Перегляд вихідного коду сторінки Тіла обертання

[[Файл:Rotationskoerper animation.gif|thumb|right|Утворення поверхні обертання]]
'''Тіла́ оберта́ння'''&nbsp;— об'ємні тіла, що виникають при обертанні плоскої фігури, обмеженої кривою, навколо осі, що лежить в тій же площині.

== Приклади тіл обертання ==
* [[Куля]]&nbsp;— тривимірна фігура, утворена півколом, що обертається навколо діаметра розрізу
* [[Циліндр]]&nbsp;— тривимірна фігура, утворена прямокутником, що обертається навколо однієї із сторін
За площу бічної поверхні циліндра приймається площа її розгортки:
:''S<sub>біч</sub> = 2πrh''.
* [[Конус]]&nbsp;— тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів
За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки:
:''S<sub>біч</sub> = πrl''.
Площа повної поверхні конуса:
:''S<sub>біч</sub> = πr(l+ r)''.
* [[Тор (геометрія)|Тор]]&nbsp;— тривимірна фігура, утворена колом, що обертається навколо прямої, яка не перетинає його <ref>Математика. Энциклопедия для детей том 11-й ISBN 5-94623-072-7</ref>


При обертанні контурів фігур виникає поверхня обертання (наприклад, [[сфера]], утворена [[коло]]м), в той час як при обертанні заповнених контурів виникають тіла (як куля, утворена [[круг]]ом).
[[Файл:Pappus.jpg|thumb|Ілюстрація до першої теореми Гульдіна-Паппа]]
[[Файл:Pappus1.png|thumb|Ілюстрація до другої теореми Гульдіна-Паппа]]

== [[Об'єм]] і [[площа]] поверхні тіл обертання ==
Об'єм і площа поверхні тіл обертання можна дізнатися за допомогою [[Теореми Паппа — Гульдіна|теорем Гульдіна-Паппа]].
* Перша теорема Гульдіна-Паппа стверджує:
{{рамка}}
''Площа поверхні, утвореної при обертанні лінії, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку довжини лінії s на довжину кола l = 2πr<sub>s</sub>, яке пробігає центр мас (т.С) цієї лінії''.
{{/рамка}}
Наприклад, для [[Тор (геометрія)|тора]] радіусом <math>R</math> i з радіусом кола <math>r</math>, довжина лінії <math>s = 2 \pi r</math>, довжина кола для центру мас <math>l = 2 \pi R</math>, звідки площа поверхні тора <math>s \cdot l = 4 \pi^2 r R</math>.

* Друга теорема Гульдіна-Паппа стверджує:
{{рамка}}
''Об'єм тіла, утвореного при обертанні фігури, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку площі А фігури на довжину кола l = 2πR<sub>s</sub>, яке пробігає центр мас (т.C<sub>A</sub>) цієї фігури''.
{{/рамка}}
Наприклад, для [[Тор (геометрія)|тора]] радіусом <math>R</math> i з радіусом кола <math>r</math>, площа кола <math>A = \pi r^2</math>, довжина кола обертання центру мас <math>l = 2 \pi R</math>, звідси об'єм тора <math>A \cdot l = 2 \pi^2 r^2 R</math>


== Див. також ==
{{Портал|Математика}}

* [[Поверхня обертання]]
* [[Фігури обертання]]

== Примітки ==
{{reflist|2}}
</div>

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* [http://www.didkow.ds8.ru/drmfiles/Integral_C2.pdf Практикум з інтегрального числення: Частина ІІ. Визначений інтеграл] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160929051207/http://didkow.ds8.ru/drmfiles/Integral_C2.pdf |date=29 вересня 2016 }} / Укл.: ''Р.&nbsp;М.&nbsp;Дідковський, В.&nbsp;В.&nbsp;Сисоєнко, В.&nbsp;О.&nbsp;Щерба.'' — Черкаси: ЧДТУ, 2005. – 66 с. ISBN 966-7533-76-X ISBN 966-7533-99-9
* ''Дутчак Б.&nbsp;І., Михальчук Р.&nbsp;І., Матвіїв Ю.&nbsp;Я.'' [https://web.archive.org/web/20121219030618/http://lib.lntu.info/books/knit/vm/2010/10-085/index.html Електронний навчальний посібник з дисципліни: «Вища математика». Розділ "Визначений інтеграл» (курс лекцій)]. — Луцьк: ЛНТУ, 2008. (електронний навчальний ресурс)
== Посилання == 
* {{ТС_Буд|частина=Тіла обертання|сторінки =193}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Обчислення об’єму тіл обертання|сторінки=432}}

{{math-stub}}

[[Категорія:Геометричні тіла]]