Перегляд вихідного коду сторінки Фазова кореляція

'''Фа́зова кореля́ція''' ({{lang-en|phase correlation}})&nbsp;— це підхід до оцінювання зміщення відносного [[Паралельне перенесення|паралельного перенесення]] двох подібних [[Зображення|зображень]] ({{нп|кореляція цифрових зображень|||Digital image correlation}}) або інших наборів даних. Його зазвичай використовують у [[Зіставляння зображень|зіставлянні зображень]], він покладається на подання даних у [[Частотна область|частотній області]], зазвичай обчислюване [[Швидке перетворення Фур'є|швидкими перетвореннями Фур'є]]. Цей термін застосовують зокрема до підмножини методик [[Взаємна кореляція|взаємної кореляції]], які виокремлюють фазову інформацію з подання взаємних [[Корелограма|корелограм]] у просторі Фур'є.

== Приклад ==

Наступне зображення показує використання фазової кореляції для визначення відносного зміщення паралельним перенесенням між двома зображеннями, пошкодженими незалежним гауссовим шумом. Зображення було перенесено на (30,33) пікселів. Відповідно, можливо чітко побачити пік у фазово-кореляційному поданні приблизно в (30,33).

[[Файл:Phase correlation.png]]

== Метод ==

Для заданих двох вхідних зображень <math>\ g_a</math> та <math>\ g_b</math>:

Застосувати до обох зображень [[Віконна функція|віконну функцію]] (наприклад, [[вікно Геммінга]]), щоби знизити крайові впливи (це може бути необов'язковим залежно від характеристик зображення). Потім обчислити дискретні двовимірні [[Дискретне перетворення Фур'є|перетворення Фур'є]] обох зображень.

: <math>\ \mathbf{G}_a = \mathcal{F}\{g_a\}, \; \mathbf{G}_b = \mathcal{F}\{g_b\}</math>

Обчислити {{нп|спектр взаємної потужності|||Cross-power spectrum}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Cross-power spectrum]] (→ [[:en:Spectral density#Cross-spectral density]]) перекладена як [[Спектральна густина]], хоча хотіли [[спектр взаємної потужності]] (SashkoR0B0T)-->, взявши [[комплексне спряження]] другого результату, поелементно перемноживши ці [[перетворення Фур'є]], та поелементно унормувавши цей добуток.

: <math>\ R = \frac{ \mathbf{G}_a \circ \mathbf{G}_b^*}{|\mathbf{G}_a \circ \mathbf{G}_b^*|}</math>

де <math>\circ</math> є [[Добуток Адамара|добутком Адамара]] (поелементним добутком), й модулі беруться також поелементно. В поелементному записі для індекса елемента <math>(j,k)</math>:

: <math>\ R_{jk} = \frac{ G_{a,jk} \cdot G_{b,jk}^*}{|G_{a,jk} \cdot G_{b,jk}^* |}</math>

Отримати унормовану взаємну кореляцію, застосувавши обернене перетворення Фур'є.

: <math>\ r = \mathcal{F}^{-1}\{R\}</math>

Визначити положення піку в <math>\ r</math>.

: <math>\ (\Delta x, \Delta y) = \arg \max_{(x, y)}\{r\}</math>

Зазвичай використовують методи [[інтерполювання]], щоби оцінювати положення піку у взаємній [[Корелограма|корелограмі]] в не-[[Цілі числа|цілих]] значеннях, незважаючи на той факт, що дані є дискретними, й цю процедуру часто називають «субпіксельним зіставлянням» ({{lang-en|'subpixel registration'}}). У технічній літературі наводиться велике різноманіття методів субпіксельного зіставляння. Застосування знаходили такі поширені методи інтерполювання піку як параболічне інтерполювання, а пакунок комп'ютерного бачення ''[[OpenCV]]'' використовує [[центроїд]]ні методи, хоча вони загалом мають нижчу точність у порівнянні зі складнішими методами.

Оскільки Фур'є-подання даних вже було обчислено, особливо зручно використовувати для цієї мети [[Теорема Фур'є про запізнювання|теорему Фур'є про запізнювання]] з [[Дійсне число|дійнозначними]] (суб-цілими) зміщеннями, що по суті є здійсненням інтерполяції із застосуванням синусоїдних [[Базисна функція|базисних функцій]] перетворення Фур'є. Особливо популярний оцінювач на основі ПФ пропонують Форуш та ін.<ref>H. Foroosh (Shekarforoush), J.B. Zerubia, and M. Berthod, "Extension of Phase Correlation to Subpixel Registration," IEEE Transactions on Image Processing, V. 11, No. 3, Mar. 2002, pp. 188-200. {{ref-en}}</ref> У цьому методі субпіксельне положення піку наближується простою формулою, яка включає пікове значення пікселя та значення його найближчих сусідів, де <math>r_{(0,0)}</math> є значенням піку, а <math>r_{(1,0)}</math> є його найближчим сусідом у напрямку ''x'' (якщо спиратися на припущення, як і в більшості підходів, що цілочислове зміщення вже було знайдено, й порівнювані зображення відрізняються лише зміщенням субпіксельним).

: <math>\ \Delta x = \frac{ r_{(1,0)} }{r_{(1,0)} \plusmn r_{(0,0)}}</math>{{Прояснити|дата=листопад 2021}}

Метод Форуша та ін. доволі простий у порівнянні з більшістю методів, хоча й не завжди найточніший. Деякі методи зміщують пік у просторі Фур'є й застосовують для максимізації піку корелограми [[Оптимізація (математика)|нелінійну оптимізацію]], але вони, як правило, дуже повільні, оскільки мусять застосовувати у цільовій функції обернене перетворення Фур'є або його еквівалент.<ref>E.g. M. Sjödahl and L.R. Benckert, "Electronic speckle photography: analysis of an algorithm giving the displacement with subpixel accuracy," Appl Opt. 1993 May 1;32(13):2278-84. {{doi|10.1364/AO.32.002278}} {{ref-en}}</ref>

Також, як зазначив Стоун,<ref>Harold S. Stone, "A Fast Direct Fourier-Based Algorithm for Subpixel Registration of Images", IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, V. 39, No. 10, Oct. 2001, pp.2235-2242 {{ref-en}}</ref> можливо висновувати положення піку з фазових характеристик у просторі Фур'є і без оберненого перетворення. Ці методи зазвичай використовують допасовування [[Фазор|фазових кутів]] до планарної моделі {{нп|Лінійні найменші квадрати|лінійними найменшими квадратами||Linear least squares}} (ЛНК). Тривале обчислення фазового кута в цих методах є недоліком, але швидкість може бути іноді порівнянною з методом Форуша та ін., залежно від розміру зображення. Вони часто вигідно порівнюються за швидкістю з декількома ітераціями надзвичайно повільних цільових функцій в ітераційних нелінійних методах.

Оскільки всі методи обчислення субпіксельних зміщень принципово інтерполяційні, продуктивність певного методу залежить від того, наскільки добре підстильні дані відповідають припущенням в інтерполяторі. Цей факт також може обмежувати корисність високої чисельної точності в алгоритмах, оскільки невизначеність через вибір інтерполяційного методу може бути більшою за будь-яку чисельну або наближувальну похибку певного методу.

Субпіксельні методи також особливо чутливі до шуму в зображеннях, і корисність певного алгоритму відрізняють не лише за його швидкістю й точністю, але й за його стійкістю до певних типів шуму в застосуванні.

== Обґрунтування ==

Цей метод ґрунтується на [[Теорема Фур'є про запізнювання|теоремі Фур'є про запізнювання]].

Нехай два зображення <math>\ g_a</math> та <math>\ g_b</math> є версіями одне одного з круговим зміщенням:

: <math>\ g_b(x,y) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ g_a((x - \Delta x) \bmod M, (y - \Delta y) \bmod N)</math>

(де розмір зображень становить <math>\ M \times N</math>).

Тоді дискретні перетворення Фур'є цих зображень будують відносно зміщеними за [[Фаза (коливання)|фазою]]:

: <math>\mathbf{G}_b(u,v) = \mathbf{G}_a(u,v) e^{-2 \pi i (\frac{u \Delta x}{M} + \frac{v \Delta y}{N}) }</math>

Потім можливо обчислити унормований спектр взаємної потужності, щоби вирахувати різницю фаз:

: <math>
\begin{align}
  R(u,v) &= \frac{ \mathbf{G}_a \mathbf{G}_b^*}{|\mathbf{G}_a \mathbf{G}_b^* |} \\
         &= \frac{ \mathbf{G}_a \mathbf{G}_a^* e^{2 \pi i (\frac{u \Delta x}{M} + \frac{v \Delta y}{N}) }}{|\mathbf{G}_a \mathbf{G}_a^* e^{2 \pi i (\frac{u \Delta x}{M} + \frac{v \Delta y}{N}) }|} \\
         &= \frac{ \mathbf{G}_a \mathbf{G}_a^* e^{2 \pi i (\frac{u \Delta x}{M} + \frac{v \Delta y}{N}) }}{|\mathbf{G}_a \mathbf{G}_a^*|} \\
         &= e^{2 \pi i (\frac{u \Delta x}{M} + \frac{v \Delta y}{N}) }
\end{align}
</math>

оскільки абсолютна величина [[Формула Ейлера|уявної експоненти]] є завжди одиницею, а фаза <math>\ \mathbf{G}_a \mathbf{G}_a^*</math> є завжди нульовою.

Обернене перетворення Фур'є комплексної експоненти є [[Дельта Кронекера|дельтою Кронекера]], тобто єдиним піком:

: <math>\ r(x,y) = \delta(x + \Delta x, y + \Delta y)</math>

Цей результат можливо було би отримати прямим розрахунком [[Взаємна кореляція|взаємної кореляції]]. Перевага цього методу полягає в можливості виконання перетворення Фур'є та його обернення [[Швидке перетворення Фур'є|швидким перетворенняя Фур'є]], що набагато швидше за кореляцію для великих зображень.

=== Переваги ===

На відміну від багатьох алгоритмів просторової області, фазово-кореляційний метод стійкий до шуму, затулянь та інших пошкоджень, типових для медичних та космічних зображень.{{Джерело|дата=листопад 2021}}

Цей метод можливо розширити до визначання обертальних та масштабувальних відмінностей зображень, спершу перетворюючи зображення до {{нп|Логарифмічні полярні координати|логарифмічних полярних координат||Log-polar coordinates}}. Через властивості [[перетворення Фур'є]], властивості обертання та масштабування можливо визначати у спосіб, інваріантний до паралельного перенесення.<ref>E. De Castro and C. Morandi "Registration of Translated and Rotated Images Using Finite Fourier Transforms", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Sept. 1987 {{ref-en}}</ref><ref>B. S Reddy and B. N. Chatterji, “An FFT-based technique for translation, rotation, and scale-invariant image registration”, IEEE Transactions on Image Processing 5, no. 8 (1996): 1266–1271. {{ref-en}}</ref>

=== Обмеження ===

На практиці правдоподібніше, що <math>\ g_b</math> буде простим лінійним зміщенням <math>\ g_a</math>, аніж круговим, як того вимагає наведене вище пояснення. В таких випадках <math>\ r</math> не буде простою дельтафункцією, що знижуватиме продуктивність методу. В таких випадках, щоби знижувати крайові впливи, при перетворенні Фур'є слід застосовувати [[Віконна функція|віконну функцію]] (таку як гауссове вікно, або вікно Тьюкі), або зображення слід доповнювати нулями, щоби уможливити ігнорування крайових впливів. Якщо зображення складаються з чистого тла з розташуванням усіх подробиць подалі від країв, то лінійне зміщення буде рівнозначним зміщенню круговому, й наведене вище виведення виконуватиметься точно. Пік можливо посилювати застосуванням крайової або векторної кореляції.<ref>{{cite journal|first1=Jignesh Natvarlal|last1=Sarvaiya|first2=Suprava|last2=Patnaik|first3=Kajal|last3=Kothari|year=2012|title=Image Registration Using Log Polar Transform and Phase Correlation to Recover Higher Scale|journal=JPRR|volume=7|number=1|pages=90–105|url=https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.730.9105&rank=1|accessdate=7 листопада 2021|archive-date=7 листопада 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20211107182149/https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.730.9105&rank=1}} {{ref-en}}</ref>

Для [[Періодична функція|періодичних]] зображень (таких як шахівниця) фазова кореляція може давати неоднозначні результати з кількома піками на виході.

== Застосування ==

{{нп|Фазова кореляція (перетворення телевізійних стандартів)|Фазовій кореляції||Phase correlation (television standards conversion)}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Phase correlation (television standards conversion)]] (→ [[:en:Television standards conversion#Phase correlation]]) перекладена як [[Перетворення телевізійних стандартів]], хоча хотіли [[Фазова кореляція (перетворення телевізійних стандартів)]] (SashkoR0B0T)--> віддають перевагу як методові для [[перетворювання телевізійних стандартів]], оскільки вона лишає найменше артефактів.

== Див. також ==

Загальне
* [[Взаємна кореляція]]
* {{нп|Масштабна кореляція|||Scaled correlation}}
* {{нп|Відновлення фази|||Phase retrieval}}

Телебачення
* [[Перетворювання телевізійних стандартів]]
* {{нп|Зворотне перетворювання стандартів|||Reverse Standards Conversion}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* [https://www.mathworks.com/help/images/registering-an-image-using-normalized-cross-correlation.html Застосування ''Matlab'' для виконання унормованої взаємної кореляції на зображеннях] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211107182401/https://www.mathworks.com/help/images/registering-an-image-using-normalized-cross-correlation.html |date=7 листопада 2021 }} {{ref-en}}

{{Стандарти телемовлення}}

[[Категорія:Комп'ютерний зір]]