Перегляд вихідного коду сторінки Тіло Кеплера — Пуансо

{{multiple image
 | align = right | perrow = 2 | total_width = 320
 | image1 = Great dodecahedron (gray with yellow face).svg | caption1 = [[Великий додекаедр]]
 | image2 = Small stellated dodecahedron (gray with yellow face).svg | caption2 = [[Малий зірчастий додекаедр]]
 | image3 = Great icosahedron (gray with yellow face).svg | caption3 = [[Великий ікосаедр]]
 | image4 = Great stellated dodecahedron (gray with yellow face).svg | caption4 = [[Великий зірчастий додекаедр]]
}}
'''Ті́ло Ке́плера&nbsp;— Пуансо́'''&nbsp;— [[Геометричне тіло|тіло]], що являє собою правильний [[зірчастий многогранник]], який не є [[З'єднання многогранників|з'єднанням]] [[Правильний многогранник|платонових]] і зірчастих тіл.

1811 року французький математик [[Оґюстен-Луї Коші|Оґюстен Коші]] встановив, що існують всього 4 правильних зірчастих тіла, які не є з'єднаннями [[Правильний многогранник|платонових]] і [[Зірчастий многогранник|зірчастих тіл]]{{Sfn|Cauchy|1813|сторінки=68-86}}. До них належать відкриті в [[1619 у науці|1619 році]] [[Йоганн Кеплер|Йоганном Кеплером]] [[малий зірчастий додекаедр]] і [[великий зірчастий додекаедр]], а також [[великий додекаедр]] і [[великий ікосаедр]], відкриті [[1809 у науці|1809 року]] [[Луї Пуансо]]{{Sfn|Poinsot|1810|сторінки=16-48}}. Інші правильні зірчасті многогранники є або з'єднаннями платонових тіл, або з'єднаннями тіл Кеплера&nbsp;— Пуансо{{Sfn|Wenninger|1983|с=46}}.

== Історія ==
[[Файл:Marble_floor_mosaic_Basilica_of_St_Mark_Vencice.jpg|міні|Мозаїка в [[Базиліка святого Марка|соборі Святого Марка]] у [[Венеція|Венеції]], іноді приписувана [[Паоло Учелло]].]]
Деякі з многогранників Кеплера&nbsp;— Пуансо в тій чи іншій формі були відомі ще до Кеплера<ref name="history">{{Cite web |url=http://www.steelpillow.com/polyhedra/StelFacet/history.html |title=Stellation and facetting — a brief history |accessdate=2 листопада 2020 |archive-date=4 березня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304214440/http://www.steelpillow.com/polyhedra/StelFacet/history.html }}</ref>. Так, зображення малого зірчастого додекаедра присутнє в мармуровій мозаїці, що прикрашає підлогу [[Базиліка святого Марка|собору Святого Марка]] у Венеції. Ця мозаїка датується XV століттям, авторство іноді приписують [[Паоло Учелло]]. В XVI столітті німецький ювелір [[Венцель Ямнітцер]] у своїй праці ''Perspectiva corporum regularium'' (<span style="font-style:italic;" lang="ru">Перспективи правильних тіл</span>) зображує великий додекаедр і великий зірчастий додекаедр<ref>{{Cite web |url=http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/jamnitzer/galerie7a.html |title=Jamnitzer-Galerie a |accessdate=2 листопада 2020 |archive-date=13 жовтня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161013171608/http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/jamnitzer/galerie7a.html }}</ref>. Напевно, до Кеплера ніхто з художників і вчених не знав усіх властивостей цих тіл.

Малий і великий зірчасті додекаэдри, які іноді називають «многогранники Кеплера», вперше повністю описано в трактаті Йоганна Кеплера 1619 року [[Harmonices Mundi]]<ref>{{Cite web |url=http://posner.library.cmu.edu/Posner/books/pages.cgi?call=520_K38PI&layout=vol0%2Fpart0%2Fcopy0&file=0032 |title=Harmonices mundi |accessdate=3 квітня 2022 |archive-date=22 жовтня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201022235931/http://posner.library.cmu.edu/Posner/books/pages.cgi?call=520_K38PI&layout=vol0%2Fpart0%2Fcopy0&file=0032 }}</ref>. Кожне з цих тіл має центральну опуклу ділянку кожної грані, «приховану» всередині, при цьому видно тільки трикутні площини. Кеплер описує многогранники, використовуючи ту ж модель, за допомогою якої [[Платон]] у діалозі [[Тімей (Платон)|Тімей]] описує побудову [[Правильний многогранник|правильних многогранників]] на основі правильних трикутників{{Sfn|Field|1984|сторінки=207-219}}. Останнім кроком Кеплера було визнання, що ці многогранники є [[Правильний многогранник|правильними]], навіть якщо вони не є опуклими, на відміну від звичайних [[Правильний многогранник|платонових тіл]].

1809 року [[Луї Пуансо]] знову дослідив многогранники Кеплера і виявив ще два правильних зірчастих многогранники&nbsp;— [[великий ікосаедр]] і [[великий додекаедр]]{{Sfn|Poinsot|1810|сторінки=16-48}}. При цьому Пуансо не був упевнений, що виявив всі можливі види правильних зірчастих многогранників. Але 1811 року [[Оґюстен-Луї Коші]] довів, що існують всього 4 правильних зірчастих тіла, які не є [[З'єднання многогранників|з'єднаннями]] платонових і зірчастих тіл, а 1858 року [[Жозеф Бертран]] надав більш загальне доведення<ref name="history"/>. У 1859 році [[Артур Кейлі|Артур Келі]] дав многогранникам Кеплера&nbsp;— Пуансо назви, під якими вони, як правило, відомі сьогодні. Сто років потому [[Джон Конвей]] розробив термінологію для зірчастих багатокутників. У рамках цієї термінології він запропонував дещо змінені назви двох правильних зірчастих многогранників{{Sfn|Conway, Burgiel, Goodman-Strauss|2008|сторінки=404-408}}.
{| class="wikitable"
|'''Термінологія Келі'''
|'''Термінологія Конвея'''
|-
|Малий зірчастий додекаедр
|Зірчастий додекаедр
|-
|Великий додекаедр
|Великий додекаедр
|-
|Великий зірчастий додекаедр
|Зірчастий великий додекаедр
|-
|Великий ікосаедр
|Великий ікосаедр
|}
Термінологія Конвея нині використовується, але не має широкого розповсюдження.

== Характеристики ==

=== Неопуклість ===
Ці тіла мають грані і [[Вершинна фігура|вершинні фігури]] у вигляді [[П'ятикутник|п'ятикутників]]. [[Малий зірчастий додекаедр|Малий]] і [[Великий зірчастий додекаедр|великий зірчастий додекаедри]] мають грані у вигляді неопуклих правильних [[Зірка (геометрія)|зірок]]. [[Великий додекаедр]] і [[великий ікосаедр]] мають опуклі грані<ref>{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/GreatDodecahedron.html |title=Great Dodecahedron |accessdate=2 листопада 2020 |archive-date=10 березня 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210310111714/https://mathworld.wolfram.com/GreatDodecahedron.html }}</ref><ref name="Dodecahedron">{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/SmallStellatedDodecahedron.html |title=Small Stellated Dodecahedron |accessdate=2 листопада 2020 |archive-date=4 лютого 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210204185341/https://mathworld.wolfram.com/SmallStellatedDodecahedron.html }}</ref>.

У всіх цих тіл дві грані можуть перетинатися, утворюючи лінію, яка не є [[Ребра|ребром]] якоїсь із них, таким чином, частина кожної грані проходить через внутрішню частину тіла. Такі лінії перетину іноді називають хибними ребрами. Аналогічно, коли три такі лінії перетинаються в точці, яка не належить куту якоїсь грані, ці точки називають хибними вершинами. Наприклад, малий зірчастий додекаедр має 12 [[Пентаграма|п'ятикутних граней]] з центральною п'ятикутною частиною, прихованою всередині тіла. Видимі частини кожної грані складаються з п'яти [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрених трикутників]], які дотикаються в п'яти точках. Можна розглянути ці трикутники як 60 окремих граней, що утворюють новий, неправильний многогранник, який зовні виглядає ідентичним первинному. Кожне ребро тепер ділиться на три коротких ребра (двох різних видів), при цьому 20 хибних вершин стануть істинними, і, таким чином, загалом тіло матиме 32 вершини (знову ж таки двох видів). Приховані внутрішні п'ятикутники більше не будуть частинами многогранної поверхні, і можуть зникнути. Тепер [[Характеристика Ейлера|Ейлерова характеристика]] містить: 60&nbsp;— 90 + 32 = 2. Але цей новий многогранник вже не описується [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]] {5/2, 5}, і тому не є тілом Кеплера&nbsp;— Пуансо, хоча виглядає, як одне з них<ref name="Dodecahedron"/>.

=== Характеристика Ейлера χ ===
Тіла Кеплера&nbsp;— Пуансо покривають площу описаних навколо них сфер більше одного разу, при цьому центри граней виступають точками перегину на поверхнях, які мають п'ятикутні грані, і вершинами&nbsp;— на інших поверхнях. Тому тіла Кеплера&nbsp;— Пуансо не обов'язково топологічно еквівалентні сфері, на відміну від платонових тіл, і, зокрема, [[характеристика Ейлера]]

: <math>\chi=V-E+F=2\ </math>

для них не завжди має місце. [[Людвіг Шлефлі|Шлефлі]] встановив, що всі многогранники повинні мати χ = 2, і вважав, що малий зірчастий додекаедр і великий додекаедр не є правильними многогранниками{{Sfn|Schläfli|1901}}. Ця точка зору не була поширеною.

Модифікована форма формули Ейлера, виведена [[Артур Кейлі|Артуром Келі]]<ref name="history"/>, справедлива як для опуклих многогранників, так і для тіл Кеплера&nbsp;— Пуансо, виглядає так:

: <math>d_v V - E + d_f F = 2D.</math>.

=== Двоїстість ===
Тіла Кеплера&nbsp;— Пуансо існують у двоїстих (дуальних) парах<ref>{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/DualPolyhedron.html |title=Dual Polyhedron |accessdate=2 листопада 2020 |archive-date=30 жовтня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201030024748/https://mathworld.wolfram.com/DualPolyhedron.html }}</ref>:

* [[Малий зірчастий додекаедр]]&nbsp;— [[великий додекаедр]]
* [[Великий зірчастий додекаедр]]&nbsp;— [[великий ікосаедр]].

=== Зведена таблиця властивостей ===
Властивості тіл Кеплера-Пуансо наведено в наступній таблиці<ref>{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/Kepler-PoinsotSolid.html |title=Kepler-Poinsot Solid |accessdate=2 листопада 2020 |archive-date=21 січня 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210121214455/https://mathworld.wolfram.com/Kepler-PoinsotSolid.html }}</ref>:
{| class="wikitable"
!Назва
!Зображення
!Сферична проєкція
!Діаграма<br/>[[Зірчастий многогранник|зірчастого многогранника]]
![[Символ Шлефлі]]<br/>{p, q}
!Грані<br/>{p}
!Ребра
!Вершини
![[Характеристика Ейлера|χ]]
!Щільність
![[Групи симетрії]]
![[Дуальний многогранник|Двоїстий многогранник]]
|- bgcolor="#ffe0e0" align="center"
|[[Малий зірчастий додекаедр]]<br/><br/><br/><br/>
|[[Файл:Small_stellated_dodecahedron.png|84x84пкс]]
|[[Файл:Small_stellated_dodecahedron_tiling.png|80x80пкс]]
|[[Файл:First_stellation_of_dodecahedron_facets.svg|80x80пкс]]
|{5/2,5}
|12<br/>{5/2}<br/>[[Файл:Pentagram.svg|30x30пкс]]
|30
|12<br/>{5}<br/>[[Файл:Pentagon.svg|30x30пкс]]
| -6
|3
|I<sub>h</sub>
|Великий додекаедр
|- bgcolor="#e0e0ff" align="center"
|[[Великий додекаедр]]<br/><br/><br/><br/>
|[[Файл:Great_dodecahedron.png|85x85пкс]]
|[[Файл:Great_dodecahedron_tiling.png|80x80пкс]]
|[[Файл:Second_stellation_of_dodecahedron_facets.svg|80x80пкс]]
|{5,5/2}
|12<br/>{5}<br/>[[Файл:Pentagon.svg|30x30пкс]]
|30
|12<br/>{5/2}<br/>[[Файл:Pentagram.svg|30x30пкс]]
| -6
|3
|I<sub>h</sub>
|Малий зірчастий додекаедр
|- bgcolor="#ffe0e0" align="center"
|[[Великий зірчастий додекаедр]]<br/><br/><br/><br/>
|[[Файл:Great_stellated_dodecahedron.png|80x80пкс]]
|[[Файл:Great_stellated_dodecahedron_tiling.png|80x80пкс]]
|[[Файл:Third_stellation_of_dodecahedron_facets.svg|80x80пкс]]
|{5/2,3}
|12<br/>{5/2}<br/>[[Файл:Pentagram.svg|30x30пкс]]
|30
|20<br/>{3}<br/>[[Файл:Triangle.Equilateral.svg|30x30пкс]]
|2
|7
|I<sub>h</sub>
|Великий ікосаедр
|- bgcolor="#e0e0ff" align="center"
|[[Великий ікосаедр]]<br/><br/><br/><br/>
|[[Файл:Great_icosahedron.png|85x85пкс]]
|[[Файл:Great icosahedron tiling.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:Sixteenth_stellation_of_icosahedron_facets.png|80x80пкс]]
|{3,5/2}
|20<br/>{3}<br/>[[Файл:Triangle.Equilateral.svg|30x30пкс]]
|30
|12<br/>{5/2}<br/>[[Файл:Pentagram.svg|30x30пкс]]
|2
|7
|I<sub>h</sub>
|Великий зірчастий додекаедр
|}

== Відношення між правильними многогранниками ==
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!Мають однакове розташування [[Вершина (геометрія)|вершин]]:
!Мають одні і ті ж<br/>вершини і [[Ребро (геометрія)|ребра]]:
|-
|[[Файл:Icosahedron.png|125x125пкс]][[Файл:Small_stellated_dodecahedron.png|127x127пкс]][[Файл:Great_icosahedron.png|128x128пкс]][[Файл:Great_dodecahedron.png|127x127пкс]]<br/> [[Ікосаедр]], [[малий зірчастий додекаедр]], [[великий ікосаедр]] і [[великий додекаедр]].
|[[Файл:Small_stellated_dodecahedron.png|127x127пкс]][[Файл:Great_icosahedron.png|128x128пкс]]<br/> [[Малий зірчастий додекаедр]] і [[великий ікосаедр]].
|-
|[[Файл:Dodecahedron.png|120x120пкс]][[Файл:Great_stellated_dodecahedron.png|120x120пкс]]<br/> [[Дванадцятигранник|Додекаедр]] і [[великий зірчастий додекаедр]].
|[[Файл:Icosahedron.png|125x125пкс]][[Файл:Great_dodecahedron.png|127x127пкс]]<br/> [[Ікосаедр]] і [[великий додекаедр]].
|}
Малий зірчастий додекаедр і великий ікосаедр мають одні і ті ж вершини і ребра. Ікосаедр і великий додекаедр також мають одні і ті ж вершини і ребра.

Всі три додекаедри є [[Зірчастий многогранник|зірчастими]] правильними опуклими додекаедрами, великий ікосаедр є зірчастим правильним опуклим ікосаедром<ref>{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/GreatIcosahedron.html |title=Great Icosahedron |accessdate=2 листопада 2020 |archive-date=11 листопада 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201111130000/https://mathworld.wolfram.com/GreatIcosahedron.html }}</ref>.

Якщо при перетині виникають нові ребра і вершини, отримані многогранники не будуть [[Правильний многогранник|правильними]], але їх ще можна вважати [[Зірчастий многогранник|зірчастими]].

== У масовій культурі й мистецтві ==
[[Файл:Alexander's_Star.jpg|праворуч|міні|100x100пкс|Зірка Александера]]
У [[XX століття|XX столітті]] відомий представник [[Імп-арт|імп-арту]] [[Мауріц Корнеліс Ешер|Мауріц Ешер]] у своїй творчості нерідко звертався до сюжетів, заснованих на сприйнятті різних багатовимірних фігур; зокрема, його літографія {{Iw|Гравітація (Ешер)|Гравітація|en|Gravitation (M. C. Escher)}} зображує малий зірчастий додекаедр{{Sfn|Эшер|2009}}.

В основу [[Перестановкові головоломки|перестановкової головоломки]] 1980-х років&nbsp;— [[Зірка Александера|зірки Александера]]&nbsp;— покладено великий додекаедр<ref>{{Cite web |url=http://www.jaapsch.net/puzzles/alexandr.htm |title=Alexander's Star |accessdate=2 листопада 2020 |archive-date=5 березня 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210305162629/https://www.jaapsch.net/puzzles/alexandr.htm }}</ref>.

== Див. також ==
* [[Однорідний зірчастий многогранник]]
* [[Правильні багатовимірні многогранники]]
* [[Сферичний многогранник]]

== Примітки ==
{{Reflist|3}}

== Література ==
* {{Книга
|автор = [[Маґнус Веннінґер|М. Веннинджер]]&nbsp;
|заголовок = Модели многогранников
|посилання = 
|місце = М.
|видавництво = Мир
|рік = 1974
|сторінок = 236
|ref = Веннинджер
}}
* {{Книга
|автор = [[Мауріц Корнеліс Ешер|Эшер М.К]]
|заголовок = Графика
|відповідальний = 
|посилання = 
|місце = М.
|видавництво = Арт-Родник, Taschen
|рік = 2009
|том = 
|сторінок = 96
|сторінки = 
|ISBN = 978-5-404-00053-5
|ref = Эшер
}}
* {{Книга
|автор = J. Bertrand
|рік = 1858
|тираж = 
|ISBN = 
|серія = 
|allpages = 
|columns = 
|pages = 79-82, 117
|том = 46
|видавництво = 
|частина = 
|місце = 
|видання = 
|відповідальний = 
|посилання = 
|оригінал = 
|заголовок = Note sur la théorie des polyèdres réguliers
|посилання частина = 
|ref = Bertrand
}}
* {{Книга
|автор = [[Оґюстен-Луї Коші|Augustin Louis Cauchy]]
|рік = 1813
|тираж = 
|ISBN = 
|серія = 
|allpages = 
|columns = 
|pages = 68-86
|том = 
|видавництво = 
|частина = 
|місце = 
|видання = J. de l'École Polytechnique 9
|відповідальний = 
|посилання = 
|оригінал = 
|заголовок = Recherches sur les polyèdres
|посилання частина = 
|ref = Cauchy
}}
* {{Книга
|автор = [[Артур Кейлі|Arthur Cayley]]
|рік = 1859
|тираж = 
|ISBN = 
|серія = 
|allpages = 
|columns = 
|pages = 123—127 и 209
|том = 17
|видавництво = 
|частина = 
|місце = 
|видання = Philos. Mag.
|відповідальний = 
|посилання = 
|оригінал = 
|заголовок = On Poinsot’s Four New Regular Solids
|посилання частина = 
|ref = Cayley
}}
* {{Книга
|автор = [[Джон Конвей|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss
|рік = 2008
|тираж = 
|ISBN = 978-1-56881-220-5
|серія = 
|allpages = 
|columns = 
|pages = 404—408
|том = 
|видавництво = 
|частина = Chapter 24, Regular Star-polytopes
|місце = 
|видання = 
|відповідальний = 
|посилання = 
|оригінал = 
|заголовок = The Symmetry of Things
|посилання частина = 
|ref = Conway, Burgiel, Goodman-Strauss
}}
* {{Книга
|автор = [[Гарольд Коксетер|H.S.M. Coxeter]]
|рік = 1995
|тираж = 
|ISBN = 978-0-471-01003-6
|серія = 
|allpages = 
|columns = 
|pages = 
|том = 
|видавництво = Wiley-Interscience Publication
|частина = (Paper 1), ''The Nine Regular Solids'' [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252—264, MR 8, 482]
|місце = 
|видання = 
|відповідальний = edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss
|посилання = 
|оригінал = 
|заголовок = Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter
|посилання частина = http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html
|ref = Coxeter1
}}
* {{Книга
|автор = [[Гарольд Коксетер|H.S.M. Coxeter]]
|рік = 1995
|тираж = 
|ISBN = 978-0-471-01003-6
|серія = 
|allpages = 
|columns = 
|pages = 
|том = 
|видавництво = Wiley-Interscience Publication
|частина = (Paper 10), ''Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ)'' [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36]
|місце = 
|видання = 
|відповідальний = edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss
|посилання = 
|оригінал = 
|заголовок = Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter
|посилання частина = http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html
|ref = Coxeter2
}}
* {{Книга
|автор = P. Cromwell
|рік = 1997
|тираж = 
|ISBN = 
|серія = 
|allpages = 
|columns = 
|pages = 
|том = 
|видавництво = Cabridgre University Press, Hbk.
|частина = 
|місце = 
|видання = 
|відповідальний = 
|посилання = 
|оригінал = 
|заголовок = Polyhedra
|посилання частина = 
|ref = 
}}
* {{Книга
|автор = Field, J. V.
|рік = 1984
|тираж = 
|ISBN = 
|серія = 
|allpages = 
|columns = 
|pages = 207—219
|том = 31, No. 3
|видавництво = 
|частина = 
|місце = 
|видання = Archive for History of Exact Sciences
|відповідальний = 
|посилання = 
|оригінал = 
|заголовок = A Lutheran astrologer: Johannes Kepler
|посилання частина = 
|ref = Field
}}
* {{Книга
|автор = Theoni Pappas
|рік = 1989
|тираж = 
|ISBN = 
|серія = 
|allpages = 
|columns = 
|pages = 113
|том = 
|видавництво = Wide World Publ./Tetra
|частина = 
|місце = San Carlos, CA
|видання = 
|відповідальний = 
|посилання = 
|оригінал = 
|заголовок = (The Kepler-Poinsot Solids) ''The Joy of Mathematics''
|посилання частина = 
|ref = 
}}
* {{Книга
|автор = [[Луї Пуансо|Louis Poinsot]]
|рік = 1810
|тираж = 
|ISBN = 
|серія = 
|allpages = 
|columns = 
|pages = 16-48
|том = 9
|видавництво = 
|частина = 
|місце = 
|видання = J. de l'École Polytechnique
|відповідальний = 
|посилання = 
|оригінал = 
|заголовок = Memoire sur les polygones et polyèdres
|посилання частина = 
|ref = Poinsot
}}
* {{Книга
|автор = [[Імре Лакатош|Lakatos, Imre]]
|рік = 1976
|тираж = 
|ISBN = 
|серія = 
|allpages = 
|columns = 
|pages = 
|том = 
|видавництво = Cambridge University Press
|частина = 
|місце = 
|видання = 
|відповідальний = 
|посилання = 
|оригінал = 
|заголовок = Proofs and Refutations
|посилання частина = 
|ref = Lakatos
}}
* {{Книга
|автор = [[Людвіг Шлефлі|Schläfli, Ludwig]]
|рік = 1901
|тираж = 
|ISBN = 978-1-4297-0481-6
|серія = 
|allpages = 
|columns = 
|pages = 
|том = 
|видавництво = Georg & Co.
|частина = 
|місце = Zürich, Basel
|видання = Republished by Cornell University Library historical math monographs 2010
|відповідальний = editor J. H.Graf
|посилання = https://books.google.com/books?id=foIUAQAAMAAJ
|оригінал = 
|заголовок = Theorie der vielfachen Kontinuität
|посилання частина = 
|ref = Schläfli
|назва = 
|archivedate = 6 листопада 2021
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20211106192712/https://books.google.com/books?id=foIUAQAAMAAJ
}}
* {{Книга
|автор = Wenninger, Magnus
|рік = 1983
|тираж = 
|ISBN = 0-521-54325-8
|серія = 
|allpages = 
|columns = 
|pages = 39-41
|том = 
|видавництво = Cambridge University Press
|частина = 
|місце = 
|видання = 
|відповідальний = 
|посилання = 
|оригінал = 
|заголовок = Dual Models
|посилання частина = 
|ref = Wenninger
}}

== Посилання ==
* {{Cite web|url=http://www.software3d.com/Kepler.php|title=Paper models of Kepler-Poinsot polyhedra|last=|date=|website=|publisher=|accessdate=2015-11-20|language=en|archive-date=23 жовтня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201023083648/https://www.software3d.com/Kepler.php}}
* {{Cite web|url=http://www.korthalsaltes.com/cuadros.php?type=k|title=Free paper models (nets) of Kepler-Poinsot polyhedra|last=|date=|website=|publisher=|accessdate=2015-11-20|language=en|archive-date=25 квітня 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20180425040657/http://www.korthalsaltes.com/cuadros.php?type=k}}
* {{Cite web|url=http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/|title=The Uniform Polyhedra|last=|date=|website=|publisher=|accessdate=2015-11-20|language=en|archive-date=11 лютого 2008|archive-url=https://web.archive.org/web/20080211233246/http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/}}
* {{Cite web|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/kepler-poinsot-info.html|title=VRML models of the Kepler-Poinsot polyhedra|last=|date=|website=|publisher=|accessdate=2015-11-20|language=en|archive-date=6 листопада 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201106232654/http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/kepler-poinsot-info.html}}
* {{Cite web|url=http://www.steelpillow.com/polyhedra/StelFacet/history.html|title=Stellation and facetting — a brief history|last=|date=|website=|publisher=|accessdate=2015-11-20|language=en|archive-date=4 березня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304214440/http://www.steelpillow.com/polyhedra/StelFacet/history.html}}
* {{Cite web|url=http://www.software3d.com/Stella.php|title=Stella: Polyhedron Navigator|last=|date=|website=|publisher=|accessdate=2015-11-20|language=en|archive-date=9 липня 2010|archive-url=https://web.archive.org/web/20100709173803/http://www.software3d.com/Stella.php}}
{{Багатогранники}}
{{Йоганн Кеплер}}
[[Категорія:Многогранники Кеплера — Пуансо]]