Перегляд вихідного коду сторінки Факторіал

{| class="wikitable" style="margin:0 0 0 1em; text-align:right; float:right;"
|+ Обрані числа із факторіальної [[Послідовність|послідовності]] ({{OEIS|id=A000142}}); значення наведені в науковій нотації округлені до наведеної точності
|-
! {{math|''n''}}
! {{math|''n''!}}
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || 1
|-
| 2 || 2
|-
| 3 || 6
|-
| 4 || 24
|-
| 5 || 120
|-
| 6 || 720
|-
| 7 || {{val|5040|fmt=gaps}}
|-
| 8 || {{val|40320}}
|-
| 9 || {{val|362880}}
|-
| 10 || {{val|3628800}}
|-
| 11 || {{val|39916800}}
|-
| 12 || {{val|479001600}}
|-
| 13 || {{val|6227020800}}
|-
| 14 || {{val|87178291200}}
|-
| 15 || {{val|1307674368000}}
|-
| 16 || {{val|20922789888000}}
|-
| 17 || {{val|355687428096000}}
|-
| 18 || {{val|6402373705728000}}
|-
| 19 || {{val|121645100408832000}}
|-
| 20 || {{val|2432902008176640000}}
|-
| 25
| style="text-align:left" | {{val|1.551121004|e=25}}
|-
| 50
| style="text-align:left" | {{val|3.041409320|e=64}}
|-
| 70
| style="text-align:left" | {{val|1.197857167|e=100}}
|-
| 100
| style="text-align:left" | {{val|9.332621544|e=157}}
|-
| 450
| style="text-align:left" | {{val|1.733368733|e=1000|fmt=gaps}}
|-
| {{val|1000|fmt=gaps}}
| style="text-align:left" | {{val|4.023872601|e=2567|fmt=gaps}}
|-
| {{val|3249|fmt=gaps}}
| style="text-align:left" | {{val|6.412337688|e=10000}}
|-
| {{val|10000|fmt=gaps}}
| style="text-align:left" | {{val|2.846259681|e=35659}}
|-
| {{val|25206|fmt=gaps}}
| style="text-align:left" | {{val|1.205703438|e=100000}}
|-
| {{val|100000|fmt=gaps}}
| style="text-align:left" | {{val|2.824229408|e=456573}}
|-
| {{val|205023|fmt=gaps}}
| style="text-align:left" | {{val|2.503898932|e=1000004}}
|-
| {{val|1000000|fmt=gaps}}
| style="text-align:left" | {{val|8.263931688|e=5565708}}
|-
| [[Гугол|{{val|e=100}}]] ||10<sup>{{val|e=101.9981097754820}}</sup>
|}
'''Факторіал''' [[натуральне число|натурального числа]] '''<math>n</math>'''&nbsp;— [[добуток]] натуральних чисел від одиниці до '''<math>n</math>''' включно, позначається '''<math>n</math>!'''.

{{center|<math>n! = 1\cdot 2 \cdot \ ... \ \cdot n =\prod_{i=1}^n i</math>.}}
За означенням '''<math>0! = 1</math>''', згідно з конвенцією для [[порожній добуток|порожнього добутку]].{{sfn|Graham|Knuth|Patashnik|1988|page=111}}.

При великих '''<math>n</math>''' наближене значення факторіала можна обчислити за [[Стірлінга формула|формулою Стірлінга]].

Факторіал '''<math>n</math>''' дорівнює кількості [[Перестановки множини|перестановок з '''<math>n</math>''' елементів]].

== Історія ==
Індійські науковці використовували факторіали для підрахунку перестановок ще в 12-му столітті.<ref>{{Cite journal |last=Biggs |first=Norman L. |author-link=Norman L. Biggs |date=May 1979 |title=The roots of combinatorics |journal=Historia Mathematica |volume=6 |issue=2 |pages=109–136 |doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0 |issn=0315-0860 |via=ScienceDirect}}</ref> В 1677, {{нп|Фабіан Стедмен||en|Fabian Stedman}} описав застосування факторіалів для узгодження {{нп|Передзвін|передзвону|en|change ringing}}, музичного мистецтва із використанням багатьох підібраних налаштованих дзвонів.{{sfn|Stedman|1677|pages=6–9}} Після описання рекурсивного методу, Стедмен приводить визначення факторіалу.

[[Математичний запис]] {{math|{{math|''n''!}}}} було запропонована французьким математиком {{нп|Крістіан Крамп|Крістіаном Крампом|en|Christian Kramp}} у 1808.<ref>{{harvnb|Higgins|2008|page=12}}</ref>

== Визначення ==
Функція факторіалу визначається добутком

: <math>n!  = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot\ldots\cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n,</math>

для початкового цілого числа {{math|''n'' ≥ 1}}. Цей добуток можна представити у [[Множення#Нотація із великим Пі|нотації великим Пі для добутку]] наступним чином

: <math>n!  = \prod_{i = 1}^n i.</math>

Із цих формул можна отримати наступне [[рекурентне співвідношення]]:

: <math> n! = n \cdot (n-1)! .</math>

Наприклад, маємо наступне:
: <math>\begin{align}
 5! &=  5 \cdot  4! \\
 6! &=  6 \cdot  5! \\
50! &= 50 \cdot 49!
\end{align}</math>
і так далі.

=== Факторіал нуля ===
Для того, щоб рекурентне співвідношення могло поширюватися на випадок {{math|1=''n'' = 0}}, необхідним є визначити, що

: <math>0! = 1 </math>

Так що

: <math>1! = 1 \cdot 0! = 1.</math>

Існує ряд незалежних причин, чому це визначення вважають гармонійним. Це є наступні твердження:
* У випадку {{math|1= ''n'' = 0}}, у визначенні {{math|''n''!}} як добутку припускає порожній добуток без чисел взагалі, і тому це є прикладом більш ширшої конвенції того що добуток без множників дорівнює мультиплікативній одиниці (див. [[порожній добуток]]).
* Існує лише єдина перестановка нульової кількості об'єктів (оскільки нема чого переставляти, єдиною можливою перестановкою залишається [[Перестановка#Тотожна перестановка|тотожна]], яка нічого не робить).
* Це дозволяє утворити багато рівнянь з [[Комбінаторика|комбінаторики]], що будуть дійсними для всіх заданих розмірів. Кількість різних способів вибрати 0 елементів із [[Порожня множина|порожньої множини]] задається [[Біноміальний коефіцієнт|біноміальним коефіцієнтом]]
:: <math>\binom{0}{0} = \frac{0!}{0!0!} = 1 </math>.
: В більш загальному випадку, кількість різних способів впорядкувати всі {{mvar|n}} елементи із множини з {{mvar|n}} елементів дорівнюватиме
:: <math>\binom{n}{n} = \frac{n!}{n!0!} = 1 </math>.
* Це дозволяє мати компактний вираз багатьох формул, таких як [[показникова функція]], що задає степеневий ряд:
:: <math> e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}.</math>

=== Факторіал не цілого числа ===

Функцію факторіалу також можна визначити для не цілих чисел з використанням більш складних математичних понять (за допомогою [[Гамма-функція|гамма-функції]] {{math|1=''n''! = Γ(''n'' + 1)}}). Це більш загальне визначення використовується в інженерних [[калькулятор]]ах і в математичному програмному забезпеченні такому як [[Maple]], [[Mathematica]] або [[APL]].

== Факторіали деяких чисел ==
0!  = 1<br/>
1!  = 1<br/>
2!  = 1·2 = 2<br/>
3!  = 1·2·3 = 6<br/>
4!  = 1·2·3·4 = 24<br/>
5!  = 1·2·3·4·5 = 120<br/>
6!  = 1·2·3·4·5·6 = 720<br/>
7!  = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040<br/>
8!  = 1·2·3·4·5·6·7·8 = 40320<br/>
9!  = 1·2·3·4·5·6·7·8·9 = 362880<br/>
10! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10 = 3628800

== Властивості ==

=== Рекурентна формула ===
: <math>n!= \begin{cases}
1 & n = 0,\\
n \cdot (n-1)! & n > 0.
\end{cases}</math>

=== Комбінаторна інтерпретація ===
В [[комбінаторика|комбінаториці]] факторіал натурального числа n інтерпретується як кількість перестановок (упорядкування) множини з n елементів. Наприклад, для множини {A, B, C, D} з 4-х елементів існує 4! = 24 перестановки:
 ABCD  BACD  CABD  DABC
 ABDC  BADC  CADB  DACB
 ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
 ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
 ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
 ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбінаторна інтерпретація факторіала слугує обґрунтуванням тотожності 0! = 1, оскільки порожня множина може бути впорядкованою лише одним способом.

=== Зв'язок з гамма-функцією ===
Факторіал є пов'язаним з [[Гамма-функція|гамма-функцією]] від цілого аргументу співвідношенням:
{{center|<math>n! = \Gamma(n+1)</math>.}}

Таким чином, гамма-функцію розглядають як узагальнення факторіалу для додатних дійсних чисел. Шляхом [[аналітичне продовження|аналітичного продовження]] її також поширюють на всю [[комплексна площина|комплексну площину]], виключаючи [[особлива точка|особливі точки]].

=== Формула [[Джеймс Стірлінґ|Стірлінга]] ===
'''[[Формула Стірлінґа]]'''&nbsp;— одна з найвідоміших [[апроксимація|наближених]] формул для обчислення факторіала:
{{center|<math>n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3} - \frac{571}{2488320 n^4} + \frac{163879}{209018880 n^5} + \frac{5246819}{75246796800 n^6} + O\left(n^{-7}\right)\right),</math>}}

В багатьох випадках для наближеного значення факторіала досить розглядати лише головний член формули Стірлінга:
{{center|<math>n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>}}
при цьому можна стверджувати, що
{{center|<math>\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n < n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n)}</math>}}

== Подвійний факторіал ==
'''Подвійний факторіал''' числа ''n'' позначається ''n''!! і визначається як добуток всіх послідовних парних (якщо ''n'' парне) або непарних (якщо ''n'' непарне) натуральних чисел до ''n'' включно. Таким чином,
{{center|<math>(2k)!! = 2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k =\prod_{i=1}^{k} 2i = 2^k k!</math>}}
{{center|<math>(2k-1)!! = 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1) = \prod_{i=1}^{k} 2i-1 = \frac{(2k)!}{2^k k!}</math>}}
За означенням <math> 0!! = 1 </math>.

== Застосування ==
Хоча функція факторіалу має свої корені у [[комбінаторика|комбінаториці]], формули, в яких зустрічається факторіал, є в різноманітних галузях математики.
* Існує {{math|''n''!}} різних способів впорядкування {{mvar|n}} різних об'єктів у послідовність, [[Перестановка|перестановок]] цих об'єктів.<ref>{{Cite book |title=Beyond Infinity: An expedition to the outer limits of the mathematical universe |url=https://archive.org/details/beyondinfinityex0000chen |last=Cheng |first=Eugenia |date=2017-03-09 |publisher=Profile Books |isbn=9781782830818 |language=en |author-link=Eugenia Cheng}}</ref><ref name="ConwayGuy1998">{{Cite book |title=The Book of Numbers |last=Conway |first=John H. |last2=Guy |first2=Richard |date=1998-03-16 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=9780387979939 |language=en |author-link=Джон Конвей |author-link2=Richard K. Guy}}</ref>
* Часто факторіали присутні у [[Дріб|знаменнику]] формули, аби врахувати факт, що впорядкування ігнорується. Класичним прикладом є підрахунок {{mvar|k}}-[[Комбінація (комбінаторика)|комбінацій]] (підмножини із {{mvar|k}} елементів) із множини з {{mvar|n}} елементів. Таку комбінацію можна обравши {{mvar|k}}-перестановок: послідовно обираючи і убираючи один елемент з множини, {{mvar|k}} разів, для загального числа з
:: <math>(n-0)(n-1)(n-2)\cdots\left(n-(k-1)\right) = \tfrac{n!}{(n-k)!} = n^{\underline k}</math>
: можливостей. Однак це підраховує {{mvar|k}}-комбінацій у заданому порядку, що в даному підрахунку потрібно ігнорувати; оскільки кожну {{mvar|k}}-комбінацію можна отримати {{math|''k''!}} різними способами, таким чином правильною кількістю {{mvar|k}}-комбінацій є
:: <math>\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1} = \frac{n^{\underline k}}{k!}=  \frac{n!}{(n-k)!k!} = \binom {n}{k}.</math>
: Це число відоме як<ref name="Knuth1997">{{Cite book |title=The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms |last=Knuth |first=Donald E. |date=1997-07-04 |publisher=Addison-Wesley Professional |isbn=9780321635747 |language=en |author-link=Donald Knuth}}</ref> [[біноміальний коефіцієнт]], оскільки він також є коефіцієнтом {{math|''x''<sup>''k''</sup>}} у {{math|(1 + ''x'')<sup>''n''</sup>}}. Терм <math>n^{\underline k}</math> часто називають {{нп|Спадний і зростаючий факторіали|спадним факторіалом|en|Falling and rising factorials}}.
* Факторіали зустрічаються в [[Алгебра|алгебрі]] з різних обставин, або у якості вищезгаданих коефіцієнтів [[Біном Ньютона|біному Ньютона]], або для [[Середнє значення|усереднення]] за [[Перестановка|перестановками]] для {{нп|симетризація|симетризації|en|symmetrization}} певних операцій.
* Факторіали також зустрічаються у [[Диференціальне та інтегральне числення|численні]]; наприклад, вони зустрічаються у знаменниках термів в [[Теорема Тейлора|формулі Тейлора]],<ref>{{Cite web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|title=18.01 Single Variable Calculus, Lecture 37: Taylor Series|last=|first=|date=Fall 2006|website=MIT OpenCourseWare|archive-url=https://web.archive.org/web/20190527112906/https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|archive-date=27 травня 2019|deadurl=no|access-date=2017-05-03|df=}}</ref> де вони застосовуються як компенсуючі терми завдяки тому, що {{mvar|n}}-а [[похідна]] функції {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} є еквівалентною {{math|''n''!}}.
* Факторіали також широко використовуються у [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]].<ref>{{Cite book |title=Statistical Physics of Particles |url=https://archive.org/details/statisticalphysi00kard_125 |last=Kardar |first=Mehran |date=2007-06-25 |publisher=Cambridge University Press |isbn=9780521873420 |pages=[https://archive.org/details/statisticalphysi00kard_125/page/n46 35]–56 |language=English |chapter=Chapter 2: Probability |author-link=Mehran Kardar}}</ref>
* Факторіали можуть бути корисними для здійснення перетворень виразів. Наприклад, число з {{mvar|k}}-перестановок із {{mvar|n}} можна записати як
:: <math>n^{\underline k}=\frac{n!}{(n-k)!}\,;</math>
: хоча цей вираз є неефективний для розрахунку цього числа, він може використовуватися для доведення властивості симетричності<ref name="ConwayGuy1998" /><ref name="Knuth1997" /> біноміальних коефіцієнтів:
:: <math>\binom nk=\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!} = \frac{n^{\underline{n-k}}}{(n-k)!} = \binom n{n-k}\,.</math>
* За допомогою {{нп|Закон про степінь|закону про степінь|en|power rule}} можна показати, що функція факторіалу є
:: <math>n! = D^n\,x^n = \frac{d^n}{dx^n}\,x^n</math>
: де {{math|''D''<sup>''n''</sup> ''x''<sup>''n''</sup>}} є [[Нотація для диференціювання|нотацією Ейлера]] для {{mvar|n}}ї [[похідна|похідної]] функції {{math|''x<sup>n</sup>''}}.<ref>{{Cite web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|title=18.01 Single Variable Calculus, Lecture 4: Chain rule, higher derivatives|last=|first=|date=Fall 2006|website=MIT OpenCourseWare|archive-url=https://web.archive.org/web/20190527112906/https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|archive-date=27 травня 2019|deadurl=no|access-date=2017-05-03|df=}}</ref>

== Швидкість зростання функції і апроксимація для великих ''{{mvar|n}}'' ==
[[Файл:Log-factorial.svg|upright=1.35|thumb|right|Графік натурального логарифму від факторіалу]]
Із збільшенням {{mvar|n}}, факторіал {{math|''n''!}} зростає швидше за усі [[Многочлен|поліноміальні]] та [[Експонентне зростання|експоненційні функції]] (але повільніше ніж {{нп|Подвійна експоненційна функція|подвійні експоненційні функції|en|double exponential function}}) із {{mvar|n}}.

Більшість апроксимацій для ''n''! основані на наближенні її [[Натуральний логарифм|натурального логарифма]]
: <math>\ln n! = \sum_{x=1}^n \ln x \,.</math>

Графік функції {{math|''f''(''n'') {{=}} ln ''n''!}} показано на малюнку праворуч. Він має приблизно лінійний вигляд для всіх розумних значень {{mvar|n}}, але це інтуїтивне сприйняття є хибним. Найпростішу апроксимацію для {{math|ln ''n''!}} можна отримати обмеживши суму за допомогою [[Інтеграл|інтегралу]] зверху і знизу наступним чином:

: <math> \int_1^n \ln x \, dx \leq \sum_{x=1}^n \ln x \leq \int_0^n \ln (x+1) \, dx</math>

що дає нам наступну оцінку

: <math> n\ln\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \ln n! \leq (n+1)\ln\left( \frac{n+1}{e} \right) + 1 \,.</math>

Оскільки {{math|ln ''n''! ∼ ''n'' ln ''n''}} (див. [[Нотація Ландау|Нотація великого {{mvar|O}}]]). Цей результат відіграє важливу роль в аналізі [[Теорія складності обчислень|розрахункової складності]] [[Алгоритм сортування|алгоритмів сортування]] (див. [[сортування порівняннями]]). Із тих обмежень для {{math|ln ''n''!}}, що отримані вище ми маємо

: <math>\left(\frac ne\right)^n e \leq n! \leq \left(\frac{n+1}e\right)^{n+1} e \,.</math>

Іноді більш практичним є використання слабших, але простіших оцінок. Використавши вищенаведену формулу легко показати, що для всіх {{mvar|n}} ми маємо {{math|({{sfrac|''n''|3}})<sup>''n''</sup> < ''n''!}}, а для всіх {{math|''n'' ≥ 6}} ми маємо {{math|''n''! < ({{sfrac|''n''|2}})<sup>''n''</sup>}}.

[[Файл:Mplwp factorial gamma stirling.svg|thumb|right|upright=1.35|Порівняння апроксимації Стірлінґа із факторіалом]]
Для великих {{mvar|n}} ми маємо кращу оцінку для числа {{math|''n''!}} якщо використати [[Формула Стірлінґа|апроксимацію Стірлінґа]]:

: <math>n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\,.</math>

Цей вираз отримано із асимптотичного ряду для логарифма, а {{mvar|n}} факторіал знаходиться між цією і наступною апроксимацією:

: <math>\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n<n!<\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^\frac 1{12n} \,.</math>

Інше наближення для {{math|ln ''n''!}} запропонував [[Срініваса Рамануджан]] {{harv|Ramanujan|1988}}

: <math>\begin{align}
\ln n! &\approx n\ln n - n + \frac {\ln\Bigl(n\bigl(1+4n(1+2n)\bigr)\Bigr)}{6} + \frac {\ln\pi}{2} \\[6px]
\Longrightarrow \; n!&\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1 +\frac 1{2n} +\frac 1{8n^2}\right)^\frac16 \,.
\end{align}</math>
Обидва останні наближення мають відносну похибку, що має порядок в {{math|{{sfrac|1|''n''<sup>3</sup>}}}}, але апроксимація Рамануджана майже в чотири рази точніша. Однак, якщо ми використаємо ''два'' терми корекції (як у апроксимації Рамануджана) відносна похибка матиме порядок {{math|{{sfrac|1|''n''<sup>5</sup>}}}}:

: <math>n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\exp\left({\frac 1{12n}-\frac 1{360n^3}}\right) \,.</math>

== Розширення факторіалу до не цілих значень аргумента ==

=== Гамма і пі функції ===
[[Файл:Factorial Interpolation.svg|thumb|320px|Гамма функція інтерполює функцію факторіала для не цілих значень. Основна ідея полягає в [[Рекурентне співвідношення|рекурентному співвідношенні]], що узагальнене до неперервної області.]]

{{Main|Гамма-функція}}

Окрім невід'ємних цілих, факторіал також можна визначити для нецілих значень, але це потребуватиме застосування більш складних методів [[Математичний аналіз|математичного аналізу]].

Однією функцією, що «збігається» зі значеннями факторіалу (але із зсувом на 1 в аргументі), що часто використовується для його розрахунку, називається [[Гамма-функція|гамма-функцією]], і позначається як {{math|Γ(''z'')}}. Вона визначена для всіх комплексних чисел {{mvar|z}} крім не від'ємних цілих, і при додатній дійсній частині {{mvar|z}} задається наступним чином

: <math>\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, dt\,. </math>

Вона пов'язана із факторіала, таким чином, що для будь-якого натурального числа {{mvar|n}}
: <math>n!=\Gamma(n+1)\,.</math>

Оригінальна формула яку запропонував [[Леонард Ейлер|Ейлер]] для гамма-функції мала наступний вигляд

: <math>\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\displaystyle\prod_{k=0}^n (z+k)}. </math>

Іншою функцією що використовується, яка також «збігається» у своїх значеннях до факторіала (але без зсуву аргументів), є функція, яку запропонував [[Карл Фрідріх Гаусс]], називається '''пі функцією''', позначається як {{math|Π(''z'')}} для дійсних чисел {{math|''z'' ≥ 0}}. Вона визначається наступним чином

: <math>\Pi(z)=\int_0^\infty t^z e^{-t}\, dt\,.</math>

Якщо виразити через гамма-функцію, то пі функція зв'язана з нею наступним чином

: <math>\Pi(z) = \Gamma(z+1) \,.</math>

[[Файл:Generalized factorial function.svg|thumb|right|upright=1.6|Функція факторіалу, узагальнена для всіх дійсних чисел крім від'ємних цілих. Наприклад, {{nowrap|1=0! = 1! = 1}}, {{nowrap|1=(−{{sfrac|1|2}})! = {{sqrt|{{pi}}}}}}, {{nowrap|1={{sfrac|1|2}}! = {{sfrac|{{sqrt|{{pi}}}}|2}}}}.]]

Пі функція повністю поширює факторіал до наступного:

: <math>n! = \Pi(n) \quad \text{ для } n \in \mathbf{N}\, .</math>

Крім того, пі функція задовольняє тому ж правилу рекурентності що і факторіал, але для кожного комплексного значення {{mvar|z}} для якого вона визначена

: <math>\Pi(z) = z\Pi(z-1)\,.</math>

Насправді, це більше не є рекурентним відношенням, а є [[Функційне рівняння|функціональним рівнянням]]. Якщо виразити його в термінах гамма-функції, то це функціональне рівняння прийме вигляд:

: <math>\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)\,.</math>

Оскільки за допомогою пі функції факторіал поширено для кожного комплексного значення {{mvar|z}} де він визначений, можна записати наступне:

: <math>z! = \Pi(z)</math>

Значення цих функцій для [[Напівціле число|напівцілих]] значень таким чином визначаються однією із них; матимемо

: <math>\Gamma\left (\frac{1}{2}\right )=\left (-\frac{1}{2}\right )!=\Pi\left (-\frac{1}{2}\right ) = \sqrt{\pi}\,,</math>

звідки випливає, що для&nbsp;{{math|''n'' ∈ '''N'''}},

: <math>\begin{align}
& \Gamma\left (\frac{1}{2}+n\right ) = \left (-\frac{1}{2}+n\right )! = \Pi\left (-\frac{1}{2}+n\right ) \\[5pt]
= {} & \sqrt{\pi} \prod_{k=1}^n \frac{2k - 1}{2} = \frac{(2n)!}{4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!} \sqrt{\pi}\,.
\end{align}</math>

Наприклад,
: <math>\Gamma\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{7}{2}! = \Pi\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} \sqrt{\pi} = \frac{8!}{4^4 4!} \sqrt{\pi} = \frac{7!}{2^7 3!} \sqrt{\pi} = \frac{105}{16} \sqrt{\pi} \approx 11.631\,728\ldots</math>

Також маємо, що для&nbsp;{{math|''n'' ∈ '''N'''}},

: <math>\Gamma\left (\frac{1}{2}-n\right ) = \left (-\frac{1}{2}-n\right )! = \Pi\left (-\frac{1}{2}-n\right ) = \sqrt{\pi} \prod_{k=1}^n \frac{2}{1 - 2k} = \frac{\left(-4\right)^n n!}{(2n)!} \sqrt{\pi}\,.</math>

Наприклад,
: <math>\Gamma\left(-\frac{5}{2}\right) = \left(-\frac{7}{2}\right)! = \Pi\left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{2}{-1}\cdot\frac{2}{-3}\cdot\frac{2}{-5} \sqrt{\pi} = \frac{\left(-4\right)^3 3!}{6!} \sqrt{\pi} = -\frac{8}{15} \sqrt{\pi} \approx -0.945\,308\ldots</math>

Пі функція, звичайно, не є єдиним способом розширити факторіал до вигляду функції визначеної для майже всіх комплексних значень, і навіть не є єдиною функцією, що є [[Аналітична функція|аналітичною]] у області її визначення. Однак зазвичай її розглядають як найбільш природний спосіб поширити значення факторіала до комплексної функції. Наприклад, [[Бор-Молерупова теорема]] стверджує, що гамма-функція, що приймає значення 1 при 1, задовольняє функціональному рівнянню {{math|Γ(''n'' + 1) {{=}} ''n''Γ(''n'')}}, є [[Мероморфна функція|мероморфною]] для комплексних чисел, і є [[Логарифмічно опукла функція|логарифмічно опуклою функцією]] у додатній частині осі дійсних чисел. Подібне твердження є дійсним так само і для пі функції, при використанні функціонального рівняння {{math|Π(''n'') {{=}} ''n''Π(''n'' − 1)}}.

Однак, існують комплексні функції, які імовірно простіші з точки зору теорії аналітичних функцій і які також інтерполюють значення факторіала. Наприклад, {{нп|гамма функція Гадамарда||en|Hadamard's gamma function}} {{harv|Hadamard|1894}} яка, на відміну від гамма-функції є [[Ціла функція|цілою функцією]].<ref>{{cite web|first=Peter |last=Luschny |url=http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardsGammaFunction.html |title=Hadamard versus Euler – Who found the better Gamma function? |deadurl=yes |archive-url=https://web.archive.org/web/20090818171719/http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardsGammaFunction.html |archive-date=2009-08-18 }}</ref>

Ейлер також розробив збіжну апроксимацію добутків для нецілих факторіалів, яку можна розглядати еквівалентною формулою для гамма функції, наведеної вище:

: <math>\begin{align}
n! = \Pi(n) &= \prod_{k = 1}^\infty \left(\frac{k+1}{k}\right)^n\!\!\frac{k}{n+k} \\
&= \left[ \left(\frac{2}{1}\right)^n\frac{1}{n+1}\right]\left[ \left(\frac{3}{2}\right)^n\frac{2}{n+2}\right]\left[ \left(\frac{4}{3}\right)^n\frac{3}{n+3}\right]\cdots \end{align}</math>

Однак, ця функція не має практичного застосування для розрахунку пі функції або гама функції, [[Швидкість збіжності|швидкість її збіжності]] дуже мала.

=== Застосування гамма-функції ===
[[Об'єм]] [[Розмірність простору|{{mvar|n}}-вимірної]] [[Гіперсфера|гіперсфери]] радіусом {{mvar|R}} дорівнює

: <math>V_n=\frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}R^n\,.</math>

=== Факторіал у комплексній площині ===
[[Файл:Factorial05.jpg|upright=1.8|thumb|Амплітуда і фаза факторіалу комплексного аргумента]]
Представлення за допомогою гамма-функції дозволяє розраховувати факторіал для комплексного аргументу. Ізолінії амплітуди і фази для факторіала показані на зображенні праворуч. Нехай
: <math> f=\rho e^{i\varphi}=(x+{\rm i}y)!=\Gamma(x+iy+1) \,.</math>
Показано декілька рівнів для сталого модуля (амплітуди) {{mvar|ρ}} і сталої фази {{mvar|φ}}. Сітка покриває діапазон значень {{math|−3 ≤ ''x'' ≤ 3}}, {{math|−2 ≤ ''y'' ≤ 2}}, з одиничним кроком. Виділена жирним лінія показує рівень {{math|''φ'' {{=}} ±π}}.

Тонкі лінії показують проміжні рівні при сталій амплітуді і сталій фазі. В полюсах для кожного від'ємного цілого, фаза і амплітуда не визначені. Ізолінії стають густішими в околі сингулярностей здовж від'ємних цілих значень аргументу.

Для |''z''| < 1, можна застосувати розкладання в [[ряд Тейлора]]:
: <math>z!=\sum_{n=0}^\infty g_n z^n\,.</math>
Перші коефіцієнти цього розкладання будуть наступними
{| class="wikitable"
|-
! {{mvar|n}}
! {{mvar|g<sub>n</sub>}}
! наближення
|-
| 0
| 1
| 1
|-
| 1
| {{math|−''γ''}}
| {{val|-0.5772156649}}
|-
| 2
| {{math|{{sfrac|π<sup>2</sup>|12}} + {{sfrac|''γ''<sup>2</sup>|2}}}}
| {{val|0.9890559955}}
|-
| 3
| {{math|−{{sfrac|''ζ''(3)|3}} − {{sfrac|π<sup>2</sup>|12}} − {{sfrac|''γ''<sup>3</sup>|6}}}}
| {{val|-0.9074790760}}
|}

де {{mvar|γ}} це [[Стала Ейлера—Маскероні]], а {{math|''ζ''(''z'')}} це [[Дзета-функція Рімана]]. [[Система комп'ютерної алгебри|Системи комп'ютерної алгебри]], на кшталт [[SageMath]] можуть генерувати багато термів такого ряду.

=== Наближення факторіалу ===
Для великих значень аргументу, факторіал можна наблизити за допомогою інтегрування [[Дигамма-функція|дигамма-функції]], використавши представлення у формі [[Ланцюговий дріб|ланцюгового дробу]]. Це наближення запропонував [[Томас Жоанн Стілтьєс|Т. Ж. Стілтьєс]] (1894). Маючи {{math|''z''! {{=}} ''e''<sup>''P''(''z'')</sup>}} де {{math|''P''(''z'')}} є
: <math> P(z) = p(z) + \frac{\ln 2\pi}{2} - z + \left(z+\frac{1}{2}\right)\ln(z) \,,</math>
Стілтьєс запропонував ланцюговий дріб для {{math|''p''(''z'')}}:
: <math>
p(z)=\cfrac{a_0}{z+
\cfrac{a_1}{z+
\cfrac{a_2}{z+
\cfrac{a_3}{z+\ddots}}}}
</math>
Перші декілька коефіцієнтів {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} виглядатимуть наступним чином:<ref name="dlmf5.10"> {{cite web |url=http://dlmf.nist.gov/5.10 |title=5.10 |work=Digital Library of Mathematical Functions |accessdate=2010-10-17 |deadurl=no |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100529224939/http://dlmf.nist.gov/5.10 |archivedate=2010-05-29 |df= }}</ref>
: {| class="wikitable"
|-
! {{math|''n''}}
! {{math|''a''<sub>''n''</sub>}}
|-
| 0
| {{sfrac|1|12}}
|-
| 1
| {{sfrac|1|30}}
|-
| 2
| {{sfrac|53|210}}
|-
| 3
| {{sfrac|195|371}}
|-
| 4
| {{sfrac|{{val|22999}}|{{val|22737}}}}
|-
| 5
| {{sfrac|{{val|29944523}}|{{val|19733142}}}}
|-
| 6
| {{sfrac|{{val|109535241009}}|{{val|48264275462}}}}
|}

Існує невірне уявлення про те, що рівняння {{math|ln ''z''! {{=}} ''P''(''z'')}} або {{math|ln Γ(''z'' + 1) {{=}} ''P''(''z'')}} є вірним для будь-яких комплексних значень {{math|''z'' ≠ 0}}. Насправді, відношення задане через логарифм є дійсним лише на певному відрізку значень {{mvar|z}} в околі осі дійсних значень, де {{math|−π < Im(Γ(''z'' + 1)) < π}}. Чим більшою є дійсна частина аргументу тим меншою має бути уявна частина. Однак, обернене відношення, {{math|''z''! {{=}} ''e''<sup>''P''(''z'')</sup>}}, є вірним для всієї комплексної площини значень крім {{math|''z'' {{=}} 0}}. Збіжність буде слабшою в околі від'ємної частини осі дійсних значень; також важко мати хорошу збіжність будь-якого наближення біля точок сингулярностей. Коли ''|Im ''z''|>2'' або {{math|Re ''z'' > 2}}, шести коефіцієнтів буде вдосталь для розрахунку факторіалу комплексного числа із подвійною точністю. Для більшої точності знадобиться розрахувати більшу кількість коефіцієнтів за допомогою раціональної схеми QD (QD алгоритм Рутісгаузера).<ref>{{cite web|first=Peter |last=Luschny |url=http://www.luschny.de/math/factorial/approx/continuedfraction.html |title=On Stieltjes' Continued Fraction for the Gamma Function |dead-url=yes |archive-url=https://web.archive.org/web/20110514230817/http://www.luschny.de/math/factorial/approx/continuedfraction.html |archive-date=2011-05-14 }}</ref>

=== Від'ємні цілі аргументи ===
Відношення {{math|''n''! {{=}} ''n'' × (''n''&nbsp;−&nbsp;1)!}} дозволяє розрахувати факторіал заданого цілого числа у випадку не великих значень. Це співвідношення можна переписати таким чином, аби мати можливість розрахувати факторіал для відносно великих цілих чисел:

: <math>(n-1)! = \frac{n!}{n} .</math>

Однак використати цю рекурсію не можливо, якщо необхідно розрахувати факторіал для від'ємного цілого числа; якщо використати цю формулу для розрахунку (−1)! ми отримаємо операцію [[Ділення на нуль]], і таким чином це не дозволяє розрахувати факторіал для будь-якого цілого від'ємного числа. Аналогічно тому, [[гамма-функція]] також є невизначеною для нуля або від'ємних цілих, хоча вона є визначеною для всіх інших комплексних чисел.

== Див. також ==
* [[Факторизація]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}

{{Математичні знаки}}
{{Послідовності й ряди}}
[[Категорія:Елементарна математика]]
[[Категорія:Унарні операції]]
[[Категорія:Факторіали і біноміальні коефіцієнти]]