Перегляд вихідного коду сторінки Фактор-кільце

{{не плутати|Факторіальне кільце|факторіальним кільцем}}
В [[абстрактна алгебра|абстрактній алгебрі]] '''фактор-кільце'''&nbsp;— кільце [[класи еквівалентності|класів еквівалентності]], що будується з деякого [[кільце (алгебра)|кільця]] <math>R</math> за допомогою деякого його [[ідеал (алгебра)|ідеалу]] <math>I</math>. Позначається <math>R/I</math>.

== Визначення ==

Нехай ''<math>R</math>''&nbsp;— кільце, а ''<math>I</math>''&nbsp;— деякий його (двосторонній) ідеал. На ''<math>R</math>'' можна задати [[відношення еквівалентності]] ''<math>\sim</math>'':
: ''<math>a\sim b</math>'' [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли <math>b-a \in I</math>.
Оскільки за означенням ідеал є [[підгрупа|підгрупою]] адитивної [[група (алгебра)|групи]] кільця:
* Тоді <math>a-a = 0 \in I</math> тобто ''<math>a\sim a</math>''.
* Якщо <math>b-a \in I</math> то також <math>a-b = -(b-a) \in I</math>, тобто з ''<math>a\sim b</math>'' випливає ''<math>b\sim a</math>''.
* Якщо <math>b-a \in I</math> та <math>c-b \in I</math> то також <math>c-a = (c-b)+(b-a) \in I</math>, тобто з ''<math>a\sim b</math>'' та ''<math>b\sim c</math>'' випливає ''<math>a\sim c</math>''.

Отже відношення ''<math>a\sim b</math>'' є [[рефлексивне відношення|рефлексивним]], [[симетричне відношення|симетричним]] і [[транзитивне відношення|транзитивним]], отже є відношенням еквівалентності.

Нехай
: <math>[a] = a + I = \{a+r:r\in I\}</math>
позначає клас еквівалентності елемента '''''<math>a</math>'''''.
[[Множина]] класів еквівалентності введеного відношення позначається ''<math>R/I</math>''.

На даній множині можна ввести операції [[додавання]] і [[множення]]:
: <math>[a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]</math>
: <math>[a] \cdot [b] = (a+I) \cdot (b+I) = a\cdot b + I = [a\cdot b]</math>

Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай <math>a + I = a_1 + I</math> та <math>b + I = b_1 + I</math>. Тоді <math>a - a_1 = i \in I</math> та <math>b - b_1 = j \in I</math>. Звідси <math>a + b = a_1 + b_1 + i +j </math> та <math>ab = (a_1 + i)(b_1 + j) = a_1b_1 + ib_1 +a_1j + ij</math>. Оскільки <math>i+j, ib_1, a_1j, ij \in I</math> одержується <math>a + b + I = a_1 + b_1 + i +j + I</math> та <math>ab + I = a_1b_1 + I </math>, що доводить несуперечливість визначення.

Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця ''<math>R</math>'' за ідеалом <math>I</math>.

== Приклади ==

* Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів ''<math>\{0\}</math>'' і самого кільця ''<math>R</math>''. ''<math>R/\{0\}</math>'' є [[ізоморфізм|ізоморфним]] до ''<math>R</math>'', а ''<math>R/R</math>'' є тривіальним кільцем ''<math>\{0\}</math>''.

* Нехай '''''<math>\mathbb{Z}</math>'''''&nbsp;— кільце [[ціле число|цілих чисел]], а '''''<math>2\mathbb{Z}</math>'''''— кільце [[парне число|парних чисел]]. Тоді фактор-кільце '''''<math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>''''' має лише два елементи, що відповідають множинам парних і [[непарне число|непарних]] чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами, '''''<math>\mathbb{F}_2</math>'''''. Більш загально можна розглянути фактор-кільце '''''<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>''''', що є ізоморфним [[модульна арифметика|кільцю лишків за модулем]] '''''<math>n</math>'''''.

* Нехай '''''<math>\mathbb{R}[x]</math>''''' кільце [[многочлен]]ів від змінної '''''<math>X</math>''''' з дійсними коефіцієнтами, і ідеал '''''<math>I=(X^2+1)</math>''''' складається з усіх добутків многочлена '''''<math>X^2+1</math>''''' на інші многочлени. Фактор-кільце '''''<math>\mathbb{R}[x]/(X^2+1)</math>''''' є ізоморфним полю [[комплексні числа|комплексних чисел]] '''''<math>\mathbb{C}</math>''''', і клас еквівалентності '''''<math>[X]</math>''''' відповідає [[уявна одиниця|уявній одиниці]] '''''<math>i</math>'''''.

* Узагальнюючи попередній приклад, фактор-кільце можна використати для побудови [[розширення поля]]. Нехай '''''<math>K</math>'''''&nbsp;— деяке поле і '''''<math>f</math>''''' [[незвідний многочлен]] в '''''<math>K[X]</math>'''''.Тоді '''''<math>L=K[X]/(f)</math>''''' є полем, що містить '''''<math>K</math>'''''.

== Властивості ==

* Якщо ''<math>R</math>''&nbsp;— [[комутативне кільце]] то кільце ''<math>R/I</math>'' теж є комутативним. Обернене твердження невірне.
* ''Теорема про гомоморфізм кілець'':
: Якщо <math>f</math>&nbsp;— [[епіморфізм]] ([[сюр'єкція|сюр'єктивний]] [[гомоморфізм]]) кільця <math>\mathrm{K}</math> на кільце <math>\mathrm{R}</math>, то [[ядро гомоморфізму|ядро]] <math>\ker\,f</math> є ідеалом кільця <math>\mathrm{K}</math>, причому кільце <math>\mathrm{R}</math> [[ізоморфізм|ізоморфне]] фактор-кільцю <math>\mathrm{K}/\ker\,f</math>.

: Навпаки: якщо <math>\mathrm{J}</math>&nbsp;— ідеал кільця <math>\mathrm{K}</math>, то [[відображення]] <math>f: \mathrm{K} \to\mathrm{K/J}</math>, визначене умовою <math>f(a) = a+\mathrm{J}, \forall a \in \mathrm{K}</math> є гомоморфізмом кільця <math>\mathrm{J}</math> на <math>\mathrm{K/J}</math> з ядром <math>\mathrm{J}</math>.

* Ідеал <math>\mathrm{J}</math> кільця <math>\mathrm{K}</math> є [[простий ідеал|простим]] ([[максимальний ідеал|максимальним]]) в тому і лише у тому випадку, коли фактор-кільце <math>\mathrm{K/J}</math> є [[область цілісності|областю цілісності]]([[Поле (алгебра)|полем]]).
* Між ідеалами кілець <math>\mathrm{R}</math> і <math>\ R/I</math> існує тісний зв'язок. А саме ідеали <math>\ R/I</math> знаходяться у взаємно однозначній відповідності із ідеалами кільця <math>\mathrm{R}</math>, що містять ідеал <math>\ I</math> як [[Підмножина|підмножину]]. Якщо <math>\ I \subset J</math> такий ідеал кільця <math>\mathrm{R}</math> йому ставиться у відповідність ідеал <math>\ J/I</math> кільця <math>\ R/I</math>. До того ж фактор-кільця <math>\ R/J</math> і <math>\ (R/I)/(J/I)</math> є [[Ізоморфізм|ізоморфними]] через природний гомоморфізм <math>h : \ R/J \to (R/I)/(J/I) </math>, для якого <math>h (a + J) = (a + I) + J/I. </math>

== Див. також ==
* [[Фактор-множина]]
* [[Фактор-група]]
* [[Фактор-простір]]

== Посилання ==
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=470 Фактор-кільце] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110514061902/http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=470 |date=14 травня 2011 }} на сайті [[PlanetMath]].

== Джерела ==
=== Українською ===
* {{ref-uk}} {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}
* {{Бондаренко.Теорія кілець}}

=== Іншими мовами ===

* {{Ван.дер.Варден.Алгебра}}
* {{Винберг.Курс алгебры}}
* {{Ленг.Алгебра}}


[[Категорія:Теорія кілець]]
[[Категорія:Фактор-структури]]