Перегляд вихідного коду сторінки Унітарний оператор

{{Hatnote|Про унітарність у фізиці див. [[Унітарність (фізика)]]}}

У [[Функціональний аналіз|функціональному аналізі]] '''унітарний оператор''' — це [[Сюр'єкція|сюр’єктивний]] [[Обмежений оператор|обмежений оператор]] на [[Гільбертів простір|гільбертовому просторі]], який зберігає {{нп|Простір внутрішнього добутку|внутрішній добуток||Inner product space}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Inner product space]] перекладена як [[Передгільбертів простір]], хоча хотіли [[Простір внутрішнього добутку]] (SashkoR0B0T)-->. Унітарні оператори зазвичай вважаються як діючі ''на'' гільбертовому просторі, але таке ж поняття служить для визначення поняття [[Ізоморфізм|ізоморфізму]] ''між'' гільбертовими просторами.

'''Унітарний елемент''' — це узагальнення унітарного оператора. Елемент <math>U</math> [[Унітарна алгебра|унітарної алгебри]] називається унітарним елементом, якщо виконується рівність <math>U^{*}U = UU^{*} = I</math>, де <math>I</math> — тотожний елемент.<ref>{{harvnb|Doran|Belfi|1986|page 55}}</ref>

== Означення ==

'''Означення 1.''' ''Унітарний оператор'' —  [[Обмежений оператор|обмежений лінійний оператор]] <math>U\colon H \rightarrow H</math> на гільбертовому просторі <math>H</math>, який задовольняє рівність <math>U^{*}U = UU^{*} = I</math>, де <math>U^{*}</math> — [[Спряжений оператор|спряжений оператор]] до оператора <math>U</math>, а <math>I\colon H \rightarrow H</math> — [[Тотожність|тотожний]] оператор.

Слабша умова <math>U^{*}U = I</math> визначає ''[[Ізометрія (математика)|ізометрію]]''. Інша умова, <math>UU^{*} = I</math>, визначає ''коізометрію''. Таким чином, унітарний оператор — це обмежений лінійний оператор, який одночасно є ізометрією і коізометрією<ref>{{harvnb|Halmos|1982|loc=Sect. 127, page 69}}</ref> або, що еквівалентно, [[Сюр'єкція|сюр’єктивною]] ізометрією.<ref>{{harvnb|Conway|1990|loc=Proposition I.5.2}}</ref>

Еквівалентне означення є наступним:

'''Означення 2.''' ''Унітарний оператор'' — це обмежений лінійний оператор <math>U\colon H \rightarrow H</math> на гільбертовому просторі <math>H</math>, для якого виконується наступні умови:
* Оператор <math>U</math> є [[Сюр'єкція|сюр’єктивним]].
* Оператор <math>U</math> зберігає {{нп|Простір внутрішньго добутку|внутрішній добуток||Inner product space}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Inner product space]] перекладена як [[Передгільбертів простір]], хоча хотіли [[Простір внутрішньго добутку]] (SashkoR0B0T)--> гільбертового простору <math>H</math>. Іншими словами, для всіх [[Векторний простір|векторів]] <math>x</math> i <math>y</math> в просторі <math>H</math> маємо
:<math>
\langle Ux, Uy \rangle_{H} = \langle x, y \rangle_{H}.
</math>

Поняття ізоморфізму в [[Теорія категорій|категорії]] гільбертових просторів фіксується, якщо в цьому означенні розрізняються [[область визначення]] й діапазону. Ізометрії зберігають [[Фундаментальна послідовність|послідовності Коші]], а отже, зберігається властивість [[Повний метричний простір|повноти]] гільбертових просторів.<ref>{{harvnb|Conway|1990|loc=Definition I.5.1}}</ref>

Наступне, здавалося б слабкіше, означення також є еквівалентним:

'''Означення 3.''' ''Унітарний оператор'' — це обмежений лінійний оператор <math>U\colon H \rightarrow H</math> на гільбертовому просторі <math>H</math>, для якого виконується наступні умови:
* Діапазон оператора <math>U</math> є [[Щільна множина|щільним]] у просторі <math>H</math>.
* Оператор <math>U</math> зберігає внутрішній добуток гільбертового простору <math>H</math>. Іншими словами, для всіх векторів <math>x</math> і <math>y</math> в просторі <math>H</math> маємо
:<math>
\langle Ux, Uy \rangle_{H} = \langle x, y \rangle_{H}.
</math>

Щоб переконатися, що означення 1 і 3 є еквівалентними, звернемо увагу, що з умови збереження внутрішнього добутку оператора <math>U</math> випливає, що оператор <math>U</math> є [[Ізометрія (математика)|ізометрією]] (отже, він є [[Обмежений оператор|обмеженим лінійним оператором]]). 
Той факт, що оператор <math>U</math> має щільний діапазон, гарантує, що він має обмежений обернений оператор <math>U^{-1}</math>.
Очевидно, що <math>U^{-1}=U^{*}</math>.

Таким чином, унітарні оператори є лише [[Автоморфізм| автоморфізмами]] гільбертових просторів, тобто вони зберігають структуру (у даному випадку лінійну структуру простору, внутрішній добуток, а отже, і [[Топологія|топологію]] простору, на якому вони діють. [[Група (математика)|Групу]] всіх унітарних операторів із даного гільбертового простору <math>H</math> у себе іноді називають ''групою Гільберта'' простору <math>H</math>, позначають як <math>\operatorname{Hilb}(H)</math> або <math>{\rm U}(H)</math>.

== Приклади ==

* [[Тотожне відображення]] є тривіальним унітарним оператором.
* Повороти в просторі <math>\mathbb{R}^{2}</math> є найпростішим нетривіальним прикладом унітарних операторів. Повороти не змінюють довжину вектора або кут між двома векторами. Цей приклад можна розширити на випадок простору <math>\mathbb{R}^{3}</math>.
* У [[Векторний простір|векторному просторі]] [[Комплексне число|комплексних чисел]] <math>\mathbb{C}</math> множення на число з [[Модуль (математика)|модулем]] <math>1</math>, тобто на число виду <math>{\rm e}^{{\rm i}\theta}</math> для <math>\theta \in \mathbb{R}</math>, є унітарним оператором. Число <math>\theta</math> називають фазою, а саме множення називають множенням на фазу. Зауважимо, що значення числа <math>\theta</math> за модулем <math>2\pi</math> не впливає на результат множення, і тому незалежні унітарні оператори на <math>\mathbb{C}</math> параметризуються колом. Відповідна група, яка як множина є колом, називається [[U(1)|<math>{\rm U}(1)</math>]].
* У більш загальному випадку [[Унітарна матриця|унітарні матриці]] є саме унітарними операторами на скінченновимірних [[Гільбертів простір|гільбертових просторах]], тому поняття унітарного оператора є узагальненням поняття унітарної матриці. [[Ортогональна матриця|Ортогональні матриці]] — це окремий випадок унітарних матриць, у яких усі елементи є дійсними. Вони є унітарними операторами на <math>\mathbb{R}^{n}</math>.
* [[Оператор зсуву|Двосторонній зсув]] на просторі послідовностей <math>\ell^2</math>, що індексується [[Цілі числа|цілими числами]], є унітарним. У загальному випадку, будь-який оператор у гільбертовому просторі, який діє шляхом перестановки [[Ортонормований базис|ортонормованого базису]], є унітарним. У скінченномірному випадку такими операторами є [[Матриця перестановки|матриці перестановок]].
* [[Оператор зсуву|Односторонній зсув]] (правий зсув) є ізометрією; її спряжена величина (лівий зсув) є коізометрією.
* {{нп|Оператор Фур’є|Оператор Фур’є||Fourier operator}} є унітарним оператором, тобто оператором, який виконує [[Перетворення Фур'є|перетворення Фур’є]] (при належній нормалізації). Це випливає з [[Теорема Персеваля|теореми Парсеваля]].
* Унітарні оператори використовуються в {{нп|Унітарне представлення|унітарних представленнях||Unitary representation}}.
* [[Квантовий вентиль|Квантові вентилі]] є унітарними операторами. Не всі вентилі є [[Ермітова матриця|ермітовими]].

== Лінійність ==

Вимога лінійності у означенні унітарного оператора можна відкинути
без зміни сенсу, оскільки її можна отримати з лінійності та додатної
визначеності [[Скалярний добуток|скалярного добутку]]:
:<math>\begin{align}
\| \lambda U(x) -U(\lambda x) \|^2 &= \langle \lambda U(x) -U(\lambda x), \lambda U(x)-U(\lambda x) \rangle \\
&= \| \lambda U(x) \|^2 + \| U(\lambda x) \|^2 - \langle U(\lambda x), \lambda  U(x) \rangle - \langle \lambda U(x), U(\lambda  x) \rangle \\
&= |\lambda|^2 \| U(x)\|^2 + \| U(\lambda x) \|^2 - \overline{\lambda} \langle U(\lambda x), U(x) \rangle - \lambda  \langle U(x), U(\lambda x) \rangle \\
&= |\lambda|^2 \| x \|^2 + \| \lambda x \|^2 - \overline{\lambda} \langle \lambda x, x \rangle - \lambda \langle x, \lambda x \rangle \\
&= 0.
\end{align}</math>

Аналогічно можна отримати
:<math>
\| U(x+y)-(Ux+Uy)\| = 0.
</math>

== Властивості ==

* [[Спектр оператора|Спектр]] унітарного оператора <math>U</math> лежить на [[Одиничне коло|одиничному колі]]. Тобто для будь-якого комплексного числа <math>\lambda</math> зі спектру маємо, що <math>|\lambda| = 1</math>. Це можна розглядати як наслідок [[Спектральна теорема|спектральної теореми]] для {{нп|Нормальні оператори|нормальних операторів||Normal operator}}. За теоремою оператор <math>U</math> є унітарно еквівалентним множенню на вимірну за Борелем функцію <math>f</math> з <math>L^{2}(\mu)</math> для деякого простору з скінченною мірою <math>(X, \mu)</math>. Тоді з рівності <math>UU^{*} = I</math> випливає, що <math>|f(x)|^{2} = 1</math>, [[майже скрізь]] за мірою <math>\mu</math>. Це показує, що істотний діапазон функції <math>f</math>, а отже, спектр оператора <math>U</math>, лежить на одиничному колі.
* Лінійний оператор є унітарним тоді, коли він сюр’єктивний та ізометричний. (Використайте [[Поляризаційна тотожність|поляризаційну тотожність]] для доведеннячастини “й лише тоді”.)

== Див. також ==

* {{нп|Антиунітарний|Антиунітарний||Antiunitary operator}}
* {{нп|Зморщена дуга|Зморщена дуга||Crinkled arc}}
* [[Квантовий вентиль]] — основна схема в квантових обчисленнях
* [[Унітарна матриця]] —  комплексна матриця, спряжена транспонована матриця якої дорівнює її оберненій
* [[Унітарне перетворення]] —  ендоморфізм, що зберігає внутрішній добуток
* [[Унітарна матриця]]
* [[Оператор (фізика)]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Гельфанд.ЛінійнаАлгебра.укр}}
* {{Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1}}
* Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5.
* Doran, Robert S.; Belfi (1986). Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems. New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7569-4.
* Halmos, Paul (1982). A Hilbert space problem book. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 19 (2nd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0387906850.
* Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 978-0387961132.

{{Функційний аналіз}}

[[Категорія:Теорія операторів]]