Перегляд вихідного коду сторінки Формула Ейлера

[[Файл:Euler's formula.svg|thumb|320px|Геометрична інтерпретація формули Ейлера]]
{{otheruses|Планарний граф#Формула Ейлера}}

'''Формула Ейлера'''&nbsp;— співвідношення, що пов'язує [[Показникова функція|комплексну експоненту]] з [[тригонометричні функції|тригонометричними функціями]]. Названа на честь [[Леонард Ейлер|Леонарда Ейлера]], який її запропонував.

Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого [[дійсне число|дійсного числа]] <math>x</math> виконується рівність:
: <math>~{\rm e}^{ix}=\cos x+i\sin x</math>,
де <math>\rm e</math>&nbsp;— [[E (число)|основа натурального логарифма]], <math>i</math>&nbsp;— [[уявна одиниця]], <math>\cos x</math> і <math>\sin x</math>&nbsp;— тригонометричні функції косинуса та синуса відповідно із аргументом <math>x</math>, заданим у [[радіан]]ах. Для цієї комплексної експоненційної функції інколи використовують позначення {{не перекладено|cis (математика)|<math>\operatorname{cis} x</math>|en|cis (mathematics)}} («'''c'''osine plus '''i''' '''s'''ine''»).

Формула залишається правильною також для комплексного аргументу <math>x</math>, тому деякі автори посилаються на більш розширену комплексну версію формули Ейлера.<ref>cite book | first=Martin A. | last= Moskowitz | title=A Course in Complex Analysis in One Variable | publisher=World Scientific Publishing Co. | year=2002 | isbn=981-02-4780-X | pages=7</ref>

Формула Ейлера з'являється повсюди у математиці, фізиці та інженерії. Фізик [[Річард Філіпс Фейнман|Річард Фейнман]] назвав формулу «нашим скарбом» та «найбільш видатною формулою у математиці».<ref>Feynman, Richard P. (1977). The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. p. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.</ref>

Відома [[тотожність Ейлера]], що пов'язує п'ять фундаментальних [[Математична константа|математичних констант]]:
: <math>{\rm e}^{i\pi}+1=0</math>
є частковим випадком формули Ейлера при <math>x=\pi</math>.

== Історія ==

[[Йоганн Бернуллі]] помітив, що<ref>Bernoulli, Johann (1702). ''Solution d'un probl\`eme concernant le calcul int\'egral, avec quelques abr\'eg\'es par rapport \`a ce calcul'' [Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation]. M\'emoires de l'Acad\'emie Royale des Sciences de Paris. 1702: 197—289.</ref>
: <math>\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-ix}+\frac{1}{1+ix}\right)</math>.
І так як
: <math>\int\frac{{\rm d}x}{1+ax}=\frac{1}{a}\ln(1+ax)+C</math>,
то вищенаведене рівняння вказує на [[Комплексний логарифм|комплексні логарифми]], пов'язуючи [[Натуральний логарифм|натуральні логарифми]] з комплексними числами. Однак Бернуллі не обчислив інтеграл.

Листування Бернуллі із Ейлером (який також знав про дане рівняння) показує, що Бернуллі не розумів повністю комплексні логарифми. Ейлер також запропонував, що комплексні логарифми можуть мати нескінченну кількість значень.

Формула Ейлера вперше була доведена [[Роджер Котс|Роджером Котсом]] у [[1714]] році в логарифмічній формі:
: <math>~\ln(\cos x+i\sin x)=ix</math>.
Котс упустив той факт, що комплексні логарифми мають нескінченну кількість значень, які відрізняються кратністю <math>2i\pi</math>, завдяки [[Періодична функція|періодичності]] тригонометричних функцій.

Ейлер опублікував формулу у її звичному вигляді в [[1748]] році, збудував доведення за допомогою розкладу правої та лівої частини у [[степеневий ряд|степеневі ряди]].<ref>Leonard Euler (1748) Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle of Introduction to the Analysis of the Infinite, page 214, section 138 (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths).</ref><ref>John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.</ref> Ані Ейлер, ані Котс не уявляли собі геометричної інтерпретації формули: представлення комплексних чисел як точок на комплексній площині з'явилося приблизно на 50 років пізніше.

== Застосування в теорії чисел ==
{{основна стаття|Суми Вейля}}
В [[Аналітична теорія чисел|аналітичній теорії чисел]] часто розглядають [[Суми Вейля|особливі суми]] вигляду <math>\sum \limits_{x \in X} {e^{2 \pi i f(x)}}</math>, де <math>X</math>&nbsp;— деяка множина об'єктів, які розглядаються, а <math>f\colon X \to {\mathbb R}</math>&nbsp;— функція, що відбиває властивості об'єктів, що вивчаються.

Для теорії чисел, що вивчає [[цілі числа]], важливі, перш за все, [[Дужка Айверсона|індикаторні]] тотожності, що стосуються довільного цілого числа <math>n</math>, які виводяться з формули Ейлера.

: <math>\sum \limits_{k=1}^{p} {e^{2 \pi \frac{nk}{p} i}} = p [p | n] = \left\{{ \begin{matrix} p, & n \equiv 0 \pmod p \\ 0, & n \not \equiv 0 \pmod p \end{matrix} }\right.</math>
: <math>\int \limits_{0}^{1} {e^{2 \pi n \alpha i}}  = [n = 0] = \left\{{ \begin{matrix} 1, & n = 0 \\ 0, & n \not = 0 \end{matrix} }\right.</math>

== Застосування в комплексному аналізі ==
[[Файл:Euler's Formula c.png|thumb|upright=1.3|Тривимірна візуалізація формули Ейлера.]]

=== Інтерпретація формули ===

Ця формула може бути інтерпретована так, що функція <math>{\rm e}^{i\varphi}</math>&nbsp;— це [[U(1)|унітарне комплексне число]], що описується [[Одиничне коло|одиничним колом]] в комплексній площині, коли <math>\varphi</math> пробігає дійсні значення. Тут <math>\varphi</math>&nbsp;— кут, який утворює точка на одиничному колі з додатнім напрямком осі дійсних чисел, виміряний проти годинникової стрілки у радіанах.

Оригінальне доведення ґрунтується на розкладах у [[ряд Тейлора]] [[Показникова функція|експоненційної функції]] <math>{\rm e}^z</math> (де <math>z</math>&nbsp;— комплексне число) та функцій <math>\sin x</math> і <math>\cos x</math> для дійсних чисел <math>x</math> (див. нижче). Насправді, це саме доведення показує, що формула Ейлера справедлива і для всіх комплексних чисел <math>x</math>.

Точка на комплексній площині може бути представлена комплексним числом, записаним у [[Система координат|декартових координатах]]. Формула Ейлера забезпечує зв'язок між декартовими і [[Полярна система координат|полярними координатами]]. Полярна форма спрощує обчислення при множенні або [[піднесення до степеня|піднесенні до степеня]] комплексних чисел. Будь-яке комплексне число <math>z=x+iy</math> та його [[Спряжені числа|комплексно-спряжене]] <math>\overline{z}=x-iy</math>, можна записати як
: <math>\begin{align}
z &= x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin\varphi)=r{\rm e}^{i\varphi},\\
\overline{z} &= x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin\varphi)=r{\rm e}^{-i\varphi},
\end{align}</math>
де
: <math>x=\operatorname{Re}(z)</math>&nbsp;— дійсна частина,
: <math>y=\operatorname{Im}(z)</math>&nbsp;— уявна частина,
: <math>r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math>&nbsp;— модуль <math>z</math>,
: <math>\varphi=\arg z=\operatorname{artan2}(y,x)</math> див. означення функції {{не перекладено|atan2|<math>\operatorname{artan2}</math>|en|atan2}}.

<math>\varphi</math>&nbsp;— аргумент <math>z</math>, тобто кут між віссю <math>x</math> та вектором <math>z</math>, виміряний проти годинникової стрілки в радіанах, який визначається [[Точність до|з точністю до]] доданка кратного <math>2\pi</math>. У багатьох випадках пишуть <math>\varphi=\operatorname{arctg}\frac{y}{x}</math> замість <math>\varphi=\operatorname{artan2} (y,x)</math>, але перше рівняння потребує уточнення при <math>x\leq0</math>. Це тому, що для будь-яких дійсних ненульових <math>x</math> і <math>y</math> кути векторів <math>(x,y)</math> і <math>(-x,-y)</math> відрізняються на <math>\pi</math> радіан, але мають однакове значення <math>\operatorname{tg}\varphi=\frac{y}{x}</math>.

=== Використання формули для визначення логарифма комплексних чисел ===
Тепер, опираючись на виведену формулу, можна використовувати формулу Ейлера для формулювання означення [[логарифм]]а комплексного числа. Для цього також використовують означення логарифма (як оберненого оператора піднесення до степеня):
: <math>a={\rm e}^{\ln(a)}</math>,
та формулу
<math>{\rm e}^{a}{\rm e}^{b}={\rm e}^{a+b}</math>,
що є справедливими для будь-яких комплексних чисел <math>a</math> і <math>b</math>.

Отже, можна записати
: <math>z=|z|{\rm e}^{i\varphi}={\rm e}^{\ln|z|}e^{i\varphi}={\rm e}^{\ln|z|+i\varphi}</math>
для будь-якого <math>z\neq0</math>. Після логарифмування обох частин вищенаведеного співвідношення отримуємо
: <math>\ln z=\ln|z|+i\varphi</math>,
і цю формулу можна використовувати як означення комплексного логарифма. Таким чином, логарифм комплексного числа є [[Багатозначна функція|багатозначною функцією]], оскільки <math>\varphi</math>&nbsp;— багатозначний.

Інше експоненційне співвідношення
: <math>\left({\rm e}^a\right)^{k}={\rm e}^{ak}</math>,
що має місце для всіх цілих чисел <math>k</math>, разом з формулою Ейлера приводить до деяких [[Список тригонометричних тотожностей|тригонометричних тотожностей]], а також до [[Формула Муавра|формули Муавра]].

=== Піднесення до степеня комплексних чисел ===
Наступним важливим наслідком є формула піднесення комплексного числа до довільного степеню:
: <math>x=|x|{\rm e}^{i\varphi}</math>,&nbsp;&nbsp;<math>x^n=|x|^n{\rm e}^{ni\varphi}</math>.
Остання формула має просту геометричну інтерпретацію: при піднесенні числа <math>x</math> до степені <math>n</math> його відстань від початку системи координат підноситься до степені <math>n</math>, а кут повороту від осі <math>OX</math> збільшується в <math>n</math> раз.

Формула правильна не лише для [[Цілі числа|цілих]] <math>n</math>, але й для дійсних його значень. Зокрема, комплексна форма запису числа дозволяє знаходити корені довільної степені з комплексних чисел, що використовується в доведенні [[основна теорема алгебри|основної теореми алгебри]]: «<nowiki/>[[Многочлен]] степені <math>n</math> має рівно <math>n</math> комплексних коренів».

== Зв'язок з тригонометрією ==
[[Файл:Sine Cosine Exponential qtl1.svg|thumb|upright=1.3|Зв'язок між синусом, косинусом та експонентою.]]За допомогою формули Ейлера можна представити функції <math>\sin</math> та <math>\cos</math> у вигляді:
: <math>\begin{align}
\sin x = \operatorname{Im} \left({\rm e}^{ix}\right)=\frac{{\rm e}^{ix}-{\rm e}^{-ix}}{2i}, \\
\cos x = \operatorname{Re} \left({\rm e}^{ix}\right)=\frac{{\rm e}^{ix}+{\rm e}^{-ix}}{2}.
\end{align}</math>
Два вищенаведені рівняння можна отримати, додаючи або віднімаючи формули Ейлера:
: <math>\begin{align}
{\rm e}^{ix} &= \cos x+i\sin x,\\
{\rm e}^{-ix} &= \cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x,
\end{align}</math>
та визначивши з отриманих співвідношень функції косинуса та синуса.

Можна ввести поняття тригонометричних функцій комплексної змінної, які добре відомі під назвою [[гіперболічні функції]]. Підставляючи <math>x=iy</math>, отримуємо:
: <math>\begin{align}
\sin iy &= \frac{{\rm e}^{-y}-{\rm e}^y}{2i}=i\mathop{\mathrm{sh}}\,y, \\
\cos iy &= \frac{{\rm e}^{-y}+{\rm e}^y}{2}=\mathop{\mathrm{ch}}\,y.
\end{align}</math>
Комплексні експоненти можуть спростити тригонометрію, тому що з ними легше оперувати, ніж з їх синусоїдальньними складовими. Перший простий підхід&nbsp;— перетворення синусоїд в еквівалентні їм експоненційні вирази. Після перетворень спрощений результат залишається дійснозначним. Наприклад,
: <math>\begin{align}
\cos x\cdot \cos y &= \frac {{\rm e}^{ix}+{\rm e}^{-ix}}{2}\cdot \frac {{\rm e}^{iy}+{\rm e}^{-iy}}{2}\\
&= \frac {1}{2}\cdot \frac {{\rm e}^{i(x+y)}+{\rm e}^{i(x-y)}+{\rm e}^{i(-x+y)}+{\rm e}^{i(-x-y)}}{2}\\
&= \frac {1}{2}\bigg (\underbrace {\frac {{\rm e}^{i(x+y)}+{\rm e}^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {{\rm e}^{i(x-y)}+{\rm e}^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}{\bigg )}.
\end{align}</math>
Інший підхід передбачає представлення синусоїд у формі [[Комплексне число|дійсної частини]] комплексного виразу та виконання певних операцій над ними. Наприклад,
: <math>\begin{align}
\cos(nx) &= \operatorname{Re} \left({\rm e}^{inx}\right) \\
&= \operatorname{Re} \left({\rm e}^{i(n-1)x}\cdot {\rm e}^{ix}\right)\\
&= \operatorname{Re} \Big ({\rm e}^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {{\rm e}^{ix}+{\rm e}^{-ix}} _{2\cos x}-{\rm e}^{-ix}{\big )}{\Big )}\\
&= \operatorname{Re} \left({\rm e}^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x-{\rm e}^{i(n-2)x}\right)\\
&= \cos[(n-1)x]\cdot [2\cos(x)]-\cos[(n-2)x].
\end{align}</math>
Ця формула використовується для отримання [[Рекурентне співвідношення|рекурентних співвідношень]] для <math>\cos nx</math> при цілих значеннях <math>n</math> та довільних <math>x</math> (у радіанах).

Див. також [[комплексна амплітуда]].

== Топологічна інтерпретація ==
На мові [[Топологія|топології]], формула Ейлера вказує, що уявна експоненційна функція <math>t\mapsto {\rm e}^{it}</math> є [[морфізм]]ом з [[Топологічна група|топологічних груп]] дійсної прямої <math>\mathbb{R}</math> на одиничне коло <math>\mathbb{S}^{1}</math>. Загалом, це дає можливість представлення <math>\mathbb{R}</math> як [[Накриття (топологія)|накриття]] для <math>\mathbb{S}^{1}</math>. Аналогічно, тотожність Ейлера вказує, що ядром цього відображення є <math>\tau\mathbb{Z}</math>, де <math>\tau=2\pi</math>. Ці спостереження можна об'єднати та узагальнити у вигляді [[Комутативна діаграма|комутативної діаграми]]:

[[Файл:Euler's formula commutative diagram.svg|frameless|center|альт=|100x100px]]

== Інші застосування ==
{{Див. також|[[Комплексне_число#Фізичний_зміст|комплексні числа, фізичний зміст]]}}
{{Див. також|[[Комплексне_число#Математичне_застосування|комплексні числа, математичне застосування]]}}

У [[Диференціальні рівняння|диференціальних рівняннях]] функцію <math>{\rm e}^{ix}</math> часто використовують для спрощення розв'язків, навіть якщо остаточна відповідь&nbsp;— це дійсна функція, що містить синус та косинус. Причиною цього є те, що експоненційна функція&nbsp;— це [[власна функція]] операції [[Похідна|диференціювання]].

В [[Електротехніка|електротехніці]], [[Обробка сигналів|обробці сигналів]] та суміжних галузях сигнали, що періодично змінюються з часом, часто описуються за допомогою комбінацій синусоїдальних функцій (див. [[аналіз Фур'є]]), але їх зручніше виражати як суму експоненціальних функцій із [[Уявне число|уявними]] експонентами, використовуючи формулу Ейлера. Також [[Комплексна амплітуда|фазовий аналіз]] схем може використовувати формулу Ейлера для обчислень опору конденсатора або котушки індуктивності.

У [[Чотиривимірний простір|чотиривимірному просторі]] [[Кватерніони|кватерніонів]] існує [[сфера]] [[Уявна одиниця|уявних одиниць]]. Для будь-якої точки <math>r</math> цієї сфери та дійсного числа <math>x</math> застосовується формула Ейлера:
: <math>\exp(xr) = \cos x+r\sin x</math>,
при цьому точка називається {{не перекладено|Версор|версором кватерніонів|en|Versor}}. Набір усіх версорів формує [[3-сфера|тривимірну сферу]] у чотиривимірному просторі.

=== Означення диференціального рівняння ===
Експоненціальна функція <math>z\mapsto {\rm e}^z</math> є єдиною [[Диференційовна функція|диференційованою функцією]] комплексної змінної, такою, що
: <math>\frac{{\rm d}{\rm e}^z}{{\rm d}z}={\rm e}^z</math>
та
: <math>{\rm e}^0=1</math>.

=== Розклад в степеневий ряд ===
Для комплексного числа <math>z</math>
: <math> {\rm e}^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots=\sum _{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math>.

За допомогою [[Ознака д'Аламбера|ознаки д'Аламбера]] можна показати, що цей [[степеневий ряд]] має нескінченний [[радіус збіжності]] і тому визначає <math>{\rm e}^z</math> для всіх комплексних чисел <math>z</math>.

=== Означення границі ===
Для комплексного числа <math>z</math>
: <math>{\rm e}^z=\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{z}{n} \right)^{n}</math>,
де <math>n</math>&nbsp;— [[Натуральні числа|натуральне число]].

== Доведення ==
Існує кілька варіантів доведення формули.

=== За допомогою степеневого ряду ===
Доведення формули Ейлера є достатньо простим.
Розклавши функцію <math>{\rm e}^{ix}</math> у [[ряд Тейлора]] за степенями <math>x</math> отримуємо:

: <math>{\rm e}^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \cdots=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\right) + i\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\right)</math>.
Оскільки
: <math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots=\cos x</math>,
: <math>\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots=\sin x</math>,
то
: <math>~{\rm e}^{ix}=\cos x + i\sin x</math>.

=== За допомогою полярних координат ===
Інше доведення<ref name=Strang>{{cite book |url=http://ocw.mit.edu/resources/res-18-001-calculus-online-textbook-spring-2005/textbook/ |title=Calculus |first=Gilbert |last=Strang |page=389 |publisher=Wellesley-Cambridge |year=1991 |isbn=0-9614088-2-0 |accessdate=28 березня 2020 |archive-date=2 квітня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200402165401/https://ocw.mit.edu/resources/res-18-001-calculus-online-textbook-spring-2005/textbook/ }} Second proof on page.</ref> ґрунтується на тому, що всі комплексні числа можуть бути представлені через полярні координати. Звідси випливає, що для деяких <math>r</math> та <math>\theta</math> залежних від <math>x</math>,
: <math>{\rm e}^{ix}=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math>.
За умовою на <math>r</math> і <math>\theta</math> не має обмежень, тому вони будуть визначені в ході доведення. За будь-яким з означень експоненційної функції видно, що похідною від <math>{\rm e}^{ix}</math> є <math>i{\rm e}^{ix}</math>. Тому після диференціювання обох частин отримуємо
: <math>i{\rm e}^{ix}=(\cos\theta+i\sin\theta)\frac{{\rm d}r}{{\rm d}x} +r(-\sin\theta+i\cos\theta)\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}x}</math>.
Після підстановки <math>r(\cos\theta+i\sin\theta)</math> замість <math>{\rm e}^{ix}</math> і прирівнювання дійсної та уявної частин у цій формулі знаходимо, що <math>\frac{{\rm d}r}{{\rm d}x}=0</math> та <math>\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}x}=1</math>. Таким чином, <math>r</math>&nbsp;— константа, а <math>\theta=x+C</math> для деякої константи <math>C</math>. Оскільки <math>{\rm e}^{0i}=1</math>, то з початкових значень <math>r(0)=1</math> і <math>\theta(0)=0</math> знаходимо, що <math>r=1</math> і <math>\theta=x</math>. Це доводить формулу
: <math>{\rm e}^{ix}=1(\cos x+i\sin x)=\cos x+i\sin x</math>.

=== За допомогою диференціальних рівнянь ===
Інше доведення ґрунтується на диференціальних рівняннях, розв'язками яких є експоненційні та тригонометричні функції. Див. [[Тригонометричні функції#Зв'язок з експонентою та комплексними числами|тригонометричні функції, розділ зв'язок із експоненційною функцією (формула Ейлера)]].

== Див. також ==
* [[Комплексний аналіз]]
* [[Тотожність Ейлера]]
* [[Гіперболічні функції]]
* [[Формула Муавра]]
* [[Перелік об'єктів, названих на честь Леонарда Ейлера]]
* [[Інтегрування за допомогою формули Ейлера]]
* [[:en:History of Lorentz transformations#Euler's gap|Історія перетворень Лоренца, розділ розрив Ейлера]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{книга
 |автор          = Безущак О. О., Ганюшкін О. Г., Кочубінська Є. А 
 |заголовок      = Навчальний посібник з лінійної алгебри
 |посилання      = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2019/11/linear-algebra.pdf
 |місце          = Київ
 |видавництво    = ВПЦ "Київський університет"
 |рік            = 2019
 |сторінок       = 224
 |isbn           = 
 |ref            = 
}}
* {{книга
 |автор          = Курдаченко Л. А., [[Кириченко Володимир Васильович|Кириченко В. В.]], Семко М. М.
 |заголовок      = Вибрані розділи алгебри та теорії чисел
 |посилання      = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2020/03/posibnyk-kyrychenko.pdf
 |місце          = Київ
 |видавництво    = Ін-т математики НАН України
 |рік            = 2005
 |сторінок       = 208
 |isbn           = 966-337-036-X
 |ref            = 
}}
* {{cite book 
 | автор = Мельник Т.А. 
 | автор-посилання = Мельник Тарас Анатолійович 
 | url = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2018/03/Melnyk_Complex_Analysis-2015.pdf
 | назва = Комплексний аналіз : підручник
 | місце = Київ
 | видавництво = ВПЦ "Київський університет"
 | рік = 2015
 | pages = 192
 | isbn = 978-966-439-800-5
 | ref=
}}
* {{cite book|author=John Stillwell|title=Mathematics and Its History|publisher=Springer|year=2002 |isbn=9781441960528| url = https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315}}

[[Категорія:Тригонометрія]]
[[Категорія:Комплексний аналіз]]
[[Категорія:Об'єкти, названі на честь Леонарда Ейлера]]