Перегляд вихідного коду сторінки Умовна ймовірність

{{Основи теорії ймовірностей}}
'''Умо́вна ймові́рність''' — [[ймовірність]] однієї [[випадкова подія|події]] за умови, що інша подія вже відбулася.

Нехай <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> — фіксований [[ймовірнісний простір]]. Нехай <math>A,B\in \mathcal{F}</math> дві [[випадкова подія|випадкової події]], причому <math>\mathbb{P}(B)>0</math>. Тоді умовною ймовірністю події <math>A</math> при умові події <math>B</math> називається
:<math>\mathbb{P}(A \vert B) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}.</math>

==Властивості==

* Прямо з визначення очевидно випливає, що
:<math>\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A \vert B) \; \mathbb{P}(B).</math>

* Якщо <math>\mathbb{P}(B) = 0</math>, то умовна ймовірність, строго кажучи, не визначена. Проте іноді умовляються вважати її в цьому випадку рівною нулю .

* Умовна ймовірність є ймовірністю, тобто функція <math>\mathbb{Q}:\mathcal{F}\to \mathbb{R}</math>, задана формулою
:<math>\mathbb{Q}(A) = \mathbb{P}(A \vert B ),\; \forall A \in \mathcal{F},</math>
задовольняє усі [[ймовірнісний простір|аксіоми імовірнісної міри]].

== Статистична незалежність ==
{{Main|Незалежність (теорія ймовірностей)}}

Події <math>A</math> і <math>B</math> є [[Незалежність (теорія ймовірностей)|статистично незалежними]], якщо

:<math>P(A \cap B) = P(A) P(B).</math>

Якщо <math>P(B)</math> не нульова, це еквівалентне виразу

:<math>P(A|B) = P(A).</math>

Так само, якщо <math>P(A)</math> не дорівнює нулю, тоді

:<math>P(B|A) = P(B).</math>

також еквівалентно.

== Приклад ==

Якщо <math>A,B</math> — [[несумісні події]], тобто <math>A \cap B = \varnothing</math> та <math>\mathbb{P}(A)>0,\; \mathbb{P}(B)>0</math>, тоді
:<math>\mathbb{P}(A \vert B) = 0</math>
та
:<math>\mathbb{P}(B \vert A) = 0</math>.

== Див. також ==

* [[Незалежність подій]];
* [[Умовне математичне сподівання]];
* [[Формула повної ймовірності]];
* [[Теорема Баєса]].

== Джерела ==
* {{Гнєденко.Курс теорії ймовірностей}}
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}
* Capinski, Marek, Kopp, Peter E. ''Measure, Integral and Probability.'' Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
* Williams D., ''Probability with Martingales'', Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6

{{Перекласти|en|Conditional probability}}
{{Математика-доробити}}

[[Категорія:Теорія ймовірностей]]
[[Категорія:Логічні хиби]]
[[Категорія:Статистичні співвідношення]]