Перегляд вихідного коду сторінки Формула Брамагупти

'''Фо́рмула Брамагу́пти''' ({{lang-en|Brahmagupta's formula}})&nbsp;— математична формула, яка виражає [[площа|площу]] вписаного у коло [[чотирикутник]]а як [[Функція (математика)|функцію]] довжин його сторін.

{{рамка}}
Якщо вписаний у коло чотирикутник має довжини сторін <math>a, b, c, d</math> і півпериметр <math>p=\frac{a+b+c+d}{2}</math>, то його площа <math>S</math> виражається формулою:
: <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}. </math>
{{/рамка}}


{{Hider|
  title = Доведення|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content = 

Площа вписаного у коло чотирикутника <math>ABCD</math> зі сторонами ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' дорівнює сумі площ <math>\triangle ACB</math> та <math>\triangle BDC</math>

:<math>S = \frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin C.</math>

Так як <math>ABCD</math> є вписаним чотирикутником, то <math>\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB.</math> Отже, <math>\sin A = \sin C</math>:

:<math>S = \frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin A</math>

:<math>S^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (ab + cd)^2</math>

:<math>4S^2 = (1 - \cos^2 A)(ab + cd)^2</math>

:<math>4S^2 = (ab + cd)^2 - \cos^2 A (ab + cd)^2.</math>

Записавши теорему косинусів для сторони <math> CB</math> у <math>\triangle ACB</math> і <math>\triangle BDC,</math> отримуємо:

:<math>a^2 + b^2 - 2ab\cos A = c^2 + d^2 - 2cd\cos C.</math>

Скористаємось залежністю <math>\cos C = -\cos A</math> (<math>A</math> і <math>C</math> протилежні кути), після чого винесемо за дужки <math>2\cos A</math>: 

:<math>2\cos A (ab + cd) = a^2 + b^2 - c^2 - d^2.</math>

Підставимо отримане у записану вище формулу площі:

:<math>4S^2 = (ab + cd)^2 - \frac{1}{4}(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2</math>

:<math>16S^2 = 4(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2,</math>

Застосуємо формулу <math>x^2-y^2 = (x+y)(x-y)</math>:

:<math>(2(ab + cd) + a^2 + b^2 -c^2 - d^2)(2(ab + cd) - a^2 - b^2 + c^2 + d^2)</math>

:<math>= ( (a+b)^2 - (c-d)^2 )( (c+d)^2 - (a-b)^2 )</math>

:<math>= (a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a).</math>

Так як півпериметр <math> p = \frac{a+b+c+d}{2},</math>

:<math>16S^2 = 16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).</math>

Добуваючи квадратний корінь, отримуємо:

:<math>S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.</math>
}}

== Варіації й узагальнення ==
* Формула Брамагупти узагальнює [[Формула Герона|формулу Герона]] для визначення площі [[трикутник]]а на випадок вписаного у коло чотирикутника: достатньо вважати, що довжина однієї із сторін дорівнює нулю (наприклад, <math>d=0</math>) і формула Брамагупти зводиться до формули Герона.
* На випадок довільних чотирикутників ''формула Брамагупти'' може бути узагальнена так:
:: <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\theta},</math>
: де <math>\theta</math>&nbsp;— півсума протилежних кутів чотирикутника. Яку саме пару протилежних кутів взяти, ролі не відіграє, так як якщо півсума однієї пари протилежних кутів дорівнює <math>\theta</math>, то півсума двох інших кутів буде <math>180^\circ -\theta</math>, і <math>\cos^2(180^\circ -\theta)=\cos^2\theta.</math>.

Інколи цю загальнішу формулу записують так:

:: <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)}</math>,

: де <math>u</math> и <math>v</math>&nbsp;— довжини діагоналей чотирикутника.

* Математик Девід П. Роббінс ({{lang-en|David P. Robbins}}) довів<ref>''D. P. Robbins'' Areas of polygons inscribed in a circle. // Discrete & Computational Geometry&nbsp;— 12, 1994&nbsp;— P. 223—236.</ref>, що для довільного вписаного многокутника з <math>n</math> сторонами величина <math>(4S)^2</math> є коренем деякого многочлена <math>P</math>, коефіцієнти якого у свою чергу є многочленами від довжин сторін. Він знайшов ці многочлени для <math>n=5</math> та <math>n=6</math>. Іншими авторами встановлено<ref>{{cite journal|last1=''Maley''|first1=''F. Miller''|last2=''Robbins''|first2=''David P.''|last3=''Roskies''|first3=''Julie''|title=On the areas of cyclic and semicyclic polygons|journal=Advances in Applied Mathematics|date=2005|volume=34|issue=4|pages=669–689|doi=10.1016/j.aam.2004.09.008|url=http://arxiv.org/pdf/math/0407300v1.pdf|accessdate=3 серпня 2016|archive-date=10 січня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200110054733/https://arxiv.org/pdf/math/0407300v1.pdf}}</ref>, що многочлен <math>P</math> можна обрати так, щоб його старший коефіцієнт дорівнював одиниці, а степінь <math>N=N(n)</math> дорівнював <math>\Delta_k</math>, при <math>n=2k+1</math> і <math>2\Delta_k</math>, якщо <math>n=2k+2</math>. Тут
:: <math>\Delta_k=\frac{2k+1}{2}\binom{2k}{k} - 2^{2k-1}= \sum_{j=0}^{k-1}(k-j)\binom{2k+1}{j},</math>
: де <math>\tbinom{k}{j}=\tfrac{k!}{j!(k-j)!}</math>&nbsp;— [[біноміальний коефіцієнт|біноміальні коефіцієнти]]. Для многокутників з невеликим числом сторін маємо <math>\Delta_1=1</math>, <math>\Delta_2=7</math>, <math>\Delta_3=38</math>, <math>\Delta_4=187, \dots</math> ({{OEIS|A000531}}) і <math>N(4)=2</math>, <math>N(5)=7</math>, <math>N(6)=14</math>, <math>N(7)=38, \dots</math> ({{OEIS|A107373}}).

* Якщо у формулі Брамагупти виразити півпериметр через півсуму усіх сторін даного чотирикутника, піднести обидві частини до квадрату, помножити на -16, розкрити дужки та звести подібні, то вона набуде вигляду:
:: <math>-16S^2=a^4+b^4+c^4+d^4-2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+c^2d^2)-8abcd </math>
* Права частина рівняння буде збігатись з розкладом визначника, поданого нижче, якщо його помножити на -1. Тому можна написати, що<ref>''Стариков В. Н.'' Заметки по геометрии // Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И.В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39</ref>
:: <math>16 S^2 = - \begin{vmatrix}
a & b & c & -d \\
b & a & -d & c \\
c & -d & a & b \\
-d & c & b & a
\end{vmatrix}
</math>

== Див. також ==
* [[Брамагупта]]
* [[Теорема Брамагупти]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{стаття |автор=Прасолов В. В. |заголовок=Формула Брахмагупты |видання=[[Математика в школе (журнал)|Математика в школе]] |рік=1991 |номер=5}}
* {{книга |автор = [[Гарольд Коксетер|Г. М. Коксетер]], [[Самуель Грейтцер|С. Грейтцер]]  |заголовок  = Новые встречи с геометрией  |посилання = http://www.read.in.ua/dl/3/14066 |видання  = 
 |відповідальний = Под ред. А. П. Савина  |місце = М. |видавництво  = Наука  |рік  = 1978  |сторінки  = 73—74 |сторінок  = 223  |isbn  =  |серія = Библиотека математического кружка. Вып. 14  |ref   = Г. М. Коксетер, С. Грейтцер Новые встречи с геометрией}}
* {{стаття |автор=Варфоломеев В. В. |заголовок=Вписанные многоугольники и полиномы Герона |видання=Математический сборник |рік=2003 |том=194 |номер=3 |сторінки=3—24 |посилання=http://www.mathnet.ru/sm718}}
* {{cite journal |author=''M. Fedorchuk, I. Pak'' |title=Rigidity and polynomial invariants of convex polytopes |journal=Duke Mathematical Journal |year=2005 |volume=129 |issue=2 |pages=371—404 |doi=10.1215/S0012-7094-05-12926-X |url=http://www.math.ucla.edu/~pak/papers/pp16.pdf |accessdate=3 серпня 2016 |archive-date=3 жовтня 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131003011348/http://www.math.ucla.edu/~pak/papers/pp16.pdf }}


[[Категорія:Планіметрія]]
[[Категорія:Чотирикутники]]
[[Категорія:Площа]]