Перегляд вихідного коду сторінки Формалізм Пресса-Шехтера


'''Формалізм Пресса–Шехтера''' — [[математична модель]] для розрахунку кількості об’єктів (таких як [[Галактика|галактики]], [[скупчення галактик]] або [[гало темної матерії]]<ref>[http://cosmology.lbl.gov/talks/Heitmann_08.pdf Dark Matter Halos, Mass Functions, and Cosmology: a Theorist’s View]</ref>) певної маси в межах заданого об’єму Всесвіту. Формалізм був створений [[Вільям Пресс|Вільямом Прессом]] та [[Пол Шехтер|Полом Шехтером]] в 1974 році<ref>[http://adsabs.harvard.edu/abs/1974ApJ...187..425P Formation of Galaxies and Clusters of Galaxies by Self-Similar Gravitational Condensation], W.H. Press, P. Schechter, 1974</ref>.

== Контекст ==
У контексті космологічних моделей [[Темна матерія|холодної темної матерії]] збурення на всіх просторових масштабах зʼявляються у Всесвіті в дуже ранні часи, наприклад, завдяки квантовим флуктуаціям під час [[Інфляція (космологія)|інфляції]]. Пізніше ці збурення густини всесвіту починають лінійно зростати. Лише набагато пізніше збурення зростають настільки, що утворюють стуктури (наприклад, галактики або скупчення галактик), і їхнє зростання вже стає нелінійним. Такі структури формуються ієрархічно, починаючи з малих масштабів і поступово просуваючись до все більших масштабів мас.

Пресс і Шехтер зрозуміли, що кількість сколапсованих об'єктів, масивніших за деяку масу ''M'', визначається кількістю елементів об'єму, у яких початкові флуктуації густини, зростаючи в лінійному режимі, встигли за вік існування Всесвіту досягти величини порядку одиниці. Це дозволило їм отримати формулу для розподілу мас об’єктів у будь-який момент часу.

== Результат ==
Формалізм Пресса–Шехтера передбачає, що кількість об’єктів із масами між <math>M</math> і <math>M+dM</math> становить<math display="block"> M \frac{dn}{dM} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\bar{\rho}}{M} \left(\frac{M}{M^*}\right)^{1/2} e^{-M/M^*}</math>де <math>n</math> - індекс спектру потужності флуктуацій у ранньому Всесвіті <math>P(k)\propto k^n</math>, <math>\bar{\rho}</math> - середня (баріонна та темна) густина матерії у Всесвіті в той час, коли гравітаційно сколапсувала та флуктуація, з якої утворився об’єкт, а <math>M^*</math> - гранична маса, нижче якої утворюються структури. Її значення становить<math display="block">dn\equiv N(M)dM = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left(1+\frac{n}{3}\right)\frac{\bar{\rho}}{M^2} \left(\frac{M}{M^*}\right)^{\left(3+n\right)/6} \exp\left(-\left(\frac{M}{M^*}\right)^{\left(3+n\right)/3}\right) dM</math>Тут <math>\sigma</math> - стандартне відхилення на одиницю об’єму флуктуації, з якої утворився сколапсований об’єкт, на момент гравітаційного колапсу, а ''R'' – масштаб Всесвіту на той момент. Параметри з індексом 0 відповідають моменту початкового утворення флуктуацій (або будь-якому пізнішому моменту, але до моменту гравітаційного колапсу).

Якісне передбачення полягає в тому, що розподіл мас є степеневим законом для малих мас, з експоненціальним відсіченням вище деякої характерної маси, яка збільшується з часом. Такі функції Шехтер ще раніше помітив як гарне наближення до спостережуваних {{не перекладено|Функція світності (астрономія)|функцій світності|en|Luminosity function (astronomy)}}, і тепер вони відомі як функції світності Шехтера. Формалізм Пресса-Шехтера забезпечив першу кількісну модель, яка математично пояснила утворення таких функцій.

Випадок безмасштабного спектру потужності, ''n'' = 0 (або, що еквівалентно, {{не перекладено|Первинні флуктуації|скалярний спектральний індекс|en|Primordial fluctuations}} 1) є дуже близьким до спектру [[Модель Лямбда-CDM|стандартної космологічної моделі]]. В цьому випадку, <math>dn</math> має простішу форму, яка в безмасових одиницях винлядає так:<math display="block">M^* = \left(\frac{\bar{\rho}^{1-\frac{n}{3}}}{2\sigma^2}\right)^{\frac{3}{3+n}} = \left(\frac{\bar{\rho}_0^{1-\frac{n}{3}}}{2\sigma_0^2}\right)^{\frac{3}{3+n}}\cdot\frac{R_0^2}{R^2} </math>

== Припущення та ескіз виведення ==
Формалізм Пресса-Шехтера виводиться з трьох ключових припущень<ref name="Barkana">{{Cite book
|url=https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/9496#t=aboutBook
|title=The Encyclopedia of Cosmology, Volume 1: Galaxy Formation and Evolution
|last=Barkana
|first=Rennan
|date=2018
|publisher=World Scientific
|isbn=9789814656221
}}</ref>:

# Матерія у Всесвіті має збурення <math>\delta</math>, які слідують [[Нормальний розподіл|розподілу Гауса]], і дисперсія цього розподілу залежить від масштабу, заданого спектром потужності <math>P(k)</math>
# Збурення матерії зростають лінійно, пропорційно функції зростання, <math>\delta \propto D_+</math>
# Гало є сферичними віріалізованими надлишками густини, з густиною вище критичної, <math>\delta \geq \delta_c </math>

Іншими словами, флуктуації невеликі в якийсь ранній космологічний час і зростають, доки не перетнуть певний поріг, що завершується гравітаційним колапсом у гало. Ці збурення моделюються лінійно, хоча остаточний колапс сам по собі є нелінійним процесом.

Вводиться згладжене поле густини <math>\delta_M(\vec x)~,</math> яке дається <math>\delta(\vec x)</math> усередненим по сфері з центром <math>\vec x</math>. Розглядається маса <math>M</math>, яка міститься всередині цього радіусу. Радіус сфери має порядок <math>M \sim \bar \rho R^3</math><ref>{{Cite book
|url=https://doi.org/10.1017/9781108937092
|title=Cosmology
|last=Baumann
|first=Daniel
|date=2022
|publisher=2022
|isbn=9781108838078
}}</ref>. Тоді, якщо <math>\delta_M(\vec x) \geq \delta_c~,</math> то точка <math>\vec x</math> належить до гало з масою принаймні <math>M~.</math>

Оскільки флуктуації <math>\delta_M</math> розподілені за гаусовим законом із середнім 0 і дисперсією <math>\sigma(M)~,</math> ми можемо безпосередньо обчислити ймовірність утворення гало з масою принаймні <math>M</math> як<math display="block">f(\delta_M>\delta_c) 
= \int_{\delta_c}^\infty d\delta_M ~ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma(R)} \exp\left(-\frac{1}{2}\frac{\delta_M^2}{\sigma^2(M)}\right)
= \frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta_M}{\sigma(M)}\right) ~.</math>При цьому <math>\sigma(R)</math> і <math>\delta_M</math> залежать від червоного зсуву, отже, від нього залежить і наведена вище ймовірність. Дисперсія, наведена в статті 1974 року, становить<math display="block">F(>M) = \operatorname{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta_M}{\sigma(M)}\right)~,</math>де <math>\Sigma</math> є стандартним відхиленням масовим в об’ємі флуктуації.

Зауважимо, що в граничному випадку великих збурень <math>\sigma(M) \gg \delta_M~,</math> очікується, що вся матерія буде міститися в гало, так що <math display="inline">f(\delta_M>\delta_c) = 1~.</math> Однак наведене вище рівняння дає граничне значення <math display="inline">f(\delta_M>\delta_c) = \frac{1}{2}~.</math> Цю хибу можна виправити примущенням [[ad hoc]], постулювавши, що відʼємні збурення не беруть участь у цій схемі, і тому помилково втрачається половини маси. Отже, [[анзац]] Пресса-Шехтера дає наступний вираз для частки речовини, що міститься в гало маси <math> > M~.</math><math display="block">F(>M) = \operatorname{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\delta_M}{\sigma(M)}\right)~,</math>


Флуктуація <math>\delta</math> досягає гравітаційного колапсу тоді, коли Всесвіт розширюється в 1/&#x3B4; разів. Використовуючи це, нормальний розподіл флуктуацій, записаний через <math>M</math>, <math>\rho</math>, і <math>\sigma</math>, дає формулу Пресса-Шехтера.

== Узагальнення ==
Існує ряд узагальнень формули Пресса–Шехтера, наприклад {{не перекладено|наближення Шета–Тормена|наближення Шета–Тормена|en|Sheth–Tormen approximation}}<ref>[[arxiv:astro-ph/9901122|Sheth, R. K., & Tormen, G. (1999). Large-scale bias and the peak background split. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 308(1), 119-126]].</ref>.

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Математичне моделювання]]
[[Категорія:Фізична космологія]]