Перегляд вихідного коду сторінки Умови Коші — Рімана

{{Комплексний аналіз}}
'''Умови Коші—Рімана''', або '''умови Д'Аламбера—Ейлера'''&nbsp;— умови на [[дійсні числа|дійсну]] <math>u = u(x, y)</math> та уявну <math>v = v(x, y)</math> частини [[комплексна функція|функції комплексної змінної]] <math>w=f(z)=u+{\rm i}v</math>, <math>z=x+{\rm i}y</math>, що забезпечують нескінченну безперервну [[диференційовність]] <math>f(z)</math> як функції комплексної змінної.
[[File:Cauchy-Riemann.png|thumb|Візуальне зображення вектора <math>X</math> в області, що множиться на комплексне число <math>z</math>, а потім відображається за допомогою функції <math>f</math>,
у порівняні, коли вектор спочатку відображається за допомогою функції <math>f</math>, а потім множиться на комплексне число<math>z</math>.
Якщо в обох випадках отримуємо одну і ту ж кінцеву точку для всіх <math>X</math> і <math>z</math>, то функція <math>f</math> задовольняє умови Коші—Рімана.]]
{{Комплексний аналіз}}
[[Файл:Color complex plot.jpg|right|thumb|Графік функції <math>f(x)=\dfrac{(x^2-1)(x-2-{\rm i})^2}{(x^2+2+2{\rm i})}</math>. Аргумент відображує тон зображення, а величину функції&nbsp;— насиченість малюнка.]]
Умови Коші—Рімана для пари дійснозначних функцій двох дійсних змінних <math>u(x, y)</math> і <math>v(x, y)</math> є двома рівняннями:
{{NumBlk||<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, </math>|{{EquationRef|1a}}}}
{{NumBlk||<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.</math>|{{EquationRef|1b}}}}
Як правило <math>u</math> та <math>v</math> вважаються відповідно [[Комплексне число|дійсною]] та [[Комплексне число|уявною частинами]] комплекснозначної функції однієї комплексної змінної <math>z=x+{\rm i}y</math>,
: <math>
f(x+{\rm i}y)=u(x,y)+v(x,y).
</math>
Нехай функції <math>u</math> і <math>v</math> є дійснозначними [[Диференційовна функція|диференційованими]] в точці [[Відкрита множина|відкритої підмножини]] комплексної площини <math>\mathbb C</math>, які можна розглядати як функції з <math>{\mathbb R^2}</math> в <math>{\mathbb R}</math>.
З цього випливає, що частинні похідні від функцій <math>u</math> і <math>v</math> існують (хоча вони не обов'язково повинні бути неперервними), а тому можемо лінійно апроксимувати малі варіації функції <math>f</math>.
Тоді <math>f=u+{\rm i}v</math> є комплексно-[[Диференційовна функція|диференційованою]] у цій точці тоді й лише тоді, коли частинні похідні функцій <math>u</math> та <math>v</math> задовольняють рівняння Коші—Рімана ({{EquationNote|1a}}) та ({{EquationNote|1b}}) у цій точці.
Тут існування частинних похідних, які задовольняють рівнянням Коші—Рімана, не забезпечує комплексної диференційовності: функції <math>u</math> і <math>v</math> повинні бути дійсними диференційованими, що є більш сильною умовою, ніж існування частинних похідних, але загалом слабшою за неперервну диференційованість.

[[Голоморфна функція|Голоморфність]] — це властивість [[Комплексна функція|комплексної функції]] бути диференційованою в кожній точці відкритої та зв'язаної підмножини комплексної площини <math>\mathbb C</math> (це називається {{нп|Область(математичний аналіз)|областю||Domain (mathematical analysis)}} в <math>\mathbb C</math>). Отже, можна стверджувати, що комплексна функція <math>f</math>, дійсні та уявні частини якої відповідно <math>u</math> і <math>v</math> є дійсними диференційованими функціями, є голоморфною тоді й лише тоді, коли рівняння ({{EquationNote|1a}}) і ({{EquationNote|1b}}) задовольняються на всій заданій {{нп|Область(математичний аналіз)|областю||Domain (mathematical analysis)}}.
{{нп|Аналітичність голоморфних функцій|Голоморфні функції є аналітичними||Analyticity of holomorphic functions}} і навпаки.
Це означає, що в комплексному аналізі, функція, яка комплексно диференційована на всій області (голоморфна), співпадає з аналітичною функцією.
Це не вірно для дійсних диференційованих функцій.
== Теорема ==

Для того, щоб функція <math>w = f(z)</math>, визначена в деякій області <math>D</math> [[комплексна площина|комплексної площини]], була диференційовна в точці <math>z_0 = x_0 + {\rm i}y_0</math> як функція комплексної змінної <math>z</math>, необхідно і достатньо, щоб її дійсна і уявна частини <math>u</math> і <math>v</math> були диференційовними в точці <math>(x_0,y_0)</math> як функції дійсних змінних <math>x</math> і <math>y</math> і щоб, крім того, в цій точці виконувалися умови Коші—Рімана:

=== В декартових координатах ===
: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=  \frac{\partial v}{\partial y}</math>;
: <math>\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}</math>.

=== В полярних координатах ===
: <math>\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \varphi}</math>;
: <math>\frac{\partial u}{\partial \varphi} = -r \frac{\partial v}{\partial r}.</math>
Якщо умови Коші—Рімана виконані, то похідна <math>f'(z)</math> може бути подана в будь-якій з наступних форм:
: <math>
f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + {\rm i} \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - {\rm i} \frac{\partial u}{\partial y}.
</math>

== Наслідки ==

* Виконання умов Коші—Рімана, на [[відкрита множина|відкритій]] [[підмножина|підмножині]] <math>\Complex</math> є необхідними умовами [[аналітична функція|аналітичності функції]].
* Якщо, крім того, часткові похідні неперервні, то функція є аналітичною.

== Простий приклад ==
Нехай <math>z=x+{\rm i}y</math>. Комплекснозначна функція <math>f(z)=z^2</math> є диференційованою в будь-якій точці <math>z</math> комплексної площини,
: <math>
f(z)=(x+{\rm i}y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2{\rm i} xy.
</math>
Дійсна частина <math>u(x,y)</math> і уявна частина <math>v(x,y)</math> мають вигляд
:<math>u(x, y) = x^{2} - y^{2}</math>,
:<math>v(x,y)=2xy</math>.
А їх частинні похідні:
: <math>
u_{x}=2x,\quad u_{y}=-2y,\quad v_{x}=2y,\quad v_{y}=2x.
</math>
Ці частинні похідні співвідносяться таким чином:
: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} </math>,
: <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} </math>.
Дійсно функції <math>u(x,y)</math> та <math>v(x,y)</math> задовольняють умови Коші—Рімана: <math>u_{x}=v_{y}</math> і <math>u_{y}=-v_{x}</math>.

== Історія ==
 
У [[Комплексний аналіз|комплексному аналізі]] умови Коші—Рімана, які названі на честь [[Оґюстен-Луї Коші|Оґюстена Коші]] та [[Бернгард Ріман|Бернгарда Рімана]], складаються із {{нп |Система диференціальних рівнянь|системи||System of differential equations}} двох [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференціальних рівнянь з частинними похідними]], які разом із певними критеріями неперервності та диференційовності утворюють необхідну та достатню умову [[Голоморфна функція|голоморфності]] (комплексно диференційованості) [[Комплексний аналіз|комплекснозначної функції]]. [[Оґюстен-Луї Коші|Коші]] користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуару, представленого [[Французька академія наук|Паризькій академії наук]] в [[1814]]&nbsp;р.
Ця система рівнянь вперше з'явилася в роботі [[Жан Лерон д'Аламбер|Жана Лерона д'Аламбера]].<ref name="d'Alembert, Jean (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris: David l'aîné. Reprint 2018 by Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839.">d'Alembert, Jean (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris: David l'aîné. Reprint 2018 by Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839.</ref>.
Пізніше [[Леонард Ейлер]] пов'язав цю систему з [[Аналітична функція|аналітичними функціями]].<ref name="Euler, Leonhard (1797). Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 10: 3–19.">Euler, Leonhard (1797). Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 10: 3–19.</ref>
Потім Коші <ref name=" Cauchy, Augustin L. (1814). Mémoire sur les intégrales définies. Oeuvres complètes Ser. 1. Vol. 1. Paris (published 1882). pp. 319–506.">Cauchy, Augustin L. (1814). Mémoire sur les intégrales définies. Oeuvres complètes Ser. 1. Vol. 1. Paris (published 1882). pp. 319–506.</ref> використав ці рівняння для побудови своєї теорії функцій.
У 1851 році з'явилася дисертація Рімана з теорії функцій.<ref name=" Riemann, Bernhard (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. In H. Weber (ed.). Riemann's gesammelte math. Werke (in German). Dover (published 1953). pp. 3–48.">Riemann, Bernhard (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. In H. Weber (ed.). Riemann's gesammelte math. Werke (in German). Dover (published 1953). pp. 3–48.</ref>

==Інтерпретація та переформулювання==
Умови Коші—Рімана є одним із способів поглянути на умову диференційності функції в сенсі [[комплексний аналіз|комплексного аналізу]]: іншими словами, вони включають в себе поняття [[комплексний аналіз|функції комплексної змінної]] за допомогою звичайного [[диференціальне числення|диференціального числення]]. 
У теорії існує декілька інших основних підходів до цього поняття, і часто необхідно інтерпретувати умови іншою мовою.

===Конформні відображення===
''Більше інформації'': [[Конформне відображення]]

По-перше, умови Коші—Рімана можна записати у комплексній формі
{{NumBlk||<math>{\rm i}{\frac {\partial f}{\partial x}}=\frac {\partial f}{\partial y}. </math>|{{EquationRef|2}}}}
У цій формі рівняння структурно відповідають умові, що [[матриця Якобі]] має вигляд
: <math>
\left(\begin{matrix} a & -b  \\ b & a \end{matrix}\right),
</math>
де  <math>a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y</math> та <math>b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y</math>.
Матриця такого вигляду є [[комплексне число|матричним представленням комплексного числа]]. 
Геометрично така матриця завжди є [[Композиція функцій|композицією]] [[обертання]] і [[Гомотетія|масштабування]] і, зокрема, зберігає [[кут]]и.
Якобіан функції <math>f(z)</math> бере нескінченно малі відрізки на перетині двох кривих у точці <math>z</math> і повертає їх до відповідних відрізків у точці <math>f(z)</math>.
Отже, функція, що задовольняє умови Коші—Рімана, з ненульовою похідною, зберігає кут між кривими на площині. 
Тобто умови Коші—Рімана є умовою [[Конформне відображення|конформності]] функції.

Більше того, оскільки композиція конформного перетворення з іншим конформним перетворенням також є конформним перетворенням, то конформне відображення переводить розв'язки рівнянь Коші—Рімана у розв'язки цих же рівнянь.
Таким чином, рівняння Коші—Рімана є конформно інваріантними.

===Комплексна диференційованість===
Нехай
: <math>
f(z)=u(z)+{\rm i}\cdot v(z)
</math>
є функцією комплексної змінної <math>z=x+{\rm i} y</math>.
Тоді комплексна похідна від функції <math>f</math> у точці <math>z_{0}</math> визначається як
: <math>
\lim_{\underset{h\in\Complex}{h\to 0}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = f'(z_0)</math>
за умови існування цієї границі.

Якщо ця границя існує, то її можна обчислити, взявши границю при <math>h \to 0</math> вздовж дійсної або уявної осі; в обох випадках це повинно дати однаковий результат. 
Прямуючи вздовж дійсної осі, отримаємо
: <math>
\lim_{\underset{h\in\Reals}{h\to 0}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0).
</math>
З іншого боку, прямуючи уздовж уявної осі,
: <math>
\lim_{\underset{\eta\in \Reals}{\eta \to 0}} \frac{f(z_0+{\rm i}\eta)-f(z_0)}{i\eta} =\frac{1}{{\rm i}}\frac{\partial f}{\partial y}(z_0).
</math>
Із рівності похідних функції <math>f</math> вздовж двох осей отримаємо
: <math>
{\rm i}\frac {\partial f}{\partial x}(z_{0})=\frac {\partial f}{\partial y}(z_{0}),
</math>
які є рівняннями Коші—Рімана ({{EquationNote|2}}) у точці <math>z_0</math>.

І навпаки, якщо <math>f \colon \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math> є функцією, яка диференційована, якщо розглядати її як функцію на <math>\mathbb{R}^{2}</math>, то вона є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконуються умови Коші—Рімана.
Іншими словами, якщо <math>u</math> і <math>v</math> є дійснозначними диференційованими функціями двох дійсних змінних, тоді очевидно <math>u + {\rm i}v</math> є (комплекснозначною) дійснозначною диференційованою функцією, але <math>u + {\rm i}v</math> є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконується умови Коші—Рімана.

Справді, слідуючи Рудіну,<ref name=" Rudin 1966.">Rudin 1966.</ref> нехай <math>f</math> — комплексна функція, що визначена на відкритій множині <math>\Omega \subset \mathbb{C}</math>.
Тоді, записавши <math>z = x + {\rm i}y</math> для кожного <math>z \in \Omega</math>, можна розглядати <math>\Omega</math> як відкриту підмножину <math>\mathbb{R}^{2}</math>, і <math>f</math> як функцію двох дійсних змінних <math>x</math> і <math>y</math>, яка відображає <math>\Omega \subset \mathbb{R}^{2}</math> у <math>\mathbb{C}</math>.
Розглянемо умови Коші—Рімана у точці <math>z = z_{0}</math>.
Нехай функція <math>f</math> є диференційованою у точці <math>z_{0}</math> як функція двох дійсних змінних з <math>\Omega</math> в <math>\mathbb{C}</math>. Це еквівалентно існуванню наступного лінійного наближення
: <math>
f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})=f_{x} \Delta x+f_{y} \Delta y+\eta (\Delta z) \Delta z,
</math>
де <math>z = x +{\rm i}y</math> та <math>\eta(\Delta z) \rightarrow 0</math> при <math>\Delta z \rightarrow 0</math>.
Оскільки <math>\Delta z+\Delta {\bar {z}}=2 \Delta x</math> і <math>\Delta z-\Delta {\bar {z}}=2{\rm i} \Delta y</math>, то вищезазначене можна переписати як
: <math>
\Delta f(z_{0})={\frac {f_{x}-{\rm i}f_{y}}{2}} \Delta z+{\frac {f_{x}+{\rm i}f_{y}}{2}} \Delta {\bar {z}}+\eta (\Delta z) \Delta z .
</math>
Визначаючи дві {{нп|похідна Віртінгера|похідні Віртінгера||Wirtinger derivatives}} як
: <math>
\frac {\partial }{\partial z}=\frac {1}{2}\left(\frac {\partial }{\partial x}-{\rm i}\frac {\partial }{\partial y}\right),\quad
\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}=\frac {1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}+{\rm i}\frac {\partial }{\partial y}\right),
</math>
при <math>\Delta z\to 0</math>, <math>\Delta {\bar {z}}\to 0</math> рівність написану вище можна записати як
: <math>
\left.\frac {{\rm d}f}{{\rm d}z}\right|_{z=z_{0}}
=\left.\frac {\partial f}{\partial z}\right|_{z=z_{0}}+\left.\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}\right|_{z=z_{0}}\cdot
 \frac {{\rm d}{\bar {z}}}{{\rm d}z}+\eta (\Delta z),\quad \Delta z\neq 0.
</math>
Тепер розглянемо потенційні значення <math>{\rm d}{\bar {z}}/{\rm d}z</math>, коли границя обчислюється в [[Початок координат|початку координат]].
Для <math>z</math> вздовж дійсної осі маємо, що <math>\bar{z}=z</math>, а тому <math>{\rm d}{\bar {z}}/{\rm d}z=1</math>.
Аналогічно для чисто уявного <math>z</math> маємо, що <math>{\rm d}{\bar {z}}/{\rm d}z=-1</math>, а тому значення <math>{\rm d} {\bar {z}}/{\rm d}z</math> не добре визначеним в початку координат.
Легко перевірити, що <math>{\rm d}{\bar {z}}/{\rm d}z</math> не є добре визначеним при будь-якому значенні <math>z</math>.
Звідси функція <math>f</math> є комплексно диференційованою в точці <math>z_{0}</math> тоді й лише тоді, коли <math>\left(\partial f/\partial {\bar {z}}\right)=0</math> у точці <math>z=z_{0}</math>.
Але це в точності є умовами Коші—Рімана, а тому функція <math>f</math> диференційована в точці <math>z_{0}</math> тоді й лише тоді, коли в точці <math>z_{0}</math> виконуються умови Коші—Рімана.

===Незалежність від комплексного спряження===
Наведене вище доведення пропонує іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана.
[[Спряжені числа|Комплексно спряжене]] для числа <math>z</math>, позначається як <math>{\bar {z}}</math>, визначається як
: <math>
\overline{x+{\rm i}y}:=x-{\rm i}y
</math>
для дійсних <math>x</math> та <math>y</math>.
Умови Коші—Рімана тоді можна записати як одне рівняння
{{NumBlk||<math>\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}=0,</math>|{{EquationRef|3}}}}
використовуючи {{нп|похідна Віртінгера|похідну Віртінгера відносно спряженої змінної||Wirtinger derivatives}}.
У цій формі умови Коші—Рімана можна інтерпретувати як твердження, що функція <math>f</math> є незалежною від змінної <math>\bar{z}</math>.
Таким чином, можна розглядати аналітичні функції як істинні функції однієї комплексної змінної, а не комплексні функції двох дійсних змінних.

===Фізична інтерпретація===
[[File:Contours of holomorphic function.png|thumb|Візуальне зображення вектора <math>X</math> в області, що множиться на комплексне число <math>z</math>, а потім відображається за допомогою функції <math>f</math>, у порівняні, коли вектор спочатку відображається за допомогою функції <math>f</math>, а потім множиться на комплексне число <math>z</math>.
Якщо в обох випадках отримуємо одну і ту ж кінцеву точку для всіх <math>X</math> і <math>z</math>, то функція <math>f</math> задовольняє умови Коші—Рімана.]]
Стандартна фізична інтерпретація умов Коші—Рімана, що бере свій початок з роботи Рімана по теорії функцій,<ref name="Див. Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Translated by Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes.">Див. Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Translated by Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes.</ref> полягає в тому, що функція <math>u</math> є {{нп|Потенціал швидкості|потенціалом швидкості||Velocity potential}} нестисної стаціонарної течії рідини на площині, а <math>v</math> — {{нп|функція току|функція току||Potential flow}}.
Нехай пара (двічі неперервно диференційованих) функцій <math>u</math>, <math>v</math> задовольняє умови Коші—Рімана.
Розглянемо функцію <math>u</math> як потенціал швидкості, це означає, що уявляємо течію рідини на площині так, що [[Швидкість|вектор швидкості]] рідини в кожній точці цієї площини дорівнює [[градієнт]]у функції <math>u</math>, визначеному як
: <math>
\nabla u=\frac{\partial u}{\partial x}\boldsymbol{i} +\frac{\partial u}{\partial y}\boldsymbol{j}.
</math>
Диференціюючи умови Коші—Рімана вдруге, можна побачити, що функція <math>u</math> є розв'язком [[рівняння Лапласа]]:
: <math>
\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}=0.
</math>
Тобто <math>u</math> — [[гармонічна функція]].
Це означає, що [[Дивергенція (математика)|дивергенція]] градієнта дорівнює нулю, а отже, рідина нестисна.

З аналогічних міркувань функція <math>v</math> також задовольняє рівняння Лапласа.
Крім того, з умов Коші—Рімана випливає, що [[скалярний добуток]] градієнтів функцій <math>u</math> та <math>v</math> дорівнює нулю, тобто <math>\nabla u\cdot \nabla v=0</math>.
Це означає, що градієнт функції <math>u</math> має вказувати на криві <math>v=\text{const}</math>;
отже, це [[Лінії течії|лінії току]] течії.
Криві <math>u=\text{const}</math> є [[Ізолінія|еквіпотенціальними кривими]] течії.

Отже, голоморфну функцію можна візуалізувати, побудувавши графік двох сімейств [[Множина рівня|кривих рівнів]] <math>u=\text{const}</math> і <math>v=\text{const}</math>.
Поблизу точок, де градієнт функції <math>u</math> (або, еквівалентно, функції <math>v</math>) не дорівнює нулю, ці сім'ї утворюють [[Ортогональність|ортогональне]] сімейство кривих.
У точках, де <math>\nabla u=0</math> ([[Стаціонарна точка|стаціонарні точки]] течії), еквіпотенціальні криві для <math>u=\text{const}</math> перетинаються.
Лінії току також перетинаються в цій самій точці, ділячи навпіл кути, що утворені еквіпотенціальними кривими.

===Гармонічне векторне поле===
Іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана можна знайти в книзі [[Дьордь Поя|Поя]] та Сего.<ref name="Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. ISBN 3-540-63640-4.">Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. ISBN 3-540-63640-4.</ref>.
Нехай функції <math>u</math> і <math>v</math>  задовольняють умови Коші—Рімана у відкритій підмножині <math>\mathbb{R}^{2}</math>, розглянемо [[векторне поле]]
: <math>
\bar{f}=\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix},
</math>
яке трактується як (дійсний) двокомпонентний вектор.
Тоді друга умова Коші—Рімана ({{EquationNote|1b}}) стверджує, що вектор <math>\bar{f}</math> є [[Потенціальне векторне поле|безвихровим]] (його [[Ротор (математика)|ротор]] дорівнює 0):
: <math>
\frac {\partial (-v)}{\partial x}-\frac {\partial u}{\partial y}=0.
</math>
Перша умова Коші—Рімана ({{EquationNote|1a}}) стверджує, що задане векторне поле є [[Соленоїдне векторне поле|соленоїдним]] (його [[Дивергенція (математика)|дивергенція]] дорівнює 0):
: <math>
\frac {\partial u}{\partial x}+\frac {\partial (-v)}{\partial y}=0.
</math>
Відповідно до [[Теорема Гріна|теореми Гріна]] та [[Формула Остроградського|теореми Остроградського]] таке поле обов'язково є [[Потенціальне векторне поле|потенціальним]], тобто у ньому немає джерел або поглиначів, і має нульовий чистий потік через будь-яку відкриту область без дірок.
(Ці два спостереження поєднуються як дійсна та уявна частини в [[Інтегральна теорема Коші|інтегральній теоремі Коші]].)
У [[Гідроаеродинаміка|гідродинаміці]] таке векторне поле є {{нп|поненціальна течія|потенціальною течією||Potential flow}}.<ref name="Chanson, H. (2007). Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 5: 127–131. doi:10.1051/lhb:2007072. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050."> Chanson, H. (2007). "Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange" [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 5: 127–131. doi:10.1051/lhb:2007072. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050.</ref>
У [[Магнітостатика|магнітостатиці]] такі векторні поля моделюють статичні [[Магнітне поле|магнітні поля]] в області площини, яка не містить струму.
В [[Електростатика|електростатиці]] вони моделюють статичні електричні поля в області площини, яка не містить електричного заряду.

Цю інтерпретацію можна еквівалентно переформулювати на мові [[Диференціальна форма|диференціальних форм]].
Пара функцій <math>u</math>, <math>v</math> задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли [[Коваріантний вектор|1-форма]] <math>v\,{\rm d}x+u\,{\rm d}y</math> одночасно {{нп|Замкнуті та точні диференціальні форми|замкнена||Closed and exact differential forms}} і [[Зірка Годжа|козамкнена]] ([[Теорія Годжа|гармонічна диференціальна форма]]).

===Збереження комплексної структури===
Інше формулювання умов Коші—Рімана включає {{нп|лінійна комплексна структура|комплексну структуру||Linear complex structure}} на площині, яка задана матрицею
: <math>
J=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}.
</math>
Це комплексна структура в тому сенсі, що квадрат матриці <math>J</math> є від'ємна одинична <math>2\times2</math> матриця: <math>J^{2}=-I</math>.
Як і вище, якщо <math>u(x,y)</math>, <math>v(x,y)</math> — дві функції на площині, то покладемо
: <math>
f(x,y)=\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{bmatrix}.
</math>
[[Матриця Якобі]] для функції <math>f</math> — це матриця частинних похідних
: <math>
D f(x,y)={\begin{bmatrix}\dfrac {\partial u}{\partial x}&\dfrac {\partial u}{\partial y} \\ \dfrac {\partial v}{\partial x}&\dfrac {\partial v}{\partial y}\end{bmatrix}}.
</math>
Тоді пара функцій <math>u</math> та <math>v</math> задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли <math>2\times2</math> матриця <math>Df</math> комутує з матрицею <math>J</math>.<ref name=" Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2.">Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2.</ref>

Ця інтерпретація корисна в [[Симплектична геометрія|симплектичній геометрії]], де вона є початковою точкою для вивчення [[Псевдоголоморфна крива|псевдоголоморфних кривих]].

===Інше представлення===
Інше представлення умов Коші—Рімана іноді виникають в інших [[Система координат|системах координат]].
Якщо рівняння ({{EquationNote|1a}}) і ({{EquationNote|1b}}) виконуються для диференційованої пари функцій <math>u</math> і <math>v</math>, то
: <math>
\frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial s},\quad \frac{\partial v}{\partial n}=-\frac{\partial u}{\partial s}
</math>
для будь-якої системи координат <math>(n(x, y),s(x, y))</math> такої, що пара <math>(\nabla n,\nabla s)</math> {{нп|ортонормована|ортонормована||Orthonormality}} і [[Орієнтовність|додатно орієнтована]].
Як наслідок, зокрема, у системі координат заданій полярним представленням <math>z = r'{\rm e}^{{\rm i}\theta}</math> рівняння набувають вигляду
: <math>
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta },\quad
\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }.
</math>
Об'єднавши їх в одне рівняння для функції <math>f</math>, отримуємо
: <math>
\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{1}{{\rm i}r} \frac{\partial f }{\partial \theta }.
</math>
Неоднорідні умови Коші—Рімана складаються з двох рівнянь для пари невідомих функцій <math>u(x, y)</math> і <math>v(x, y)</math> двох дійсних змінних
: <math>
\frac {\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}=\alpha (x,y),
</math>
: <math>
\frac {\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=\beta (x,y)
</math>
для деяких заданих функцій <math>\alpha(x, y)</math> і <math>\beta(x, y)</math>, що визначені у відкритій підмножині в <math>\mathbb{R}^2</math>.
Ці рівняння зазвичай об'єднують в одне рівняння
: <math>
\frac{\partial f}{\partial {\bar {z}}}=\varphi (z,{\bar {z}}),
</math>
де <math>f=u+{\rm i}v</math> і <math>\varphi=(\alpha + {\rm i}\beta)/2</math>.

Якщо функція <math>\varphi</math> є [[Диференційовна функція|неперервно диференціовною функцією порядку <math>k</math>]] (гладкою функцією порядку <math>k</math>), то неоднорідне рівняння явно розв'язується в будь-якій обмеженій області <math>D</math> за умови, що функція <math>\varphi</math> є неперервною на [[Замикання (топологія)|замиканні]] області <math>D</math>.
Дійсно, за [[Інтегральна формула Коші|інтегральною формулою Коші]]
: <math>
f\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)={\frac {1}{2\pi {\rm i}}}\iint _{D}\varphi \left(z,{\bar {z}}\right)\,{\frac {{\rm d}z\wedge {\rm d}{\bar {z}}}{z-\zeta }}
</math>
для всіх <math>\zeta \in D</math>.

==Узагальнення==
===Теорема Гурса та її узагальнення===
Дивись також: [[Інтегральна теорема Коші|Теорема Коші—Гурса]]

Нехай <math>f=u+{\rm i}v</math> — комплекснозначна функція, яка диференційована як функція <math>f\colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2</math>.
Тоді теорема [[Едуар Ґурса|Гурса]] стверджує, що функція <math>f</math> є аналітичною у відкритій комплексній області <math>\Omega</math> тоді й лише тоді, коли вона задовольняє умови Коші&nbsp;—Рімана в області.<ref name=" Rudin 1966, Theorem 11.2">Rudin 1966, Theorem 11.2</ref>
Зокрема, не потрібно вимагати неперервну диференційованість функції <math>f</math>.<ref name=" Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1.">Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1.</ref>
Умови теореми [[Едуар Ґурса|Гурса]] можна значно послабити.
Якщо функція <math>f=u+{\rm i}v</math> є неперервною на відкритій множині [[Часткова похідна|частинні похідні]] від функції <math>f</math> за змінними <math>x</math> і <math>y</math> існують на множині <math>\Omega</math> і задовольняють умови Коші—Рімана на всій множині <math>\Omega</math>, то функція <math>f</math> є голоморфною (і, отже, аналітичною).
Це результат [[Теорема Лумана — Меньшова|теореми Лумана—Меньшова]].

Умова, що функція <math>f</math> задовольняє умови Коші—Рімана на усій області <math>\Omega</math>, є суттєвою.
Можна побудувати неперервну функцію, яка задовольняє умови Коші—Рімана в точці, але не є аналітичною в цій точці (наприклад, <math>f(z) = z^5/|z|^4)</math>).
Так само, крім умов Коші—Рімана, необхідні деякі додаткові припущення (наприклад, неперервність), як ілюструє наступний приклад<ref name=" Looman 1923, p. 107.">Looman 1923, p. 107.</ref>
:<math>
f(z)={\begin{cases}\exp \left(-z^{-4}\right),& \text{якщо} \ z\not =0,\\
0, & \text{якщо} \ z=0. \end{cases}}
</math>
Функція скрізь задовольняє умови Коші—Рімана, але не є неперервною у точці <math>z=0</math>.

Тим не менш, якщо функція задовольняє умови Коші—Рімана на відкритій множині в слабкому сенсі, то функція є аналітичною. Точніше:<ref name=" Gray & Morris 1978, Theorem 9.">Gray & Morris 1978, Theorem 9.</ref>

''Якщо функція <math>f(z)</math> локально інтегрована на відкритій області <math>\Omega \subset \mathbb{C}</math> і слабо задовольняє умови Коші—Рімана, то функція <math>f</math> майже скрізь співпадає з аналітичною функцією на області <math>\Omega</math>.''

Фактично це частинний випадок більш загального результату про регулярність розв'язків [[Гіпоеліптичний оператор|гіпоеліптичних]] диференціальних рівнянь з частинними похідними.

===Випадок кількох змінних===
Існують належним чином узагальнені умови Коші—Рімана і в {{нп|Функції кількох змінних|теорії функцій кількох комплексних змінних||Function of several complex variables}}.
Вони утворюють суттєво {{нп|Перевизначена система|перевизначену систему||Overdetermined system}} диференціальних рівнянь з частинними похідними.
Це робиться з використанням прямого узагальнення {{нп|похідна Віртінгера|похідної Віртінгера||Wirtinger derivatives}}, де розглянута функція повинна мати (частинну) похідну Віртінгера відносно кожної комплексної змінної, яка дорівнює нулю.

===Комплексні диференціальні форми===
Як зазвичай формулюють, {{нп|Комплексна диференціальна форма|d-bar оператор||Complex differential form}}
<math>\bar{\partial}</math>
анулює голоморфні функції.
Це безпосередньо узагальнює формулювання
: <math>
\frac{\partial f}{\partial {\bar {z}}}=0,
</math>
де
: <math>
\frac{\partial f}{\partial {\bar {z}}}=\frac{1 }{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}+{\rm i}\frac{\partial f}{\partial y}\right).
</math>

===Перетворення Беклунда===
З точки зору {{нп|гармонічне спряжене|спряжених гармонічних функцій||Harmonic conjugate}} умови Коші—Рімана є простим прикладом [[перетворення Беклунда]].
Більш складні, у загальному випадку нелінійні перетворення Беклунда, такі як [[рівняння синус-Ґордона]], представляють значний інтерес у теорії [[солітон]]ів та [[Точно розв'язувана задача|інтегрованих систем]].

===Означення в алгебрі Кліффорда===
В [[Алгебра Кліфорда|алгебрі Кліффорда]] комплексне число <math>z=x+{\rm i}y</math> представляється як <math>z\equiv x+Iy</math>, де <math>I\equiv \sigma_{1} \sigma_{2}</math>.
Оператор фундаментальної похідної в алгебрі Кліффорда [[Комплексне число|комплексних чисел]] визначається як <math>\nabla \equiv \sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y}</math>.
Функція <math>f=u+Iv</math> вважається аналітичною тоді й лише тоді, коли <math>\nabla f=0</math>, або у розгорнутому вигляді:
: <math>
\begin{align}
0=\nabla f&=(\sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y})(u+\sigma _{1}\sigma _{2}v)\\
&=\sigma _{1}\partial _{x}u+\underbrace {\sigma _{1}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=\sigma _{2}}\partial _{x}v+\sigma _{2}\partial _{y}u+\underbrace {\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=-\sigma _{1}}\partial _{y}v=0.
\end{align}
</math>
Після перегрупування отримаємо
: <math>
\begin{align}
\nabla f=\sigma _{1}(\partial _{x}u-\partial _{y}v)+\sigma _{2}(\partial _{x}v+\partial _{y}u)=0 \ 
\begin{cases}\partial _{x}u-\partial _{y}v=0,
\partial _{x}v+\partial _{y}u=0.
\end{cases}
\end{align}
</math>
Звідси, у традиційних позначеннях:
: <math>
\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y},\\
\dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}.
\end{cases}
</math>

===Конформні відображення для вищих розмірностей===
Нехай <math>\Omega</math> — відкрита множина в евклідовому просторі <math>\mathbb{R}^n</math>.
Рівняння для відображення, що зберігає орієнтацію, <math>f\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}</math> є [[Конформне відображення|конформним відображенням]] (тобто таке що зберігає кути), якщо
: <math>
Df^{\mathsf {T}}Df=(\det(Df))^{2/n}I,
</math>
де <math>Df</math> — матриця Якобі, <math>Df^{\mathsf {T}}</math> — трансформована матриця Якобі, <math>I</math> — одинична матриця.<ref name=" Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. p.~32.">Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. p.~32.</ref>
У випадку <math>n = 2</math> ця система еквівалентна стандартним умовам Коші—Рімана для комплексних змінних, а розв'язки цих умов є голоморфними функціями.
У розмірності <math>n > 2</math> ці умови все ще іноді називають системою Коші—Рімана, і з [[теорема Ліувіля|теореми Ліувіля]] випливає, за відповідних припущень про гладкість, що будь-яке таке відображення є [[Перетворення Мебіуса|перетворенням Мебіуса]].

==Див. також==
* [[Голоморфна функція]]
* [[Теорема Лумана — Меньшова]]
* [[Теорема Морери]]

==Примітки==
{{reflist}}

==Література==
*{{cite journal |last1=Gray |first1=J. D. |last2=Morris |first2=S. A. |date=April 1978 |title=When is a Function that Satisfies the Cauchy&ndash;Riemann Equations Analytic? |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1978-04_85_4/page/246 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=85 |issue=4 |pages=246–256 |doi=10.2307/2321164 |jstor=2321164}}
* {{cite journal |last=Looman |first=H. |date=1923 |title=Über die Cauchy&ndash;Riemannschen Differentialgleichungen |journal=Göttinger Nachrichten |pages=97–108 |language=de}}
* {{cite book |last=Rudin |first=Walter |date=1966 |title=Real and complex analysis |publisher=McGraw Hill |publication-date=1987 |edition=3rd |isbn=0-07-054234-1}}

== Додаткова література ==
* {{cite book 
 | автор = Мельник Т.А. 
 | автор-посилання = Мельник Тарас Анатолійович 
 | url = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2018/03/Melnyk_Complex_Analysis-2015.pdf
 | назва = Комплексний аналіз : підручник
 | місце = Київ
 | видавництво = ВПЦ "Київський університет"
 | рік = 2015
 | pages = 192
 | isbn = 978-966-439-800-5
 | ref=
}}
*{{cite book |last=Ahlfors |first=Lars |author-link=Ларс Альфорс |date=1953 |publication-date=1979 |title=Complex analysis |url=https://archive.org/details/complexanalysisi00ahlf |edition=3rd |publisher=McGraw Hill |isbn=0-07-000657-1}}
* Solomentsev, E.D. (2001). Cauchy–Riemann conditions. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
* {{cite book |last1=Stewart |first1=Ian |last2=Tall |first2=David |date=1983 |publication-date=1984 |title=Complex Analysis |url=https://archive.org/details/complexanalysish0000stew |edition=1st |publisher=CUP |isbn=0-521-28763-4}}

== Зовнішні посилання ==
* {{MathWorld | urlname= Cauchy-RiemannEquations | title= Cauchy–Riemann Equations }}
* [https://web.archive.org/web/20061209102947/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/CauchyRiemannMod.html Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews]

[[Категорія:Комплексний аналіз]]
[[Категорія:Диференціальні рівняння]]
[[Категорія:Гармонічні функції]]