Перегляд вихідного коду сторінки Функція помилок

{{не плутати|[[Функція Гаусса|Функцією Гаусса]]}}

[[Файл:Error Function.svg|thumb|right|400px|Графік функції помилок.]]
'''Функція помилок''' або '''Функція помилок Гаусса'''<ref>{{Cite web|title = Модуль math. Спеціальні функції та константи |url = https://www.bestprog.net/uk/2019/11/01/python-module-math-special-functions-and-constants-ua/#q01 |website =bestprog.net/uk|date = 2019-11-01 |accessdate = 2023-10-07 |language=uk}}</ref>&nbsp;— це [[Спеціальні функції|неелементарна функція]], що використовується в [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірності]], [[Математична статистика|статистиці]], [[Рівняння математичної фізики|математичній фізиці]] і визначається як

: <math>\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt</math>.

У багатьох із цих застосувань аргументом функції є дійсне число. Якщо аргумент функції є дійсним, то значення функції також є дійсним.

У статистиці для невід'ємних значень {{mvar|x}} функція помилок має таке трактування: для [[Випадкова величина|випадкової величини]] {{mvar|Y}}, яка має [[нормальний розподіл]] із [[Середнє значення|математичним сподіванням]] 0 та [[Дисперсія випадкової величини|дисперсією]] {{дріб|1|{{radical|2}}}}, {{math|erf ''x''}}&nbsp;— це ймовірність того, що {{mvar|Y}} потрапляє в інтервал {{math|[−''x'', ''x'']}}.

'''Доповнювальна функція помилок''', що позначається <math>\operatorname{erfc}\,x</math> (іноді застосовується позначення <math>\operatorname{Erf}\,x</math>) визначається через функцію помилок:
: <math>\operatorname{erfc}\,x = 1-\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt</math>.

'''Уявна функція помилок''', що позначається <math>w(x)</math>, також визначається через функцію помилок:

: <math>w(x) = e^{-x^2}\operatorname{erfc}\,(-ix)</math>.

== Назва ==
Назва «функція помилок» та її абревіатура {{math|erf}} запропоновані {{нп|Джеймс Лі Глейшер|Джеймсом Глейшером||James Whitbread Lee Glaisher}} в 1871&nbsp;р. через її зв'язок з «теорією ймовірності, і особливо теорією [[Похибки та залишки|помилок]]<nowiki/>»<ref name="Glaisher1871a">{{cite journal|last1=Glaisher|first1=James Whitbread Lee|title= On a class of definite integrals|journal=London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science|date=July 1871|volume=42|pages=294–302|access-date=6 грудня 2017|url=https://books.google.com/books?id=8Po7AQAAMAAJ&pg=RA1-PA294|number=277|series=4|doi=10.1080/14786447108640568}}</ref>. Доповнювальні функції помилок також обговорювалося Глейшером того ж року в окремій публікації.<ref name="Glaisher1871b">{{cite journal|last1=Glaisher|first1=James Whitbread Lee|title=On a class of definite integrals. Part II|journal=London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science|date=September 1871|volume=42|pages=421–436|access-date=6 грудня 2017|url=https://books.google.com/books?id=yJ1YAAAAcAAJ&pg=PA421|series=4|number=279|doi=10.1080/14786447108640600}}</ref>
Для «закону об'єкта» помилок, [[Густина ймовірності|щільність]] якого має вигляд

: <math>f(x)=\left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\tfrac {1}{2}}{\rm e}^{-cx^{2}}</math>

([[нормальний розподіл]]), Глейшер обчислював ймовірність помилки, що лежить між <math>p</math> і <math>q</math>, як

: <math>\left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\tfrac {1}{2}}\int _{p}^{q}{\rm e}^{-cx^{2}}\,{\rm d}x={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname{erf} \left(q{\sqrt {c}}\right)-\operatorname{erf} \left(p{\sqrt {c}}\right)\right).</math>

== Застосування ==
Якщо результати серії вимірювань описуються [[Нормальний розподіл|нормальним розподілом]] із [[Стандартне відхилення|середньоквадратичним відхиленням]] <math>\sigma</math> та [[Математичне сподівання|математичним сподіванням]] 0, то <math>\operatorname{erf} \left({\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)</math>&nbsp;— це ймовірність того, що похибка одного вимірювання лежить між −''a'' та +''a'', при додатному ''a''. Це корисно, наприклад, при визначенні [[Коефіцієнт бітових помилок|коефіцієнта бітових помилок]] цифрової системи зв'язку. Функцію помилок та доповнювальну функцію помилок застосовують, наприклад, у розв'язках [[рівняння теплопровідності]], якщо [[Крайова задача|граничні умови]] задаються [[Функція Гевісайда|функцією Гевісайда]]. Функцію помилок та її наближення можна використовувати для оцінки результатів, які мають місце {{нп|з великою ймовірністю|з великою ймовірністю||With high probability}} або з низькою ймовірністю. Нехай задана випадкова величина <math>X \sim \operatorname{Norm}[\mu,\sigma]</math> і константа <math>L<\mu</math>, тоді
: <math>\Pr[X\leq L]={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname{erf} \left({\frac {L-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)\approx A\exp \left(-B\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)</math>,
де ''A'' і ''B''&nbsp;— деякі числові константи. Якщо ''L'' достатньо далека від математичного сподівання, тобто <math>\mu-L \geq \sigma\sqrt{\ln{k}}</math>, тоді
: <math>\Pr[X\leq L]\leq A\exp(-B\ln {k})={\frac {A}{k^{B}}}</math>,

і ймовірність прямує до 0, якщо <math>k\to\infty</math>.

== Властивості ==

{{multiple image
   | header  =  Підінтегральні функції в комплексній площині
   | direction = vertical
   | width     = 250
   | image1    = ComplexEx2.jpg
   | caption1  = Інтеграл <math>\exp (-z^2)</math>.
   | image2    = ComplexErf.jpg
   | caption2  = <math>\operatorname{erf}(z)</math>
  }}

* Функція помилок [[Непарна функція|непарна]]:
: <math>\operatorname{erf}\,(-x) = -\operatorname{erf}\,x</math>.

* Для будь-якого комплексного <math>x</math> виконується
: <math>\operatorname{erf}\,\bar{x} = \overline{\operatorname{erf}\,x}  </math>
де риска позначає [[комплексне спряження]] числа <math>x</math>.

* Підінтегральні функції <math>f = \exp(-z^2)</math> та <math>f = \operatorname{erf}(z)</math> зображено в комплексній площині ''z'' на рисунках.
Рівень <math>\operatorname{Im} (f) = 0</math> показано товстою зеленою лінією. Від'ємні цілі значення <math>\operatorname{Im}(f)</math> показано товстими червоними лініями. Додатні цілі значення <math>\operatorname{Im}(f)</math> показано товстими синіми лініями. Проміжні рівні <math>\operatorname{Im} (f) = {\rm const}</math> показано тонкими зеленими лініями. Проміжні рівні <math>\operatorname{Re}(f) = {\rm const}</math> показано тонкими червоними лініями для від'ємних значень і тонкими синіми лініями для додатних значень.

* Функція помилок не може бути представлена через [[елементарні функції]], але, розкладаючи інтегрований вираз в [[ряд Тейлора]] і інтегруючи почленно, ми можемо одержати її подання у вигляді ряду:
: <math>\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)</math>
Ця рівність виконується (і ряд сходиться) як для будь-якого [[дійсне число|дійсного]] <math>x</math>, так і на всій [[комплексне число|комплексній площині]]. Послідовність знаменників утворює {{OEIS|A007680}}.

* Для ітеративного обчислення елементів ряду корисно представити його в альтернативному вигляді:
: <math>\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(x \prod_{i=1}^n{\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{x}{2n+1} \prod_{i=1}^n \frac{-x^2}{i}</math>,
оскільки <math>\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}</math>&nbsp;— співмножник, що перетворює <math>i</math>-й член ряду в <math>(i+1)</math>-й, вважаючи першим членом <math>x</math>.
* Уявна функція помилок має дуже схожий ряд Маклорена, а саме
: <math>\operatorname{erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}
={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)</math>,

для будь-якого [[Комплексне число|комплексного числа]] ''z''.

* Функція помилок на нескінченності рівна одиниці; проте це справедливо тільки при наближенні до нескінченності по дійсній осі, оскільки:

* При розгляді функції помилок в комплексній площині точка <math>z=\infty</math> буде для неї істотно особливою.

* [[Похідна|Похідна функції]] помилок виводиться безпосередньо з визначення функції:
: <math>\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\operatorname{erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\rm e}^{-z^{2}}</math>.
Звідси похідна уявної функції помилок:
: <math>{\frac {{\rm d}}{{\rm d}z}}\operatorname{erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\rm e}^{z^{2}}</math>.

[[Первісна|Первісною]] функції помилок, яку можна отримати за допомогою [[інтегрування частинами]], є
: <math> z \operatorname{erf}(z) + \frac{{\rm e}^{-z^{2}}}{\sqrt{\pi}}</math>.

Первісною уявної функції помилок, яку також можна отримати інтегруванням частинами, є
: <math>z\operatorname{erfi} (z)-\frac {{\rm e}^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}</math>.

Похідні вищих порядків задаються формулами
: <math>\operatorname{erf} ^{(k)}(z)=\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}{H}_{k-1}(z){\rm e}^{-z^{2}}
=\frac {2}{\sqrt {\pi }}\frac {{\rm d}^{k-1}}{{\rm d}z^{k-1}}\left({\rm e}^{-z^{2}}\right),\qquad k=1,2,\dots</math>

де <math> \mathit{H} </math>&nbsp;— це [[поліноми Ерміта]]<ref>{{cite web|url = http://mathworld.wolfram.com/Erf.html |publisher =Wolfram|work = MathWorld|title = Erf|last = Weisstein|first = Eric W.}}</ref>.

* Розклад<ref>H. M. Schöpf and P. H. Supancic, "On Bürmann's Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion, " The Mathematica Journal, 2014. doi:10.3888/tmj.16–11.[http://www.mathematica-journal.com/2014/11/on-burmanns-theorem-and-its-application-to-problems-of-linear-and-nonlinear-heat-transfer-and-diffusion/#more-39602/ Schöpf, Supancic]</ref>, який збігається швидше для всіх дійсних значень <math>x</math> ніж ряд Тейлора, отримується за допомогою теореми {{нп|Ганс Генріх Бюрман|Ганса Генріха Бюрмана||Hans Heinrich Bürmann}}<ref>
{{cite web
 | url = http://mathworld.wolfram.com/BuermannsTheorem.html
 | title = Bürmann's Theorem
 | last = Weisstein
 | author-link = Eric W. Weisstein
 | first = E. W.
 | website = Wolfram MathWorld—A Wolfram Web Resource
 }}</ref>:
: <math>\begin{align}
\operatorname{erf}(x) &= \frac 2 {\sqrt{\pi}} \sgn(x) \sqrt{1-{\rm e}^{-x^2}} \left( 1-\frac{1}{12} \left (1-{\rm e}^{-x^2} \right ) -\frac{7}{480} \left (1-{\rm e}^{-x^2} \right )^2 -\frac{5}{896} \left (1-{\rm e}^{-x^2} \right )^3-\frac{787}{276 480} \left (1-{\rm e}^{-x^2} \right )^4 - \cdots \right) \\[10pt]
&= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sgn(x) \sqrt{1-{\rm e}^{-x^2}} \left(\frac{\sqrt{\pi}}{2} + \sum_{k=1}^\infty c_k {\rm e}^{-kx^2} \right)
\end{align}</math>
([[Signum-функція|<math>\operatorname{sgn}</math>]]&nbsp;— це signum-функція). Зберігаючи лише перші два коефіцієнти та вибираючи <math>c_ {1} = \frac {31} {200}</math> та <math>c_ {2 } = - \frac {341} {8000}</math>, отримане наближення показує свою найбільшу відносну похибку при <math>x = \pm 1{,}3796</math>, яка менша ніж <math>3{,}6127 \cdot 10 ^ {- 3}</math>:
: <math>\operatorname{erf} (x)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname{sgn}(x){\sqrt {1-{\rm e}^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}{\rm e}^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}{\rm e}^{-2x^{2}}\right)</math>.

* '''Обернена функція помилок''' є рядом
: <math>\operatorname{erf}^{-1}\,x=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}x\right )^{2k+1} \,\!</math>,
де ''c''<sub>0</sub> = 1 і
: <math>c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\ldots\right\}</math>.

Тому ряд можна подати в наступному вигляді (помітимо, що дроби скорочені):
: <math>\operatorname{erf}^{-1}\,x=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\left (x+\frac{\pi x^3}{12}+\frac{7\pi^2 x^5}{480}+\frac{127\pi^3 x^7}{40320}+\frac{4369\pi^4 x^9}{5806080}+\frac{34807\pi^5 x^{11}}{182476800}+\dots\right ) \,\!</math>[http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/InverseErf/06/01/].

Послідовності чисельників і знаменників після скорочення&nbsp;— A092676 і A132467 у OEIS; послідовність чисельників до скорочення&nbsp;— A002067 у OEIS.

При {{math|{{!}}''z''{{!}} < 1}} має місце співвідношення <math>\operatorname{erf} \left(\operatorname{erf} ^ {- 1} (z) \right) = z</math>.

Обернена доповнювальна функція помилок визначається як

: <math>\operatorname{erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname{erf} ^{-1}(z)</math>.

Для дійсного ''x'' існує єдине дійсне число <math>\operatorname{erfi}^{- 1} (x)</math>, що <math>\operatorname{erfi} \left(\operatorname{erfi}^{-1}(x)\right)=x</math>. Обернена уявна функція помилок визначається як <math>\operatorname{erfi}^{-1}(x)</math><ref>{{cite arXiv|last1=Bergsma|first1=Wicher|title=On a new correlation coefficient, its orthogonal decomposition and associated tests of independence|eprint=math/0604627|year=2006}}</ref>.

Для будь-якого дійсного ''x'' можна використовувати [[метод Ньютона]] для обчислення <math>\operatorname{erfi} ^{-1}(x)</math>, а при <math>-1\leq x\leq 1</math> наступний ряд Макролена є збіжним:

: <math>\operatorname{erfi} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}\left(\frac {\sqrt {\pi }}{2}z\right)^{2k+1}</math>,

де коефіцієнти ''c''<sub>''k''</sub> визначені вище.

[[Файл:Error Function Complementary.svg|thumb|right|400px|Доповнювальна функція помилок]]

== Асимптотичний розклад ==

Корисним [[Асимптотичний розклад|асимптотичним розкладом]] доповнювальної функції помилок (а отже, і функції помилок) для великих дійсних <math>x</math> є
: <math>\operatorname{erfc} (x)=\frac {{\rm e}^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {{\rm e}^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}</math>,

де (2''n''&nbsp;–&nbsp;1)!!&nbsp;— [[подвійний факторіал]] числа (2''n''&nbsp;–&nbsp;1), який є добутком усіх непарних чисел до (2''n''&nbsp;–&nbsp;1) включно. Цей ряд розбігається для будь-якого скінченного <math>x</math>, і його зміст як асимптотичного розкладу полягає в тому, що для будь-якого <math>N \in \N</math>

: <math>\operatorname{erfc} (x)=\frac {{\rm e}^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}+R_{N}(x)</math>,

де залишок, в [[Нотація Ландау|позначеннях ''O'' великого]],
: <math>R_{N}(x)=O\left(x^{1-2N}{\rm e}^{-x^{2}}\right)</math>

при <math>x\to\infty.</math>

Дійсно, точне значення залишку становить

: <math>R_{N}(x)={\frac {(-1)^{N}}{\sqrt {\pi }}}2^{1-2N}{\frac {(2N)!}{N!}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}{\rm e}^{-t^{2}}\,{\rm d}t</math>,

яке легко отримується за допомогою індукції з використанням формули

: <math>{\rm e}^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}\left({\rm e}^{-t^{2}}\right)'</math>

та інтегрування частинами.

Для досить великих значень <math>x</math> потрібні лише перші кілька членів цього асимптотичного розкладу, щоб отримати гарне наближення для функції <math>\operatorname{erfc} (x)</math> (тоді як для не надто великих значень <math>x</math> вищенаведений ряд Тейлора у точці <math>0</math> забезпечує більш швидку збіжність).

== Розвинення в ланцюговий дріб ==
Представлення доповнювальної функції помилок через [[ланцюговий дріб]] має вигляд<ref>{{cite book| last1 = Cuyt
  | first1 = Annie A. M.|author1-link= Annie Cuyt
  | last2 = Petersen
  | first2 = Vigdis B.
  | last3 = Verdonk
  | first3 = Brigitte
  | last4 = Waadeland
  | first4 = Haakon
  | last5 = Jones
  | first5 = William B.
  | title = Handbook of Continued Fractions for Special Functions
  | publisher = Springer-Verlag
  | year = 2008
  | isbn = 978-1-4020-6948-2
}}</ref>Ж
: <math>\operatorname{erfc}(z) = \frac{z}{\sqrt{\pi}}{\rm e}^{-z^2} \cfrac{1}{z^2+ \cfrac{a_1}{1+\cfrac{a_2}{z^2+ \cfrac{a_3}{1+\dotsb}}}}\qquad a_m = \frac{m}{2}.</math>

== Інтеграл функції помилок з функцією розподілу Гаусса ==
: <math>\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname{erf} \left(ax+b\right){\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}{\rm e}^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,{\rm d}x=\operatorname{erf} \left[{\frac {a\mu +b}{\sqrt {1+2a^{2}\sigma ^{2}}}}\right],\qquad a,b,\mu ,\sigma \in \mathbb {R}</math>

який отриманий Нг та Геллером за допомогою зміни змінних, формула 13 у параграфі 4.3<ref>{{cite journal |last1=Ng |first1=Edward W. |last2=Geller |first2=Murray |title=A table of integrals of the Error functions |journal=Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B |date=January 1969 |volume=73B |issue=1 |pages=1 |doi=10.6028/jres.073B.001}}</ref>.

== Факторіальний ряд ==
* Обернений факторіальний ряд
:: <math>\begin{align}
\operatorname{erfc} z &= \frac{{\rm e}^{-z^2}}{\sqrt{\pi}\,z} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n Q_n}{{(z^2+1)}^{\bar{n}}}\\
   &= \frac{{\rm e}^{-z^2}}{\sqrt{\pi}\,z}\left(1 -\frac{1}{2}\frac{1}{(z^2+1)} + \frac{1}{4}\frac{1}{(z^2+1)(z^2+2)} - \cdots \right)
\end{align}</math>
є збіжним при <math>\operatorname{Re} (z^{2})>0</math>. Тут
: <math>Q_{n}{\stackrel {\text{def}}{=}}{\frac {1}{\Gamma (1/2)}}\int _{0}^{\infty }\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-1/2}{\rm e}^{-\tau }\,{\rm d}\tau =\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\bar {k}}s(n,k),</math>
через <math>z^{\bar{n}}</math> позначено [[зростаючий факторіал]], а <math>s(n,k)</math>&nbsp;— [[число Стірлінга першого роду]]<ref>{{cite journal|last=Schlömilch|first=Oskar Xavier|author-link=Oscar Schlömilch|year=1859|title=Ueber facultätenreihen|url=https://archive.org/details/zeitschriftfrma09runggoog|journal={{iw|Zeitschrift für Mathematik und Physik|Zeitschrift für Mathematik und Physik|de}}|language=de|volume=4|pages=390–415|access-date=2017-12-04}}</ref><ref>Eq (3) on page 283 of {{cite book|last=Nielson|first=Niels|url=https://archive.org/details/handbuchgamma00nielrich|title=Handbuch der Theorie der Gammafunktion|date=1906|publisher=B. G. Teubner|location=Leipzig|language=de|access-date=2017-12-04}}</ref>
* Представлення нескінченною сумою, що містить [[подвійний факторіал]]:

: <math>\operatorname{erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}</math>.

== Споріднені функції ==

З точністю до масштабу і зсуву, функція помилок збігається з [[функція розподілу ймовірностей|функцією розподілу ймовірностей]] [[нормальний розподіл|нормального розподілу]], що позначається <math>\Phi(x)</math>:
: <math>\Phi(x) = \frac{1}{2}\left(1+\operatorname{erf}\,\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\,</math>.

[[Зворотна функція]] до <math>\Phi</math>, відома як [[нормальна квантильна функція]], іноді позначається <math>\operatorname{probit}</math> і виражається через нормальну функцію помилок як
: <math>
\operatorname{probit}\,p = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2},\operatorname{erf}^{-1}(2p-1)
</math>.

Нормальний інтегральний розподіл частіше застосовується в теорії ймовірності і математичній статистиці, тоді як функція помилок частіше застосовується в інших розділах математики.

Функція помилок є окремим випадком [[Функція Міттаг-Лефлера|функції Міттаг-Лефлера]], а також може бути представлена як вироджена [[гіпергеометрична функція]] ([[функція Куммера]]):
: <math>\operatorname{erf}\,x=
\frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right)</math>.

Функція помилок виражається також через [[Інтеграли Френеля|інтеграл Френеля]]. У термінах [[неповна гамма-функція|регуляризованої неповної гамма-функції P]] і [[неповна гамма-функція|неповної гамма-функції]]
: <math>\operatorname{erf}\,x=\operatorname{sign}\,x\,P\left(\frac{1}{2}, x^2\right)={\operatorname{sign}\,x \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\frac{1}{2}, x^2\right)</math>.

=== Узагальнені функції помилок ===

[[Файл:Error Function Generalised.svg|right|thumb|250px|Графік узагальнених функцій помилок <math>E_n(x)</math>:<br/>
сіра лінія: <math>E_1(x)=(1-e^{-x})/\sqrt{\pi}</math> <br/>
червона лінія: <math>E_2(x)=\operatorname{erf},x</math><br/>
зелена лінія: <math>E_3(x)</math><br/>
синя лінія: <math>E_4(x)</math><br/>
жовта лінія: <math>E_5(x)</math>.]]

Також можна розглянути загальніші функції:

: <math>E_n(x) = \frac{n!}\sqrt{\pi}\int\limits_0^x e^{-t^n},\mathrm dt
=\frac{n!}\sqrt{\pi}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}(np+1)p!},.</math>

Окремими вартими уваги випадками є:
* <math>E_0(x)</math>&nbsp;— пряма лінія, що проходить через [[початок координат]]: <math>E_0(x)=\frac{x}e \sqrt{\pi}</math>
* <math>E_2(x)</math>&nbsp;— функція помилок <math>\operatorname{erf},x</math>.

Після ділення на <math>n!</math> всі <math>E_n</math> з непарними <math>n</math> виглядають схоже (але не ідентично). Всі <math>E_n</math> з парними <math>n</math> теж виглядають схоже, але не ідентично, після ділення на <math>n!</math>. Всі [[Узагальнена функція|узагальнені функції]] помилок з <math>n>0</math> виглядають схоже на напівосі <math>x>0</math>.

На напівосі <math>x>0</math> всі узагальнені функції можуть бути виражені через [[гамма-функція|гамма-функцію]]:

: <math>E_n(x) = \frac{x\left(x^n\right)^{-1/n}\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi},
\qquad
x>0</math>

Отже, ми можемо виразити функцію помилок через гамма-функцію:
: <math>\operatorname{erf}\,x = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}</math>.

=== Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок ===

Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок визначаються як
: <math>
i^n\,\operatorname{erfc},z = \int\limits_z^\infty i^{n-1},\operatorname{erfc},\zeta\,\mathrm d\zeta.\,
</math>

Їх можна розкласти в ряд:
: <math>
i^n\,\operatorname{erfc}\,z 
=
 \sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,
</math>.
звідки випливають властивості симетрії
: <math>
i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,(-z)
= -i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,z
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}
</math>

і

: <math>
i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,(-z)
=i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,z
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,
</math>.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.'' New York: Dover, 1972.

[[Категорія:Спеціальні функції]]
[[Категорія:Ґаусова функція|Помилок]]
[[Категорія:Функції пов'язані з розподілами ймовірностей]]
[[Категорія:Аналітичні функції|Помилок]]