Перегляд вихідного коду сторінки Функція Ляпунова

У теорії [[Звичайне диференціальне рівняння|звичайних диференціальних рівнянь]], '''функція Ляпунова''' є [[Числова функція|скалярною функцією]], яка може бути використана як доказ стійкості [[точка рівноваги | рівноваги]] рівняння. Названа на честь [[Росія|російського]] [[математик]]а [[Ляпунов Олександр Михайлович|Олександра Ляпунова]]. Функції Ляпунова мають важливе значення для [[теорія стійкості]] та [[теорія керування]]. Аналогічна концепція з'являється у загальній теорії простору станів [[ланцюг Маркова|ланцюгів Маркова]], як правило, під назвою [[функція Ляпунова-Фостера]]

Для багатьох класів звичайних диференціальних рівнянь, існування функцій Ляпунова є необхідною і достатньою умовою для стійкості. Хоч немає загальної методики побудови функцій Ляпунова для звичайних диференціальних рівнянь, у багатьох конкретних випадках, конструювання функцій Ляпунова відоме. Наприклад, [[квадратична функція | квадратичної]] функції достатньо для систем з однією змінною, розв'язок певної [[лінійна матрична нерівність|лінійної матричної нерівності]] забезпечує функцію Ляпунова для лінійних систем. [[Закони збереження]] можуть бути використані для побудови функцій Ляпунова для фізичної системи.

Неформально, функція Ляпунова&nbsp;— це функція, яка приймає позитивні значення всюди, за винятком точки рівноваги, і зменшується (або не зростає) вздовж кожної траєкторії звичайного диференціального рівняння. Основна перевага методу аналізу стійкості систем звичайних диференціальних рівнянь на основі функцій Ляпунова полягає в тому, що розв'язок системи рівнянь (аналітичний або чисельний) не потрібен.

== Визначення кандидата функції Ляпунова ==
Нехай
: <math>V:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>
— неперервна [[скалярна функція]]. <br/>
<math>V</math> називається кандидатом функції Ляпунова, якщо локально вона є [[Додатновизначена функція|додатновизначеною функцією]], тобто

: <math>V(0) = 0 \,</math>
: <math>V(x) > 0 \quad \forall x \in U\setminus\{0\}</math>

з <math>U</math>, що є околом точки <math>x = 0</math>

== Точка рівноваги ==

Нехай
: <math>g\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math>
: <math>\dot{y} = g(y) \,</math>
буде довільною автономною [[Динамічна система|динамічною системою]] з точкою рівноваги <math>y^* \,</math>:
: <math>0 = g(y^*) \,</math>

Завжди існує перетворення координат <math>x = y - y^* \,</math>, таке що:
: <math>\dot{x} = g(x + y^*) = f(x) \,</math>
: <math> f(0) = 0 \,</math>

Тоді нова система <math>f(x)</math> має точку рівноваги у початку координат.

== Теореми Ляпунова для автономних систем ==

: {{main|Стійкість (динамічні системи)}}

Нехай
: <math>x^* = 0 \,</math>
є точкою рівноваги системи автономних диференціальних рівнянь
: <math>\dot{x} = f(x) \,</math>

І нехай
: <math>\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} = \nabla V \cdot \dot{x} = \nabla V\cdot f(x)</math>
буде похідна по часу кандидата на функцію Ляпунова <math>V</math>.

=== Стійкість точки рівноваги ===

Якщо кандидат-функція Ляпунова <math>V</math> є локально [[Додатноозначена функція|додатноозначеною]] і похідна за часом є локально від'ємною напівозначеною:
: <math>\dot{V}(x) \leq 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}</math>
у деякому околі <math>\mathcal{B}</math> точки <math>0</math>, тоді точка рівноваги є [[Теорія стійкості|стійкою]].

=== Локальна асимптотична стійкість ===

Якщо кандидат-функція Ляпунова <math>V</math> є локально додатноозначеною і похідна за часом локально є від'ємноозначеною:
: <math>\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}</math>
у деякому околі <math>\mathcal{B}</math> точки <math>0</math>, тоді точка рівноваги є [[Теорія стійкості|локально асимптотично стійкою]].

=== Глобальна асимптотична стійкість ===

Якщо кандидат-функція Ляпунова <math>V</math> є глобально додатноозначеною, радіально необмеженою і похідна за часом є глобально від'ємноозначеною:
: <math>\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\},</math>
тоді точка рівноваги [[Теорія стійкості|глобально асимптотично стійкість]].

Якщо кандидат-функція Ляпунова <math>V(x)</math> є радіально необмеженою якщо
: <math>\| x \| \to \infty  \Rightarrow V(x) \to \infty </math>.
(Це також називають нормованою коерцитивністю.)

== Приклад ==
Розглянемо наступне диференціальне рівняння із розв'язком x на <math>\mathbb{R}</math>:
: <math>\dot x = -x.</math>

Беручи до уваги, що функція |x| є завжди додатною в околі початку координат, то вона є природним вибором кандидат-функції Ляпунова для вивчення поведінки x.
Отже, нехай <math>V(x)=|x|</math> на <math>\mathbb{R}\setminus\{0\}</math>. Тоді,
: <math>\dot V(x) = V'(x) f(x) = \mathrm{sign}(x)\cdot (-x) = -|x|<0.</math>
Це показує те що точка рівноваги дифиренціального рівняння є асимптотично стійким в околі початку координат.

== Див. також ==
* [[Звичайні диференціальні рівняння]]
* [[Контоль-функція Ляпунова]]
* [[Теорема Фостера]]
* [[Теорема Барбашина-Красовського]]

== Джерела ==
* М.&nbsp;О.&nbsp;Перестюк, О.&nbsp;С.&nbsp;Чернікова. [https://web.archive.org/web/20160304224308/http://mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/teor_stij.pdf''Теорія стійкості'']. {{ref-ua}} 
* {{mathworld|urlname=LyapunovFunction}} {{ref-en}}
* Scholarpedia, [http://www.scholarpedia.org/article/Stability Stability]. {{ref-en}}
* {{Самойленко.Перестюк.Парасюк.Диференціальні рівняння}}
* {{cite book
 | author = Khalil, H.K.
 | year = 1996
 | title = Nonlinear systems
 | publisher = Prentice Hall Upper Saddle River, NJ
 | isbn = 
}} {{ref-en}}
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}

== Посилання ==
* [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/ODELF1 Приклад] визначення стійкості точки рівноваги системи звичайний диференціальних рівнянь за допомогою функції Ляпунова
* [https://web.archive.org/web/20070907073555/http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/Lyapunov.htm Деякі діаграми Ляпунова]

[[Категорія:Диференціальні рівняння]]
[[Категорія:Динамічні системи]]
[[Категорія:Теорія керування]]