Перегляд вихідного коду сторінки Універсум фон Неймана

У [[Теорія множин|теорії множин]] і суміжних з нею галузях [[Математика|математики]] під '''універсумом фон Неймана ''' (позначається '''''V'''''), або '''ієрархією множин за фон Нейманом''', розуміють [[Клас (теорія множин)|клас]], утворений [[Спадкова множина|спадковими]] [[Фундована множина|фундованими множинами]]. Така сукупність, що формалізується [[Теорія множин Цермело — Френкеля|теорією множин Цермело&nbsp;— Френкеля]] (''ZFC''), часто використовується для інтерпретації або обґрунтування ''ZFC''-аксіом.

'''Ранг''' фундованої множини індуктивно визначається як найменше [[порядкове число]], що перевищує ранг будь-якого елемента цієї множини.<ref>Mirimanoff 1917; Moore 1982, стор. 261—262; Rubin 1967, стор. 214</ref> Зокрема, ранг [[Порожня множина|порожньої множини]] дорівнює нулю, а ранг будь-якого порядкового числа дорівнює йому самому. Множини, що входять до класу '''''V''''', в силу поділу на ранги, утворюють трансфінітну ієрархію, яка також називається '''кумулятивною ієрархією множин'''.

== Історія ==
1982 року Грегорі Мур заявив, що кумулятивну ієрархію типів, також відому як універсум фон Неймана, приписали фон Нейману помилково.<ref name="Moore">Gregory H. Moore, «Zermelo's axiom of choice: Its origins, development & influence», 1982, 2013, Dover Publications, ISBN 978-0-486-48841-7. (На сторінці 279 автор стверджує, що відсилання до імені фон Неймана хибне. Вклад Цермело згадано на сторінках 280 і 281.)</ref> Вперше універсум фон Неймана згадується в публікації [[Ернст Цермело|Ернста Цермело]] (1930).<ref name="Zermelo">''Ernst Zermelo'', Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, [[Fundamenta Mathematicae]], 16 (1930) 29-47 (Зверніть увагу на стор. 36-40.)</ref>

Існування і єдиність трансфінітно рекурсивного визначення множин довів фон Нейман 1928 року для випадку [[Теорія множин Цермело — Френкеля|теорії множин Цермело&nbsp;— Френкеля]]<ref>{{Citation|last=von Neumann|first=John|year=1928|title=Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre|journal=Mathematische Annalen|volume=99|pages=373–391}}</ref>, а також його власної теорії множин (яка згодом стала основою теорії [[Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя|''NBG'']]).<ref>{{Citation|last=von Neumann|first=John|title=Die Axiomatisierung der Mengenlehre|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN266833020_0027&DMDID=DMDLOG_0042|journal={{iw|Mathematische Zeitschrift||en}}|volume=27|pages=669–752|year=1928}} (Див. стор. 745—752.)</ref> Однак у жодній із цих статей він не використовував свій трансфінітно рекурсивний метод для побудови універсальної сукупності всіх множин. Описи фоннейманівського універсуму, зроблені Бернайсом<ref name="Bernays">{{Книга
|заголовок = Axiomatic Set Theory
|видавництво = [[Dover Publications]]
|рік = 1991
|ISBN = 0-486-66637-9
|мова = und
|автор = Bernays, Paul
}} (Див. стор. 203—209.)</ref> і Мендельсоном<ref name="Mendelson">{{Книга
|заголовок = Introduction to Mathematical Logic
|посилання = https://archive.org/details/introductiontoma0000mend
|рік = 1964
|видавництво = [[John Wiley & Sons|Van Nostrand Reinhold]]
|ref = Mendelson
|мова = und
|автор = Mendelson, Elliott
}} (Див. стор. 202.)</ref>, приписують фон Нейману метод побудови на основі трансфінітної індукції, але не його застосування до задачі побудови універсуму звичайних множин.

Символ ''V —'' це не відсилання до імені фон Неймана. 1889 року [[Джузеппе Пеано|Пеано]] використовував його для позначення універсуму множин, маючи на увазі під буквою ''V'' слово «''Verum''», яке він застосовував не тільки як логічний символ, але й для позначення класу всіх елементів.<ref>{{Книга
|рік = 1889
|заголовок = Arithmetices principia, nova methodo exposita
|посилання = https://archive.org/details/arithmeticespri00peangoog
|мова = pt
|автор = Peano, Giuseppe
}} (Див. стор. VIII і XI.)</ref> 1910 року [[Альфред Норт Вайтгед|Вайтгед]] і [[Бертран Расселл|Рассел]] перейняли нотацію Пеано для позначення класу всіх множин.<ref name="Whitehead">{{Книга
|рік = 2009
|заголовок = 
|том = Volume One
|видавництво = Merchant Books
|ISBN = 978-1-60386-182-3
|мова = und
|автор = [[Альфред Норт Вайтгед|Alfred North Whitehead]]; [[Бертран Расселл|Bertrand Russell]]
|назва = Principia Mathematica
}} (Див. стор. 229.)</ref> У статтях фон Неймана про порядкові числа і трансфінітну індукцію ([[1920-ті]]) позначення ''V'' (в сенсі класу всіх множин) не використовується. [[Пол Джозеф Коен|Пол Коен]]<ref name="Cohen">{{Книга
|заголовок = 
|рік = 1966
|видавництво = [[Addison–Wesley]]
|ISBN = 0-8053-2327-9
|мова = und
|автор = Cohen, Paul Joseph
|назва = Set theory and the continuum hypothesis
}} (Див. стор. 88)</ref> явно приписує використаний ним символ ''V'' (клас всіх множин) статті, написаної [[Курт Гедель|Геделем]] 1940 року<ref name="goedel1940">{{Книга
|заголовок = The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory
|серія = Annals of Mathematics Studies
|том = 3
|видавництво = [[Princeton University Press]]
|місце = Princeton, N. J.
|рік = 1940
|ref = Gödel
|мова = en
|автор = Gödel, Kurt
}}</ref>, хоча Гедель, найпевніше, запозичив це позначення з раніших публікацій, таких, як роботи Вайтгеда і Рассела.<ref name="Whitehead" />

Формулу <math>\bigcup_{\alpha} V_\alpha</math> часто розглядають як теорему, а не визначення.<ref name="Bernays"/><ref name="Mendelson"/> За твердженням [[Юдиф Ройтман|Ройтман]]<ref name="Roitman">{{Книга
|заголовок = 
|рік = 2011
|видавництво = [[Университет Співдружності Віргінії|Virginia Commonwealth University]]
|ISBN = 978-0-9824062-4-3
|ref = Roitman
|мова = und
|автор = Roitman, Judith
|назва = Introduction to Modern Set Theory
}} (Див. стор. 79.)</ref> (без посилань на будь-які джерела), еквівалентність [[Аксіома регулярності|аксіоми регулярності]] і рівності кумулятивної ієрархії універсуму ''ZF''-множин вперше продемонстрував фон Нейман.

== Визначення ==
Кумулятивна ієрархія&nbsp;— це сімейство множин <math>V_\alpha</math>, де індекс <math>\alpha</math> пробігає клас усіх [[Порядкове число|порядкових чисел]]. Конкретніше, множина <math>V_\alpha</math> складається з усіх множин, що мають ранг менше ніж <math>\alpha</math>. Таким чином, кожному порядковому числу <math>\alpha</math> відповідає єдина множина <math>V_\alpha</math>. Формально множину <math>V_\alpha</math> можна визначити за допомогою [[Трансфінітна рекурсія|трансфінітної рекурсії]]:

* Як <math>V_0</math> виберемо порожню множину:
*: <math> V_0 := \{\} .</math>
* Нехай <math>\beta</math>&nbsp;''—'' довільне порядкове число, тоді <math>V_{\beta + 1}</math> визначається як [[булеан]] множини <math>V_\beta</math>:
*: <math> V_{\beta+1} := \mathcal{P} (V_\beta) .</math>
* Нехай <math>\lambda</math>&nbsp;— [[Граничний ординал|граничне порядкове число]], тоді <math>V_\lambda</math> визначається як [[Об'єднання множин|об'єднання]] всіх ''V''-множин, побудованих на попередніх кроках:
*: <math> V_\lambda := \bigcup_{\beta < \lambda} V_\beta .</math>

Ключова особливість цього визначення полягає в тому, що мовою теорії ''ZFC'' твердження про те, що «множина <math>x</math> належить <math>V_\alpha</math>», виражається єдиною формулою вигляду <math>\varphi(\alpha, x)</math>.

Класом <math>V</math> називається об'єднання всіх множин виду <math>V_\alpha</math>:

:: <math>V := \bigcup_{\alpha} V_\alpha</math>.

Еквівалентне визначення використовує позначення вигляду

: <math>V_\alpha := \bigcup_{\beta < \alpha} \mathcal{P} (V_\beta)</math>,

де <math>\alpha</math> ''—'' довільне порядкове число, а <math>\mathcal{P} (X)</math> [[булеан]] множини <math>X</math>.

Рангом множини <math>S</math> називається найменше <math>\alpha</math>, за якого <math>S \subseteq V_\alpha \,.</math>

На малюнку схематично зображено перші п'ять рівнів ієрархії фон Неймана (від <math>V_0</math> до <math>V_4</math>). (Порожній блок відповідає порожній множині. Блок, усередині якого міститься тільки порожній блок, відповідає множині, єдиним елементом якої є порожня множина, і так далі.)
[[Файл:Von_Neumann_universe_4.png|центр|безрамки|750x750пкс|First 5 von Neumann stages]]
Множина <math>V_5</math> складається з 65536 елементів. Розмір множини <math>V_6</math> становить <math>2^{65536}</math> і істотно перевищує число атомів у [[Видимий всесвіт|спостережуваному Всесвіті]]. Таким чином, кінцеві рівні кумулятивної ієрархії, що мають індекс вище 5, не можна виписати явно. Множина <math>V_\omega</math> має ту ж потужність, що й <math>\omega</math>. Потужність <math>V_{\omega+1}</math> збігається з потужністю множини дійсних чисел.

== V і теорія множин ==
Якщо ω-множина [[Натуральні числа|натуральних чисел]], то множина <math>V_\omega</math> складається зі {{Нп|Спадково скінченна множина|спадково скінченних множин|en|Hereditarily finite set}} і є моделлю теорії множин без [[Аксіома нескінченності|аксіоми нескінченності]]. <math>V_{\omega + \omega}</math> є [[Універсальна множина|універсумом]] «звичайної математики» і моделлю [[Теорія множин Цермело|теорії множин Цермело]]. Якщо <math>\kappa</math>&nbsp;— {{Нп|недосяжне кардинальне число|3=en|4=Inaccessible cardinal}}, то <math>V_\kappa</math> ''—'' модель самої [[Теорія множин Цермело — Френкеля|теорії ''ZFC'']], тоді як <math>V_{\kappa + 1}</math>&nbsp;— це модель {{Нп|ТеоріЯ множин Морса — Келлі|теорії множин Морса — Келлі|en|Morse–Kelley set theory}}.

''V'' не є «<nowiki/>[[Універсальна множина|множиною всіх множин]]<nowiki/>» з двох причин. По-перше, ''V'' не є множиною; попри те, що кожна зі сукупностей <math>V_\alpha</math> є множиною, їх об'єднання ''V''&nbsp;— [[Клас (теорія множин)|власний клас]]. По-друге, тільки фундовані множини є елементами класу ''V''. Відповідно до [[Аксіома регулярності|аксіоми фундування]] (або регулярності) кожна множина є фундованою і, отже, входить до класу ''V''. Таким чином, у теорії ''ZFC'' кожна множина є елементом класу ''V''. Однак в інших аксіоматичних системах аксіома фундування може бути заміненою своїм сильним запереченням (наприклад, {{Нп|Аксіома антифундування Акзеля|аксіомою антифундування Акзеля|en|Aczel's anti-foundation axiom}}), або просто бути відсутньою. Подібні теорії нефундованих множин зазвичай не застосовуються на практиці, але цілком можуть бути об'єктом дослідження.

Третє заперечення проти інтерпретації ''V'' як «множини всіх множин» полягає в тому, що не кожна множина є «чистою», тобто може бути виражена через порожню множину, булеан і об'єднання. 1908 року Цермело запропонував додати в теорію множин {{Нп|Урелемент|урелементи|en|Urelement}}, і 1930 року побудував на їх основі трансфінітну рекурсивну ієрархію.<ref name="Zermelo"/> Подібні урелементи широко використовуються в [[Теорія моделей|теорії моделей]]&nbsp;— зокрема, моделях Френкеля&nbsp;— Мостовського.<ref name="Howard">{{Книга
|заголовок = Consequences of the axiom of choice
|посилання = https://archive.org/details/consequencesofax0000howa
|рік = 1998
|видавництво = American Mathematical Society
|місце = Providence, Rhode Island
|ISBN = 9780821809778
|сторінки = [https://archive.org/details/consequencesofax0000howa/page/175 175]—221
|мова = und
|автор = Howard, Paul; Rubin, Jean
}}</ref>

== Погляд з позиції філософії ==
Існують два основних підходи (без урахування різних варіантів і проміжних градацій) до розуміння взаємозв'язку між універсумом фон Неймана ''V'' і [[Теорія множин Цермело — Френкеля|теорією ''ZFC'']]. В загальних рисах: [[Формалізм (математика)|формалісти]] схильні сприймати ''V'' як якийсь наслідок ''ZFC''-аксіом (наприклад, у теорії ''ZFC'' можна довести, що кожна множина є елементом ''V''), тоді як [[Реалізм (філософія)|реалісти]] найчастіше бачать в універсумі фон Неймана об'єкт, безпосередньо доступний інтуїції, а в аксіомах ''ZFC''&nbsp;— твердження, істинність яких у контексті ''V'' можна підтвердити за допомогою прямих доводів, висловлених природною мовою. Одна з можливих проміжних точок зору полягає в тому, що уявний образ фоннейманівської ієрархії служить обґрунтуванням ''ZFC''-аксіом (тим самим надаючи їм об'єктивності), хоча й не обов'язково відповідає яким-небудь об'єктам, що реально існують.

== Див. також ==
* [[Універсальна множина]]
* {{Нп|Універсум Гротендіка|3=en|4=Grothendieck universe}}
* [[Джон фон Нейман]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* {{Книга
|автор = {{nobr|Jech, Thomas}}
|заголовок = Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded
|видавництво = Springer
|рік = 2003
|ISBN = 3-540-44085-2
}}
* {{Книга
|автор = {{nobr|Kunen, Kenneth}}
|заголовок = Set Theory: An Introduction to Independence Proofs
|видавництво = Elsevier
|рік = 1980
|ISBN = 0-444-86839-9
}}
{{Теорія множин}}
{{Математична логіка}}
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Теорія множин]]
[[Категорія:Джон фон Нейман]]