Перегляд вихідного коду сторінки Трикутник Рело

[[Файл:Construction of Reuleaux triangle.svg|міні|праворуч|Побудова трикутника Рело]]
{{unibox}}'''Трику́тник Рело́''' ({{lang-en|Reuleaux triangle}})&nbsp;— [[Плоска фігура|плоска]] [[Опукла множина|опукла]] [[геометрична фігура]]<ref>
{{книга
|автор          = 
|частина        = Постоянной ширины кривая
|назва          = Математический энциклопедический словарь
|оригінал       = 
|посилання      = 
|відповідальний = Гл. ред. Ю. В. Прохоров
|видання        = 
|місце          = {{М.}}
|видавництво    = Советская энциклопедия
|рік            = 1988
|том            =
|сторінки       = 478
|сторінок       = 847
|серія          =
|isbn           =
|тираж          = 150000
}}</ref>, найпростіша після [[коло|кола]] фігура сталої ширини<ref name="vinogradov">{{книга
 |частина         = Постоянной ширины кривая
 |назва      = Математическая энциклопедия
 |видавництво  = Советская энциклопедия
 |відповідальний = Гл. ред. И. М. Виноградов
 |місце         = М.
 |рік           = 1984
 |сторінок       = 608
 |сторінки      = 519
 |том           = 4
 |тираж         = 150000
}}</ref>. Утворюється перетином трьох однакових кіл з радіусом <math>a</math> і центрами, розміщеними у вершинах [[Рівносторонній трикутник|рівностороннього трикутника]] зі стороною <math>a</math>, де <math>a</math>&nbsp;— число, яке називають ''шириною'' отриманої фігури<ref name="vinogradov"/>{{sfn|Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры|1951|с=91}}.

Сталість цієї ширини означає наступне: якщо до трикутника Рело провести пару [[Паралельні прямі|паралельних]] опорних прямих<ref group="*">[[Опорна пряма]] проходить через одну точку границі фігури, не розділяючи при цьому фігуру на частини.</ref>, то відстань між ними завжди буде дорівнювати <math>a</math>, незалежно від обраного напрямку{{sfn|Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры|1951|с=90}}. Одна з цих прямих завжди проходить через одну з вершин трикутника, а друга є [[дотична|дотичною]] до протилежної дуги<ref name="lusternik">{{книга
 |автор         = Люстерник Л. А.
 |частина       = Овалы постоянной ширины
 |назва         = Выпуклые фигуры и многогранники
 |місце         = {{М.}}
 |видавництво   = ГИТТЛ
 |рік           = 1956
 |сторінки      = 42—47
 |сторінок      = 212
}}</ref>.

Трикутник Рело обмежує [[Гладка крива|негладку]] [[Замкнута крива|замкнуту]] опуклу криву, яка має таку ж назву. Вона походить від прізвища німецького механіка [[Франц Рело|Франца Рело]], який першим продемонстрував сталість ширини цієї фігури та використовував її у своїх [[механізм]]ах<ref>{{книга
 |автор         = {{iw|Кліффорд Пікавер|Pickover C. A.|en|Clifford A. Pickover}}
 |частина       = Reuleaux Triangle
 |назва         = The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics
 |видавництво   = Sterling
 |місце         = [[Нью-Йорк|New York]]; [[Лондон|London]]
 |рік           = 2009
 |allpages      = 528
 |pages         = 266—267
 |isbn          = 1-4027-5796-4
}} {{ref-en}}</ref>.

Серед інших фігур сталої ширини трикутник Рело виділяє низка його граничних властивостей&nbsp;— найменша площа, найменший можливий кут при вершині, найбільша асиметричність щодо центру. Також трикутник набув поширення в техніці&nbsp;— на його основі були створені [[Кулачковий механізм|кулачкові]] та [[Грейферний механізм|грейферні]] механізми, роторний [[двигун Ванкеля]], і навіть [[дриль|дрилі]], що дозволяють свердлити квадратні отвори.

== Історія ==
[[Файл:Leonardo da Vinci’s Mappamundi.jpg|міні|[[Mappa mundi]]. [[Леонардо да Вінчі]], приблизно 1514 рік]]
[[Франц Рело|Рело]] не є першовідкривачем цієї фігури, хоча він і детально дослідив її. Зокрема, він розглядав питання про те, скільки контактів (в [[Кінематична пара|кінематичних парах]]) необхідно, щоб запобігти рухові плоскої фігури, і на прикладі викривленого трикутника, вписаного в [[квадрат]], показав, що навіть трьох контактів може бути недостатньо для того, щоб фігура не оберталася{{sfn|Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux|2007|p=240}}.

[[Файл:Lunate drawing of Leonardo da Vinci (manuscript A, folio 15v, part).jpg|міні|ліворуч|[[Леонардо да Вінчі]], манускрипт A, фрагмент аркуша 15v]]

Деякі математики вважають, що першим продемонстрував ідею трикутника з рівних дуг кола [[Леонард Ейлер]] у XVIII столітті<ref name="kmoddl">
{{cite web
 |url         = http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/
 |title       = Reuleaux Triangle
 |author      = [[Дайна Тайминя|Taimina D.]], Henderson D. W.
 |publisher   = [[Університет Корнелла|Cornell University]]
 |work        = Kinematic Models for Design Digital Library
 |language    = англійською
 |accessdate  = 2011-10-11
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/67YnnaBuG?url=http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/
 |archivedate = 2012-05-10
 |deadurl     = no
}}
</ref>. Проте, такий трикутник можна знайти ще раніше, у XV столітті його згадував у своїх рукописах [[Леонардо да Вінчі]]. Зокрема, трикутник Рело зустрічається в його [[Рукопис|манускриптах]] A і B (зберігаються в [[Інститут Франції|Інституті Франції]]){{sfn|Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux|2007|p=241|name="moon"}}, а також в [[Мадридський кодекс (Леонардо да Вінчі)|Мадридському кодексі]]<ref name="kmoddl"/>.

Приблизно в 1514 році Леонардо да Вінчі створив одну з перших у своєму роді [[Мапа світу|мап світу]]. Поверхня [[Земля|земної кулі]] на ній була розділена [[екватор]]ом і двома [[меридіан]]ами (кут між площинами цих меридіанів дорівнює 90°) на вісім [[Сферичний трикутник|сферичних трикутників]], які були показані на площині карти трикутниками Рело, зібраними по чотири навколо [[Географічний полюс|полюсів]]<ref>{{книга
 |автор         = {{iw|Джон Снайдер|Snyder J. P.|en|John P. Snyder}}
 |частина       = Emergence of Map Projections: Classical Through Renaissance
 |назва         = Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections
 |місце         = [[Чикаго|Chicago]]; [[Лондон|London]]
 |видавництво   = University Of Chicago Press
 |рік           = 1997
 |pages         = 40
 |allpages      = 384
 |isbn          = 0-2267-6747-7
}} {{ref-en}}</ref>.

Ще раніше, в XIII сторіччі, будівничі [[Церква Богоматері (Брюгге)|церкви Богоматері]] в [[Брюгге]] використовували трикутник Рело як форму для деяких вікон<ref name="kmoddl"/>.

== Властивості ==

=== Основні геометричні характеристики ===
[[Файл:Reuleaux triangle, incircle and circumcircle.svg|250px|праворуч]]
Якщо ширина трикутника Рело дорівнює <math>a</math>, то його [[Площа фігури|площа]] дорівнює<ref>{{cite web
 |url        = http://www.wolframalpha.com/entities/lamina/reuleaux_triangle/ph/xf/b8/
 |title      = WolframAlpha: Reuleaux Triangle
 |work       = [[WolframAlpha]]
 |publisher  = Wolfram Research
 |accessdate = 2011-11-18
 |language   = англійською
 |deadurl    = 404
}}{{Недоступне посилання|date=липень 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>
: <math>S = {{1}\over{2}}\left(\pi - \sqrt{3}\right) \cdot a^2,</math>
[[периметр]]
: <math>p = \pi a,</math>
радіус [[Вписане коло|вписаного кола]]
: <math>r = \left(1 - {{1}\over{\sqrt{3}}}\right) \cdot a,</math>
а радіус [[Описане коло|описаного кола]]
: <math>R = {{a}\over{\sqrt{3}}}</math>.

==== Симетрія ====
Трикутник Рело має [[Осьова симетрія|осьову симетрією]]. Він має три осі симетрії другого порядку, кожна з яких проходить через вершину трикутника і середину протилежної дуги, а також одну вісь симетрії третього порядку, що [[Перпендикулярність|перпендикулярна]] до площини трикутника і проходить через його центр<ref group="*" name="center">Центр трикутника Рело&nbsp;— це точка перетину всіх [[Медіана трикутника|медіан]], [[Бісектриса|бісектрис]] та [[Висота трикутника|висот]] його правильного трикутника.</ref>. Таким чином, [[група симетрій]] трикутника Рело складається з шести відображень (включаючи [[Тотожне відображення|тотожне]]) і збігається з групою <math>D_3</math> симетрій [[Правильний трикутник|правильного трикутника]].

==== Побудова циркулем ====
Трикутник Рело можна [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|побудувати]] за допомогою одного лише [[Циркуль|циркуля]], не користуючись [[Лінійка|лінійкою]]. Ця побудова зводиться до послідовного проведення трьох однакових [[коло|кіл]]. Центр першого можна обрати довільно, центром другого може бути будь-яка точка першого кола, а центром третьої&nbsp;— будь-яка з двох точок перетину перших двох кіл.

=== Властивості, спільні для всіх фігур сталої ширини ===
Трикутник Рело, як фігура сталої ширини, має всі властивості, що характерні для будь-якої іншої фігури з цього класу.
* За [[Теорема Барб'є|теоремою Барб'є]] [[периметр]] трикутника Рело шириною <math>a</math> дорівнює <math>\pi a</math><ref>{{стаття
 |автор         = Barbier E.
 |назва         = Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert
 |посилання        = http://mathdoc.emath.fr/JMPA/PDF/JMPA_1860_2_5_A18_0.pdf
 |мова          = fr
 |видання       = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées
 |рік           = 1860
 |volume        = 5
 |pages         = 273—286
}}</ref><ref name="ctk-barbier">
{{cite web
 |url         = http://www.cut-the-knot.org/ctk/Barbier.shtml
 |title       = The Theorem of Barbier
 |author      = Bogomolny A.
 |work        = Cut the Knot
 |language    = англійською
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/65BunYA54?url=http://www.cut-the-knot.org/ctk/Barbier.shtml
 |archivedate = 2012-02-04
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = no
}}
</ref>{{sfn|Eggleston. Convexity|1958|p=127}}<ref name="lusternik"/>.
* З кожною із своїх опорних прямих трикутник Рело має лише по одній спільній точці{{sfn|Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры|1962|с=201}}.
* Відстань між двома довільними точками трикутника Рело шириною <math>a</math> не може перевищувати <math>a</math>{{sfn|Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры|1962|с=201—202}}.
* [[Відрізок]], що сполучає точки дотику двох паралельних опорних прямих до трикутника Рело, є [[Перпендикулярність|перпендикуляром]] до цих опорних прямих{{sfn|Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры|1962|с=202—203}};
* Через довільну точку границі трикутника Рело проходить хоча б одна опорна пряма{{sfn|Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры|1962|с=203}}.
* Через кожну точку <math>P</math> границі трикутника Рело проходить охоплювальне його [[коло]] радіусом <math>a</math>, до того ж опорна пряма, що проведена до трикутника Рело через <math>P</math>, торкається цього кола в точці <math>P</math>{{sfn|Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры|1962|с=203—204}}.
* Радіус кола, що має не менше трьох спільних точок с границею трикутника Рело шириною <math>a</math>, не перевищує <math>a</math>{{sfn|Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры|1962|с=204—206}}.
* За теоремою {{нп|Ганфрід Ленц|Ганфріда Ленца|de|Hanfried Lenz}} про множини сталої ширини? трикутник Рело неможливо розділити на дві фігури, [[діаметр]] яких був би меншим від ширини самого трикутника<ref>{{стаття
 |автор         = Lenz H.
 |назва         = Zur Zerlegung von Punktmengen in solche kleineren Durchmessers
 |видання       = Archiv der Mathematik
 |мова          = de
 |рік           = 1955
 |номер         = 5
 |volume        = 6 
 |pages         = 413—416
 |doi           = 10.1007/BF01900515
 |issn          = 0003-889X
}}</ref><ref>{{стаття
 |автор         = Райгородский А. М.
 |назва         = Проблема Борсука. Универсальные покрышки 
 |посилання     = http://www.mccme.ru/free-books/matprosd.html
 |видання       = Математическое просвещение
 |місце         = М.
 |видавництво   = МЦНМО
 |рік           = 2008
 |випуск        = 12
 |сторінки     = 216
 |isbn          = 978-5-94057-354-8
}}</ref>.
* Трикутник Рело, як і будь-яку іншу фігуру сталої ширини, можна вписати у квадрат<ref name="yagbol92">{{книга-ру
 |автор         = [[Яглом Ісаак Мойсейович|Яглом И. М.]], [[Болтянський Володимир Григорович|Болтянский В. Г.]]
 |часть         = Фигуры постоянной ширины
 |заглавие      = Выпуклые фигуры
 |ссылка        = http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-mat-kr/4-figures.htm
 |место         = {{М.}}—{{Л.}}
 |издательство  = [[Физматлит|ГТТИ]]
 |год           = 1951
 |страниц       = 343
 |страницы      = 92
 |серия         = «Библиотека математического кружка», выпуск 4
 |тираж         = 25000
 |ref           = Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры
}}</ref>, а також у [[правильний шестикутник]]{{sfn|Eggleston. Convexity|1958|p=127—128}}.

=== Унікальні властивості ===
Трикутник Рело має низку властивостей, яких не мають інші фігури сталої ширини.

==== Найменша площа ====
Серед усіх фігур сталої ширини <math>a</math> трикутник Рело має найменшу [[площа|площу]]<ref name="vinogradov"/>. Це твердження має назву [[Теорема Бляшке — Лебега|теореми Бляшке&nbsp;— Лебега]]{{sfn|Eggleston. Convexity|1958|p=128—129}}<ref>{{книга
 |автор          = Марсель Берже
 |назва          = Геометрия 
 |оригінал       = Géométrie
 |відповідальний = Пер. с франц. Ю. Н. Сударева, А. В. Пажитнова, С. В. Чмутова
 |місце         = {{М.}}
 |видавництво  = [[Мир (видавництво)|Мир]]
 |рік           = 1984
 |том           = 1
 |сторінки      = 529
 |сторінок      = 560
}}</ref> (на честь німецького геометра Вільгельма Бляшке, котрий опублікував теорему у 1915 році<ref>{{стаття
 |автор         = Blaschke W.
 |назва         = Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts
 |мова          = de
 |видавництво   = Mathematische Annalen
 |рік           = 1915
 |volume        = 76
 |номер         = 4
 |pages         = 504—513
 |doi           = 10.1007/BF01458221
 |issn          = 0025-5831
}}</ref>, і французького математика [[Анрі Леон Лебег|Анрі Лебега]], який сформулював її у 1914 році<ref>{{стаття
 |автор         = [[Анрі Леон Лебег|Lebesgue H.]]
 |назва         = Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur constant
 |мова          = fr
 |видання       = Bulletin de la Société Mathématique de France, Comptes Rendus des Séances
 |рік           = 1914
 |pages         = 72—76
}}</ref>). У різний час варіанти її доведення пропонували Мацусабуро Фудзівара (1927 та 1931 рік)<ref>{{стаття
 |автор         = Fujiwara M.
 |назва         = Analytic Proof of Blaschke’s Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area
 |мова          = en
 |видання       = Proceedings of the Imperial Academy
 |рік           = 1927
 |volume        = 3
 |номер         = 6
 |pages         = 307—309
}}</ref><ref>{{стаття
 |автор         = Fujiwara M.
 |заголовок     = Analytic Proof of Blaschke’s Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area, II
 |мова          = en
 |видання       = Proceedings of the Imperial Academy
 |рік           = 1931
 |volume        = 7
 |номер         = 8
 |pages         = 300—302
}}</ref>, Антон Маєр (1935 рік)<ref>{{стаття
 |автор         = Mayer A. E. 
 |заголовок     = Der Inhalt der Gleichdicke: Abschätzungen für ebene Gleichdicke
 |мова          = de
 |видання       = Mathematische Annalen
 |рік           = 1935
 |volume        = 110
 |номер         = 1
 |pages         = 97—127
 |doi           = 10.1007/BF01448020
 |issn          = 0025-5831
}}</ref>, Гарольд Егглстон (1952 рік)<ref>
{{Стаття
 | прізвище            = Eggleston H. G.
 | ім'я                = 
 | посилання_на_автора = 
 | співавтори          = 
 | рік                 = 1952
 | місяць              = 
 | назва               = A proof of Blaschke’s theorem on the Reuleaux triangle
 | журнал              = Quarterly Journal of Mathematics
 | том                 = 3
 | місце               = 
 | видавництво         = 
 | випуск              = 1
 | сторінки            = 296—297
 | doi                 = 10.1093/qmath/3.1.296
 | id                  = 
 | url                 = 
 | формат              = 
 | дата_отримання      = 
 | цитати              = 
 }}</ref>, [[Абрам Безикович]] (1963 рік)<ref>{{Стаття
 | прізвище            = Besicovitch A. S.
 | ім'я                = 
 | посилання_на_автора = 
 | співавтори          = 
 | рік                 = 1963
 | місяць              = 
 | назва               = Minimum area of a set of constant width
 | журнал              = Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
 | том                 = 7
 | місце               = 
 | видавництво         = [[American Mathematical Society]]
 | випуск              = 
 | сторінки            = 13—14
 | doi                 = 
 | id                  = 
 | url                 = 
 | формат              = 
 | дата_отримання      = 
 | цитати              = 
 }}</ref>, Дональд Шакеріан (1966 рік)<ref name="chakerian">{{Стаття
 | прізвище            = Chakerian G. D.
 | ім'я                = 
 | посилання_на_автора = http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102993951
 | співавтори          = 
 | рік                 = 1966
 | місяць              = 
 | назва               = Sets of constant width
 | журнал              = [[Pacific Journal of Mathematics]]
 | том                 = 19
 | місце               = 
 | видавництво         = 
 | випуск              = 
 | сторінки            = 13—21
 | doi                 = 
 | id                  = 
 | url                 = 
 | формат              = 
 | дата_отримання      = 
 | цитати              = 
 }}</ref>, Еванс Харрелл (2002 рік)<ref>{{стаття
 |автор         = Harrell E. M.
 |заголовок      = A direct proof of a theorem of Blaschke and Lebesgue
 |мова          = en
 |видання       = Journal of Geometric Analysis
 |рік           = 2002
 |volume        = 12
 |номер         = 1
 |pages         = 81—88
 |doi           = 10.1007/BF02930861
 |issn          = 1050-6926
}} {{arXiv|math.MG|0009137}}</ref> та інші математики<ref name="finch">{{книга |автор             = Finch S. R.
 |частина         = Reuleaux Triangle Constants
 |посилання     = http://algo.inria.fr/csolve/rx.pdf
 |заголовок     = Mathematical Constants
 |місце             = [[Кембридж|Cambridge]]
 |видавництво = Cambridge University Press
 |рік                 = 2003
 |pages                  = [https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/513 513—515]
 |allpages               = 624
 |серия             = Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 94
 |isbn                   = 0-5218-1805-2
 |url                    = https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/513
}} {{ref-en}}</ref>.

Визначити площу трикутника Рело можна додаванням до площі внутрішнього [[Рівносторонній трикутник|рівностороннього трикутника]]
: <math>S_\triangle = {{\sqrt{3}}\over{4}} \cdot a^2</math>
площ трьох однакових кругових [[Сегмент (геометрія)|сегментів]], що спираються на кут 60°
: <math>S_{seg} = {{a^2}\over{2}} \left({{\pi}\over{3}} - \sin{{\pi}\over{3}}\right) = {\left({{\pi}\over{6}} - {{\sqrt{3}}\over{4}}\right) \cdot a^2},</math>
тоді площа трикутника Рело становить
: <math>S_{rt} = S_\triangle + 3S_{seg} = {{1}\over{2}}\left(\pi - \sqrt{3}\right) \cdot a^2 = a^2 \cdot 0{,}70477\ldots</math><ref name="wolfram">{{cite web
 |url         = http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html
 |title       = Reuleaux Triangle
 |author      = {{iw|Ерік Вайстейн|Weisstein E. W.|en|Eric W. Weisstein}}
 |work        = [[MathWorld]]
 | language=англійською
}}</ref>.

Фігура, що має протилежну граничну властивість&nbsp;— [[круг]]. Серед усіх фігур заданої сталої ширини його площа
: <math>S_\circ = a^2 \cdot {{\pi}\over{4}} = a^2 \cdot 0{,}78539\ldots</math>
є максимальною<ref>{{стаття
 |автор         = Болтянский В. Г.
 |заголовок      = О вращении отрезка
 |посилання        = http://kvant.mccme.ru/1973/04/p29.htm
 |видання       = [[Квант (журнал)|Квант]]
 |місце         = М.
 |видавництво  = [[Наука (видавництво)|Наука]]
 |рік           = 1973
 |номер         = 4
 |сторінки      = 29
}}</ref><ref group="*">Це твердження випливає із сукупності двох теорем&nbsp;— класичної ізопериметричної [[задача Дідони|задачі Дідони]] і [[Теорема Барб'є|теореми Барб'є]].</ref>. Однак площа відповідного трикутника Рело менша лише на ~10,27&nbsp;%. В цих незначних межах лежать площі усіх решти фігур заданої сталої ширини.

==== Найменший кут ====
Через кожну вершину трикутника Рело, на відміну від інших його граничних точок, проходить не одна [[опорна пряма]], а [[нескінченна множина]] опорних прямих. Перетинаючись у вершині, вони утворюють [[Пучок (геометрія)|пучок]]. Кут між крайніми прямими цього пучка називається ''кутом біля вершини''. Для фігур сталої ширини кут біля вершин не може бути меншим від 120°. Єдина фігура сталої ширини, що має кути, рівні 120°&nbsp;— це трикутник Рело{{sfn|Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры|1962|с=206—207}}.

==== Мінімальна центральна симетрія ====
[[Файл:Symmetry measure of Reuleaux triangle.svg|міні|Трикутник Рело (коричневий) і його образ при [[Центральна симетрія|центральній симетрії]] відносно свого центра (заштриховано). Найбільша центрально-симетрична фігура, розміщена у ньому (криволінійний шестикутник), і найменша центрально-симетрична, у якій він розміщений ([[правильний шестикутник]]) виділені жирною лінією]]
З усіх фігур сталої ширини трикутник Рело має [[Центральна симетрія|центральну симетрію]] у мінімальній мірі<ref name="besicovitch">{{стаття
 |автор         = Besicovitch A. S.
 |заголовок      = Measure of Asymmetry of Convex Curves (II): Curves of Constant Width 
 |мова          = en
 |видання       = Journal of the London Mathematical Society
 |рік           = 1951
 |volume        = 26
 |номер         = 2
 |pages         = 81—93
 |doi           = 10.1112/jlms/s1-26.2.81
 |issn          = 0024-6107
}}</ref><ref>{{стаття
 |автор         = Eggleston H. G.
 |заголовок      = Measure of asymmetry of convex curves of constant width and restricted radii of curvature
 |мова          = en
 |видання       = Quarterly Journal of Mathematics
 |рік           = 1952
 |volume        = 3
 |номер         = 1
 |pages         = 63—72
 |doi           = 10.1093/qmath/3.1.63
 |issn          = 0033-5606
}}</ref><ref>{{стаття
 |автор         = [[Бранко Ґрюнбаум|Grünbaum B.]]
 |заголовок      = Measures of Symmetry for Convex Sets
 |мова          = en
 |видавництво   = American Mathematical Society
 |видання       = Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
 |рік           = 1963
 |volume        = 7
 |pages         = 233—270
 |isbn          = 0-8218-1407-9
}}</ref><ref>{{стаття
 |автор         = Groemer H., Wallen L. J.
 |заголовок      = A Measure of Asymmetry for Domains of Constant Width
 |посилання        = http://www.emis.de/journals/BAG/vol.42/no.2/19.html
 |мова          = en
 |видання       = Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry
 |рік           = 2001
 |volume        = 42
 |номер         = 2
 |pages         = 517—521
 |issn          = 0138-4821
}}</ref>. Для того, щоб дати кількісну оцінку його симетричності, можна скористатись різними методами. Один з них&nbsp;— це міра Ковнера&nbsp;— Безиковича. У загальному випадку для [[Опукла множина|опуклої фігури]] <math>C</math> вона дорівнює
: <math>\sigma(C) = {{\mu(A)}\over{\mu(C)}},</math>
де <math>\mu</math>&nbsp;— [[площа фігури]], <math>A</math>&nbsp;— центрально-симетрична опукла фігура максимальної площі, що міститься у фігурі <math>C</math>. Для трикутника Рело такою фігурою є [[шестикутник]] з викривленими сторонами, що отримується перетином цього трикутника Рело зі своїм образом при центральній симетрії відносно свого центра<ref group="*">Центр трикутника Рело&nbsp;— це точка перетину усіх [[Медіана трикутника|медіан]], [[Бісектриса|бісектрис]] і [[Висота трикутника|висот]] його правильного трикутника.</ref>. Міра Ковнера&nbsp;— Безиковича для трикутника Рело дорівнює
: <math>\sigma = {{6\arccos{\left({{5 + \sqrt{33}}\over{12}}\right)} + \sqrt{3} - \sqrt{11}}\over{\pi - \sqrt{3}}} = 0{,}84034\ldots</math><ref name="finch"/><ref name="besicovitch"/>

Інший метод&nbsp;— це міра Естерманна
: <math>\tau(C) = {{\mu(C)}\over{\mu(B)}},</math>
де <math>B</math>&nbsp;— центрально-симетрична фігура мінімальної площі, що містить <math>C</math>. Для трикутника Рело<math>B</math>&nbsp;— це [[правильний шестикутник]], тому міра Естерманна дорівнює
: <math>\tau = {{\pi - \sqrt{3}}\over{\sqrt{3}}} = 0{,}81379\ldots</math><ref name="chakerian"/><ref name="finch"/>

Для центрально-симетричних фігур міри Ковнера&nbsp;— Безиковича і Естерманна дорівнюють одиниці. Серед фігур сталої ширини центральну симетрію має лише [[коло]]<ref name="ctk-barbier"/>, яке (разом з трикутником Рело) і обмежує [[спектр]] можливих значень їх симетричності.

=== Кочення по квадрату ===
[[Файл:Rotation of Reuleaux triangle.gif|міні|Кочення трикутника Рело по [[квадрат]]у і траєкторія його центру]]
Нехай фігура сталої ширини вписана у [[квадрат]] зі стороною, рівною ширині фігури, причому напрямок сторін квадрата може бути вибрано довільно<ref name="yagbol92"/>. Ця властивість ''повністю характеризує'' фігури сталої ширини. Іншими словами, довільна фігура, навколо якої можна «обертати» описаний квадрат, буде фігурою сталої ширини. Трикутник Рело&nbsp;— не виняток, він вписаний у квадрат і може обертатися у ньому, постійно торкаючись усіх чотирьох сторін<ref name="lusternik"/><ref name="etude42">{{cite web
 |url         = http://www.etudes.ru/ru/mov/mov042/
 |title       = Изобретая колесо
 |author      = Андреев Н. Н.
 |work        = Математические этюды
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZEp3NAA?url=http://www.etudes.ru/ru/etudes/koleso/
 |archivedate = 2013-06-22
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = no
}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120528120040/http://www.etudes.ru/ru/etudes/koleso/ |date=2012-05-28 }}</ref>.

Кожна вершина трикутника при його обертанні «проходить» майже весь [[периметр]] квадрата, відхиляючись від цієї траєкторії лише в кутах&nbsp;— там вершина описує дугу [[еліпс]]а. Центр цього еліпса розташований в протилежному куті квадрата, а його велика та мала осі повернені на кут в 45 ° відносно сторін квадрата і рівні
: <math>a\cdot\left(\sqrt{3}\pm1\right),</math>
де <math>a</math>&nbsp;— ширина трикутника<ref name="etude17">
{{cite web
 |url         = http://www.etudes.ru/ru/mov/mov017/
 |title       = Сверление квадратных отверстий
 |author      = Андреев Н. Н.
 |work        = Математические этюды
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZEqUUgV?url=http://www.etudes.ru/ru/etudes/drill/
 |archivedate = 2013-06-22
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = no
}}
</ref>. Кожний з чотирьох еліпсів торкається до двох суміжних сторін квадрата на відстані
: <math>a \cdot \left(1 - {{\sqrt{3}}\over{2}}\right) = a \cdot 0{,}13397\ldots</math>
від кута<ref name="wolfram"/>.

<div class="center"><div class="thumb tnone"><div class="thumbinner" style="width:70%">
{|-valign="top"
 |align="center" width="50%" |[[Файл:Reuleaux triangle rotation corners.svg|230px]]
 |align="center" width="50%" |[[Файл:Reuleaux shape corner.svg|230px]]
 |-
 |valign="top"|<div class="thumbcaption">[[Еліпс]] (позначений червоним кольором), що окреслює один з кутів фігур (її границю виділено чорним кольором), який покриває трикутник Рело при обертанні в [[квадрат]]і</div>
 |valign="top"|<div class="thumbcaption">Кут, що покривається обертанням фігури. Підписані точки дотику сторін квадрата з еліпсом. Світло-жовтим кольором показано не покритий при обертанні кут квадрата</div>
 |}
</div></div></div>

Центр трикутника Рело при обертанні рухається траєкторією, що складається з чотирьох однакових дуг еліпсів. Центри цих еліпсів розташовані у вершинах квадрата, а осі повернуті на кут в 45° відносно сторін квадрата і дорівнюють
: <math>a\cdot\left(1\pm{{1}\over\sqrt{3}}\right)</math><ref name="etude17"/>.

<div class="center"><div class="thumb tnone"><div class="thumbinner" style="width:70%">
{|-valign="top"
 |align="center" width="50%" |[[Файл:Reuleaux triangle rotation center.svg|230px]]
 |align="center" width="50%" |[[Файл:Trajectory of center of rotating Reuleaux triangle.svg|230px]]
 |-
 |valign="top"|<div class="thumbcaption">[[Еліпс]] (виділений червоним кольором), що окреслює чверть кривої, по якій рухається центр трикутника Рело при обертанні в квадраті</div>
 |valign="top"|<div class="thumbcaption">[[Траєкторія]] центру трикутника Рело при обертанні в квадраті. Виділено точки спряження чотирьох дуг еліпсів. Для порівняння показано [[коло]] (синім кольором), що проведене через ці ж чотири точки</div>
 |}
</div></div></div>

Площа кожного з чотирьох не покритих обертанням кутків дорівнює
: <math>\beta = a^2 \cdot \left(1 - {{\sqrt{3}}\over{2}} - {{\pi}\over{24}}\right)</math><ref name="klee">{{книга |автор             = {{iw|Victor Klee|Klee V.|en|Victor Klee}}, Wagon S.
 |заголовок     = Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory
 |видавництво = Mathematical Association of America
 |місце             = [[Washington D.C.]]
 |рік                 = 1996
 |pages                  = [https://archive.org/details/oldnewunsolvedpr0000klee/page/22 22]
 |allpages               = 356
 |серія             = Dolciani Mathematical Expositions, Vol. 11
 |isbn                   = 0-8838-5315-9
 |url                    = https://archive.org/details/oldnewunsolvedpr0000klee/page/22
}}{{ref-en}}</ref>

і, віднявши їх від площі квадрата, можна отримати площу фігури, яку утворює трикутник Рело при обертанні у ньому
: <math>a^2 - 4\beta = a^2 \cdot \left(2\sqrt{3} + {{\pi}\over{6}} - 3\right) = a^2 \cdot 0{,}98770\ldots</math><ref name="wolfram"/><ref name="klee"/><ref>
{{cite web
 |url         = http://oeis.org/A066666
 |title       = A066666: Decimal expansion of area cut out by a rotating Reuleaux triangle
 |author      = Wilson R. G.
 |work        = [[OEIS]]
 |language    = англійською
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZErlI7R?url=http://oeis.org/A066666
 |archivedate = 2013-06-22
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = no
}}
</ref>

Різниця з площею квадрата складає всього близько 1,2&nbsp;%, тому на основі трикутника Рело створюють [[Свердло|свердла]], які дозволяють отримувати практично квадратні отвори.

== Застосування ==

=== Свердління квадратних отворів ===
{{Вставка
 | Вирівнювання    = right
 | Ширина          = 220px
 | Заголовок       = 
 | Заголовок знизу = 
 | Текст           = «Ми всі чули про [[Гайковий ключ|гайкові ключі]], пристосовані для [[Гайка|гайок]] з лівою різьбою, зав'язані на ґудз водопровідні труби й банани з [[чавун]]у. Ми вважали подібні речі смішними дрібничками і відмовлялись навіть вірити, що вони коли-небудь дійсно зустрінуться нам. І раптом з'являється інструмент, що дозволяє свердлити квадратні отвори!»
 | Підпис       = рекламна листівка фірми<br />«Watts Brothers Tool Works»<ref>Цитата за книгою {{книга
 |автор         = [[Мартін Гарднер|Гарднер М.]]
 |заголовок     = Математические досуги
 |відповідальний = Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. А. Я. Смородинского
 |місце         = {{М.}}
 |видавництво  = [[Мир (видавництво)|Мир]]
 |рік           = 1972
 |сторінки      = 292
 |сторінок       = 496
}}</ref>
 }}

[[Свердло]] з перерізом у формі трикутника Рело і різальними окрайками, що збігаються з його вершинами, дозволяє отримувати майже квадратні отвори з прямими сторонами, але закругленими кутами (див. розділ [[#кочення по квадрату|Кочення по квадрату]]). Однак при обертанні такого свердла його центр не буде залишатися на місці, як це відбувається у випадку традиційних спіральних свердел, а буде описувати криву, що складається з чотирьох дуг [[еліпс]]ів. Тому [[Затискний патрон|патрон]], в якому затиснуте свердло, не повинен перешкоджати цьому руху<ref name="etude17"/>.

Вперше зробити подібну конструкцію вдалося Гаррі Уаттсу, англійському інженеру, який працював у [[США]]. Для свердління він використовував напрямний шаблон з квадратним прорізом, в якому рухалося свердло, вставлене в «плавучий патрон». [[Патент]]и на патрон<ref>{{cite web
 |url         = http://www.google.com/patents?id=l_JcAAAAEBAJ
 |title       = U.S. patent 1,241,175 (Floating took-chuck)
 |author      = Watts H. J.
 | language=англійською
}}</ref> і свердло<ref>{{cite web
 |url         = http://www.google.com/patents?id=mPJcAAAAEBAJ
 |title       = U.S. patent 1,241,176 (Drill or boring member)
 |author      = Watts H. J.
 | language=англійською
}}</ref> були отримані Уаттсом в 1917 році. Продаж нових дрилів здійснювала фірма Watts Brothers Tool Works {{sfn|Smith. Drilling Square Holes|1993}}<ref>{{книга
 |автор         = Darling D. J.
 |частина         = Reuleaux triangle
 |заголовок      = The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes
 |місце         = [[Хобокен (Нью-Джерси)|Hoboken]]
 |видавництво  = Wiley
 |рік           = 2004
 |pages         = 272
 |allpages      = 400
 |isbn          = 0-4712-7047-4
}} {{ref-en}}</ref>. Ще один патент США на схожий винахід було видано в 1978 році<ref>{{cite web
 |url         = http://www.google.com/patents?id=mb9M3AAAAEBAJ
 |title       = U.S. patent 4,074,778 (Square hole drill)
 |author      = Morrell R. J., Gunn J. A., Gore G. D.
 | language=англійською
}}</ref>.

=== Двигун Ванкеля ===
[[Файл:Wankel Cycle anim.gif|міні|ліворуч|150px|Схема роботи двигуна Ванкеля]]
Інший приклад використання можна знайти в [[двигун Ванкеля|двигуні Ванкеля]]: [[ротор (техніка)|ротор]] цього двигуна виконаний у вигляді трикутника Рело<ref name="etude1">
{{cite web
 |url         = http://www.etudes.ru/ru/mov/mov001
 |title       = Круглый треугольник Рело
 |author      = Андреев Н. Н.
 |work        = Математические этюды
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZEtWMfZ?url=http://www.etudes.ru/ru/etudes/mazda/
 |archivedate = 2013-06-22
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = no
}}
</ref>. Він обертається всередині камери, поверхня якої виконана по [[Епітрохоїда|епітрохоїді]]<ref name="polytech">{{книга
 |частина         = Ванкеля двигатель
 |заголовок      = Политехнический словарь
 |відповідальний = Редкол.: А. Ю. Ишлинский (гл. ред.) и др.
 |видання       = 3-е изд., перераб. и доп.
 |місце         = М.
 |видавництво  = Советская энциклопедия
 |рік           = 1989
 |сторінки      = 72
 |сторінок       = 656
 |isbn          = 5-8527-0003-7
}}</ref>. Вал ротора жорстко з'єднаний з [[зубчасте колесо|зубчастим колесом]], яке зчеплене з нерухомою [[шестерня|шестернею]]. Такий тригранний ротор обкочується навколо шестерні, весь час торкаючись вершинами внутрішніх стінок двигуна і утворюючи три області змінного об'єму, кожна з яких по черзі є [[камера згоряння|камерою згоряння]]<ref name = "etude1" />. Завдяки цьому двигун виконує три повних робочих цикли за один оберт.

Двигун Ванкеля дозволяє здійснити чотиритактний [[термодинамічний цикл]] без застосування [[газорозподільний механізм|механізму газорозподілу]]. Сумішоутворення, [[система запалювання|запалювання]], змащення, [[система охолодження двигуна внутрішнього згоряння|охолодження]] і запуск у ньому принципово такі самі, як у звичайних [[поршневий двигун внутрішнього згоряння|поршневих двигунах внутрішнього згоряння]]<ref name = "polytech" />.

Двигуни Ванкеля в 2-3 рази менші за масою і розмірами, ніж звичайні поршневі двигуни внутрішнього згоряння аналогічної потужності<ref name="polytech"/>. Також вони дозволяють отримати [[крутний момент]] без використання [[колінчастий вал|колінчастого вала]] та [[шатун]]ів<ref name="etude1"/>.

=== Грейферний механізм ===
[[Файл:Luch2 greifer.gif|праворуч|міні|Рамочно-кулачковий грейферний механізм кінопроєктора «Луч-2»]]
[[Грейферний механізм]] плівкового кінопроєктора, що відповідає за «дискретне» протягування стрічки, використовує трикутник Рело, котрий обертається всередині рухомого квадрата<ref name="etude1"/>.

=== Кришки для люків ===

У формі трикутника Рело можна виготовляти кришки для каналізаційних люків&nbsp;— завдяки сталій ширині вони не можуть впасти в люк<ref>{{стаття
 |автор         = White H. S.
 |заголовок      = The Geometry of Leonhard Euler
 |мова          = en
 |відповідальний = Eds. R. E. Bradley, C. E. Sandifer
 |видання       = Leonhard Euler: Life, Work and Legacy
 |місце         = [[Амстердам|Amsterdam]]
 |видавництво  = [[Elsevier]]
 |рік           = 2007
 |pages         = 309
 |isbn          = 0-4445-2728-1
}}</ref>. У [[Сан-Франциско]], для системи рекуперації води корпуси люків мають форму трикутника Рело, але їх кришки мають форму рівнобічних трикутників.

=== Кулачковий механізм ===
Трикутник Рело використовувався в [[Кулачковий механізм|кулачкових механізмах]] деяких [[Паровий двигун|парових двигунів]] початку XIX століття. У цих механізмах [[обертання|обертальний рух]] [[кривошип]]а повертає трикутник Рело, який прикріплений до штовхача двома передавальними важелями та змушує його здійснювати зворотно-поступальний рух<ref name="l01">
{{cite web
 |url         = http://kmoddl.library.cornell.edu/model.php?m=60
 |title       = Model: L01 Positive Return Mechanism with Curved Triangle
 |publisher   = [[Корнельський університет|Cornell University]]
 |work        = Kinematic Models for Design Digital Library
 |language    = англійською
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZEup23f?url=http://kmoddl.library.cornell.edu/model.php?m=60
 |archivedate = 2013-06-22
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = no
}}
</ref>. За термінологією Рело, це з'єднання утворює «вищу» [[Кінематична пара|кінематичну пару]], оскільки контакт ланок відбувається по лінії, а не по поверхні<ref>
{{cite web
 |url         = http://kmoddl.library.cornell.edu/model.php?m=262
 |title       = Model: L06 Positive Return Cam
 |publisher   = [[Корнельський університет|Cornell University]]
 |work        = Kinematic Models for Design Digital Library
 |language    = англійською
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZEvZwoD?url=http://kmoddl.library.cornell.edu/model.php?m=262
 |archivedate = 2013-06-22
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = no
}}
</ref>. У такого роду кулачкових механізмах штовхач при досягненні крайнього правого чи лівого положення залишається деякий скінченний проміжок часу нерухомим<ref name="l01"/><ref name="moon">{{книга-ру
 |автор         = Moon F. C.
 |часть         = Curves of Constant Breadth
 |заглавие      = The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century
 |место         = [[Дордрехт|Dordrecht]]
 |издательство  = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
 |год           = 2007
 |allpages      = 451
 |pages         = 241
 |серия         = History of Mechanism and Machine Science, Vol. 2
 |isbn          = 978-1-4020-5598-0
 |ref           = Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux
}}</ref>.

Трикутник Рело раніше широко застосовувався в кулачкових механізмах [[швацька машина|швацьких машин]] зиґзаґоподібного рядка.

Як кулачок трикутник Рело використовують німецькі годинникарі мануфактури A. Lange & Söhne в механізмі [[Наручний годинник|наручних годинників]] «Lange 31»<ref>{{стаття
 |автор       = Гопей И.
 |заголовок   = A. Lange & Söhne Lange 31
 |посилання   = http://www.mywatch.ru/watch-art/art_1295.html
 |видання     = Мои часы
 |рік         = 2010
 |номер       = 1
 |сторінки    = 39
 |accessdate  = 2011-10-04
 |archivedate = 2011-02-13
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20110213013711/http://mywatch.ru/watch-art/art_1295.html
}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110213013711/http://mywatch.ru/watch-art/art_1295.html |date=2011-02-13 }}</ref>.

=== Коток ===
[[Файл:Reuleaux triangle 54.JPG|міні|Котки з перерізом у вигляді круга і трикутника Рело. [[Німецький технічний музей]]]]
Для переміщення важких предметів на невеликі відстані можна використовувати не тільки [[колесо|колісні]], але і простіші конструкції, наприклад, [[циліндр]]ичні котки<ref name=gardner212>{{книга-ру
 |автор         = [[Мартін Гарднер|Gardner M.]]
 |часть         = Curves of Constant Width
 |заглавие      = The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions
 |место         = [[Чикаго|Chicago]]; [[Лондон|London]]
 |издательство  = University of Chicago Press
 |год           = 1991
 |allpages      = 264
 |pages         = 212
 |isbn          = 978-0-2262-8256-5
 |ref           = Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions
}}</ref>. Для цього вантаж слід розмістити на плоскій підставці, що встановлена на котках, а далі штовхати його. У міру вивільнення задніх котків їх переносити і класти спереду<ref name="planim">{{книга
 |автор         = Бутузов В. Ф. и др.
 |частина       = Глава 8. Окружность 
 |заголовок     = Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики
 |посиланн      = http://lib.mexmat.ru/books/46694
 |місце         = М.
 |видавництво   = Физматлит
 |рік           = 2005
 |сторінки      = 265
 |сторінок      = 488
 |isbn          = 5-9221-0635-X
}}</ref><ref name="gardner212"/>. Такий спосіб транспортування людство використовувало до винаходу [[Колесо|колеса]].

При цьому переміщенні важливо, щоб вантаж не рухався вгору і вниз, оскільки тряска вимагатиме додаткових зусиль від того, хто штовхає<ref name="planim"/>. Для того, щоб рух по котках був [[Прямолінійний рух|прямолінійним]], їхній переріз повинен бути фігурою сталої ширини<ref name="planim"/><ref>{{стаття
 |автор       = Коган Б. Ю.
 |заголовок   = Удивительные катки
 |посилання   = http://kvant.mirror1.mccme.ru/1971/03/udivitelnye_katki.htm
 |видання     = [[Квант (журнал)|Квант]]
 |місце       = М.
 |видавництво = [[Наука (видавництво)|Наука]]
 |год         = 1971
 |номер       = 3
 |страницы    = 21—24
 |accessdate  = 2011-10-04
 |archivedate = 2012-03-28
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20120328055333/http://kvant.mirror1.mccme.ru/1971/03/udivitelnye_katki.htm
}}</ref>. Найчастіше в перерізі був [[круг]], адже котками служили звичайні колоди. Однак переріз у вигляді трикутника Рело дасть не гіршу можливість пересувати предмети так же прямолінійно<ref name="etude1"/><ref name="planim"/>.
{{-}}

== Трикутник Рело в мистецтві ==

=== Архітектура ===
[[Файл:KölnTriangle (Flight over Cologne).jpg|міні|Вежа Кельнський трикутник]]
Форма трикутника Рело використовується також і в [[Архітектура|архітектурних]] цілях. Конструкція з двох його дуг утворює характерну для [[Готичний стиль|готичного стилю]] стрілчасту [[Арка|арку]], однак цілком він зустрічається в готичних спорудах досить рідко<ref name="hauterive">{{cite web
 |url         = http://web.me.com/paulscott.info/place/pm13/pm13.html
 |title       = Fancy Gothic of Hauterive
 |author      = Brinkworth  P., Scott P.
 |work        = The Place Of Mathematics
 |language    = англійською
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZEwF2Aa?url=https://www.icloud.com/
 |archivedate = 2013-06-22
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = no
}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130622234505/https://www.icloud.com/ |date=2013-06-22 }}</ref><ref name="adelaide">
{{cite web
 |url         = http://web.me.com/paulscott.info/maths-gallery/1/6.reuleaux-window.html
 |title       = Reuleaux Triangle Window
 |author      = Scott P.
 |work        = Mathematical Photo Gallery
 |language    = англійською
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZEwrkzC?url=https://www.icloud.com/
 |archivedate = 2013-06-22
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = no
}}
</ref>. Вікна у формі трикутника Рело можна бачити в [[Церква Богоматері (Брюгге)|церкві Богоматері]] в [[Брюгге]]<ref name="kmoddl"/>, а також у шотландській церкві в [[Аделаїда|Аделаїді]]<ref name="adelaide"/>. Як елемент [[орнамент]]у він зустрічається на віконних ґратах [[Цистерціанці|цистерціанського]] абатства в [[Комуни Швейцарії|швейцарській комуні]] Гаутеріф (Фрибург)<ref name="hauterive"/>.

Трикутник Рело використовують і в архітектурі, яка не належить до готичного стилю. Наприклад, побудована в 2006 році в [[Кельн]]і 103-метрова вежа під назвою «Кельнський трикутник» ({{lang-de|KölnTriangle}}) в перетині має саме форму цієї фігури<ref>{{cite web
 |url         = http://www.koelntriangle.de/architecture/impressionen/tower/index_eng.html
 |title       = KölnTriangle: Architecture
 |work        = Офіційний сайт KölnTriangle
 |language    = англійською
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZExSNds?url=http://www.koelntriangle.de/architecture/impressionen/tower/index_eng.html
 |archivedate = 2013-06-22
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = yes
}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140906073531/http://www.koelntriangle.de/architecture/impressionen/tower/index_eng.html |date=2014-09-06 }}</ref>.

{|class="graytable" align="center" style="text-align:center; width:785px"
|+Деякі приклади використання
|width="130px"|[[Файл:Reuleaux triangles on a window of Onze-Lieve-Vrouwekerk, Bruges 2.jpg|125px]]
|width="130px"|[[Файл:Reuleaux triangle shaped window of Sint-Salvatorskathedraal, Bruges.jpg|125px]]
|width="130px"|[[Файл:Reuleaux triangle shaped window of église Saint-Didier, Avignon.jpg|125px]]
|width="130px"|[[Файл:Reuleaux triangles on a window of Notre-Dame, Paris.jpg|125px]]
|width="130px"|[[Файл:Reuleaux triangle shaped windows of Sint-Baafskathedraal, Ghent 1.jpg|125px]]
|width="130px"|[[Файл:Reuleaux triangle shaped windows of Sint-Michielskerk, Ghent.jpg|125px]]
|-
|Вікно у [[Церква Богоматері (Брюгге)|церкві Богоматері]] в [[Брюгге]]
|Вікно в соборі святого Сальватора в [[Брюгге]]
|Вікно дзвіниці церкви святого Дідьє в [[Авіньйон]]і
|Вікно в [[Собор Паризької Богоматері|соборі Паризької Богоматері]]
|Вікно в соборі святого Бавона в [[Гент]]і
|Вікна у церкві святого Михайла в [[Гент]]і
|-
|[[Файл:Reuleaux triangles on a window of Saint Michael church, Luxembourg.jpg|125px]]
|[[Файл:Reuleaux triangle shaped window of Onze-Lieve-Vrouwekerk, Bruges.jpg|125px]]
|[[Файл:Reuleaux triangles on a window of Onze-Lieve-Vrouwekerk, Bruges 1.jpg|125px]]
|[[Файл:Reuleaux triangles on a window of St. Michael and St. Gudula Cathedral, Brussels.jpg|125px]]
|[[Файл:Reuleaux triangle shaped windows of Groot Vleeshuis, Ghent.jpg|125px]]
|[[Файл:Reuleaux triangles on a window of Sint-Baafskathedraal, Ghent 2.jpg|125px]]
|-
|Вікно в церкві святого Михайла в [[Люксембург (місто)|Люксембурзі]]
|Вікно в [[Церква Богоматері (Брюгге)|церкві Богоматері]] в [[Брюгге]]
|Вікно в [[Церква Богоматері (Брюгге)|церкві Богоматері]] в [[Брюгге]]
|Вікно в [[Брюссельський собор|соборі святих Михайла і Гудули]] в [[Брюссель|Брюсселі]]
|Вікна середньовічної будівлі м'ясного ринку в [[Гент]]і
|Вікно в соборі святого Бавона в [[Гент]]і
|}

=== Література ===
У [[Наукова фантастика|науково-фантастичному]] оповіданні [[Пол Андерсон|Пола Андерсона]] «Трикутне колесо»<ref>{{стаття
 |автор         = [[Пол Андерсон|''Anderson P.'']]
 |заголовок     = The Three-Cornered Wheel
 |мова          = en
 |видання       = [[Astounding Science Fiction|Analog Science Fact — Science Fiction]]
 |місце         = [[Нью-Йорк|New York]]
 |видавництво  = Condé Nast Publications
 |рік           = 1963/10
 |volume        = LXXII
 |номер         = 2
 |pages         = 50—69
}}</ref> екіпаж землян здійснив аварійну посадку на планеті, населення якої не використовувало [[Колесо|колеса]], оскільки все кругле перебувало під релігійною забороною. За сотні кілометрів від місця посадки попередня земна експедиція залишила склад із запасними частинами, але перенести звідти необхідний для корабля двотонний атомний генератор без будь-яких механізмів було неможливо. У результаті землянам вдалося дотримати табу і перевезти генератор, використовуючи котки з перетином у вигляді трикутника Рело.

== Узагальнення ==
[[Файл:Reuleaux polygon construction.svg|міні|Семикутник Рело, побудований на неправильному зіркоподібному семикутнику|160px]]

Ідею, що лежить в основі трикутника Рело можна узагальнити, використовуючи для створення фігури сталої ширини не [[рівносторонній трикутник]], а зіркоподібний [[многокутник]], утворений відрізками прямих однакової довжини<ref name=gardner215216>{{книга-ру
 |автор         = [[Мартін Гарднер|Gardner M.]]
 |часть         = Curves of Constant Width
 |заглавие      = The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions
 |место         = [[Чикаго|Chicago]]; [[Лондон|London]]
 |издательство  = University of Chicago Press
 |год           = 1991
 |allpages      = 264
 |pages         = 215-216
 |isbn          = 978-0-2262-8256-5
 |ref           = Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions
}}</ref>. Якщо з кожної вершини зіркоподібного многокутника провести дугу кола, що сполучить дві суміжні вершини, то отримана замкнута крива сталої ширини буде складатись зі скінченної кількості дуг одного і того ж [[радіус]]а<ref name="gardner215216"/>. Такі криві називаються ''многокутниками Рело''<ref name="bezdek">{{стаття
| автор    = Bezdek M.
| заголовок = On a generalization of the Blaschke-Lebesgue theorem for disk-polygons
| посилання   = http://cdm.ucalgary.ca/index.php/cdm/article/view/190
| мова     = en
| видання  = Contributions to Discrete Mathematics
| рік      = 2011
| volume   = 6
| номер    = 1 
| pages    = 77—85
| issn     = 1715-0868
}}</ref><ref name="eggleston128"/>.

[[Файл:Reuleaux polygons.svg|міні|ліворуч|180px|Правильні многокутники Рело]]
Сімейство многокутників Рело певної ширини <math>a</math> утворює [[щільна множина|щільну підмножину]] у множині всіх кривих сталої ширини <math>a</math><ref name="bezdek"/>. Іншими словами, за їх допомогою можна як завгодно точно наблизити довільну криву сталої ширини{{sfn|Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры|1951|с=98—102}}<ref name="eggleston128">{{книга-ру
 |автор         = Eggleston H. G.
 |часть         = Sets of Constant Width
 |заглавие      = Convexity
 |место         = [[Лондон|London]]
 |издательство  = Cambridge University Press
 |год           = 1958
 |allpages      = 136
 |pages         = 128
 |серия         = Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 47
 |isbn          = 0-5210-7734-6
 |ref           = Eggleston. Convexity
}}</ref>.

Серед многокутників Рело виділяють клас кривих, побудованих на основі правильних зіркоподібних многокутників. Цей клас має назву ''правильних многокутників Рело''. Всі дуги, з яких складений такого роду многокутник, мають не тільки однаковий радіус, але й однакову градусну міру<ref name="firey">{{стаття
| автор    =  Firey W. J.
| заголовок = Isoperimetric ratios of Reuleaux polygons
| посилання = http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103038230
| мова     = en
| видання  = [[Pacific Journal of Mathematics]]
| volume   = 10 
| номер    = 3 
| рік      = 1960 
| pages    = 823—829
| issn     = 0030-8730
}}</ref>. Крім того, серед усіх многокутників Рело з фіксованою кількістю сторін і однаковою шириною [[Правильний многокутник|правильні многокутники]] обмежують найбільшу площу<ref name="firey"/><ref>{{стаття
| автор     = Sallee G. T. 
| заголовок = Maximal areas of Reuleaux polygons
| мова      = en
| посилання = http://math.ca/10.4153/CMB-1970-037-1
| видання   = Canadian Mathematical Bulletin
| volume    = 13
| номер     = 2 
| рік       = 1970 
| pages     = 175—179
| doi       = 10.4153/CMB-1970-037-1
| issn      = 0008-4395
}}</ref>. Трикутник Рело належить саме до цього класу.
{{-}}

== Тривимірні аналоги ==
[[Файл:Reuleaux-tetrahedron-intersection.png|міні|Тетраедр Рело]]
{{main|Тетраедр Рело}}

[[Тривимірний простір|Тривимірним]] аналогом трикутника Рело як перетину трьох кіл є [[тетраедр Рело]]&nbsp;— перетин чотирьох однакових [[куля|куль]], центри яких розташовані у вершинах [[правильний тетраедр|правильного тетраедра]], а радіуси дорівнюють довжині сторони цього тетраедра. Однак тетраедр Рело не є тілом сталої ширини: відстань між серединами протилежних граничних криволінійних ребер, що сполучають його вершини, в
: <math>\sqrt{3}-\frac{\sqrt{2}}{2} = 1{,}02494\ldots</math>
раз більша, ніж ребро вихідного правильного тетраедра<ref name="wolfram-tetra">{{cite web
 |url         = http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTetrahedron.html
 |title       = Reuleaux Tetrahedron
 |author      = {{iw|Ерік Вайстейн|Weisstein E. W.|en|Eric W. Weisstein}}
 |work        = [[MathWorld]]
 | language=англійською
}}</ref><ref name="Kawohl-Weber">{{стаття
 |автор         = Kawohl B., Weber C.
 |заголовок     = Meissner’s Mysterious Bodies
 |посилання     = http://www.mi.uni-koeln.de/mi/Forschung/Kawohl/kawohl/pub100.pdf
 |мова          = en
 |видання       = Mathematical Intelligencer
 |рік           = 2011
 |volume        = 33
 |номер         = 3
 |pages         = 94—101
 |doi           = 10.1007/s00283-011-9239-y
 |issn          = 0343-6993
}}</ref>.

А проте, тетраедр Рело можна видозмінити так, щоб отримане тіло виявилося [[Тіло сталої ширини|тілом сталої ширини]]. Для цього в кожній з трьох пар протилежних криволінійних ребер одне ребро певним чином «згладжується»<ref name="Kawohl-Weber"/><ref name="gardner218"/>. Отримані таким способом два різних тіла (три ребра, на яких відбуваються заміни, можуть бути взяті або збіжними в одній вершині, або такі, що утворюють трикутник<ref name="gardner218">{{книга-ру
 |автор         = [[Мартін Гарднер|Gardner M.]]
 |часть         = Curves of Constant Width
 |заглавие      = The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions
 |место         = [[Чикаго|Chicago]]; [[Лондон|London]]
 |издательство  = University of Chicago Press
 |год           = 1991
 |allpages      = 264
 |pages         = 218
 |isbn          = 978-0-2262-8256-5
 |ref           = Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions
}}</ref>) називаються [[тетраедр Рело|тілами Мейсснера]], або [[тетраедр Рело|тетраедрами Мейсснера]]<ref name="wolfram-tetra"/>. Сформульована Томмі Боннесеном і Вернером Фенхелем в 1934 році<ref>{{книга
|автор          = Bonnesen T., {{iw|Вернер Феннель|Fenchel W.|en|Werner Fenchel}}
|частина        =
|заголовок      = Theorie der konvexen Körper
|оригінал       =
|посилання      =
|відповідальний =
|видання        =
|місце          = [[Берлін|Berlin]]
|видавництво    = [[Springer-Verlag]]
|рік            = 1934
|том            =
|сторінки       = 127—139
|сторінок       =
|серія          =
|isbn           =
|тираж          =
}} {{ref-de}}</ref> гіпотеза стверджує, що саме ці тіла мінімізують [[об'єм]] серед усіх тіл заданої сталої ширини, однак (станом на 2011 рік) ця гіпотеза не доведена<ref>{{стаття
 |автор         = Kawohl B.
 |заголовок     = Convex sets of constant width
 |посилання     = http://www.mi.uni-koeln.de/mi/Forschung/Kawohl/kawohl/OWR-Kawohl-0907a.pdf
 |мова          = en
 |видання       = Oberwolfach Reports
 |рік           = 2009
 |volume        = 6
 |pages         = 390—393
}}</ref><ref>{{стаття
 |автор         = Anciaux H., Guilfoyle B. 
 |заголовок      = On the three-dimensional Blaschke-Lebesgue problem
 |мова          = en
 |видання       = Proceedings of the American Mathematical Society
 |місце         = [[Провіденс|Providence]]
 |видавництво  = [[American Mathematical Society|AMS]]
 |рік           = 2011
 |volume        = 139
 |номер         = 5
 |pages         = 1831—1839
 |issn          = 0002-9939
 |doi           = 10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 
}} {{arXiv|0906.3217}}</ref>.

[[Тіла обертання|Тіло обертання]], що отримується при обертанні трикутника Рело навколо однієї з його осей симетрії, є тілом сталої ширини. Воно має найменший об'єм серед всіх тіл обертання сталої ширини<ref name="Kawohl-Weber"/><ref>{{стаття
 |автор         = Campi S., Colesanti A., Gronchi P.
 |заголовок     = Minimum problems for volumes of convex bodies
 |відповідальний = Eds. P. Marcellini, G. Talenti, E. Visintin
 |мова          = en
 |видання       = Partial Differential Equations and Applications
 |місце         = [[Нью-Йорк|New York]]
 |видавництво   = Marcel Dekker
 |рік           = 1996
 |pages         = 43—55
 |isbn          = 0-8247-9698-5
}}</ref><ref>{{стаття
 |автор         = Anciaux H., Georgiou N.
 |заголовок     = The Blaschke-Lebesgue problem for constant width bodies of revolution
 |мова          = en
}} {{arXiv|0903.4284}}</ref>.

== Коментарі ==
{{примітки|2|group="*"}}

== Примітки ==

{{reflist|2}}

== Література ==

=== Російською мовою ===
* {{книга
 |автор          = Радемахер Г., Тёплиц О.
 |частина        = Кривые постоянной ширины
 |заголовок      = Числа и фигуры. Опыты математического мышления
 |посилання      = http://math.ru/lib/bib-mat-kr/10
 |відповідальний = Пер. с нем. В. И. Контовта
 |місце         = М.
 |видавництво   = Физматгиз
 |рік           = 1962
 |сторінок      = 263
 |сторінки      = 195—211
 |серія         = «Библиотека математического кружка», выпуск 10
 |тираж         = 40000
 |ref           = Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры
}}
* {{книга
 |автор          = Яглом И. М., Болтянский В. Г.
 |частина        = Фигуры постоянной ширины
 |заголовок      = Выпуклые фигуры
 |посилання     = http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-mat-kr/4-figures.htm
 |місце         = М.-Л.
 |видавництво   = ГТТИ
 |рік           = 1951
 |сторінок      = 343
 |сторінки      = 90—105
 |серія         = «Библиотека математического кружка», выпуск 4
 |тираж         = 25000
 |ref           = Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры
}}

=== Англійською мовою ===
* {{книга
 |автор         = Eggleston H. G.
 |частина         = Sets of Constant Width
 |заголовок      = Convexity
 |місце         = [[Лондон|London]]
 |видавництво  = Cambridge University Press
 |рік           = 1958
 |allpages      = 136
 |pages         = 122—131
 |серия         = Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 47
 |isbn          = 0-5210-7734-6
 |ref           = Eggleston. Convexity
}}
* {{книга
 |автор          = [[Мартін Гарднер|Gardner M.]]
 |частина        = Curves of Constant Width
 |заголовок      = The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions
 |місце         = [[Чикаго|Chicago]]; [[Лондон|London]]
 |видавництво   = University of Chicago Press
 |рік           = 1991
 |allpages      = 264
 |pages         = 212—221
 |isbn          = 978-0-2262-8256-5
 |ref           = Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions
}}
* {{стаття
 |автор         = Gleißner W., Zeitler H.
 |заголовок     = The Reuleaux Triangle and Its Center of Mass
 |посилання     = http://people.fh-landshut.de/~gleiss/forum99/reul.eps
 |мова          = en
 |видання       = Results in Mathematics
 |рік           = 2000
 |volume        = 37
 |номер         = 3—4
 |pages         = 335—344
 |issn          = 1422-6383
}}
* {{книга
 |автор         = Moon F. C.
 |частина        = Curves of Constant Breadth
 |заголовок      = The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century
 |місце        = [[Дордрехт|Dordrecht]]
 |видавництво   = Springer
 |рік           = 2007
 |allpages      = 451
 |pages         = 239—241
 |серія         = History of Mechanism and Machine Science, Vol. 2
 |isbn          = 978-1-4020-5598-0
 |ref           = Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux
}}
* {{книга
|автор          = Peterson I.
|частина        = Rolling with Reuleaux
|заголовок      = Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles
|оригінал       = 
|посилання      = 
|відповідальний = 
|видання        = 
|місце          = [[Washington D.C.]]
|видавництво    = [[Mathematical Association of America]]
|рік            = 2002
|том            = 
|сторінки       = 141—144
|сторінок       = 180
|серія          = Spectrum Series
|isbn           = 0-8838-5537-2
|тираж          = 
|ref           = Peterson. Mathematical Treks
}}
* {{книга
|автор          = [[Франц Рело|Reuleaux F.]]
|частина        = Pairs of Elements
|заголовок      = The Kinematics of Machinery. Outlines of a Theory of Machines
|оригінал       = 
|посилання      = http://ebooks.library.cornell.edu/k/kmoddl/toc_reuleaux2.html
|відповідальний = Tr. and ed. by {{iw|Alexander Kennedy|Alexander B. W. Kennedy|en|Alexander Kennedy}}
|видання        =
|місце          = [[Лондон|London]]
|видавництво    = Macmillan and Co
|рік            = 1876
|том            =
|сторінки       = 86—168
|сторінок       = 622
|серія          =
|isbn           =
|тираж          =
}}
* {{стаття
 |автор         = Smith S.
 |заголовок     = Drilling Square Holes
 |посилання     = http://upper.us.edu/faculty/smith/reuleaux.htm
 |видання       = Mathematics Teacher
 |видавництво   = National Council of Teachers of Mathematics
 |місце         = [[Рестон (Вірджинія)|Reston]]
 |рік           = 1993
 |volume        = 86
 |номер         = 7
 |pages         = 579—583
 |issn          = 0025-5769
 |ref           = Smith. Drilling Square Holes
}}

== Посилання ==
* {{commonscat-inline|Reuleaux triangles|«трикутник Рело»}}
* Ролики серії «Математичні етюди», присвячені трикутнику Рело:
** «[http://www.etudes.ru/ru/mov/mov001/ Круглий трикутник Рело]» {{ref-ru}}
** «[http://www.etudes.ru/ru/mov/mov017/ Свердління квадратних отворів]» {{ref-ru}}
** «[http://www.etudes.ru/ru/mov/mov042/ Винаходячи колесо]» {{ref-ru}}
* {{cite web
 |url         = http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cwidth.shtml
 |title       = Shapes of constant width
 |author      = Bogomolny A.
 |work        = Cut the Knot
 |language    = англійською
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZEyNOxf?url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cwidth.shtml
 |archivedate = 2013-06-22
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = no
}}
* {{cite web
 |url         = http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/reuleaux.html
 |title       = Reuleaux Triangles
 |author      = Eppstein D
 |work        = Geometry Junkyard
 |language    = англійською
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZEzHdul?url=http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/reuleaux.html
 |archivedate = 2013-06-22
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = no
}}
* {{cite web
 |url         = http://whistleralley.com/reuleaux/reuleaux.htm
 |title       = Reuleaux Triangle
 |author      = Kunkel P
 |work        = Whistler Alley Mathematics
 |language    = англійською
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZEzvfEw?url=http://whistleralley.com/reuleaux/reuleaux.htm
 |archivedate = 2013-06-22
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = no
}}
* {{cite web
 |url         = http://www.maa.org/mathland/mathland_10_21.html
 |title       = Rolling with Reuleaux
 |work        = Ivars Peterson’s MathLand
 |author      = Peterson I
 |publisher   = Mathematical Association of America
 |language    = англійською
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZF0gLh8?url=http://www.maa.org/mathland/mathland_10_21.html
 |archivedate = 2013-06-22
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = yes
}}
* {{cite web
 |url         = http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/
 |title       = Reuleaux Triangle
 |author      = Taimina D., Henderson D. W.
 |publisher   = [[Корнельський університет|Cornell University]]
 |work        = Kinematic Models for Design Digital Library
 |language    = англійською
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/6HZEngfet?url=http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/
 |archivedate = 2013-06-22
 |accessdate  = 2011-10-04
 |deadurl     = no
}}
* {{MathWorld|title=Reuleaux Triangle|urlname=ReuleauxTriangle}}
{{Криві}}
{{Трикутник}}
{{Вибрана стаття}}

[[Категорія:Криві]]
[[Категорія:Геометричні фігури]]