Перегляд вихідного коду сторінки Формалізм Арновітта — Десера — Мізнера

[[Файл:ArnowittDeserMisner2009_01.jpg|міні|240x240пкс|{{Не перекладено|Річард Ароновітт||en|Richard Arnowitt}}, [[Стенлі Десер]] і [[Чарлз Мізнер]] на конференції ''ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation'',<ref>{{Cite web |url=http://adm-50.physics.tamu.edu/ |title=ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation |accessdate=2021-01-09 |archive-date=2011-07-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110720054726/http://adm-50.physics.tamu.edu/ }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110720054726/http://adm-50.physics.tamu.edu/ |date=2011-07-20 }}</ref> на честь 50-річчя їхньої основної роботи, листопад 2009 року.]]
'''Формалізм Арновітта&nbsp;— Десера&nbsp;— Мізнера, АДМ-формалізм''' (англ. &nbsp;ADM formalism)&nbsp;— розроблене 1959 року {{Не перекладено|Річард Ароновітт|Річардом Арновіттом|en|Richard Arnowitt}}, [[Стенлі Десер]]ом і [[Чарлз Мізнер|Чарлзом Мізнером]] [[Механіка Гамільтона|гамільтонівське формулювання]] [[Загальна теорія відносності|загальної теорії відносності]]. Воно відіграє важливу роль у [[Квантова гравітація|квантовій гравітації]] і [[Чисельна відносність|чисельній відносності]].

Основний огляд формалізму під назвою «Динаміка загальної теорії відносності» (англ. &nbsp;The Dynamics of General Relativity) автори опублікували у збірнику «Gravitation: An introduction to current research» під редакцією [[Луїс Віттен|Луїса Віттена]], Wiley NY (1962); chapter 7, pp. &nbsp;227-265. 2008 року статтю передруковано в журналі [[General Relativity and Gravitation]] у серії класичних робіт із гравітації<ref>
{{Стаття|doi=10.1007/s10714-008-0661-1|arxiv=gr-qc/0405109|title=Republication of: The dynamics of general relativity|видання=[[General Relativity and Gravitation]]|том=40|номер=9|pages=1997—2027|bibcode=2008GReGr..40.1997A|language=en|тип=journal|author=Arnowitt R., Deser S., Misner C.|date=2008}}</ref> Початкові роботи авторів виходили у [[Physical Review]].<ref name="ADM">{{Стаття|doi=10.1103/PhysRev.116.1322|title=Dynamical Structure and Definition of Energy in General Relativity|видання=[[Physical Review]]|том=116|номер=5|pages=1322—1330|bibcode=1959PhRv..116.1322A|language=en|тип=journal|author=Arnowitt R., Deser S., Misner C.|date=1959}}</ref><ref>
{{Стаття|doi=10.1103/PhysRev.113.745|title=Quantum Theory of Gravitation: General Formulation and Linearized Theory|видання=[[Physical Review]]|том=113|номер=2|pages=745—750|bibcode=1959PhRv..113..745A|language=en|тип=journal|author=Arnowitt R., Deser S.|date=1959}}</ref><ref>
{{Стаття|doi=10.1103/PhysRev.117.1595|title=Canonical Variables for General Relativity|видання=[[Physical Review]]|том=117|номер=6|pages=1595—1602|bibcode=1960PhRv..117.1595A|language=en|author=Arnowitt R., Deser S., Misner C.|date=1960|тип=journal}}</ref><ref>
{{Стаття|doi=10.1103/PhysRevLett.4.375|title=Finite Self-Energy of Classical Point Particles|видання=[[Physical Review Letters]]|том=4|номер=7|pages=375—377|bibcode=1960PhRvL...4..375A|language=en|author=Arnowitt R., Deser S., Misner C.|date=1960|тип=journal}}</ref><ref>
{{Стаття|doi=10.1103/PhysRev.118.1100|title=Energy and the Criteria for Radiation in General Relativity|видання=[[Physical Review]]|том=118|номер=4|pages=1100—1104|bibcode=1960PhRv..118.1100A|language=en|тип=journal|author=Arnowitt R., Deser S., Misner C.|date=1960}}</ref><ref>
{{Стаття|doi=10.1103/PhysRev.120.313|title=Gravitational-Electromagnetic Coupling and the Classical Self-Energy Problem|видання=[[Physical Review]]|том=120|pages=313—320|bibcode=1960PhRv..120..313A|language=en|тип=journal|author=Arnowitt R., Deser S., Misner C.|date=1960}}</ref><ref>
{{Стаття|doi=10.1103/PhysRev.120.321|title=Interior Schwarzschild Solutions and Interpretation of Source Terms|видання=[[Physical Review]]|том=120|pages=321—324|bibcode=1960PhRv..120..321A|language=en|тип=journal|author=Arnowitt R., Deser S., Misner C.|date=1960}}</ref><ref>
{{Стаття|doi=10.1103/PhysRev.121.1556|title=Wave Zone in General Relativity|видання=[[Physical Review]]|том=121|номер=5|pages=1556—1566|bibcode=1961PhRv..121.1556A|language=en|author=Arnowitt R., Deser S., Misner C.|date=1961|тип=journal}}</ref><ref>
{{Стаття|doi=10.1103/PhysRev.122.997|title=Coordinate Invariance and Energy Expressions in General Relativity|видання=[[Physical Review]]|том=122|номер=3|pages=997—1006|bibcode=1961PhRv..122..997A|language=en|тип=journal|author=Arnowitt R., Deser S., Misner C.|date=1961}}</ref>

== Огляд ==
Формалізм припускає, що [[простір-час]] можна [[Шарування|розшарувати]] на сукупність просторовоподібних 3-вимірних гіперповерхонь <math>\Sigma_t</math>, які нумеруються за допомогою часової координати <math>t</math>, а на кожній гіперповерхні вводяться просторові координати <math>x^i</math>. Динамічними змінними формалізму в такому випадку виявляються: [[метричний тензор]] на цих гіперповерхнях <math>\gamma_{ij}(t,x^k)</math> і пов'язаний з ним тензор [[Канонічні координати|канонічних імпульсів]] <math>\pi^{ij}(t,x^k)</math>. З цих змінних виражається [[гамільтоніан]], який відповідає [[Рівняння Ейнштейна|рівнянням Ейнштейна]], і таким чином, [[рівняння руху]] [[Загальна теорія відносності|загальної теорії відносності]] виявляються записаними в [[Рівняння Гамільтона|гамільтоновій формі]].

Крім 12 змінних <math>\gamma_{ij}</math> і <math>\pi^{ij}</math> (тривимірні симетричні тензори містять по 6 компонент), у формалізмі присутні 4 [[Метод невизначених множників|лагранжевих множники]]: функції ходу (англ.  the lapse function) <math>N</math>, та функції зсуву&nbsp;— компоненти 3-вектора (англ.  shift vector field) <math>N_i</math>. Вони описують, як точки <math>x^i=const</math> на сусідніх шарах <math>\Sigma_t, t=const</math> пов'язані між собою. Рівняння руху для цих змінних можна вибрати довільно, що відповідає свободі вибору [[Система координат|системи координатної]] для опису простору-часу.

== Позначення ==
Більшість літератури застосовує позначення, в яких чотиривимірні тензори записуються в абстрактній індексній нотації, причому грецькі індекси є просторово-часовими і набувають значень (0, 1, 2, 3), а латинські індекси є просторовими і набувають значень (1, 2, 3). У висновку просторово-часові об'єкти, які мають також і тривимірні аналоги, будуть для розрізнення позначатися попереднім верхнім індексом (4), наприклад, метричний тензор на тривимірному шарі буде позначатися <math>g_{ij}</math>, а повна просторово-часова метрика буде позначатися як <math>{^{(4)}}g_{\mu \nu}</math>.

Тут використовуються [[Нотація Ейнштейна|позначення Ейнштейна]], в яких передбачається підсумовування за повторюваними індексами.

Використовуються два типи похідних: [[Часткова похідна|часткові похідні]] позначаються або оператором <math>\partial_{i}</math> або індексами, перед якими ставиться кома; [[Коваріантна похідна|коваріантні похідні]] позначаються або оператором <math>\nabla_{i}</math> або індексами, перед якими ставиться крапка з комою.

Абсолютне значення [[визначник]]а матриці метричних тензорних коефіцієнтів позначено <math>g</math> (без індексів). Інші символи тензора, написані без індексів, представляють слід відповідного тензора, наприклад, <math>\pi = g^{ij}\pi_{ij}</math> .

== Виведення ==

=== Формулювання лагранжіана ===
Початковою точкою для формулювання ADM є [[лагранжіан]]

: <math>\mathcal{L} = {^{(4)}R} \sqrt{^{(4)}g},</math>

що є добутком квадратного кореня з [[визначник]]а чотиривимірного [[Метричний тензор|метричного тензора]] для повного простору-часу та його [[Скалярна кривина|скаляра Річчі]]. Це Лагранжіан з [[Дія Ейнштейна – Гільберта|дії Ейнштейна – Гільберта]].

Бажаним результатом виведення є визначення вбудування тривимірних просторових зрізів у чотиривимірний простір-час. Метрика тривимірних зрізів

: <math>g_{ij} = {^{(4)}}g_{ij}</math>

буде [[Узагальнені координати|узагальненими координатами]] для гамільтонового формулювання. Потім можна обчислити [[Канонічні координати|спряжені імпульси]] як

: <math>\pi^{ij} = \sqrt{^{(4)}g} \left( {^{(4)}}\Gamma^0_{pq} - g_{pq} {^{(4)}}\Gamma^0_{rs}g^{rs} \right) g^{ip}g^{jq},</math>

використовуючи стандартні прийоми та визначення. Символи <math>{^{(4)}}\Gamma^0_{ij}</math>&nbsp;— [[символи Крістофеля]], пов'язані з метрикою повного чотиривимірного простору-часу. Інтетрвал

: <math>N = \left( -{^{(4)}g^{00}} \right)^{-1/2}</math>

і вектор зсуву

: <math>N_{i} = {^{(4)}g_{0i}}</math>

- це інші елементи чотириметричного тензора.

Наступним кроком, після визначення величин для формулювання, є переписання лагранжіана з точки зору цих змінних. Новий вираз для лагранжіана

: <math>\mathcal{L} = -g_{ij} \partial_t \pi^{ij} - NH - N_i P^i - 2 \partial_i \left( \pi^{ij} N_j - \frac{1}{2} \pi N^i + \nabla^i N \sqrt{g} \right)</math>

зручно записати через дві нові величини

: <math>H = -\sqrt{g} \left[^{(3)}R + g^{-1} \left(\frac{1}{2} \pi^2 - \pi^{ij} \pi_{ij} \right) \right]</math>

відомі як {{Нп|обмеження Гамільтона||en|Hamiltonian constraint}} та обмеження імпульсу відповідно. Інтервал і зсув з'являються в лагранжіані як [[Метод невизначених множників|множники Лагранжа]] .

: <math>P^i = -2 \pi^{ij}{}_{;j},</math>

=== Рівняння руху ===
Хоча змінні в лагранжіані представляють [[метричний тензор]] у тривимірних просторах, вбудованих у чотиривимірний [[простір-час]], можливо і бажано використовувати звичайні процедури [[Механіка Лагранжа|механіки Лагранжа]] для виведення «рівнянь руху», що описують еволюцію часу обох метрик <math>g_{ij}</math> та його спряжений імпульс <math>\pi^{ij}</math>. Результат

: <math>\partial_t g_{ij} = \frac{2N}{\sqrt{g}} \left( \pi_{ij} - \tfrac{1}{2} \pi g_{ij} \right) + N_{i;j} + N_{j;i}</math>

Беручи варіації щодо інтервалу і зсуву, забезпечують рівняння обмежень

: <math>\begin{align}
 \partial_t \pi^{ij} = &-N \sqrt{g} \left( R^{ij} - \tfrac{1}{2} R g^{ij} \right) + \frac{N}{2\sqrt{g}} g^{ij} \left( \pi^{mn} \pi_{mn} - \tfrac{1}{2} \pi^2 \right ) - \frac{2N}{\sqrt{g}} \left( \pi^{in} {\pi_n}^j - \tfrac{1}{2} \pi \pi^{ij} \right) \\
 &+ \sqrt{g} \left (\nabla^i \nabla^j N - g^{ij} \nabla^n \nabla_n N \right ) + \nabla_n \left (\pi^{ij} N^n \right ) - {N^i}_{;n} \pi^{nj} - {N^j}_{;n} \pi^{ni}
\end{align}</math>

є [[Нелінійна система|нелінійною]] системою [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|рівнянь]] у [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|часткових похідних]].

: <math>H = 0</math>

а самі інтервал і зсув можна задати вільно, відбиваючи той факт, що системи координат можна вибирати вільно як у просторі, так і в часі.

: <math>P^i = 0,</math>

== Застосування ==

=== Застосування до квантової гравітації ===
Використовуючи формулювання АДМ, можна спробувати побудувати [[Квантова гравітація|квантову теорію гравітації]] так само, як побудовано [[рівняння Шредінгера]], яке відповідає цьому гамільтоніану в [[Квантова механіка|квантовій механіці]]. Тобто замінити канонічні моменти <math>\pi^{ij}(t, x^k)</math> та просторові метричні функції лінійними функціональними диференціальними операторами

: <math> \hat{g}_{ij}(t, x^k) \mapsto g_{ij}(t, x^k),</math>
: <math> \hat{\pi}^{ij}(t, x^k) \mapsto -i \frac{\delta}{\delta g_{ij}(t, x^k)}. </math>

Точніше, заміна класичних змінних операторами обмежена [[Канонічне комутаційне відношення|комутаційними відношеннями]]. [[Циркумфлекс]] у квантовій теорії позначає [[Оператор (фізика)|оператори]]. Це призводить до {{Нп|рівняння Вілера – Девітта||en|Wheeler–DeWitt equation}}.

=== Застосування до чисельних розв'язків рівнянь Ейнштейна ===
{{Див. також|Розв'язки рівнянь Ейнштейна}}
Точних [[Розв'язки рівнянь Ейнштейна|розв'язків рівнянь поля Ейнштейна]] відомо порівняно небагато. Пошуком інших розв'язків займається [[Чисельна відносність|чисельна теорія відносності,]] в якій для відшукання наближених розв'язків рівнянь використовують [[суперкомп'ютер]]и. Чисельну побудову таких розв'язків більшість дослідників починають з формулювання рівнянь Ейнштейна, тісно пов'язаних із формулюванням АДМ. Найпоширеніші підходи починаються з [[Задача Коші|задачі початкового значення]], заснованої на формалізмі АДМ.

У формулюваннях Гамільтона основним моментом є заміна набору рівнянь другого порядку набором рівнянь першого порядку. Цей другий набір рівнянь легко отримати за формулою Гамільтона. Це корисно для чисельної фізики, оскільки зниження порядку диференціальних рівнянь часто зручне, якщо планується комп'ютерне їх опрацювання.

== Енергія та маса АДМ ==
Енергія АДМ&nbsp;— це особливий спосіб визначення [[Енергія|енергії]] в [[Загальна теорія відносності|загальній теорії відносності]], який застосовується лише до деяких особливих геометрій [[Простір-час|простору-часу,]] які асимптотично наближаються до чітко визначеного [[Метричний тензор|метричного тензора]] на нескінченності&nbsp;— наприклад, до простору-часу, який асимптотично наближається до [[Простір Мінковського|простору Мінковського]]. Енергія АДМ у цих випадках визначається як функція відхилення метричного тензора від встановленої асимптотичної форми. Іншими словами, енергія АДМ обчислюється як сила гравітаційного поля на нескінченності.

Якщо необхідна асимптотична форма не залежить від часу (наприклад, сам простір Мінковського), то вона відповідає поступальній у часі [[Симетрія|симетрії]]. Тоді з [[Теорема Нетер|теореми Нетер]] випливає, що енергія АДМ зберігається. Відповідно до загальної теорії відносності, закон збереження загальної енергії не діє в більш загальних, залежних від часу умовах&nbsp;— наприклад, він повністю порушується у [[Фізична космологія|фізичній космології]]. Зокрема, [[Інфляція (космологія)|космічна інфляція]] здатна виробляти енергію (і масу) з «нічого», оскільки густина [[Енергія вакууму|енергії вакууму]] приблизно стала, а об'єм Всесвіту [[Експонентне зростання|зростає експоненційно]].

== Застосування до модифікованої гравітації ==
Використовуючи декомпозицію АДМ та вводячи допоміжні поля, 2009 року {{Нп|Наталі Деруель|Деруель|en|Nathalie Deruelle}} та інші відшукали метод знаходження {{Не перекладено|Гранична умова Гіббонса – Гокінга – Йорка|граничних умов Гіббонса – Гокінга – Йорка|en|Gibbons–Hawking–York boundary term}} для [[Альтернативні теорії гравітації|модифікованих теорій гравітації]], «чий лагранжіан є довільною функцією тензора Рімана».<ref>{{Cite journal|last=Deruelle|first=Nathalie|last2=Sasaki|first2=Misao|last3=Sendouda|first3=Yuuiti|last4=Yamauchi|first4=Daisuke|year=2010|title=Hamiltonian formulation of f(Riemann) theories of gravity|journal=Progress of Theoretical Physics|volume=123|issue=1|pages=169–185|arxiv=0908.0679|bibcode=2010PThPh.123..169D|doi=10.1143/PTP.123.169}}</ref>

== Дискусія ==
2008 року Кірющева та Кузьмін опублікували спростування 4-х основ формалізму АДМ,<ref>{{Cite journal|last=Kiriushcheva|first=N.|last2=Kuzmin|first2=S.|year=2008|title=The Hamiltonian formulation of general relativity: Myths and reality|url=https://www.degruyter.com/view/journals/phys/9/3/article-p576.xml|journal=Central European Journal of Physics C|volume=9|issue=3|pages=576–615|arxiv=0809.0097|doi=10.2478/s11534-010-0072-2}}</ref> зазначивши, що лише у формалізмі Дірака&nbsp;— Гамільтона, а не у формалізмі АДМ можна відновити належну інваріантність дифеоморфізму за допомогою канонічних перетворень. Різниця в канонічній структурі формалізмів Гамільтона&nbsp;— Дірака та АДМ є предметом постійних суперечок, які ще не завершено у фізичній літературі.

== Див. також ==
* [[Канонічні координати]]
* {{Нп|Рівняння Гамільтона – Якобі – Ейнштейна||en|Hamilton–Jacobi–Einstein equation}}
* {{Нп|Метрика Переса||en|Peres metric}}

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* {{Книга
|заголовок = Quantum Gravity
|місце = Oxford, New York
|видавництво = [[Oxford University Press]]
|рік = 2007
|ISBN = 978-0-19-921252-1
|мова = en
|автор = Kiefer, Claus
}}
{{Теорії гравітації}}
[[Категорія:Загальна теорія відносності]]