Перегляд вихідного коду сторінки Функція Міттаг-Лефлера

'''Функція Міттаг-Лефлера''' — функція Ec(z)  [[комплексне число|комплексної змінної]] ''z'', введена [[Йоста Міттаг-Леффлер|Міттаг-Лефлером]] в [[1905]] році як узагальнення [[показникова функція|показникової функції]]:
: <math>\Epsilon_\alpha(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{\Gamma(\alpha k+1)}</math>, <math>\alpha\in(0,+\infty)</math>
В даній формулі <math>\Gamma</math> позначає [[гамма-функція|гамма-функцію]].
Для вказаних значень параметра <math>\alpha</math> функція Міттаг-Лефлера є [[голоморфна функція|голоморфною]] на всій комплексній площині.
Можна також визначити узагальнені функції Міттаг-Лефлера:
: <math>\Epsilon_{\alpha,\beta}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{\Gamma(\alpha k+\beta)}</math>, <math>\alpha, \beta \in \Complex</math>.
Якщо [[дійсне число|дійсна]] частина <math>\alpha</math> — [[додатне число]] то даний [[ряд (математика)|ряд]] є збіжним для всіх значень комплексного аргументу і функція є голоморфною на всій комплексній площині.

== Приклади ==
*[[Показникова функція]]:
:<math>E_{1}(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{\Gamma (k + 1)} = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} = \exp(z).</math>

*[[Функція помилок]]:
:<math>E_{1/2}(z) = \exp(z^2)\operatorname{erfc}(-z).</math>

*[[Гіперболічний косинус]]:
:<math>E_{2}(z) = \cosh(\sqrt{z}).</math>

*Сума [[геометрична прогресія|геометричної прогресії]]:
:<math>E_{0}(z) = \frac{1}{1-z}.</math>
:В даному прикладі параметр рівний нулю, тож функція не є голоморфною в точці 1.

== Посилання ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Mittag-LefflerFunction.html Функція Міттаг-Лефлера на сайті MathWorld]

== Література ==
* Гольдберг А.А., Островский И.В., Распределение значений мероморфных функций, М., 1970. 

[[Категорія:Спеціальні функції]]