Перегляд вихідного коду сторінки Фундаментальна послідовність

{{multiple image
 | align     = right
 | direction = vertical
 | width     = 250
 | image1    = Cauchy sequence illustration.svg
 | caption1  = (a) Графік фундаментальної [[послідовність (математика)|послідовності]] <math>(x_n),</math> зображений синім. Якщо простір, що містить послідовність є повним, границя існує.
 | image2    = Cauchy sequence illustration2.svg
 | caption2  = (b) Послідовність не фундаментальна. Елементи послідовності не наближаються як завгодно близько один до одного із поступом послідовності.
}}
'''Фундаментальна послідовність'''&nbsp;— в [[математичний аналіз|математичному аналізі]] [[послідовність]], члени якої наближаються як завгодно близько один до одного зі збільшенням порядкових номерів. Фундаментальні послідовності [[дійсні числа|дійсних чисел]] завжди є [[збіжна послідовність|збіжними]], і тому послідовність можна перевірити на [[збіжність]] (так зв. '''[[збіжність за Коші]]''') не знаходячи фактичного значення її [[границя послідовності|границі]]. Поняття фундаментальної послідовності узагальнюється на довільні [[метричний простір|метричні простори]]. На відміну від дійсних чисел, воно може не бути [[Логічна еквівалентність|еквівалентним]] до збіжності. '''Повний метричний простір''' нагадує дійсні числа у тому, що будь-яка фундаментальна послідовність є збіжна.

== Означення ==
* Послідовність <math>\ x_1, x_2, x_3, \ldots </math> елементів [[метричний простір|метричного простору]] <math>\ (M,d)</math> називається '''фундаментальною послідовністю''', якщо для кожного дійсного <math>\ \epsilon>0</math> існує таке [[натуральне число|ціле]] <math>\ N</math> (яке залежить від <math>\ \epsilon</math>), що для всіх цілих <math>\ m, n > N</math> виконується
<math>\rho(x_m , x_n )<\epsilon</math> (так званий [[критерій Коші]]).

Трохи неформально висловлюючись, вимагаємо, що члени послідовності <math>x</math> із достатньо великими індексами (більшими за <math>N</math>) стають як завгодно близькими один до одного у <math>M</math> (відстань менша за <math>\epsilon</math>). Це наштовхує на думку про існування границі фундаментальної послідовності у <math>M</math>. Але насправді границі може й не бути! А саме,

* Метричний простір <math>\ (M,d),</math> в якому кожна фундаментальна послідовність має [[границя послідовності|границю]] в <math>\ M,</math> називають '''повним'''.

(Неформально: у <math>M</math> «немає дірок», множина точок розриву є множина міри 0, М&nbsp;— вимірна за [[Міра Жордана|Жорданом]].)

Будь-який метричний простір <math>(M,d)</math> можна [[поповнювання|поповнити]], тобто
розширити його до простору
: <math>(\overline{M},\overline{d}), \quad M\subseteq\overline{M},\quad  \overline{d}(x,y)=d(x,y)\quad \forall x,y\in M,</math>
приєднавши границі усіх фундаментальних послідовностей з <math>M.</math>

== Приклади ==
1. Будь-яка збіжна послідовність у довільному метричному просторі&nbsp;— фундаментальна. Наприклад: <math>x_n=1/n\in\Q,</math> що має границю <math>0\in\Q,</math>&nbsp;— фундаментальна.

2. Множина <math>\R</math> [[дійсні числа|дійсних чисел]] із звичайною відстанню
<math>d(x,y)=|x-y|</math> є повним метричним простором. (Це одна із найвизначніших властивостей
дійсних чисел, що може бути навіть використана для їх аксіоматичної характеризації.)
Тому довільна фундаментальна послідовність дійсних чисел має границю в <math>\R</math>. Повнота <math>\R</math> дозволяє надати умови для збіжності послідовності (або ряду) дійсних чисел без обчислювання її (його) границі (див. [[критерій Вейєрштраса]]). Наприклад, визначимо послідовність за правилом

{{center|<math>x_1=1, x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n^2+3}</math>}}

(послідовності схожого типу з'являються у [[метод Ньютона|методі Ньютона]] розв'язання
рівнянь). Тоді неважко довести, що це&nbsp;— фундаментальна послідовність дійсних чисел, тому
вона має певну границю <math>x=\lim_{n\to\infty}x_n\in\R.</math>

3. Зауважимо, що всі члени щойно побудованої послідовності&nbsp;— [[раціональні числа]], але її границя&nbsp;— [[ірраціональні числа|ірраціональне число]]. Справді, <math>x=x/2+1/(x^2+3),</math> звідки одержуємо, що <math>x^3+3x-2=0,</math> тому <math>x\notin\Q.</math> Розглянута як послідовність елементів з <math>\Q</math> із звичайною відстанню, вона так само є фундаментальною. Оскільки ми винайшли фундаментальну послідовність раціональних чисел, яка не має границі серед раціональних чисел, метричний простір <math>\Q</math> не є повним. Одне із класичних означень дійсних чисел&nbsp;— вони є поповнення раціональних чисел, <math>\R=\overline{\Q}</math> (див. вище).

4. Розглянемо метричний простір <math>\Z</math> [[цілі числа|цілих чисел]] із звичайною відстанню <math>d(x,y)=|x-y|.</math> Тоді неважко переконатися, що послідовність <math>(x_n)</math>&nbsp;— фундаментальна лише тоді, якщо вона «згодом постійна», тобто всі її члени із достатньо великими індексами дорівнюють певній цілій константі <math>C\in\Z.</math> Справді, обираючи в означенні фундаментальної послідовності <math>\epsilon=1,</math> знаходимо, що існує таке ціле <math>N</math>, що для всіх індексів <math>m,n>N</math> виконується <math>|x_n-x_m|<1.</math> Оскільки всі <math>x_n</math>&nbsp;— цілі числа, а відстань між будь-якими відмінними цілими числами принаймні <math>1,</math> маємо <math>x_n=x_m(=C)</math> для всіх <math>m,n>N.</math>

5. Розглянемо множину <math>\N</math> [[натуральні числа|натуральних чисел]] як метричний простір із дещо незвичайною відстанню. По-перше, нехай <math>ord_{10}(m,n)</math> дорівнює максимальній кількості останніх цифр (тобто, рахуючи з кінця) у десятковому записі <math>m</math> та <math>n,</math> що збігаються між собою. Наприклад, <math>ord_{10}(11,12)=0, ord_{10}(111, 211)=2, ord_{10}(1,123111)=1.</math> Інакше кажучи, <math>ord_{10}(m,n)</math>&nbsp;— це число нулів наприкінці десяткового запису <math>m-n.</math> Визначимо відстань між натуральними числами за формулою <math>d(m,n)=10^{-ord_{10}(m,n)}.</math> Можна переконатися, що <math>(\N,d)</math> становить собою метричний простір (пор. [[P-адичне число|p-адичні числа]]). Утворимо послідовність <math>(x_n)</math> таким чином, що <math>x_{n+1}</math> одержано з <math>x_{n}</math> додаванням попереду його десяткового запису будь-якої цифри, що не дорівнює нулю (наприклад, можна визначити <math>x_n=11\ldots1,</math> що складається з <math>n</math>одиниць). Тоді <math>(x_n)</math>&nbsp;— це фундаментальна послідовність, що не має границі у <math>\N.</math> Зокрема, цей метричний простір не є повним.

== Властивості ==
1. Кожна збіжна послідовність є фундаментальною, і кожна фундаментальна послідовність є [[обмежена послідовність|обмеженою]].

2. Якщо <math>(x_n)</math> і <math>(y_n)</math>&nbsp;— дві фундаментальні послідовності в просторі раціональних, дійсних чи [[комплексні числа|комплексних чисел]], тоді сума <math>(x_n + y_n)</math> і добуток <math>(x_n y_n)</math> також є фундаментальними послідовностями.

3. Якщо <math>f \colon M\to N</math> є [[рівномірна неперервність|рівномірно неперервним]] відображенням метричних просторів і <math>(x_n)</math> є фундаментальною послідовністю в <math>M,</math> тоді <math>(f(x_n))</math> є фундаментальною послідовністю в <math>N.</math>

== Див. також ==
* [[банахів простір]]
* [[гільбертів простір]]
* [[p-адичні числа]]

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}

{{Послідовності й ряди}}

[[Категорія:Метрична геометрія]]
[[Категорія:Топологія]]
[[Категорія:Абстрактна алгебра]]
[[Категорія:Ряди та послідовності|Фундаментальна]]
[[Категорія:Збіжність]]