск              = 6
 | сторінки            = 646-655
 }} {{ref-en}}

</ref>

Поділу на кроки передбачення та уточнення фільтрування Калмана для дискретного часу в безперервному часі не існує.

Друге диференційне рівняння, що для коваріації, є прикладом [[рівняння Ріккаті]].

== Гібридний фільтр Калмана ==
Більшість фізичних систем представляються моделями безперервного часу, тоді як вимірювання для оцінки стану цифровим обробником часто беруться в дискретному часі. Тому модель системи та модель вимірювання задаються як
: <math>
\begin{align}
\dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{F}(t)\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t)+\mathbf{w}(t), &\mathbf{w}(t) &\sim N\bigl(\mathbf{0},\mathbf{Q}(t)\bigr) \\
\mathbf{z}_k &= \mathbf{H}_k\mathbf{x}_k+\mathbf{v}_k,   &\mathbf{v}_k &\sim N(\mathbf{0},\mathbf{R}_k)
\end{align}
</math>
де
: <math>\mathbf{x}_k=\mathbf{x}(t_k)</math>.

;Ініціалізація
: <math>
\hat{\mathbf{x}}_{0\mid 0}=E\bigl[\mathbf{x}(t_0)\bigr], \mathbf{P}_{0\mid 0}=Var\bigl[\mathbf{x}(t_0)\bigr]
</math>
;Передбачення
: <math>
\begin{align}
&\dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) = \mathbf{F}(t) \hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)
\text{, with }
\hat{\mathbf{x}}(t_{k-1}) = \hat{\mathbf{x}}_{k-1\mid k-1} \\
\Rightarrow
&\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} = \hat{\mathbf{x}}(t_k)\\
&\dot{\mathbf{P}}(t) = \mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t)+\mathbf{P}(t)\mathbf{F}(t)^T+\mathbf{Q}(t)
\text{, with }
\mathbf{P}(t_{k-1}) = \mathbf{P}_{k-1\mid k-1}\\
\Rightarrow
&\mathbf{P}_{k\mid k-1} = \mathbf{P}(t_k)
\end{align}
</math>
Рівнняння передбачення виводяться з рівнянь фільтру Калмана для безперервного часу без уточнення на підставі вимірювань, тобто, з <math> \mathbf{K}(t)=0 </math>. Передбачений стан та коваріація обчислюються відповідно розв'язанням системи диференційних рівнянь з початковим значенням, рівним оцінці на попередньому кроці.

;Уточнення
: <math>\mathbf{K}_{k} = \mathbf{P}_{k\mid k-1}\mathbf{H}_{k}^T\bigl(\mathbf{H}_{k}\mathbf{P}_{k\mid k-1}\mathbf{H}_{k}^T+\mathbf{R}_{k}\bigr)^{-1} </math>
: <math>\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k} = \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} + \mathbf{K}_k(\mathbf{z}_k-\mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1})</math>
: <math>\mathbf{P}_{k\mid k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_{k}\mathbf{H}_{k})\mathbf{P}_{k\mid k-1} </math>
Рівняння уточнення ідентичні тим же рівнянням фільтру Калмана для дискретного часу.

== Варіанти для відновлення розріджених сигналів ==
Нещодавно традиційний фільтр Калмана було застосовано для відновлення розріджених, можливо, динамічних сигналів із зашумлених спостережень. Обидві праці&nbsp;<ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Carmi
 | ім'я                = A.
 | співавтори          = Gurfil P., Kanevsky D.
 | рік                 = 2010
 | назва               = Methods for sparse signal recovery using Kalman filtering with embedded pseudo-measurement norms and quasi-norms
 | журнал              = IEEE Transactions on Signal Processing
 | том                 = 58
 | випуск              = 4
 | сторінки            = 2405–2409
 }} {{ref-en}}

</ref> та&nbsp;<ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Vaswani
 | ім'я                = N.
 | рік                 = 2008
 | назва               = Kalman Filtered Compressed Sensing
 | журнал              = 15th International Conference on Image Processing
 }} {{ref-en}}

</ref> використовують поняття теорії {{Не перекладено|Стиснене сприйняття|стисненого сприйняття||Compressed sensing}}/вибірки, такі як {{Не перекладено|Властивість обмеженої ізометрії|властивість обмеженої ізометрії||Restricted isometry property}} та пов'язані ймовірнісні аргументи відновлення<!-- ? -->, для послідовної оцінки розрідженого стану в системах, яким притаманна низька розмірність.

== Застосування ==
{{Div col||20em}}
* [[Курсовертикаль|Курсовертикалі]]
* [[Автопілот]]и
* Оцінювання стану заряду батарей<ref>

{{Cite journal
 | doi = 10.1016/j.jpowsour.2007.04.011
 | title = A novel combined battery model for state-of-charge estimation in lead-acid batteries based on extended Kalman filter for hybrid electric vehicle applications
 | journal = Journal of Power Sources
 | volume = 174
 | pages = 30
 | year = 2007
 | last1 = Vasebi | first1 = A. 
 | last2 = Partovibakhsh | first2 = M. 
 | last3 = Bathaee | first3 = S. M. T. 
}} {{ref-en}}

</ref><ref>

{{Cite journal
 | doi = 10.1016/j.enconman.2007.05.017
 | title = Predicting state of charge of lead-acid batteries for hybrid electric vehicles by extended Kalman filter
 | journal = Energy Conversion and Management
 | volume = 49
 | pages = 75
 | year = 2008
 | last1 = Vasebi | first1 = A.
 | last2 = Bathaee | first2 = S. M. T. 
 | last3 = Partovibakhsh | first3 = M.
}} {{ref-en}}

</ref>
* [[Нейрокомп'ютерний інтерфейс|Нейрокомп'ютерні інтерфейси]]
* Хаотичні сигнали
* Відстежування [[Заряджена частинка|заряджених частинок]] та встановлення їхніх вершин у [[Детектор частинок|детекторах частинок]]<ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Fruhwirth
 | ім'я                = R.
 | рік                 = 1987
 | назва               = Application of Kalman filtering to track and vertex fitting
 | журнал              = Nucl.Instrum.Meth.
 | місце               = Vienna
 | видавництво         = OAW
 | сторінки            = 444-450
 | volume              = A262
 | issue               = 2–3
 | bibcode             = 1987NIMPA.262..444F
 | doi                 = 10.1016/0168-9002(87)90887-4
}} {{ref-en}}

</ref>
* Відстежування об'єктів у [[Комп'ютерний зір|комп'ютерному зорі]]
* {{Не перекладено|Система динамічного позиціювання|Системи динамічного позиціювання||Dynamic positioning}}
* [[Економіка]], особливо [[макроекономіка]], [[аналіз часових рядів]] та [[економетрія]]<ref>

{{cite book
 |last=Harvey
 |first=Andrew C.
 |chapter=Applications of the Kalman filter in econometrics
 |title=Advances in Econometrics
 |editor-first=Truman
 |editor-last=Bewley
 |editor-link=Трумен Б'юлі
 |location=New York
 |publisher=Cambridge University Press
 |year=1994
 |isbn=0-521-46726-8
 |pages=[https://archive.org/details/advancesineconom00iiecon/page/285 285f]
 |url=https://archive.org/details/advancesineconom00iiecon/page/285
 }} {{ref-en}}

</ref>
* [[Інерціальна навігація]]
* {{Не перекладено|Визначення орбіт|||Orbit determination}}
* Оцінювання стану систем живлення
* {{Не перекладено|Радарний відстежувач|Радарні відстежувачі||Radar tracker}}
* [[Супутникова система навігації|Супутникові системи навігації]]
* [[Сейсмологія]]<ref>

{{cite journal
 |bibcode=2008AGUFM.G43B..01B
 |title=Fusion of High-Rate GPS and Seismic Data: Applications to Early Warning Systems for Mitigation of Geological Hazards
 |journal=American Geophysical Union
 |volume=43
 |pages=01
 |author1=Bock
 |first1=Y.
 |last2=Crowell
 |first2=B.
 |last3=Webb
 |first3=F.
 |last4=Kedar
 |first4=S.
 |last5=Clayton
 |first5=R.
 |last6=Miyahara
 |first6=B.
 |year=2008
}} {{ref-en}}

</ref>
* Бездавачеве керування [[Частотно-регульований привод|частотно-регульованими приводами]] двигунів змінного струму
* [[Одночасне визначення місцезнаходження та картографування]]
* {{Не перекладено|Поліпшення розбірливості мовлення|||Speech enhancement}}
* [[Прогноз погоди|Прогнозування погоди]]
* [[Навігаційна система|Навігаційні системи]]
* [[3D моделювання|3D-моделювання]]
* {{Не перекладено|Контроль утомного пошкодження|||Structural health monitoring}}
* Обробка сенсорно-моторної інформації людини<ref>

{{Стаття
 | прізвище            = Wolpert
 | ім'я                = D.M.
 | співавтори          = Miall R.C.
 | рік                 = 1996
 | місяць              = листопад
 | назва               = Forward Models for Physiological Motor Control
 | журнал              = Neural Netw.
 | том                 = 9
 | випуск              = 8
 | сторінки            = 1265–1279
 | pmid                = 12662535
}} {{ref-en}}

</ref>
{{Div col end}}

== Див. також ==
* {{Не перекладено|Альфа-бета фільтр|||Alpha beta filter}}
* {{Не перекладено|Мінімальна середньоквадратична похибка|Баєсів оцінювач з мінімальною середньоквадратичною похибкою||Minimum mean square error}}
* {{Не перекладено|Перетин коваріацій|||Covariance intersection}}
* {{Не перекладено|Асиміляція даних|||Data assimilation}}
* {{Не перекладено|Ансамблевий фільтр Калмана|||Ensemble Kalman filter}}
* [[Розширений фільтр Калмана]]
* {{Не перекладено|Швидкий фільтр Калмана|||Fast Kalman filter}}
* {{Не перекладено|Задача фільтрування|||Filtering problem (stochastic processes)}}
* {{Не перекладено|Узагальнене фільтрування|||Generalized filtering}}
* {{Не перекладено|Інваріантний розширений фільтр Калмана|||Invariant extended Kalman filter}}
* {{Не перекладено|Ядровий адаптивний фільтр|||Kernel adaptive filter}}
* {{Не перекладено|Лінійно-квадратичне ґаусове керування|||Linear–quadratic–Gaussian control}}
* {{Не перекладено|Оцінювання з рухливим горизонтом|||Moving horizon estimation}}
* [[Нелінійний фільтр]]
* Оцінювач з {{Не перекладено|Частинковий фільтр|частинковим фільтром||Particle filter}}
* {{Не перекладено|Метод передбачення-виправлення|||Predictor-corrector method}}
* {{Не перекладено|Рекурсивний мінімально-квадратичний фільтр|||Recursive least squares filter}}
* {{Не перекладено|Фільтр Шмідта-Калмана|||Schmidt–Kalman filter}}
* {{Не перекладено|Принцип розділення|||Separation principle}}
* {{Не перекладено|Ковзальний режим керування|||Sliding mode control}}
* [[Стохастичне диференціальне рівняння|Стохастичні диференційні рівняння]]
* {{Не перекладено|Ряд Вольтерра|Ряди Вольтерра||Volterra series}}
* {{Не перекладено|Фільтр Вінера|||Wiener filter}}
* {{Не перекладено|Рівняння Закая|||Zakai equation}}

== Примітки ==
{{Примітки|30em}}

== Література ==
{{refbegin|30em}}
* {{ cite book | author = Einicke, G.A. | year = 2012 | title = Smoothing, Filtering and Prediction: Estimating the Past, Present and Future | publisher = Intech | location = Rijeka, Croatia | isbn = 978-953-307-752-9 | url = http://www.intechopen.com/books/smoothing-filtering-and-prediction-estimating-the-past-present-and-future}} {{ref-en}}
* {{ cite book | author = Gelb, A. | year = 1974 | title = Applied Optimal Estimation | publisher = MIT Press | isbn = }} {{ref-en}}
* {{cite journal | author = Kalman, R.E. | year = 1960 | title = A new approach to linear filtering and prediction problems | journal = Journal of Basic Engineering | volume = 82 | issue = 1 | pages = 35–45 | url = http://www.elo.utfsm.cl/~ipd481/Papers%20varios/kalman1960.pdf | accessdate = 2008-05-03 | doi = 10.1115/1.3662552 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20080529105724/http://www.elo.utfsm.cl/~ipd481/Papers%20varios/kalman1960.pdf | archivedate = 2008-05-29 | deadurl = yes }} {{ref-en}}
* {{ cite journal | author = Kalman, R.E. | coauthors = Bucy, R.S. | year = 1961 | title = New Results in Linear Filtering and Prediction Theory | url = http://www.dtic.mil/srch/doc?collection=t2&id=ADD518892| accessdate = 2008-05-03}}{{dead link|date=November 2013}} {{ref-en}}
* {{ cite book | author = Harvey, A.C. | year = 1990 | title = Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter | url = https://archive.org/details/forecastingstruc0000harv | publisher = Cambridge University Press | isbn = }} {{ref-en}}
* {{ cite journal | author = Roweis, S. | coauthors = Ghahramani, Z. | year = 1999 | title = A Unifying Review of Linear Gaussian Models | journal = Neural Computation | volume = 11 | issue = 2 | pages = 305–345 | doi = 10.1162/089976699300016674 | pmid = 9950734 }} {{ref-en}}
* {{ cite book | author = Simon, D. | year = 2006 | title = Optimal State Estimation: Kalman, H Infinity, and Nonlinear Approaches | publisher = Wiley-Interscience | url = http://academic.csuohio.edu/simond/estimation/ | isbn = }} {{ref-en}}
* {{ cite book | author = Stengel, R.F. | year = 1994 | title = Optimal Control and Estimation | publisher = Dover Publications | isbn = 0-486-68200-5 | url = http://www.princeton.edu/~stengel/OptConEst.html }} {{ref-en}}
* {{ cite journal | author = [[Кевін Ворвік|Warwick, K.]] | year = 1987 | title = Optimal observers for ARMA models | journal = International Journal of Control | volume = 46 | issue = 5 | pages = 1493—1503 | url = http://www.informaworld.com/index/779885789.pdf | accessdate = 2008-05-03 | doi = 10.1080/00207178708933989 }} {{ref-en}}
* {{ cite book | author = Bierman, G.J. | year = 1977 | title = Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation | journal = Mathematics in Science and Engineering | volume = 128 | isbn =  978-0-486-44981-4 | publisher = Dover Publications | location = Mineola, N.Y. }} {{ref-en}}
* {{ cite book | author = Bozic, S.M. | year = 1994 | title = Digital and Kalman filtering | publisher = Butterworth–Heinemann | isbn = }} {{ref-en}}
* {{ cite book | author = Haykin, S. | year = 2002 | title = Adaptive Filter Theory | publisher = Prentice Hall | isbn = }} {{ref-en}}
* {{ cite book | author = Liu, W. | coauthors = Principe, J.C. and Haykin, S. | year = 2010 | title = Kernel Adaptive Filtering: A Comprehensive Introduction | publisher = John Wiley | isbn = }} {{ref-en}}
* {{ cite book | author = Manolakis, D.G. | year = 1999 | title = Statistical and Adaptive signal processing | publisher = Artech House | isbn = }} {{ref-en}}
* {{ cite journal | author = Welch, Greg | coauthors = Bishop, Gary | year = 1997 | title = SCAAT: Incremental Tracking with Incomplete Information | url = http://www.cs.unc.edu/~welch/media/pdf/scaat.pdf | pages = 333–344 | isbn = 0-89791-896-7 | doi = 10.1145/258734.258876 | publisher = ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co | chapter = SCAAT }} {{ref-en}}
* {{ cite book | first=Andrew H.  |last= Jazwinski | year = 1970 | title = Stochastic Processes and Filtering | url=https://archive.org/details/stochasticproces00jazw  | publisher = {{Не перекладено|Academic Press|||Academic Press}} | location=New York | series = Mathematics in Science and Engineering | pages=[https://archive.org/details/stochasticproces00jazw/page/n386 376] | isbn=0-12-381550-9 }} {{ref-en}}
* {{ cite book | first=Peter S. |last=Maybeck | year = 1979 | title = Stochastic Models, Estimation, and Control | publisher = {{Не перекладено|Academic Press|||Academic Press}} | location=New York | isbn = 0-12-480701-1 | volume = 141-1 | series = Mathematics in Science and Engineering | pages=423 }} {{ref-en}}
* {{ cite book | author = Moriya, N. | year = 2011 | title = Primer to Kalman Filtering: A Physicist Perspective | publisher = {{Не перекладено|Nova Science Publishers|Nova Science Publishers, Inc||Nova Science Publishers}} | location=New York | isbn = 978-1-61668-311-5 }} {{ref-en}}
* {{ cite journal | author = Dunik, J. | coauthors = Simandl M., Straka O. | year = 2009 | title = Methods for estimating state and measurement noise covariance matrices: Aspects and comparisons | journal = Proceedings of 15th IFAC Symposium on System Identification | place = France | pages = 372–377 }} {{ref-en}}
* {{ cite book | first=Charles K. |last=Chui |first2=Guanrong |last2=Chen | year = 2009 | title = Kalman Filtering with Real-Time Applications | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]] | location=New York | isbn = 978-3-540-87848-3 | volume = 17 | series = Springer Series in Information Sciences | edition = 4th | pages=229 }} {{ref-en}}
* {{ cite journal | author = Spivey, Ben | coauthors = Hedengren, J. D. and Edgar, T. F. | journal = Industrial & Engineering Chemistry Research | volume = 49 | issue = 17 | year = 2010 | title = Constrained Nonlinear Estimation for Industrial Process Fouling | url = http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/ie9018116 | pages = 7824–7831 | doi = 10.1021/ie9018116 }} {{ref-en}}
* {{Не перекладено|Томас Кайлас|Thomas Kailath||Thomas Kailath}}, {{Не перекладено|Алі Сеїд|Ali H. Sayed||Ali H. Sayed}}, and {{Не перекладено|Бабек Хассібі|Babak Hassibi||Babak Hassibi}}, Linear Estimation, Prentice-Hall, NJ, 2000, ISBN 978-0-13-022464-4. {{ref-en}}
* {{Не перекладено|Алі Сеїд|Ali H. Sayed||Ali H. Sayed}}, Adaptive Filters, Wiley, NJ, 2008, ISBN 978-0-470-25388-5. {{ref-en}}
* {{ Стаття | url = http://uapdf.docdat.com/pars_docs/refs/4/3193/3193.pdf | title = Аналіз алгоритмів оптимальної фільтрації за показниками точності при скалярних вимірюваннях | прізвище = Ситник | ім'я = О. О. | співавтори = Раєвський М. В., Кисельова Г. О. | видавець = Черкаський державний технологічний університет | журнал = Відбір і обробка інформації | видавництво = Наукова думка | місце = Київ | рік = 2011 | випуск = 34 (110) | issn = 0474-8662 | формат = PDF}}
{{refend}}

== Посилання ==
* [http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/kalmanPaper.html A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems], Рудольф Калман, 1960 рік {{ref-en}}
* [http://www.eng.tau.ac.il/~liptser/lectures1/lect6.pdf ''Kalman-Bucy Filter''], гарне виведення фільтру Калмана-Бюсі {{ref-en}}
* {{YouTube|d0D3VwBh5UQ|Відеолекція MIT про фільтр Калмана}} {{ref-en}}
* {{YouTube|eCjffhEeQyw|Відеолекція з курсу CS287-FA19 Advanced Robotics (Берклі) про використання фільтру Калмана у робототехніці}} {{ref-en}}
* [http://www.cs.unc.edu/~tracker/media/pdf/SIGGRAPH2001_CoursePack_08.pdf An Introduction to the Kalman Filter], курс [[SIGGRAPH]] 2001, Грег Уелч та Гаррі Бішоп {{ref-en}}
* [http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/media/pdf/maybeck_ch1.pdf Глава про фільтр Калмана] зі ''Stochastic Models, Estimation, and Control, vol. 1'', Пітер Мейбек {{ref-en}}
* Сторінка [http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/ Фільтр Калмана], з великою кількістю посилань {{ref-en}}
* {{ cite web | url=http://www.innovatia.com/software/papers/kalman.htm | title=Kalman Filtering | archiveurl=https://web.archive.org/web/20130623214223/http://www.innovatia.com/software/papers/kalman.htm | archivedate=23.06.2013 }} {{ref-en}}
* [http://www.negenborn.net/kal_loc/ ''Фільтри Калмана'', ґрунтовне введення до декількох типів, а також застосування до ''визначення місцезнаходження роботів''] {{ref-en}}
* {{cite journal | url=http://www.siam.org/pdf/news/362.pdf | title=Kalman filters used in Weather models | journal=SIAM News | volume=36 | issue=8 | date=жовтень 2003 р. | accessdate=21 лютого 2014 | archiveurl=https://web.archive.org/web/20110517044040/http://www.siam.org/pdf/news/362.pdf | archivedate=17 травня 2011 | deadurl=yes }} {{ref-en}}
* [http://pubs.acs.org/cgi-bin/abstract.cgi/iecred/2005/44/i08/abs/ie034308l.html Critical Evaluation of Extended Kalman Filtering and Moving-Horizon Estimation], Ind. Eng. Chem. Res., 44 (8), 2451—2460, 2005. {{ref-en}}
* [http://github.com/rlabbe/Kalman-and-Bayesian-Filters-in-Python Фільтри Калмана та Баєса у Python] Безкоштовна книга про фільтрування Калмана, реалізоване у IPython Notebook. {{ref-en}}
* [http://obex.parallax.com/object/326 Сирцевий код для мікропроцесора Propeller]: Гарно документований сирцевий код, написаний для процесора {{Не перекладено|Parallax Propeller|||Parallax Propeller}}. {{ref-en}}
* [http://netlib.org/a/esl.tgz Бібліотека підпрограм оцінювання Джеральда Бірмана]: відповідає кодові у дослідницькій монографії «Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation» початково опублікованій Academic Press у 1977&nbsp;р. Переобубліковано Dover. {{ref-en}}
* [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/32537 Інструментарій Matlab, що реалізує частини Бібліотеки підпрограм оцінювання Джеральда Бірмана]: UD- / UDU'- та LD- / LDL'-розклад з пов'язаними уточненнями часу та вимірювань, що утворюють фільтр Калмана. {{ref-en}}
* [http://eia.udg.es/~qsalvi/Slam.zip Інструментарій Matlab застосування фільтрування Калмана до одночасного визначення місцезнаходження та картографування]: апарат рухається в 1D, 2D та 3D {{ref-en}}
* [http://www.mrpt.org/6D-SLAM Derivation of a 6D EKF solution to Simultaneous Localization and Mapping] (у [https://web.archive.org/web/20140224120039/http://mapir.isa.uma.es/~jlblanco/papers/RangeBearingSLAM6D.pdf PDF старої версії]). Див. також настанову з [http://www.mrpt.org/Kalman_Filters реалізації фільтру Калмана] з {{Не перекладено|MRPT|бібліотеками C++ MRPT||Mobile Robot Programming Toolkit}}. {{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20130512192346/http://www.tristanfletcher.co.uk/LDS.pdf The Kalman Filter Explained], дуже проста настанова. {{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20160304042652/http://www.cnel.ufl.edu/~weifeng/publication.htm Фільтр Калмана у Гільбертових просторах відтворювальних ядер] Всеосяжне введення. {{ref-en}}
* [http://www.mathfinance.cn/kalman-filter-finance-revisited/ Код Matlab для оцінювання моделі процентних ставок Кокса-Інгерсола-Росса за допомогою фільтру Калмана]: відповідає праці «Estimating and testing exponential-affine term structure models by kalman filter», опублікованій Review of Quantitative Finance and Accounting у 1999&nbsp;р. {{ref-en}}
* [http://apmonitor.com/wiki/index.php/Main/Background Розширені фільтри Калмана], описані у контексті імітації, оцінювання, керування та оптимізації {{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20140226174212/http://www.data-assimilation.net/Tools/AssimDemo/?method=KF Інтерактивний показ фільтру Калмана]. Показ фільтру Калмана (та інших методів засвоєння даних) з використанням парних експериментів. {{ref-en}}
* [http://dx.doi.org/10.3390/s110808164 Обробка зашумлених середовищ: k-NN дельта s, інтерактивний адаптивний фільтр.] у [[Відмовостійке програмування|відмовостійкому]] високопродуктивному [[Навчання з підкріпленням|навчанні з підкріпленням]] через зважені [[Метод k найближчих сусідів|''k'' найближчих сусідів]], Neurocomputing, 74(8), March 2011, pp.&nbsp;1251-1259. {{ref-en}}
* [http://finmathblog.blogspot.com/2013/10/hookes-law-and-kalman-filter-little.html Закон Гука та фільтр Калмана] Маленька «пружинна теорія», що підкреслює зв'язок між статистикою та фізикою. {{ref-en}}
* [http://www.mathworks.com/discovery/kalman-filter.html Приклади та рекомендації з використання фільтрів Калмана у MATLAB] Навчальний посібник з фільтрування та оцінювання {{ref-en}}
* [http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=1565&do=blog&id=851754 Пояснення фільтрування (оцінювання) за одну годину, десять хвилин, одну хвилину та одне речення] від Yu-Chi Ho {{ref-en}}
* [http://habrahabr.ru/post/140274/ Фильтр Калмана&nbsp;— Введение / Хабрахабр] {{ref-ru}}
* [http://habrahabr.ru/post/166693/ Фильтр Калмана / Хабрахабр] {{ref-ru}}

[[Категорія:Теорія керування]]
[[Категорія:Нелінійні фільтри|К]]
[[Категорія:Лінійні фільтри|К]]
[[Категорія:Оцінювання сигналів]]
[[Категорія:Стохастичні диференціальні рівняння]]
[[Категорія:Керування роботами]]
[[Категорія:Марковські моделі]]