Перегляд вихідного коду сторінки Фактор-категорія


''Для [[Абелева категорія| абелевих фактор-категорій]], що породжуються {{нп|Локалізація підкатегорії|підкатегорією Сере||Localizing subcategory}}, див. {{нп|Абелева фактор-категорія|Абелева фактор-категорія||Quotient of an abelian category}}.''

У [[Математика|математиці]] '''фактор-категорія''' — це [[Категорія (математика)|категорія]], що отримується із іншої категорії шляхом ототожнювання множин [[Морфізм|морфізмів]]. Формально кажучи, це [[Фактор-об'єкт|фактор-об'єкт]] в {{нп|Категорія малих категорій|категорії малих категорій||Category of small categories}}, аналогічно до [[Фактор-група|фактор-групи]] або [[Фактор-простір|фактор-простору]], але в сенсі категорій.

==Означення==
Нехай <math>C</math> — категорія. <math>R</math> — [[Конгруенція| відношення конґруентності]] на категорії <math>C</math>, що визначається наступним чином: для кожної пари об'єктів <math>X, Y \in C</math> існує [[Відношення еквівалентності| відношення еквівалентності]]  <math>\operatorname{Hom}(X,Y)</math> — відношення еквівалентності відносно композиції морфізмів. Тобто, якщо
:<math>f_1, f_2 \colon \ X\to Y</math>
еквівалентні на <math>\operatorname{Hom}(X, Y)</math> і
:<math>g_1, g_2 \colon \ Y\to Z</math>	
еквівалентні на <math>\operatorname{Hom}(Y, Z)</math>, тоді <math>g_1f_1</math> і <math>g_2f_2</math> еквівалентні на <math>\operatorname{Hom}(X, Z)</math>.

Для заданого відношення конґруентності  <math>R</math> на категорії <math>C</math> можна визначити '''фактор-категорію''' <math>C/R</math> як категорію, об'єкти якої з категорії <math>C</math>, і морфізми якої — [[Клас еквівалентності|класи еквівалентності]] морфізмів категорії  <math>C</math>. Тобто
: <math>	\operatorname{Hom}_{C/R}\big(X, Y\big) = \operatorname{Hom}_C\big(X, Y\big)/R_{X, Y}.</math>
Композиція морфізмів на <math>C/R</math> є {{нп|Однозначно визначений вираз|однозначно визначеною||Well-defined expression}}, оскільки <math>R</math> є відношенням конґруентності.

==Властивості==
Існує природній фактор[[Функтор|-функтор]]категорії <math>C</math> в фактор-категорію <math>C/R</math>, який переводить кожен морфізм у його клас еквівалентності. Цей функтор є бієктивним на об'єктах і сюр'єктивним на <math>\operatorname{Hom}</math>-множинах (тобто є [[Повні і унівалентні функтори|повним функтором]]).

Кожний функтор <math>F\colon C \to D</math> визначає конґруенцію на категорії <math>C</math>, тобто <math>f\sim g</math> [[Тоді й лише тоді|тоді й лише тоді]], коли <math>F(f)=F(g)</math>. Тоді функтор <math>F</math> факторизується єдиним чином завдяки фактор-функтору <math>C \to C/{\sim}</math>. Це можна розглядати як [[Теореми про ізоморфізми|першу теорему про ізоморфізм]] для категорій.

==Приклади==
*[[Моноїд]]и і [[Група (математика)|групи]] можна розглянути як категорії з одного об'єкту. У цьому випадку фактор-категорія збігається з таким поняттям як [[Напівгрупа|фактор-моноїд]] або [[Фактор-група|фактор-група]].
*{{нп|Гомотопна категорія|Гомотопна категорія топологічних просторів||Homotopy category}} '''hTop''' є фактор-категорією простору '''Top''', {{нп|Категорія топологічних просторів|категорії топологічних просторів||Category of topological spaces}}. Класи еквівалентності морфізмів є [[Гомотопія|гомотопними класами]] неперервних відображень.
*Нехай <math>k</math> — [[Поле (алгебра)|поле]] і розгянемо [[Абелева категорія|абелеву категорію]] <math>\operatorname{Mod}(k)</math> усіх [[Векторний простір|векторних просторів]] над полем <math>k</math> з <math>k</math>-лінійними відображеннями як морфізмами. Щоб "знищити" усі скінченновимірні простори, можемо назвати два лінійних відображення <math>f, g\colon  X\to Y</math> конґруентими тоді й лише тоді, коли їх різниця має скінченновимірний образ. В отриманій фактор-категорії усі скінченновимірні векторні простори ізоморфні нулю. (Насправді це приклад адитивних фактор-категорій, див. нижче.)

==Суміжні поняття==
===Адитивні фактор-категорії за ідеалами===
Якщо <math>C</math> {{нп|Адитивна категорія|адитивна категорія||Additive category}} і відношення конґруентності <math>\sim</math> над <math>C</math> є адитивним (тобто, якщо <math>f_1, f_2</math>, <math>g_1</math> і <math>g_2</math> є морфізмами із <math>X</math> в <math>Y</math>, причому <math>f_1 \sim f_2</math> і <math>g_1 \sim g_2</math>, тоді <math>f_1+g_1 \sim f_2+g_2</math>)), тоді  фактор-категорія <math>C/{\sim}</math> також буде адитивною, і фактор-функтор <math>C \to C/{\sim}</math> також буде адитивним функтором.

Концепція адитивного відношення конґруентності є еквівалентною концепції ''двостороннього ідеалу морфізмів'': для будь-яких об'єктів <math>X</math> і <math>Y</math> задана адитивна підгрупа <math>I(X,Y)</math> з <math>\operatorname{Hom}_C(Y,Z)</math> така, що для усіх <math>f \in I(X,Y)</math>, <math>g \in \operatorname{Hom}_C(Y,Z)</math> і <math>h \in \operatorname{Hom}_C(W,X)</math> отримуємо <math>gf \in I(X,Z)</math> і <math>fh \in I(W,Y)</math>. Два морфізми із <math>\operatorname{Hom}_C(X,Y)</math> є конґруентими тоді й лише тоді, коли їх різниця належить <math>I(X,Y)</math>.

Будь-яке унітальне [[Кільце (алгебра)| кільце]] може бути розглянуте як адитивна категорія з одного об'єкту і адитивна фактор-категорія, визначена вище, у цьому випадку збігається з поняттям [[Фактор-кільце|фактор-кільця]] за двостороннім ідеалом.

===Локалізація категорії===
{{нп|Локалізація категорії|Локалізація категорії||Localization of a category}} породжує нові морфізми, щоб перетворити деякі мофірзми із вихідної категорії на ізоморфізми. Як правило, це приводить до збільшення кількості морфізмів між об'єктами, а не зменшує їх, як у випадку фактор-категорій. Але в обох конструкціях часто трапляється, що ізоморфними стають два об'єкта, які не були ізоморфізмами в вихідній категорії.

===Абелеві фактор-категорії Сере===
{{нп|Абелеві фактор-категорії|Абелева фактор-категорія Сере||Quotient of an abelian category}}, що породжується {{нп|Локалізація підкатегорії|підкатегорією Сере||Localizing subcategory}}, — це нова [[Абелева категорія|абелева категорія]], яка подібна до фактор-категорії, але також в багатьох випадках має характер локалізації категорії.

==Література==
*Mac Lane, Saunders (1998, Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5 (second ed.), Springer-Verlag.

[[Категорія:Теорія категорій]]