Перегляд вихідного коду сторінки Трійкова система числення

{{Системи числення}}
'''Трійкова система числення'''&nbsp;— [[позиційна система числення]] з [[Ціле число | цілочисленною]] основою, рівною 3.
За аналогією з a [[біт]]ом, трійковою [[цифри|цифрою]] є '''трит''' ({{lang-en|'''tr'''inary dig'''it'''}}). Один трит містить <math>\log_2 3\approx 1.58496</math> біт інформації. '''Трійкова система числення''' використовується в [[Трійковий комп'ютер|трійковому комп'ютері]].

Існує в двох варіантах: несиметрична і симетрична.

== Трійкові цифри == 
У несиметричній трійковій системі числення частіше застосовуються [[цифри]] {0,1,2}, а в трійковій симетричній системі числення знаки {-, 0, +}, {-1,0, +1}, {{{overline | 1}}, 0,1}, {<u>1</u>, 0,1}, {i, 0,1}, {N, O, P}, {N, Z, P} і цифри { 2,0,1}, {7,0,1}. Трійкові цифри можна позначати будь-якими трьома [[знак]]ами {A, B, C}, але при цьому додатково потрібно вказати старшинство знаків, наприклад, C>B, B>A. 

== Фізичні реалізації ==
У цифровій [[електроніка | електроніці]], незалежно від варіанту трійкової системи числення, одному трійковому розряду в трійковій системі числення відповідає один трійковий тригер як мінімум на трьох [[інвертор]]ах з логікою на вході або два двійкових тригера як мінімум на чотирьох інверторах з логікою на вході.

=== Трайт ===

Деякі [[Трійковий комп'ютер|трійкові комп'ютери]], такі як «[[Сетунь (комп'ютер)|Сетунь]]», використовують '''трайт''' який дорівнює 6 тритів, аналогічно двійковому [[байт]]у.<ref>{{Cite web
|last = Бруснєцов
|first = М. П.
|last2 = Маслов
|first2 = С. П.
|last3 = Ramil Alvarez
|first3 = J.
|last4 = Zhogolev
|first4 = E.A.
|title = Development of ternary computers at Moscow State University
|url = http://www.computer-museum.ru/english/setun.htm
|accessdate = 20 січня 2010
|archive-date = 5 травня 2010
|archive-url = https://web.archive.org/web/20100505062923/http://www.computer-museum.ru/english/setun.htm
}}</ref>

== Представлення чисел в трійкових системах числення == 

=== Несиметрична трійкова система числення === 
Прикладом подання чисел у несиметричній трійковій системі числення може служити запис в цій системі цілих додатних чисел: 

{|class = "wikitable" width = "40%" style = "text-align: right;" 
|- 
! width = "30%" align = "center" | Десяткове число 
| Width = "5%" | 0 
| Width = "5%" | 1 
| Width = "5%" | 2 
| Width = "5%" | 3 
| Width = "5%" | 4 
| Width = "5%" | 5 
| Width = "5%" | 6 
| Width = "5%" | 7 
| Width = "5%" | 8 
| Width = "5%" | 9 
| Width = "5%" | 10 
|- 
! align="center" | Трійкове число 
| 0 || 1 || 2 || 10 || 11 || 12 || 20 || 21 || 22 || 100 || 101 
|- 
|} 
Якщо в [[Десяткова система числення|десятковій системі числення]] є 10 цифр і вага сусідніх розрядів різниться в 10 разів (розряд одиниць, розряд десятків, розряд сотень), то в трійковій системі використовуються тільки три цифри і ваги сусідніх розрядів різняться втричі (розряд одиниць, розряд трійок, розряд дев'яток, ...). Цифра 1, написана першою лівіше коми, позначає одиницю; ця ж цифра, написана другою лівіше коми, позначає трійку і т. д. 

Несиметрична трійкова система числення є окремим випадком спарених (комбінованих) показових позиційних систем числення, в якій a<sub> k </sub> - з трійкової множини a = {0,1,2}, b = 3, ваги розрядів рівні 3<sup>k</sup>. 

==== Показникові системи числення ====
У показникових позиційних трійкових системах числення використовуються дві системи:
# Внутрішньорозрядна система кодування з основою '''З''', числа якої використовуються для запису цифр.
# Приписна міжрозрядна система числення з основою '''b'''.

Ціле число в показниковій позиційній системі числення представляється у вигляді суми добутків значень в розрядах (цифр):

* '''K'''&nbsp;— число від '''0 '''до ''' n-1''', номер [[розряд|числового розряду]],
* '''N'''&nbsp;— число розрядів,
* '''З'''&nbsp;— основа системи кодування, '''3''' дорівнює розмірностімножини a = {0,1, …, c-1} з якого беруться цифри a<sub> k </sub>,
* '''A<sub>k </sub>'''&nbsp;— цілі числа з множини '''a''', назваються цифрами,
* '''B'''&nbsp;— число, основа міжрозрядної показниковою вагової функції,
* '''B<sup>k </sup>'''&nbsp;— числа міжрозрядної функції, вагові коефіцієнти розрядів.

Кожен добуток<math> </math>в такого запису називається (a, b)-им розрядом.

При '''c = b''' утворюються '''(b, b)'''-ві системи числення з добутком&nbsp;— '''a<sub> k</sub> b<sup> k </sup> '''і сумою&nbsp;— <math>\sum_ {k = 0}^{n-1} a_k b^k </math>, які при''' b = 3 '''перетворюються на звичайну''' (3,3) '''-ву (трійкову) систему числення. При запису перший індекс часто опускається, іноді, коли є згадка в тексті, опускається і другий індекс.

Ваговий коефіцієнт розряду&nbsp;— '''b<sup> k </sup>'''&nbsp;— приписної і, в загальному випадку, може бути необов'язково [[показникова функція|показниковою функцією]] від номера розряду&nbsp;— '''k''' , і необов'язково степенем числа '''3 '''. Множина значень '''a<sub> k </sub>''' більш обмежена і більше пов'язана з апаратною частиною&nbsp;— числом стійких станів [[тригер]]ів чи числом станів групи тригерів в одному розряді [[регістр]]а. У загальному випадку, '''a<sub> k </sub>''' можуть бути теж необов'язково з трійкової множини a = {0,1,2}, але, щоб спарені системи були трійковими, як мінімум, одна з двох систем повинна бути трійковою. '''A<sub> k </sub>'''-ті ближче до апаратної частини і по '''a<sub> k </sub>'''-тим з множини a = {0,1,2 } або з множини a = {-1,0, +1}, визначається система кодування: несиметрична трійкова або симетрична трійкова.

==== Показникові трійкові системи числення ==== 

Ціле число в показниковій позиційній трійковій системі записують у вигляді послідовності його цифр (рядки цифр), що перераховуються зліва направо по спаданню старшинства розрядів: 
: <math> X_ {a, b} = (a_ {n-1} a_ {n-2}\dots a_0) _ {a, b}. </math> 
У показникових системах числення значенню розрядів приписуються вагові коефіцієнти <math> b^k </math>, в записі вони опускаються, але мається на увазі, що k-ий розряд справа наліво має ваговий коефіцієнт рівний <math> b^k </math>. 

З [[Комбінаторика | комбінаторики]] відомо, що кількість записуваних кодів дорівнює числу [[Розміщення # Розміщення з повтореннями|розміщень з повтореннями]]:

<math>\bar {A} (a, n) =\bar {A} _a^n = a^n = 3^n </math>, де '''A = 3''' - 3-х елементна множина '''a = {0,1,2}''' з якої беруться цифри '''a<sub> k </sub>''',  '''n''' - число елементів (цифр) в числі '''x<sub> 3, b </sub>'''. 

Кількість записуваних кодів не залежить від основи [[показникова функція|показникової функції]] - '''b''', яке визначає діапазон представляються числами '''x <sub> 3, b </sub>''' величин. 

Дробове число записується і представляється у вигляді: 
: <math> X_ {a, b} = (a_ {n-1} a_ {n-2}\dots a_ {1} a_ {0}, a_ {-1} a_ {-2}\dots a_ {- (m-1)} a_ {-m}) _ {a, b} =\sum_ {k =-m}^{n-1} a_k b^k </math>, де m - число розрядів дробової частини числа праворуч від коми, 

* при m = 0 дробова частина відсутня, число - ціле;
* при a<sub>k </sub> з трійкової множини a = {0,1,2} і b = 1 утворюється непозиційна трійков система числення з однаковими ваговими коефіцієнтами всіх розрядів рівними 1<sup>k </sup> = 1;
* при a<sub>k </sub> з двійкової множини a = {0,1} і b = 3 в сумі будуть тільки цілі степені - 3<sup>k </sup>;
* при a<sub>k </sub> з трійкової множини a = {0,1,2} і b = 3 в сумі будуть цілі і подвоєні степені 3, система числення стає звичайною несиметричною трійковою системою числення, a<sub> k </sub> задовольняють нерівності <math> 0\leqslant a_k\leqslant (b-1) <b </math>, тобто <math> 0\leqslant a_k\leqslant2 <3 </math>;
* при a<sub>k </sub> з десяткової множини a = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} і b = 3 в сумі будуть цілі степені 3 помножені на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9. 

У деяких випадках цього може виявитися недостатньо, в таких випадках можна застосувати зтроєні (комтринування), зчетверені та інші системи числення. 

==== Трійкова системи числення з додатковим співмножником ==== 
У показникових позиційних трійкових системах числення у вагу розряду можна ввести додатковий співмножник. Наприклад, співмножник (b/с): <br/> 
: <math> X_ {a, b, c} = (a_ {n-1} a_ {n-2}\dots a_ {1} a_ {0}, a_ {-1} a_ {-2}\dots a_ {- (m-1)} a_ {-m}) _ {a, b, c} =\sum_ {k =-m}^{n-1} a_k b^k (b/c) </math> 
У загальному випадку c ≠ 3. <br/>При a <sub> k </sub> з a = {0,1,2}, b = 3 і c = 3 утворюється звичайна несиметрична трійкова система числення. При a = 2, b = 3 і c = 2 утворюється (2,3,2)-кова система числення з додатковим нецілочисельним ваговим коефіцієнтом у добутку рівному (3/c) = (3/2) = 1,5.
При інших значеннях a, b і c утворюються інші показові позиційні системи числення з додатковим співмножником (b/c), число яких нескінченне. Можливі нескінченні множини та інших складових систем числення. 

== Кодування трійкових цифр ==
Одна трійкова цифра може кодуватися різними способами.

=== Трирівневі системи кодування ===

==== Трирівневе кодування трійчастих цифр (3-Level Coded Ternary, 3LCT, «однопровідне») ====

Число трирівневих систем кодування трійкових цифр дорівнює числу [[перестановка | перестановок]]: 
: <math> P_3 = A_3^3 =\frac{3!} {(3-3)!} =\frac{3!} {0!} = 3! = 6, </math> з них одна 
* симетрична {-1, 0, +1} (+U - (+1); 0 - (0); -U - (-1)),
* зсунута на +1 {0, 1, 2}
* зсунута на +2 {1, 2, 3}

=== Дворівневі системи кодування ===
==== Двобітне двійкове кодування ====
Також називається «двопровідне»{{джерело}}, {{lang-en|2-Bit BinaryCodedTernary, 2B BCT representation}}.
===== З використанням 3-х кодів з 4-х можливих<ref>{{cite web
|url = http://314159.ru/kushnerov/kushnerov1.pdf
|author = 
|title = Троичная цифровая техника. Ретроспектива и современность
|accessdate = 19 січня 2014
|archive-date = 7 жовтня 2013
|archive-url = https://web.archive.org/web/20131007183357/http://314159.ru/kushnerov/kushnerov1.pdf
}}</ref> =====

Число можливих 2B BCT систем кодування трійкових цифр дорівнює числу сполук без повторення: 
: <math> {N\choose k} = C_n^k =\frac{n!} {K!\left(nk\right)!} = {4\choose 3} =\frac{4!} {3!\left(4-3\right)!} = 4, </math> помноженому на число [[перестановка | перестановок]] в кожному наборі з 3-х чисел: 
: <math> P_3 = A_3^3 =\frac{3!} {(3-3)!} =\frac{3!} {0!} = 3! = 6, </math> тобто 4 * 6 = 24. 
Ось деякі з них:

Перший варіант:
<ref name=bct>{{cite web
|url = http://www.dcs.gla.ac.uk/~simon/teaching/CS1Q-students/systems/tutorials/tut3sol.pdf
|title = BCT: Binary Coded Ternary
|author = Simon Gay
|deadurl = no
|language = en
|accessdate = 29 липня 2019
|archive-date = 21 січня 2022
|archive-url = https://web.archive.org/web/20220121041516/http://www.dcs.gla.ac.uk/~simon/teaching/CS1Q-students/systems/tutorials/tut3sol.pdf
}}</ref>
* (1,0) - 2;
* (0,1) - 1;
* (0,0) - 0.

Другий варіант:
* (1,1) - 2;
* (0,1) - 1;
* (0,0) - 0.

===== З використанням всіх 4-х кодів з 4-х можливих (два з 4-х кодів кодують одну і ту ж саму трійкову цифру) =====
Ось одна з них{{джерело}}:
* (0,0) - «0»
* (1,1) - «0»
* (0,1) - «-1»
* (1,0) - «+1»

==== Трьохбітне двійкове кодування ====
Також відоме як «трипровідне»{{джерело}}, {{lang-en|3-Bit BinaryCodedTernary, 3B BCT representation}}. Використовуються три коди з 8-ми можливих.

Число можливих 3B BCT систем кодування трійкових цифр дорівнює числу  сполук без повторення: 
: <math> {N\choose k} = C_n^k =\frac{n!} {K!\left(nk\right)!} = {8\choose 3} =\frac{8!} {3!\left(8-3\right)!} = 54, </math>
помноженому на число [[перестановка | перестановок]] в кожному наборі з 3-х чисел: 
: <math> P_3 = A_3^3 =\frac{3!} {(3-3)!} =\frac{3!} {0!} = 3! = 6, </math> тобто 54 * 6 = 324. 
Ось деякі з них:

Перший варіант:
* (1,0,0) - 2;
* (0,1,0) - 1;
* (0,0,1) - 0.

Другий варіант:
* (0,1,1) - 2;
* (1,0,1) - 1;
* (1,1,0) - 0.

Третій варіант:
* (1,1,1) - 2;
* (0,1,1) - 1;
* (0,0,1) - 0.

Четвертий варіант:
* (0,0,0) - 2;
* (1,0,0) - 1;
* (1,1,0) - 0.

=== Порівняння з двійковою системою числення === 
При порозрядному порівнянні трійкова система числення виявляється більш ємною, ніж [[двійкова система числення]]. 

При дев'яти розрядах двійковий код має ємність {{math|2<sup>9</sup> {{=}} 512}} чисел, а трійковий код має ємність {{math|3<sup>9</sup> {{=}} 19683}} числа, тобто в {{math|3<sup>9</sup>/2<sup>9</sup> {{=}} 38,4}} рази більше. 

При двадцяти семи розрядах двійковий код має ємність {{math|2<sup>27</sup> {{=}} 134 217 728}} чисел, а трійковий код має ємність {{math|3<sup>27</sup> {{=}} 7 625 597 484 987}} чисел, тобто в {{math|3<sup>27</sup>/2<sup>27</sup> {{=}} 56 815,13}} разів більше.

При вісімдесяти одному розряді двійковий код має ємність {{math|2<sup>81</sup> {{=}} 2 417 851 693 229 258 349 412 352}} числа, а трійковий код&nbsp;— {{math|3<sup>81</sup> &asymp; 4,434&middot;10<sup>38</sup>}} чисел, тобто в {{math|3<sup>81</sup>/2<sup>81</sup> {{=}} 183 396 897 083 556,95}} разів більше.

=== Властивості === 

Трійкова позиційна показникова несиметрична система числення за витратами числа знаків (в трирозрядному десятковому числі 3 * 10 = 30 знаків) найбільш економічна з позиційних показникових несиметричних систем числення.<ref name="Fomin">{{книга-ру|автор=С. В. Фомин]] |заглавие=Системы счисления |серия=[[Популярные лекции по математике]] |год=1987 |место=М. |издательство=Наука |страниц=48 |ссылка=http://plm.mccme.ru/ann/a40.htm}} ([http://www.math.ru/lib/files/plm/v40.djvu альтернативная ссылка] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130602025214/http://www.math.ru/lib/files/plm/v40.djvu |date=2 червня 2013 }})</ref><ref name="Kushnerov">''А. Кушнеров'' [http://314159.ru/kushnerov/kushnerov1.pdf Троичная цифровая техника. Ретроспектива и современность.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131007183357/http://314159.ru/kushnerov/kushnerov1.pdf |date=7 жовтня 2013 }}</ref><ref>[http://trinary.ru/materials/04b1e68c-7add-426d-bed3-a0dab0ec452d  Экономичность систем счисления]{{Недоступне посилання|date=липень 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://misterkruger.narod.ru/math/base3rus.htm |title=Удивительное свойство троичной системы счисления |accessdate=19 січня 2014 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120111141145/http://misterkruger.narod.ru/math/base3rus.htm |archivedate=11 січня 2012 |deadurl=yes }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120111141145/http://misterkruger.narod.ru/math/base3rus.htm |date=2012-01-11 }}</ref><ref>О. А. Акулов, Н. В. Медведев. Информатика и вычислительная техника. 4-е изд. — М.: Омега-Л, 2007. (Раздел I, Гл.3.3)</ref> А. Кушнеров<ref name="Kushnerov"/> приписує цю теорему [[Джон фон Нейман | Джону фон Нейману]].

=== Переклад цілих чисел з десяткової системи числення в трійкову === 
Для перекладу ціле десяткове число ділять (цілочисельне ділення) на 3 доти, поки частка більше нуля. Остачі, записані зліва направо від останнього до першого є цілим несиметричним потрійним еквівалентом цілого десяткового числа. <ref>Http://algolist.manual.ru/maths/teornum/count_sys.php {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220331221645/http://algolist.manual.ru/maths/teornum/count_sys.php |date=31 березня 2022 }} Переклад з системи з більшою підставою - в систему з меншим</ref> <br/>  Приклад: десяткове ціле число 48<sub>10,10 </sub> переведемо в несиметричне трійкове ціле число: <br/>  число = 48 <sub> 10,10 </sub> ділимо на 3, частка = 16, остача a<sub>0 </sub> = 0 <br/>  частка = 16 <sub> 10,10 </sub> ділимо на 3, частка = 5, остача a<sub>1 </sub> = 1 <br/>  частка = 5 <sub> 10,10 </sub> ділимо на 3, частка = 1, остача a<sub>2 </sub> = 2 <br/>  частка = 1 <sub> 10,10 </sub> ділимо на 3, частка = 0, остача a<sub>3 </sub> = 1 <br/>  Частка не більше нуля, ділення закінчено. <br/>  Тепер, записавши всі остачі від останнього до першого зліва направо, отримаємо результат 48<sub>10,10 </sub> = (a<sub>3 </sub> a<sub>2 </sub> a<sub>1 </sub> a<sub> 0 </sub>)<sub> 3,3 </sub> = 1210<sub>3,3 </sub>. 

== Таблиці додавання в трійкових системах числення == 

=== У трійковій несиметричній системі числення === 
З результатом в десятковій системі числення: 
{| Class = "wikitable" 
|- 
! 2 
| | 2 || 3 || 4 
|- 
! 1 
| | 1 || 2 || 3 
|- 
! 0 
| | 0 || 1 || 2 
|- 
! +!! 0!! 1!! 2 
|} 
З результатом у трійковій несиметричній системі числення: 
{| Class = "wikitable" 
|- 
! 2 
| | 02 || 10 || 11 
|- 
! 1 
| | 01 || 02 || 10 
|- 
! 0 
| | 00 || 01 || 02 
|- 
! +!! 0!! 1!! 2 
|} 

=== У трійковій симетричній системі числення === 
З результатом в десятковій системі числення: 
{| Class = "wikitable" 
|- 
! +1 
| | 0 || +1 || +2 
|- 
! 0 
| |-1 || 0 || +1 
|- 
! -1 
| |-2 ||-1 || 0 
|- 
! +!! -1!! 0!! +1 
|} 
З результатом у трійковій симетричній системі числення: 
{| Class = "wikitable" 
|- 
! +1 
| | 00 || 01 || 1i 
|- 
! 0 
| | 0i || 00 || 01 
|- 
! -1 
| | I1 || 0i || 00 
|- 
! +!! -1!! 0!! +1 
|} 

== Трійкова симетрична система числення == 
Позиційна [[ціле число | цілочисленна]] симетрична трійкова [[система числення]] була запропонована італійським математиком [[Фібоначчі]] (Леонардо Пізанський) (1170-1250) для вирішення «завдання про гирі». <ref>[http://www.goldenmuseum.com/1404Brusentsov_rus.html «Троичный принцип» Николая Брусенцова] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080611115248/http://www.goldenmuseum.com/1404Brusentsov_rus.html |date=11 червня 2008 }}.</ref> Задачу про найкращу систему гир розглядав [[Лука Пачолі]] (XV ст.). Окремий випадок цього завдання був опублікований в книзі французького математика Клода Баше де Мезіріака «Збірник цікавих завдань» у 1612 р. Російський переклад книги К. Г. Баше «Ігри та завдання, засновані на математиці» вийшов у Петербурзі в 1877 р. Пізніше цим завданням займався петербурзький академік [[Леонард Ейлер]], цікавився [[Менделєєв Дмитро Іванович|Д.І.Менделєєв]].<ref name="Gashkov">{{книга-ру|автор=С. Б. Гашков |часть=§ 11. Д. И. Менделеев и троичная система |заглавие=Системы счисления и их применение |серия=[[Библиотека «Математическое просвещение»]] |выпуск=29 |год=2004 |издательство=[[МЦНМО]] |место=М. |ссылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php#book-29 |назва=Архівована копія |archivedate=2014-01-12 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140112045039/http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php#book-29 }} В Google Chrome после нажатия на PDF(333Kb) нужно стронуть одну из боковых сторон рамки браузера.</ref><ref>[http://narod.yandex.ru/disk/3329687001/depman.djvu И. Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. Издание второе, исправленное. Издательство «Просвещение», Москва, 1965. Глава I. Натуральное число. 7. Задача Баше — Менделеева, стр.36.]</ref><ref>Е. С. Давыдов, Наименьшие группы чисел для образования натуральных рядов, Спб., 1903, 36 стр.</ref><ref>В. Ф. Гартц, Лучшая система для весовых гирь, Спб., 1910, 36 стр.</ref><ref>Ф. А. Слудский, О свойствах степеней двух и трёх. «Математический сборник», ч. III, стр. 214.</ref>

Симетричність при зважуванні на важільних терезах використовували з найдавніших часів, додаючи гирю на чашку з товаром. Елементи трійкової системи числення були в системі числення стародавніх шумерів,<ref>Юрий Ревич «Наследники Бэббиджа» // «Домашний компьютер», № 12, 1 декабря 2002 года.</ref> в системах мір, ваг і грошей, в яких були одиниці рівні 3. Але тільки в симетричній трійковій системі числення Фібоначчі об'єднані ці властивості. 

Симетрична система дозволяє зображати від’ємні числа, не використовуючи окремий знак мінуса. Число 2 зображується цифрою 1 в розряді трійок і цифрою <math>\bar 1 </math> (мінус одиниця) в розряді одиниць. Число -2 зображується цифрою <math>\bar 1 </math> (мінус одиниця) в розряді трійок і цифрою 1 в розряді одиниць. <br/>Можливі шість відповідностей цифр (знаків) трійкової симетричної системи числення і цифр (знаків) трійкової несиметричної системи числення: 
{| class="standard"
 !||1. ||2. ||3. ||4. ||5.||6.
 |-
 !||||||||||||
 |-
 !1 
 |2 ||1 ||0 ||0 ||2 ||1
 |-
 !0
 |1 ||0 ||2 ||1 ||0 ||2
 |-
 !{{overline|1}}
 |0 ||2 ||1 ||2 ||1 ||0
 |}
Відповідно 2. зберігаються числові значення 0 і 1. 
{| Class = "wikitable" style = "text-align: right;« width = »70%" 
! align = "left" width = "35%" | Десяткова система 
| Width = "5%" |-3 
| Width = "5%" |-2 
| Width = "5%" |-1 
| Width = "5%" | 0 
| Width = "5%" | 1 
| Width = "5%" | 2 
| Width = "5%" | 3 
| Width = "5%" | 4 
| Width = "5%" | 5 
| Width = "5%" | 6 
| Width = "5%" | 7 
| Width = "5%" | 8 
| Width = "5%" | 9 
|- 
! align = "left" | Трійкова несиметрична 
| −10 || −2 || −1 || 0 || 1 || 2 || 10 || 11 || 12 || 20 || 21 || 22 || 100
|- 
! align = "left" | Трійкова симетрична 
| <span style="text-decoration:overline;">1</span>0 || <span style="text-decoration:overline;">1</span>1 || <span style="text-decoration:overline;">1</span> || 0 || 1 || 1<span style="text-decoration:overline;">1</span> || 10 || 11 || 1<span style="text-decoration:overline;">1</span><span style="text-decoration:overline;">1</span> || 1<span style="text-decoration:overline;">1</span>0 || 1<span style="text-decoration:overline;">1</span>1 || 10<span style="text-decoration:overline;">1</span> || 100
|}
У трійковій симетричній системі числення знак {{overline | 1}} можна замінити знаком (не числом) i або 2і, в другому випадку, використовувати для трійкової симетричної системи числення {-1,0,+1} знаки трійкової несиметричною системи {2,0,1}. 

=== Властивості === 
Завдяки тому що основа 3 непарна, у трійковій системі можливо симетричне відносно нуля розташування цифр: -1, 0, 1, з яким пов'язано шість цінних властивостей: 
* Природність представлення від’ємних чисел; 
* Відсутність проблеми округлення (для округлення досить просто відкинути непотрібні цифри). 
* Таблиця множення в цій системі, як зазначив О.Коші, приблизно в чотири рази коротша.<ref Name="Gashkov"/> (стр.34). 
* Для зміни знаку числа потрібно змінювати знаки у всіх його цифр. 
* При додаванні великої кількості чисел значення для перенесення в наступний розряд зростає із збільшенням кількості доданків не лінійно, а пропорційно [[Квадратний корінь | квадратному кореню]] числа доданків. 
* За витратами числа знаків на представлення чисел вона рівна трійковій несиметричній системі.

=== Представлення від'ємних чисел === 
Наявність додатної та від’ємної цифр дозволяє безпосередньо представляти як додатні, так і від’ємні числа. При цьому немає необхідності в спеціальному розряді знака і не треба вводити додатковий ( або зворотний ) код для виконання арифметичних операцій з від’ємними числами. Всі дії над числами, представленими в трійковій системі числення з цифрами 0 , 1 , -1 , виконуються звичайно з урахуванням знаків чисел. Знак числа визначається знаком старшої значущої цифри числа: якщо вона додатна , то і число додатне, якщо від’ємна , то і число від’ємне. Для зміни знака числа треба змінити знаки всіх його цифр (тобто інвертувати його код інверсією Лукасевича ). Наприклад:

: <math>10\bar1 = 9-1 = 8</math>

: <math>\bar101 =-9+1 =-8</math>

=== Округлення ===
Іншим корисним наслідком симетричного розташування значень цифр є відсутність проблеми округлення чисел: в результаті відкидання молодших цифр числа виходить найкраще, при даній кількості залишених цифр, наближення цього числа, і округлення не потрібно.

=== Переклад чисел з десяткової системи в трійкову ===
Переклад чисел з десяткової системи в трійкову і відповідне йому питання про гирі, детально викладені в книгах <ref>И. Я. Депман. «Меры и метрическая система», Учпедгиз, 1955.</ref><ref>И. Я. Депман. «Возникновение системы мер и способов измерения величин», вып. 1, Учпедгиз, 1956.</ref>. Там же розказано про застосування трійкової системи гир у російській практиці.

=== Переклад в інші системи числення ===
Будь-яке число , записане в трійковій системі числення з цифрами 0 , 1 , -1 , можна представити у вигляді суми цілих степенів числа 3 , причому якщо в даному розряді трійкового зображення числа стоїть цифра 1 , то відповідна цього розряду ступінь числа 3 входить в суму зі знаком «+» , якщо ж цифра -1 , то зі знаком «-» , а якщо цифра 0 , то зовсім не входить. Це можна представити формулою

: <math>\cdots + K_3\cdot3 ^ 3 + K_2\cdot3 ^ 2 + K_1\cdot3 ^ 1 + K_0\cdot3 ^ 0 + K_ { -1 }\cdot3 ^ { -1 } + K_ { -2 }\cdot3 ^ { -2 } + K_ { -3 }\cdot3 ^ { -3 } +\cdots </math> , де

: <math>\cdots + K_3\cdot3 ^ 3 + K_2\cdot3 ^ 2 + K_1\cdot3 ^ 1 + K_0\cdot3 ^ 0 </math> - ціла частина числа ,

: <math>\cdots + K_ { -1 }\cdot3 ^ { -1 } + K_ { -2 }\cdot3 ^ { -2 } + K_ { -3 }\cdot3 ^ { -3 } +\cdots </math> - дробова частина числа ,
причому коефіцієнти K можуть приймати значення { 1 , 0 , -1 } .

Для того щоб число , представлене в трійковій системі , перевести в десяткову систему , треба цифру кожного розряду даного числа помножити на відповідну цього розряду степінь числа 3 ( в десятковому поданні) і отримані добутки додати.

=== Практичні застосування ===
* Працюючи в Палаті мір і ваг, Д.І.Менделєєв , з урахуванням симетричної трійкової системи числення, розробив цифровий ряд значень ваг для зважування на лабораторних терезах, який використовується донині .
* Симетрична трійкова система використовувалася в радянській ЕОМ [[ Сетунь (комп'ютер) | Сетунь ]] .

== Дев’яткова форма представлення чисел ==
Представлення чисел потрійним кодом при програмуванні і при введенні в машину незручно і неекономно, тому поза машини застосовується дев’яткова форма. Дев’яткові числа <math>\bar4 ,\bar3 ,\bar2 ,\bar1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 </math> зіставляються парам трійкових чисел.
При виведенні машиною від’ємні дев’яткові цифри позначають буквами.
{| class="wikitable"
 ! Десяткова
 | <math>-4</math>
 | <math>-3</math>
 | <math>-2</math>
 | <math>-1</math>
 | <math>0</math>
 | <math>1</math>
 | <math>2</math>
 | <math>3</math>
 | <math>4</math>
 |-
 ! Трійкова
 | <math>\bar1\bar1</math>
 | <math>\bar10</math>
 | <math>\bar11</math>
 | <math>0\bar1</math>
 | <math>00</math>
 | <math>01</math>
 | <math>1\bar1</math>
 | <math>10</math>
 | <math>11</math>
 |-
 ! Дев’яткова
 | <math>\bar4</math>
 | <math>\bar3</math>
 | <math>\bar2</math>
 | <math>\bar1</math>
 | <math>0</math>
 | <math>1</math>
 | <math>2</math>
 | <math>3</math>
 | <math>4</math>
 |-
 ! Латиниця
 | W
 | X
 | Y
 | Z
 | 0
 | 1
 | 2
 | 3
 | 4
 |-
 ! Кирилиця
 | Ж
 | Х
 | У
 | Ц
 | 0
 | 1
 | 2
 | 3
 | 4
 |-
 |}

== Див. також ==
* [[Позиційні системи числення]]
* [[Тризначна логіка]]

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Системи числення]]
[[Категорія:Комп'ютерна арифметика]]