Перегляд вихідного коду сторінки Функтор

{{вичитати}}
'''Функтор'''&nbsp;— [[відображення]] однієї [[категорія (математика)|категорії]] в іншу, узгоджене зі структурою категорій. Функтори були вперше введені в [[алгебраїчна топологія|алгебраїчній топології]], де [[алгебраїчна структура|алгебраїчні структури]] пов'язуються з [[топологічний простір|топологічними просторами]], а їхні [[гомоморфізм]]и&nbsp;— з [[неперервне відображення|неперервними відображеннями]]. В наш час{{коли}} функтори використовуються в багатьох розділах [[математика|математики]] для встановлення зв'язків між різними категоріями. Термін «функтор» був взятий математиками з робіт [[філософ]]а [[Рудольф Карнап|Р. Карнапа]].

== Визначення ==

'''Одномісним коваріантним функтором''' <math>\mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D}</math> з категорії <math>\mathcal{C}</math> у категорію <math>\mathcal{D}</math>, називається пара [[відображення|відображень]] <math>\mathcal{F}_{Ob}\colon Ob\,\mathcal{C} \to Ob\,\mathcal{D}</math> <math>\mathcal{F}_\mathrm{Hom}\colon\mathrm{Hom}\,\mathcal{C} \to \mathrm{Hom}\,\mathcal{D}</math> що позначаються зазвичай однією і тією ж буквою, наприклад ''F'' , та задовольняють умовам: 
# <math>F(id_A) = id_{F(A)}\,</math> для кожного <math>A \in Ob\,\mathcal{D}</math>; 
# <math>F(g\circ f) = F(g)\circ F(f)</math> для будь-яких морфізмів <math>f  \in \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A, B)</math> і <math> g \in \mathrm{Hom}_\mathcal{D} (B, C)</math>. 
Функтор з категорії <math>\mathcal{C}^*</math>, двоїстої категорії <math>\mathcal{C}</math>, у категорію <math>\mathcal{D}</math> називається '''одномісним контраваріантним функтором''' з <math>\mathcal{C}</math> у <math>\mathcal{D}</math>. Таким чином для контраваріантного функтора <math>\mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D}</math> як і раніше повинна виконуватися умова 1), а замість умови 2) — умова 2*) <math>F(g\circ f) = F(f)\circ F(g)</math> для будь-яких [[морфізм]]ів <math>f  \in \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A, B)</math><math>g \in \mathrm{Hom}_\mathcal{D} (B, C)</math>. 

'''n-містним функтором''' з категорій <math>\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \mathcal{C}_3, ... , \mathcal{C}_n</math> в категорію <math>\mathcal{D}</math>, коваріантним за аргументами <math>1 < i_1 < i_2 < ... < i_k < n</math> і контраваріантним за рештою аргументів, називається функтор з [[декартовий добуток|декартового добутку]] категорій <math>\prod_{i=1}^n \bar \mathcal{C}_i</math> у категорію <math>\mathcal{D}</math>, де <math>\bar \mathcal{C}_i = \mathcal{C}_i</math> при <math>i  = i_1,i_2 ,... ,i_k </math> і <math>\bar \mathcal{C}_i = \mathcal{C}_i^*</math> при інших ''i''. Двомісні функтори, коваріантні за обома аргументами, називаються біфункторами.  

=== Поліноміальний функтор ===
В алгебрі [[поліноміальний функтор]] є ендофунктором у категорії <math>\mathcal{V}</math> [[Скінченновимірний простір|скінченновимірних]] векторних просторів, що поліноміально не залежить від векторних просторів. 

Нехай <math>E</math> та <math>F</math> - однорідні поліноміальні функтори степенів <math>m</math> та <math>n</math> відповідно. Тоді <math>E\otimes F:X\mapsto E(X)\otimes F(X)</math> - однорідний поліноміальний функтор степеня <math>m+n,</math> який відповідає представленню групи <math>S_{m+n}.</math>


== Приклади ==

# Функтор <math>\mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D}</math>, що відображає кожен об'єкт категорії <math>\mathcal{C}</math> в деякий фіксований об'єкт ''X'' категорії <math> \mathcal{D}</math>, а кожен морфізм категорії <math>\mathcal{C}</math> в одиничний морфізм на об'єкті ''X'' називавається сталим функтором.
# [[Тотожне відображення]] довільної категорії <math>\mathcal{C}</math> в себе є одномісним коваріантним функтором, який називається тотожним функтором категорії і позначається <math>Id_\mathcal{C}</math>.
# Нехай <math>\mathcal{C}</math>&nbsp;— довільна категорія <math>\mathcal{O}</math>&nbsp;— категорія множин, ''А''&nbsp;— фіксований об'єкт з <math>\mathcal{C}</math>. Зіставлення кожному <math>X \in Ob\,\mathcal{C}</math> множини <math>\mathrm{Hom}^A(X) = \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,X)</math> і кожному морфізму <math>F \colon X \to Y</math> відображення <math>\mathrm{Hom}^A_f \colon \mathrm{Hom}^A(X) \to \mathrm{Hom}^A(Y)</math>, де <math>\mathrm{Hom}^A_f(g) = gf</math> для кожного <math>g \in \mathrm{Hom}^A(X)</math>, є функтором з <math>\mathcal{C}</math> у <math>\mathcal{O}</math>. Цей функтор називається основним коваріантним функтором з <math>\mathcal{C}</math> у <math>\mathcal{O}</math> з представляючим об'єктом ''А''. За допомогою двоїстості визначається контраваріантний функтор з <math>\mathcal{C}</math> у <math>\mathcal{O}</math> з представляючим об'єктом ''А''. Ці функтори позначаються <math>\mathrm{Hom}^A</math> і <math>\mathrm{Hom}_A</math> відповідно. Якщо <math>\mathcal{C}</math>&nbsp;— категорія [[векторний простір|векторних просторів]] над [[поле (алгебра)|полем]] ''K'', то функтор <math>\mathrm{Hom}_K\,</math> задає перехід від простору ''Е'' до простору лінійних функціоналів ''Е<sup>*</sup>''. У категорії [[топологічна група|топологічних абелевих груп]] функтор <math>\mathrm{Hom}_Q\,</math>, де ''Q''&nbsp;— [[факторгрупа]] групи [[дійсне число|дійсних чисел]] по [[підгрупа|підгрупі]] [[ціле число|цілих чисел]], зіставляє кожній групі її групу характерів.

У будь-якій категорії зі скінченними [[добуток|добутками]], добуток можна розглядати як n-місний функтор, коваріантний за всіма аргументами, при будь-якому [[натуральне число|натуральному]] ''n''. Як правило, конструкції, що визначаються для будь-якого об'єкта категорії або для будь-якої послідовності об'єктів фіксованої довжини незалежно від індивідуальних властивостей об'єктів, є функторами. Такі, наприклад, конструкція вільних алгебр деякого многовиду [[універсальна алгебра|універсальних алгебр]], що однозначно зіставляються кожному об'єктові категорії [[множина|множин]], конструкція [[фундаментальна група|фундаментальної групи]] [[топологічний простір|топологічного простору]], конструкції груп [[гомологія|гомології]] і [[когомологія|когомології]] різних розмірностей і&nbsp;т.&nbsp;д.

Будь-який функтор <math>\mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D}</math> визначає відображення кожної множини <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A, B)</math> в множину <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(F(A),F(B)</math> зіставляючи морфізму <math>f \colon A \to B</math> морфізм <math>F(f) \colon F(A) \to F(B)</math>. функтор ''F'' називається [[Повні і унівалентні функтори|унівалентним]], якщо всі вказані відображення [[ін'єкція (математика)|ін'єктивні]], і [[Повні і унівалентні функтори|повним]], якщо всі ці відображення [[сюр'єкція|сюр'єктивні]].

<br />

== Див. також ==
* [[Забутливий функтор]]
* [[Конкретна категорія]]

== Література ==
* Математическая энциклопедия / Под ред. И.&nbsp;М.&nbsp;Виноградова.&nbsp;— М.: Мир, 1985.
* ''С. Маклейн'' Категории для работающего математика,&nbsp;— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.&nbsp;— 352 с&nbsp;— ISBN 5-9221-0400-4.
* ''И. Букур, А. Деляну'' Введение в теорию категорий и функторов.&nbsp;— М.: Мир, 1972.
* ''Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г.'' Основы теории категорий.&nbsp;— М.: Наука, 1974.

[[Категорія:Теорія категорій]]