Перегляд вихідного коду сторінки Формула Ньютона — Ляйбніца

{{Calculus}}
'''Фо́рмула Ньюто́на-Ляйбніца''' для обчислення [[визначений інтеграл|визначеного інтеграла]] є узагальненням методу [[Архімед]]а для обчислення [[площа|площ]] і поверхонь плоских, криволінійних поверхонь, [[об'єм]]ів тіл, довжин кривих та інших задач.

Нехай функція <math>f(x)</math> неперервна на відрізку '''[а, b]''' і відома її [[первісна]] <math>F(x)</math>, тоді [[визначений інтеграл]] від функції <math>f(x)</math> можна обчислити за формулою:

: <math>\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)</math>
Ця формула називається ''формулою Ньютона—Ляйбніца''. Іноді її називають ''основною формулою інтегрального числення''. Для скорочення запису часто застосовується позначення:

: <math>\int\limits_a^b f(x)\, dx =\Bigl[ F(x) \Bigr]_a^b= \Bigl. F(x) \Bigr|_a^b</math>


Але в багатьох випадках первісна функція не може бути знайдена за допомогою елементарних засобів або є занадто складною, що робить неможливим обчислення визначеного інтеграла за цією формулою. В таких випадках користуються [[Чисельне інтегрування|чисельнимим методами]] обчислення визначених інтегралів.

== Формальні твердження ==
Існує дві частини теореми. Перша частина оперує з похідними [[Первісна|первісних]], тоді як друга частина має справу зі зв'язком між первісною і [[визначений інтеграл|визначеним інтегралом]].

=== Перша частина ===
Ця частина іноді згадується як перша фундаментальна теорема інтегрального числення.<ref>{{harvnb|Апостол|1967|loc=§5.1}}</ref>

Нехай ''f'' буде неперервною дійсно-значимою функцією на [[Інтервал (математика)|закритому проміжку]] [''a'', ''b'']. Нехай ''F'' буде функцією визначеною, для всіх ''x'' у [''a'', ''b''], через
: <math>F(x) = \int_a^x\!f(t)\, dt.</math>
Тоді, ''F'' є неперервною на [''a'', ''b''], диференційовною на відкритому проміжку {{nowrap|(''a'', ''b''),}} і

: <math>F'(x) = f(x)\,</math>

для всіх ''x'' з (''a'', ''b'').

=== Наслідок ===
Фундаментальну теорему часто використовують для обчислення визначеного інтеграла функції ''f'' для якої відома первісна ''F''. Конкретно, якщо ''f'' є дійсно-значною неперервною функцію на {{nowrap|[''a'', ''b''],}} і ''F'' її первісна ''f'' у {{nowrap|[''a'', ''b''],}} тоді

: <math>\int_a^b f(t)\, dt = F(b)-F(a).</math>

Цей наслідок припускає неперервність на всьому проміжку. Цей вислід злегка посилюється наступною частиною теореми.

=== Друга частина ===

[[File:Формула Ньютона - Лейбніца (анімація).gif|thumb|Формула Ньютона - Лейбніца (анімація)]]

Ця частина іноді згадується як друга фундаментальна теорема інтегрального числення<ref>{{harvnb|Апостол|1967|loc=§5.3}}</ref> або формула Ньютона&nbsp;— Лейбніца ({{lang-en|Newton–Leibniz axiom}}).

Нехай ''f'' і ''F'' будуть дійсно-значними функціями визначеними на [[закритий інтервал|закритому проміжку]] [''a'', ''b''] такі, що похідна ''F'' є ''f''. Тобто ''f'' і ''F''&nbsp;— це функції такі, що для всіх ''x'' з {{nowrap|[''a'', ''b''],}}

: <math>F'(x) = f(x).\ </math>

Якщо ''f'' є інтегровною за Ріманом на {{nowrap|[''a'', ''b'']}} тоді

: <math>\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).</math>

Друга частина є почасти сильнішою від Наслідку, бо вона не вимагає неперервності ''f''.

Коли існує первісна ''F'', тоді існує нескінченно багато первісних для ''f'', отримуваних додаванням до ''F'' довільної сталої. Також, з першої частини теореми, первісна існує завжди, коли ''f'' неперервна.

== Доведення першої частини ==
Для заданої ''f''(''t''), визначимо функцію ''F''(''x'') як
: <math>F(x) = \int_a^x f(t) \,dt.</math>

Для двох довільних чисел ''x''<sub>1</sub> і ''x''<sub>1</sub> + Δ''x'' з [''a'', ''b''], маємо
: <math>F(x_1) = \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt</math>
і
: <math>F(x_1 + \Delta x) = \int_a^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.</math>

Відніманням отримуємо
: <math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_a^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_a^{x_1} f(t) \,dt. \qquad (1)</math>

Можна показати, що
: <math>\int_{a}^{x_1} f(t) \,dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = \int_a^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt. </math>
: (Сума площ двох суміжних регіонів дорівнює площі двох регіонів об'єднаних.)
Отже
: <math>\int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt. </math>

Підставляємо попереднє в (1), що дає
: <math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt. \qquad (2)</math>

Згідно з [[Теорема Лагранжа|теоремою Лагранжа]] для інтегрування, існує дійсне число <math>c(\Delta x)</math> з [''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>1</sub> + Δ''x''] таке, що
: <math>\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = f\left(c(\Delta x)\right) \Delta x.</math>

Для спрощення запису ми продовжуватимемо писати ''c'' замість <math>c(\Delta x),</math> але читач має усвідомлювати, що ''c'' залежить від <math>\Delta x</math>.
Підставляючи попереднє у (2) отримуємо
: <math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x.</math>

Ділення на Δ''x'' дає
: <math>\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c).</math>
: Вираз ліворуч від знаку рівності&nbsp;— [[відношення різниць]] Ньютона для ''F'' у ''x''<sub>1</sub>.

Перейдемо до границь при Δ''x'' → 0 з обох боків рівняння.
: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). </math>

Вираз ліворуч є визначенням похідної від ''F'' у ''x''<sub>1</sub>.
: <math>F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). \qquad (3) </math>

Для визначення другої границі використаємо [[Стискна теорема|стискну теорему]]. Число ''c'' лежить у проміжку [''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>1</sub> + Δ''x''], отже ''x''<sub>1</sub> ≤ ''c'' ≤ ''x''<sub>1</sub> + Δ''x''.

Також, <math>\lim_{\Delta x \to 0} x_1 = x_1</math> and <math>\lim_{\Delta x \to 0} x_1 + \Delta x = x_1.\,</math>

Тому, відповідно до стискної теореми,
: <math>\lim_{\Delta x \to 0} c = x_1.</math>

Підставляємо в (3) і отримуємо
: <math>F'(x_1) = \lim_{c \to x_1} f(c).</math>

Функція ''f'' є неперервною в ''c'', отже границю можна перенести в середину функції. Отже, ми маємо
: <math>F'(x_1) = f(x_1).\ </math>
Що завершує доведення.

<small>(Leithold ''et al.'', 1996)</small> <small> (строге доведення ви можете знайти на http://www.imomath.com/index.php?options=438 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140222065620/http://www.imomath.com/index.php?options=438 |date=22 лютого 2014 }})</small>

== Доведення наслідку ==
Припустимо ''F''&nbsp;— первісна ''f'', якщо ''f'' неперервна на {{nowrap|[''a'', ''b''].}} Нехай

: <math>G(x) = \int_a^x f(t)\, dt</math>.

З ''першої частини'' теореми, ми знаємо ''G'' також первісна ''f''. З теореми Лагранжа випливає, що існує таке число ''c'', що {{nowrap|''G''(''x'') {{=}} ''F''(''x'') + ''c''}}, для всіх ''x'' з {{nowrap|[''a'', ''b''].}} Поклавши {{nowrap|''x'' {{=}} ''a''}}, маємо

: <math>F(a) + c = G(a) = \int_a^a f(t)\, dt = 0,</math>

що значить {{nowrap|''c'' {{=}} − ''F''(''a'').}} Інакше кажучи {{nowrap|''G''(''x'') {{=}} ''F''(''x'') − ''F''(''a'')}}, і отже

: <math>\int_a^b f(x)\, dx = G(b) = F(b) - F(a).</math>

== Доведення другої частини ==
Доведення через [[Інтеграл Рімана|суми Рімана]].

Нехай ''f'' інтегровна за Ріманом на відрізку {{nowrap|[''a'', ''b''],}} і нехай ''f'' має первісну ''F'' на {{nowrap|[''a'', ''b''].}} Почнемо з величини {{nowrap|''F''(''b'') &minus; ''F''(''a'')}}. Нехай існують числа ''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>
такі, що

: <math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b. \, </math>

З цього слідує

: <math>F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0). \, </math>

Тепер додамо кожне ''F''(''x''<sub>''i''</sub>) разом із зворотнім до нього щодо додавання, отже вислідна величина дорівнює:

: <math>\begin{align}
F(b) - F(a)
&= F(x_n) + [-F(x_{n-1}) + F(x_{n-1})] + \cdots + [-F(x_1) + F(x_1)] - F(x_0) \\
&= [F(x_n) - F(x_{n-1})] + [F(x_{n-1}) + \cdots - F(x_1)] + [F(x_1) - F(x_0)].
\end{align}</math>

Попереднє можна записати як таку суму:

: <math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F(x_i) - F(x_{i-1})]. \qquad (1)</math>

Далі, використаємо [[Теорема Лагранжа|теорему Лагранжа]]. Яка стверджує (коротко)

Нехай ''F'' є неперервною на відрізку [''a'', ''b''] і диференційовною на інтервалі (''a'', ''b''). Тоді існує деяке ''c'' з (''a'', ''b'') таке, що

: <math>F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}.</math>

З цього випливає, що

: <math>F'(c)(b - a) = F(b) - F(a). \,</math>

Функція ''F'' диференційовна на {{nowrap|[''a'', ''b''];}} отже, вона диференційовна і неперервна на кожному з відрізків {{nowrap|[''x''<sub>''i''&minus;1</sub>, ''x''<sub>''i''</sub>]}}. Згідно з теоремою Лагранжа,

: <math>F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}). \ </math>

Підставляючи попереднє в (1), отримуємо

: <math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F'(c_i)(x_i - x_{i-1})].</math>

Припущення означає <math>F'(c_i) = f(c_i).</math> Також, <math>x_i - x_{i-1}</math> може бути виражено як <math>\Delta x</math> відтинку <math>i</math>.

: <math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]. \qquad (2)</math>

[[Файл:Riemann integral irregular.gif|frame|right|Збіжна послідовність сум Рімана. Число нагорі ліворуч є повною площею голубих прямокутників. Вони збігаються до інтеграла функції]]

Ми описуємо площу прямокутника через добуток ширини і висоти і додаємо площі. Кожен прямокутник, знов теорема Лагранжа, є наближенням секції кривої, де він намальований. Також <math>\Delta x_i</math> не обов'язково має бути однаковим для всіх ''i'', інакше кажучи, ширина прямокутників може різнитися. Що нам потрібно зробити&nbsp;— приблизно задати криву через ''n'' прямокутників. Тепер, у міру того як розмір кожного відтинку зменшується, а ''n'' збільшується, ми наближаємося до справжнього значення інтеграла кривої.

З переходом до границі, де розмір розбиття, найбільше <math>\Delta x</math>, прямує до нуля і відповідно кількість відтинків до нескінченності, ми досягаємо інтеграла Рімана. Границя існує, бо за припущенням ''f'' інтегровна.

Отже, ми переходимо до границі з обох боків у (2). Маємо

: <math>\lim_{\| \Delta x_i \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta x_i \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)].</math>

Ані ''F''(''b''), ні ''F''(''a'') не є залежними від <math>||\Delta x_i\|</math>, тому границя зліва залишається {{nowrap|''F''(''b'') &minus; ''F''(''a'').}}

: <math>F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta x_i \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)].</math>

Вираз праворуч визначає інтеграл ''f'' від ''a'' до ''b''. Отже, ми отримуємо

: <math>F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\,dx,</math>

що й завершує доведення.

Це виглядає майже так наче перша частина безпосередньо випливає з другої. Тобто, припустимо ''G'' є первісною для ''f''. Тоді згідно з другою частиною теореми, <math>G(x) - G(a) = \int_a^x f(t) \, dt</math>. Тепер, припустимо <math>F(x) = \int_a^x f(t)\, dt\ = G(x) - G(a)</math>. Тоді ''F'' має таку саму похідну як і ''G'', звідси {{nowrap|''F''&prime; {{=}} ''f''}}. Однак, цей довід працює лише якщо ми знаємо, що ''f'' має первісну, а ми знаємо, що неперервні функції мають первісну лише завдяки першій частині фундаментальної теореми.<ref>{{Citation |last=Spivak|first=Michael|year=1980|title=Calculus|edition=2nd|publication-place=Houston, Texas|publisher=Publish or Perish Inc.}}</ref>
Наприклад, якщо {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} e<sup>−''x''<sup>2</sup></sup>,}} тоді ''f'' має первісну, а саме

: <math>G(x) = \int_0^x f(t) \, dt\,</math>

і не існує простішого виразу для цієї функції. Саме через не треба сприймати другу частину як визначення інтеграла. І справді, існує багато функцій які інтегровні, але на мають первісної яку можна записати у вигляді [[елементарні функції|елементарних функцій]]. І навпаки, багато функцій, що мають первісну, неінтегровні за Ріманом (дивись [[Функція Вольтерра]]).

== Приклади ==
Задля прикладу обчислимо таке:

: <math>\int_2^5 x^2\, dx. </math>

Тут, <math>f(x) = x^2 \,</math> і ми можемо використати <math>F(x) = \frac{x^3}{3} </math> як первісну. Звідси

: <math>\int_2^5 x^2\, dx = F(5) - F(2) =  \frac{5^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{125}{3} - \frac{8}{3} = \frac{117}{3} = 39.</math>

Або, загальніше, обчислимо

: <math>\frac{d}{dx} \int_0^x t^3\, dt </math>
Тут, <math>f(t) = t^3 \,</math> і можна використати <math>F(t) = \frac{t^4}{4} </math> як первісну. Отже

: <math>\frac{d}{dx} \int_0^x t^3\, dt = \frac{d}{dx} F(x) - \frac{d}{dx} F(0) = \frac{d}{dx} \frac{x^4}{4} = x^3.</math>

Або, тотожно,

: <math>\frac{d}{dx} \int_0^x t^3\, dt = f(x) \frac{dx}{dx} - f(0) \frac{d0}{dx} = x^3.</math>

== Див. також ==
* [[Інтегральне числення]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Формула Ньютона — Лейбніца|сторінки=412}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Citation | last1=Апостол | first1=Том М. | author1-link=Том М. Апостол | title=Інтегральне числення, Том. 1: Інтегральне числення функцій однієї змінної зі вступом до лінійної алгебри | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=Нью Йорк | edition=друге | isbn=978-0-471-00005-1 | year=1967 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/calculus01apos }}. {{ref-en}}

{{Math-stub}}
{{Математичний аналіз}}

[[Категорія:Інтегральне числення]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]