Перегляд вихідного коду сторінки Формула Герона

[[Файл:Triangle with notations 2.svg|thumb|198px|Трикутник із сторонами ''a'', ''b'' й ''c''.]]
'''Фо́рмула [[Герон Александрійський|Геро́на]]''' дозволяє визначити [[площа|площу]] [[трикутник]]а <math>S</math> за даними довжинами його сторін <math>a</math>, <math>b</math> і <math>c</math>.
{{Теорема|1=<math> S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} </math>, де <math> p = \frac {a+b+c} {2} \,</math> &nbsp;—  половина [[периметр]]у трикутника або півпериметр.}}

Також, розписуючи вираз під коренем і використовуючи формули для квадрата двочлена і різниці квадратів, можна одержати еквівалентні варіанти формули:

: <math>S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}</math>
: <math>S=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}</math>
: <math>S=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}</math>
: <math>S=\frac{1}{4}\sqrt{4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^2+b^2+c^2)^2}</math>
: <math>S=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}.</math>

== Доведення (тригонометричне) ==

Візьмемо широко відому формулу обчислення площі трикутника: <math>S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma}</math>, де <math>\ \gamma</math>&nbsp;— кут трикутника, що лежить навпроти сторони <math>c</math>.

Згідно з [[теорема косинусів|теоремою косинусів]] <math>c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma</math>. Звідси <math>\cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab}</math>.

Тому <math>\ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=</math>
: 
: <math>={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}=</math>
: <math>={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)</math>.
Оскільки справедливі рівності <math>a+b+c=2p</math>, <math>a+b-c=2p-2c</math>, <math>a+c-b=2p-2b</math>, <math>c-a+b=2p-2a</math>, отримуємо, що
: <math>\sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.</math>
Таким чином, <math>S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>.

== Доведення (геометричне) ==
[[Файл:Ілюстрація до деведення формули Герона за допомогою зовнівписаного кола.png|альт=Ілюстрація до доведення формули Герона за допомогою зовнівписаного кола|праворуч|343x343пкс|Ілюстрація до доведення формули Герона за допомогою зовнівписаного кола]]
Нехай дано трикутник <math>ABC</math>, <math>w_1</math> та <math>w_2</math>&nbsp;— вписане та зовнівписане (яке дотикається до сторони <math>BC</math>) коло відповідно, <math>I</math>&nbsp;— центр вписаного кола <math>w_1</math> (інцентр, точка перетину бісектрис), <math>I_a</math>&nbsp;— центр зовнівписаного кола <math>w_2</math> (точка перетину внутрішньої та двох зовнішніх бісектрис).

Нехай <math>K</math>&nbsp;— точка дотику вписаного кола до сторони <math>AB</math>, а <math>T</math>&nbsp;— точка дотику зовнівписаного кола до продовження сторони <math>AB</math>. Тоді <math>IK=r</math>&nbsp;— радіус вписаного кола <math>w_1</math>, <math>I_aT=r_a</math>&nbsp;— радіус зовнівписаного кола <math>w_2</math>, і нехай <math>p= \frac{a+b+c}{2}</math>&nbsp;— півпериметр трикутника <math>ABC</math>..

З властивостей [[Вписане коло|вписаного]] та [[вписане коло|зовнівписаних]] кіл відомо, що <math>AK=p-a</math>, <math>KB=p-b</math>, <math>BT=p-c</math>, a <math>AT=p</math>, причому <math>IK\perp AB</math> та <math>I_aT\perp AB</math>.

Звідси маємо, що трикутники <math>AIK</math> та <math>AI_aT</math> подібні (як прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом <math>\angle IAK</math>). Тому <math>\frac{AK}{AT}=\frac{IK}{I_aT}</math>, тобто <math>\frac{p-a}{p}=\frac{r}{r_a}</math>. Звідси <math>r_a(p-a)=pr=S</math>.

Знайдемо кут <math>\angle BI_aT</math>. Оскільки <math>\bigtriangleup BI_aT</math>&nbsp;— прямокутний, то <math>\angle BI_aT=90^\circ - \angle I_aBT</math>. За побудовою <math>BI_a</math>&nbsp;— бісектриса кута <math>\angle CBT=180^\circ -\angle B</math> (як зовнішній кут), а тому <math>\angle I_aBT=\frac{\angle CBT}{2}=\frac{180^\circ -\angle B}{2}=90^\circ - \frac{\angle B}{2}</math>. Звідси <math>\angle BI_aT=\frac{\angle B}{2}</math>.

Але також <math>\angle IBK=\frac{\angle B}{2}</math>, оскільки <math>BI</math>&nbsp;— бісектриса кута <math>\angle B</math>. Отримали, що трикутники <math>BI_aT</math> та <math>IBK</math> подібні (як прямокутні за рівними гострими кутами). Тому <math>\frac{I_aT}{BK}=\frac{BT}{IK}</math>, тобто <math>\frac{r_a}{p-b}=\frac{p-c}{r}</math>. Звідси <math>r_ar=(p-b)(p-c)</math>.

З рівностей <math>r_a(p-a)=pr=S</math> одержимо, що <math>S^2=p(p-a)r_ar</math>. Замінивши <math>r_ar</math> по вище доведеній формулі <math>r_ar=(p-b)(p-c)</math>, одержимо остаточно <math>S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)</math>, або, що те саме, <math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>.

== Варіації й узагальнення ==

* Формулу Герона можна записати за допомогою [[визначник]]а у вигляді<ref>Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html  Heron's Formula.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150905172827/http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html |date=5 вересня 2015 }} From MathWorld--A Wolfram Web Resource.</ref>:
*: <math>-16 S^2 = \begin{vmatrix}
0   & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0   & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0   & 1 \\
1   & 1   & 1   & 0
\end{vmatrix} = 
\begin{vmatrix}
a & b & c & 0 \\
b & a & 0 & c \\
c & 0 & a & b \\
0 & c & b & a
\end{vmatrix}
</math>
: Перший визначник останньої формули є окремим випадком {{iw|Визначник Келі — Менгера|визначника Келі — Менгера||Cayley-Menger determinant}} для обчислення [[гіпероб'єм]]у [[симплекс]]а.

* Низка формул для площі трикутника подібні за структурою до формули Герона, але виражається через інші параметри трикутника. Наприклад, через довжини медіан <math>m_a</math>, <math>m_b</math> и <math>m_c</math> і їх півсуму <math>\sigma = (m_a + m_b + m_c)/2</math><ref>Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « ''Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.</ref>:
: <math>S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}</math>;
: через довжини висот <math>h_a</math>, <math>h_b</math> и <math>h_c</math> і півсуму їх обернених величин <math>H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2</math><ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " ''Mathematical Gazette'' 89, November 2005, 494.</ref>:
:: <math> S^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})} </math>;
: через кут трикутника <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> і <math>\gamma</math>, півсуму їх синусів <math>s = (\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)/2</math> і діаметр описаного кола <math>D = \tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma}</math><ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 108—109.</ref>:
:: <math>S = D^{2} \sqrt{s(s-\sin \alpha)(s-\sin \beta)(s-\sin \gamma)}.</math>

=== Формула Герона&nbsp;— Тартальї ===
Для [[Чотиригранник|тетраедрів]] існує [[формула Герона — Тартальї]], узагальнена також на випадок інших багатогранників ([[згинаний многогранник]]): якщо в тетраедра довжини ребер рівні <math>l_1, l_2, l_3, l_4, l_5, l_6</math>, то для його об'єму <math>V</math> істинний вираз:
: <math>\begin{align}144 V^2 = \;\; & l_1^2 l_5^2 (l_2^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_6^2 - l_1^2 - l_5^2) \\
+ & l_2^2 l_6^2 (l_1^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_5^2 - l_2^2 - l_6^2) \\
+ & l_3^2 l_4^2 (l_1^2 + l_2^2 + l_5^2 + l_6^2 - l_3^2 - l_4^2) \\
- & l_1^2 l_2^2 l_4^2 - l_2^2 l_3^2 l_5^2 - l_1^2 l_3^2 l_6^2 - l_4^2 l_5^2 l_6^2
\end{align}</math>.

Формулу Герона&nbsp;— Тартальї можна виписати для тетраедра в явному вигляді: якщо <math>U</math>, <math>V</math>, <math>W</math>, <math>u</math>, <math>v</math>, <math>w</math>&nbsp;— довжини ребер тетраедра (перші три з них утворюють трикутник; і, наприклад, ребро <math>u</math> протлежне ребру <math>U</math> і так далі), то справедливі формули<ref>W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/VtetLang.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130627001208/http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/VtetLang.pdf|date=27 червня 2013}}, pp. 16-17.</ref><ref> Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132 </ref>:
: <math>
\text{V} = \frac{\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w}</math>
: де:
:: <math>
    \begin{align} a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W) \end{align} 
</math>.

=== Теорема Люїльє ===
За теоремою [[Симон Люїльє|Люїльє]] площа [[сферичний трикутник|сферичного трикутника]] виражається через його сторони <math>\theta_a = \frac{a}{R}, \theta_b = \frac{b}{R}, \theta_c = \frac{c}{R}</math> как:
: <math>S = 4R^2\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} </math>,
: де <math>\theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}</math>&nbsp;— півпериметр.

=== Формула Брамагупти ===
{{main|Формула Брамагупти}}
Формула [[Брамагупта|Брамагупти]] є узагальненням формули Герона для площі трикутника. А саме, площа ''S'' вписаного у коло чотирикутника зі сторонами ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' і півпериметр ''p'' дорівнює

: <math>S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.</math>

У цьому випадку трикутник виявляється граничним випадком уписаного чотирикутника при прямуванні довжини однієї зі сторін до нуля. Та ж формула Брахмагупти через визначник<ref>Стариков В.&nbsp;Н.&nbsp;Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39</ref>:
:: <math>S= \frac{1}{4} \sqrt{- \begin{vmatrix}
a & b & c & -d \\
b & a & -d & c \\
c & -d & a & b \\
-d & c & b & a
\end{vmatrix}}
</math>

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Посилання ==
* {{MathWorld |urlname=HeronsFormula |title=Формула Герона}}
* ''Кушнир И. А.''&nbsp;Геометрия. Поиск и вдохновение.&nbsp;— М.: МЦНМО, 2013.&nbsp;— 592 с.: ил. ISBN 978-5-4439-0058-2
{{Трикутник}}
{{Сферична тригонометрія}}
{{geometry-stub}}

[[Категорія:Геометрія трикутника]]
[[Категорія:Площа]]
[[Категорія:Теореми планіметрії]]