Перегляд вихідного коду сторінки Факторіальне кільце

{{не плутати|Фактор-кільце|фактор-кільцем}}
{{Алгебричні структури|ring}}
'''Факторіа́льне кільце́''' — [[область цілісності]] <math>R</math>, в якій кожен [[оборотний елемент|необоротний елемент]] <math>a</math> представляється у вигляді добутку [[незвідний елемент|незвідних елементів]] <math>a=p_1\cdot \dots \cdot p_n\ (n\ge1)</math>, причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо <math>p_1\cdot \dots \cdot p_n\ = q_1\cdot \dots \cdot q_m,</math> то <math>m=n,</math> і після перенумерації маємо <math>p_i=u_iq_i</math> для всіх <math>i</math>, де <math>u_i</math> — оборотний елемент кільця <math>R</math> (такі елементи називаються асоційованими).
Самі елементи <math>p_i</math> можуть бути теж асоційованими і навіть рівними.

== Приклади ==
* Будь-яке [[кільце головних ідеалів]], зокрема [[Евклідове кільце]], є факторіальним кільцем. Зокрема, таким прикладом є кільце [[ціле число|цілих чисел]].
* Довільне [[поле (алгебра)|поле]] є, очевидно, факторіальним кільцем, оскільки в ньому немає необоротних елементів.
* [[Формальний степеневий ряд|Формальні степеневі ряди]] <math>K[[X_1,\dots,X_n]]</math> над полем <math>K</math> утворюють факторіальне кільце.
* Кільце <math>\Z[\sqrt{-5}]</math> всіх [[комплексне число|комплексних чисел]] виду <math>a+ib\sqrt{5}</math>, де ''a'' і ''b'' — цілі числа, не є факторіальним. Наприклад <math>6 = 2 \cdot 3 = \left(1+i\sqrt{5}\right)\left(1-i\sqrt{5}\right)</math>. Числа 2, 3, <math>1+i\sqrt{5}</math>, і <math>1-i\sqrt{5}</math> не є асоційовані і є незвідними.
* Згідно [[теорема Аусландера — Бухсбаума|теореми Аусландера — Бухсбаума]], кожне [[регулярне локальне кільце]] є факторіальним.

== Властивості ==

* Довільний незвідний елемент факторіального кільця є [[простий елемент|простим]].
::Нехай <math>p</math> — незвідний елемент факторіального кільця <math> D</math>. Тоді <math> p</math> є [[Оборотний елемент|необоротним]]. Якщо <math> ab \in (p)\smallsetminus\{0\}</math>, тоді <math> ab = cp,</math> де <math> c \in D</math>. Елементи <math> a,\,b,\,c</math> можна записати як добутки незвідних елементів:
:::<math>\displaystyle a \;=\; p_1\cdots p_l, \quad b \;=\; q_1\cdots q_m, \quad c \;=\; r_1\cdots r_n.</math> 
::Тоді <math>\displaystyle p_1\cdots  p_l\,q_1\cdots q_m \;=\; r_1\cdots r_n\,p.</math>  
::Оскільки <math> D</math> є факторіальним кільцем то кожен елемент у добутку справа є рівним добутку одного із <math>l+m</math> незвідних елементів з лівої сторони, тобто <math> p_i</math> або <math> q_j</math> і оборотного елемента. Відповідно або <math> a \in (p)</math> або <math> b \in (p)</math>. Тобто <math> (p)</math> є [[простий ідеал|простим ідеалом]] <math> D</math> і <math>p</math> є простим елементом.

* Якщо ''R'' є факторіальним кільцем, то і [[кільце многочленів]] ''R[x]'' є факторіальним. Звідси випливає, що і кільце ''R[x<sub>1</sub>...x<sub>n</sub>]'' є факторіальним.
* Кільце ''R'' є факторіальним [[тоді і тільки тоді]] коли довільний його [[простий ідеал]] містить простий елемент.
* Якщо у [[область цілісності|області цілісності]] <math> D</math> існує множина простих елементів <math>a_i, \ i \in E,</math> таких, що кожен елемент із <math> D</math> є добутком деяких елементів <math>a_i</math> і оборотного елемента, то <math> D</math> є факторіальним кільцем.
::Оскільки <math> D</math> є областю цілісності, то всі <math>a_i</math> є незвідними елементами і кожен незвідний елемент із <math> D</math> є добутком якогось одного елемента <math>a_i</math> і оборотного елемента. З умови кожен елемент <math> D</math> є добутком незвідних елементів. Якщо <math>p_1\ldots p_n = q_1\ldots q_m,</math> то кожен з <math>p_j</math> є добутком якогось із <math>a_i</math> і оборотного елемента. Оскільки <math>a_i</math> є простим елементом, що ділить добуток, то <math>a_i</math> ділить якийсь із <math>q_k.</math> Але <math>q_k = a_m u,</math> де <math>u</math> — оборотний елемент. Тому <math>a_i</math> ділить <math>a_m.</math> Також <math>a_m u = q_k = a_i c,</math> і тому також <math>a_m</math> ділить <math>a_i</math> (<math>a_m</math> є простим і має ділити <math>a_i</math> або <math>c</math>, в останньому випадку <math>a_i</math> був би оборотним, що неможливо). Тому <math>a_i</math> і <math>a_m</math>, а тому <math>p_j</math> і <math>q_k</math> відрізняються лише добутком на оборотний елемент. Скорочуючи і продовжуючи процес отримуємо, що <math> D</math> є факторіальним кільцем.
* [[Локалізація кільця|Локалізація]] факторіального кільця по довільній мультиплікативній системі є факторіальним кільцем.

::Нехай <math>a \in D</math> — незвідний елемент факторіального кільця. Якщо <math>aD \cap S = \emptyset,</math> то <math>aS^{-1}D</math> є простим ідеалом у <math>S^{-1}D,</math> а тому <math>a/1 \in S^{-1}D</math> є простим елементом. Із попереднього достатньо довести, що кожен ненульовий елемент <math>S^{-1}D,</math> є добутком таких елементів і оборотного елемента.
::Спершу зауважимо, що якщо <math>aD \cap S \neq \emptyset,</math> то <math>a/1 \in S^{-1}D</math> є оборотним елементом. Якщо <math>ad = t \in S,</math> то оберненим елементом буде <math>d/t.</math>
::Нехай <math>b/s \in S^{-1}D.</math> Якщо <math>b = a_1 \ldots a_n</math> є розкладом ''b'' у добуток незвідних елементів, то <math>b/1 = a_1/1 \ldots a_n/1</math> є розкладом ''b/1'' у добуток незвідних і оборотних елементів.
::Тоді <math>b/s = a_1/1 \ldots a_n/1 \cdot 1/s</math> дає необхідний результат оскільки ''1/s'' є оборотним елементом.

*'''Теорема Нагати.''' Нехай <math> D</math> є областю цілісності, <math>a_i, \ i \in E</math> — деяка множина простих елементів і ''S'' — мультиплікативна множина елементами якої є скінченні добутки скінченних кількостей елементів <math>a_i</math>(добуток пустої множини вважається рівним 1). Нехай <math>a_i</math> задовольняють умову: для кожного елемента <math>b \in D</math> існують <math>s \in S, b' \in D</math> для яких ''b = sb' '' і ''b' '' не належить жодному із [[Головний ідеал|головних ідеалів]] <math>(a_i).</math> Тоді якщо локалізація <math>S^{-1}D</math> то і <math> D</math> є факторіальним кільцем. Вказана умова, зокрема, виконується для всіх нетерових кілець або кілець всі ненульові елементи яких є добутками незвідних елементів.

== Некомутативний випадок ==
Хоч термін «Факторіальне кільце» використовується переважно для комутативних кілець, подане вище означення можна узагальнити для некомутативного випадку. 

Нехай ''R'' — деяке кільце, що не має [[дільники нуля|дільників нуля]]. Дане кільце називається факторіальним, якщо довільний [[оборотний елемент|необоротний елемент]] ''a'' представляється у вигляді добутку [[незвідний елемент|незвідних елементів]] ''a=p<sub>1</sub>·...·p<sub>n</sub> (n≥''1'')'' причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо ''p<sub>1</sub>·...·p<sub>n</sub>=q<sub>1</sub>·...·q<sub>m</sub>'', то ''m=n'' і після перенумерації маємо, що [[фактор-кільце|фактор-кільця]] <math>R/p_iR</math> і <math>R/q_iR</math> є [[ізоморфізм|ізоморфними]]<ref name=Sr> Sivaramakrishnan. Certain number-theoretic episodes in algebra, ст. 245 </ref>.

=== Приклад ===
Множина [[кватерніон]]ів ''a = a<sub>0</sub> + a<sub>1</sub>i + a<sub>2</sub>j + a<sub>3</sub>k'', де ''a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>'' — цілі числа або [[непарні числа|непарні]] цілі числа [[ділення|поділені]] на 2 є некомутативним факторіальним кільцем.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{ван.дер.Варден.Алгебра}}
* {{Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том1}}
* {{Ленг.Алгебра}}
* {{Бондаренко.Теорія кілець}}
* {{cite book|last=Peskine|first=Christian|title=An Algebraic Introduction to Complex Projective Geometry: Commutative Algebra|year=2009|publisher=[[Cambridge University Press]]|series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|isbn=9780521108478}}
* David Sharpe (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33718-6.
* R. Sivaramakrishnan (2006). Certain number-theoretic episodes in algebra. CRC Press. ISBN 0-8247-5895-1

[[Категорія:Теорія кілець]]