Перегляд вихідного коду сторінки Тригонометрія

'''Тригономе́трія''' (від {{lang-el|τρίγονο}}&nbsp;— трикутник та ''μετρειν''&nbsp;— вимірюю, тобто буквально ''вимірювання трикутників'')&nbsp;— розділ [[елементарна математика|елементарної математики]], що лежить на перетині [[алгебра|алгебри]] та [[геометрія|геометрії]] і вивчає співвідношення між сторонами й [[кут]]ами [[трикутник]]ів, дозволяючи проводити кутові [[обчислення]] через спеціально визначені [[Функція (математика)|функції]] [[кут]]ів.

Визначені для [[прямокутний трикутник|прямокутного трикутника]] [[тригонометричні функції]] є основним інструментом тригонометрії, що значно полегшує обчислення, оскільки ці функції дозволяють замінити геометричні побудови алгебраїчними операціями.
[[Файл:Fotothek_df_tg_0004503_Geometrie_^_Trigonometrie.jpg|thumb|320px|Титульна сторінка «Тригонометрії» (перевидання 1612 року) В.&nbsp;Пітіска, що дала назву однойменному розділу математики]]

== Історичні відомості ==
{{main|Історія тригонометрії}}
Деякі відомості з науки, що пізніше одержала назву «тригонометрія», були ще у [[Стародавній Єгипет|стародавніх єгиптян]]<ref>''К.&nbsp;І.&nbsp;Швецов, Г.&nbsp;П.&nbsp;Бевз'' Довідник з елементарної математики, 1967, К.: Наукова думка.&nbsp;— C. 250—252.</ref>. У [[папірус Ахмеса|папірусі Ахмеса]] є п'ять задач, що стосуються вимірювання [[піраміда (споруда)|пірамід]], у яких згадується якась функція кута&nbsp;— «сект». Є думка, що «сект» відповідає котангенсу кута. Застосування цієї функції мало суто практичну причину: єгипетські [[архітектор]]и будували піраміди, строго дотримуючись одного й того самого значення кута нахилу бічної [[грань (геометрія)|грані]] до [[основа (геометрія)|основи]] (52°) і кута між [[ребро (геометрія)|ребром]] та [[діагональ|діагоналлю]] основи (42°). А для цього треба було знати відповідні відношення між лінійними елементами чотирикутної піраміди.

Вавилоняни так само мали деякі знання з цієї галузі математики: вони запровадили поділ кола на 360° та поділ градуса на 60 частин, що відповідало прийнятій у стародавній [[Месопотамія|Месопотамії]] [[Шістдесяткова система числення|шістдесятковій системі числення]]. Для вимірювання кутів вавилоняни користувалися примітивною [[астролябія|астролябією]].

[[Стародавні греки]] вміли розв'язувати багато тригонометричних задач, але вони застосовували геометричні, а не алгебраїчні методи.

Тригонометричну функцію [[синус]] вперше запровадили стародавні індійці в ''«[[Сур'я Сіддханті]]»''. Властивості цієї функції дослідив індійський математик [[5 століття]] [[Аріабхата I]]<ref>{{cite book |first=''Carl B.'' |last=''Boyer'' |authorlink=Карл Боєр |title=A History of Mathematics |edition=Second Edition |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |year=1991 |pages=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/215 215] |isbn=0471543977 |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/215 }}
</ref>. Подальший внесок у розвиток тригонометрії зробили арабські математики. До [[10 століття]] вони оперували всіма тригонометричними функціями і протабулювали їх. В [[Європа|Європу]] поняття тригонометричних функцій прийшло з перекладами праць [[аль-Баттані]] та [[Ат-Тусі]]. Однією з перших праць європейської математики, присвячених тригонометрії була книга ''«De Triangulis»'' німецького математика [[15 століття]] [[Регіомонтан]]а. Проте, ще в 16 столітті тригонометрія була мало відома. [[Миколай Коперник]] змушений був посвятити її опису 2 окремих розділи в своїй праці ''«[[Про обертання небесних сфер]]»'' ({{lang-la|«De revolutionibus orbium coelestium»}}).

Швидкий подальший розвиток тригонометрії був зумовлений вимогами [[навігація|навігації]] та [[картографія|картографії]]<ref>{{cite book | last = ''Grattan-Guinness'' | first = ''Ivor'' | year = 1997 | title = The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences | url = https://archive.org/details/rainbowofmathema0000grat | publisher = W.W. Norton | isbn = 0-393-32030-8}}</ref>. Сам термін ''тригонометрія'' запровадив, опублікувавши в [[1595]] книгу під такою ж назвою, німецький математик [[Варфоломей Пітіск]] ({{lang-de|Bartholomäus Pitiscus}}, 1561—1613)<ref>{{Cite web |url=http://books.google.com/books?id=MTXdplfiz-cC&pg=PA153&vq=pitiscus&sig=iUWyiMp6dVhUH74BC8LFt9id1JE |title=Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries |accessdate=23 березня 2011 |archive-date=1 січня 2014 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140101045432/http://books.google.com/books?id=MTXdplfiz-cC&pg=PA153&vq=pitiscus&sig=iUWyiMp6dVhUH74BC8LFt9id1JE }}</ref>. [[Гемма Фрізій]] описав метод [[Тріангуляція (геометрія)|триангуляції]].

Із становленням [[математичний аналіз|математичного аналізу]] тригонометрія отримала нові методи. Завдяки працям [[Брук Тейлор|Брука Тейлора]] та [[Колін Маклорен|Коліна Маклорена]] тригонометричні функції отримали представлення у вигляді [[ряд Тейлора|рядів]]<ref>''William Bragg Ewald'' (2008).[http://books.google.com/books?id=AcuF0w-Qg08C&pg=PA93&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140101064055/http://books.google.com/books?id=AcuF0w-Qg08C&pg=PA93&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false|date=1 січня 2014}}. [[Oxford University Press|Oxford University Press US]]. p.93. ISBN 0-19-850535-3</ref>. [[Формула Муавра]] встановила зв'язок між тригонометричними функціями та [[Показникова функція|експонентою]]. [[Леонард Ейлер]] розширив означення тригонометричних функцій на [[комплексна площина|комплексну площину]].

== Тригонометричні функції ==
[[Файл:Rtriangle.svg|міні|160px|праворуч|Прямокутний [[трикутник]]]]
Тригонометрія ґрунтується на [[Подібність (геометрія)|співвідношенні подібності]]. Трикутники з двома рівними кутами подібні, тому подібні [[прямокутний трикутник|прямокутні трикутники]], в яких рівний один гострий кут. Відношення довжин сторін у подібних трикутників однакове, тому відношення сторін прямокутних трикутників залежить тільки від одного параметра&nbsp;— величини гострого кута. Ця обставина дозволяє означити тригонометричні функції: [[синус]], [[косинус]], [[тангенс]], [[котангенс]], [[секанс]] і [[косеканс]], через відношення різних сторін прямокутного трикутника.

Нехай ABC&nbsp;— [[прямокутний трикутник]]. C&nbsp;— вершина [[прямий кут|прямого кута]], AB&nbsp;— [[гіпотенуза]], AC і BC&nbsp;— [[катет]]и, α&nbsp;— кут BAC.

=== Прямі тригонометричні функції ===
{{main|Тригонометричні функції}}

{| class="wikitable"
! !! Формула !! Назва !! Визначення
|-
! <math>\ \sin \alpha</math>
| sin α =BC/AB=a/c || [[синус]] || [[відношення]] протилежного [[катет]]а до [[гіпотенуза|гіпотенузи]]
|-
! <math>\ \cos\; \alpha</math>
| cos α =AC/AB=b/c || [[косинус]] || відношення прилеглого катета до гіпотенузи
|-
! <math>\ \text{tg}\; \alpha </math>
| tg α =BC/AC=a/b || [[тангенс]] || відношення протилежного катета до прилеглого
|-
! <math>\ \text{ctg}\; \alpha</math>
| ctg α =AC/BC=b/a || [[котангенс]] || відношення прилеглого катета до протилежного
|-
! <math>\ \text{sec}\; \alpha</math>
| sec α =AB/AC=c/b || [[секанс]] || відношення гіпотенузи до прилеглого катета
|-
! <math>\ \text{csc}\; \alpha</math>
| csc α =AB/BC=c/a || [[косеканс]] || відношення гіпотенузи до протилежного катета
|}

[[Файл:Circle-trig7.svg|thumb|300px|Тригонометричні функції кута θ всередині одиничного кола]]
Наведені у таблиці визначення дозволяють обчислити значення функцій для гострих кутів, тобто від 0° до 90° (від 0 до <math>\pi \over 2</math> радіан). У XVIII столітті [[Леонард Ейлер]] дав сучасні, загальніші визначення, розширивши область визначення цих функцій на всю [[числова вісь|числову вісь]]. Якщо розглянути у [[Прямокутна система координат|прямокутній системі координат]] [[коло]] одиничного радіуса (див. малюнок) і відкласти від горизонтальної осі кут <math>\theta</math> (додатня величина кута відкладається проти годинникової стрілки, у протилежному випадку&nbsp;— за годинниковою стрілкою). Точку перетину побудованої сторони кута з колом позначено ''A''. Тоді:
* [[Синус]] кута <math>\theta</math> визначається як [[ордината]] точки ''A''.
* [[Косинус]]&nbsp;— [[абсциса]] точки ''A''.
* [[Тангенс]]&nbsp;— відношення синуса до косинуса.
* [[Котангенс]]&nbsp;— відношення косинуса до синуса (тобто величина, обернена до тангенса).
* [[Секанс]]&nbsp;— величина, обернена до косинуса.
* [[Косеканс]]&nbsp;— величина, обернена до синуса.
Для гострих кутів нові визначення збігаються з попередніми.

Можливим є також чисто аналітичне визначення цих функцій, що не пов'язане з геометрією і представляє кожну функцію її розкладанням у нескінчений ряд.

==== Властивості функції ''sin'' ====
[[Файл:Bekesii Sinx.jpeg|thumb|right|150px|Синус (''sin'')]]
# Область визначення функції&nbsp;— [[множина]] усіх дійсних чисел: <math>D(y) = R</math>.
# Множина значень&nbsp;— проміжок [−1; 1]: <math>E(y)</math> = [−1;1].
# Функція <math> y = \sin \left( \alpha \right) </math> є непарною: <math> \sin \left( - \alpha \right)  =  - \sin \alpha \,</math>.
# Функція є періодичною, найменший додатній період становить <math>2\pi</math>: <math> \sin \left( \alpha + 2 \pi \right) = \sin \left( \alpha \right) </math>.
# [[Графік функції]] перетинає вісь '''Ох''' при <math> \alpha = \pi n \,, n \in Z \,</math>.
# Проміжки знакосталості: <math>y > 0</math> при <math> \left( 2\pi n + 0; \pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z </math> і <math> y < 0 </math> при <math>\left( \pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z </math>.
# Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу: <math>( \sin \alpha )' = \cos \alpha \,</math>
# Функція <math> y = \sin \alpha </math> зростає при <math> \alpha \in  \left( - \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z </math>, і спадає при <math> \alpha \in \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; 3\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z </math>.
# Функція має мінімум при <math> \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \,, n \in Z </math> і максимум при <math> \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \,, n \in Z </math>.

==== Властивості функції ''cos'' ====
[[Файл:Bekesii Cosx.jpeg|thumb|right|150px|Косинус (''cos'')]]
# Область визначення функції&nbsp;— множина усіх дійсних чисел: <math>D(y) = R</math>.
# Множина значень&nbsp;— проміжок [−1; 1]: <math>E(y)</math> = [−1;1].
# Функція <math> y = \cos \left( \alpha \right) </math> є парною: <math> \cos \left( - \alpha \right)  =  \cos \alpha \,</math>.
# Функція є періодичною, найменший додатній період дорівнює <math>2\pi</math>: <math> \cos \left( \alpha + 2 \pi \right) = \cos \left( \alpha \right) </math>.
# Графік функції перетинає вісь '''Ох''' при <math> \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \,, n \in Z \,</math>.
# Проміжки знакосталості: <math>y > 0</math> при <math> \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z </math> і <math> y < 0 </math> при <math>\left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; 3\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z .</math>
# Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу: <math>( \cos \alpha )' = -\sin \alpha \,</math>
# Функція <math> y = \cos \alpha </math> зростає при <math> \alpha \in  \left( -\pi + 2\pi n; 2\pi n \right) \,, n \in Z ,</math> і спадає при <math> \alpha \in \left( 2\pi n; \pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z .</math>
# Функція має мінімум при <math> \alpha = \pi + 2\pi n \,, n \in Z </math> і максимум при <math> \alpha = 2\pi n \,, n \in Z .</math>

==== Властивості функції ''tg'' ====
[[Файл:Graf tangens.png|thumb|right|150px|Тангенс (''tg'')]]
# Область визначення функції&nbsp;— множина усіх дійсних чисел: <math>D(y) = R</math>, крім чисел <math> \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n . </math>
# Множина значень&nbsp;— множина всіх дійсних чисел: <math> E(y) = R . </math>
# Функція <math> y = \mathrm{tg} \left( \alpha \right) </math> є непарною: <math> \mathrm{tg} \left( - \alpha \right)  =  - \mathrm{tg}\ \alpha \,</math>.
# Функція є періодичною, найменший додатній період становить <math>\pi</math>: <math> \mathrm{tg} \left( \alpha + \pi \right) = \mathrm{tg} \left( \alpha \right) </math>.
# Графік функції перетинає вісь '''Ох''' при <math> \alpha = \pi n \,, n \in Z \,</math>.
# Проміжки знакосталості: <math> y > 0 </math> при <math> \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z </math> і <math> y < 0 </math> при <math>\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi n \right) \,, n \in Z </math>.
# Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргумента з області визначення: <math>( \mathop{\operatorname{tg}}\, x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},</math>
# Функція <math> y = \mathrm{tg}\ \alpha </math> зростає при <math> \alpha \in  \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z </math>.

==== Властивості функції ''ctg'' ====
[[Файл:Graf kotangens.png|thumb|right|150px|Котангенс (''ctg'')]]
# Область визначення функції&nbsp;— множина всіх дійсних чисел: <math>D(y) = R,</math> крім чисел <math> \alpha = \pi n .</math>
# Множина значень&nbsp;— множина всіх дійсних чисел: <math> E(y) = R .</math>
# Функція <math> y = \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha \right) </math> є непарною: <math> \mathop{\operatorname{ctg}} \left( - \alpha \right)  =  - \mathop{\operatorname{ctg}}\ \alpha \,.</math>
# Функція є періодичною, найменший додатній період дорівнює <math>\pi</math>: <math> \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha + \pi \right) = \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha \right) .</math>
# Графік функції перетинає вісь '''Ох''' при <math> \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \,, n \in Z \,.</math>
# Проміжки знакосталості: <math> y > 0 </math> при <math> \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z </math> і <math> y < 0 </math> при <math>\left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \pi \left( n + 1 \right) \right) \,, n \in Z .</math>
# Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу з області визначення: <math>( \mathop{\operatorname{ctg}}\, x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x}.</math>
# Функція <math> y = \mathop{\operatorname{ctg}}\ \alpha </math> спадає при <math> \alpha \in  \left( \pi n; \pi \left( n + 1 \right) \right) \,, n \in Z .</math>

=== Обернені тригонометричні функції ===
{{main|Обернені тригонометричні функції}}

Для кожної прямої тригонометричної функції існує обернена. Назви оберенних функцій утворюються додаванням префікса ''арк-'' до назви відповідної прямої функції. Наприклад,
: <math>\ \arcsin\; x</math>&nbsp;— арксинус, кут, синус якого дорівнює х;
: <math>\ \arccos\; x</math>&nbsp;— арккосинус, кут, косинус якого дорівнює х.
: <math>\ \text{arctg}\; x</math>&nbsp;— арктангенс, кут, тангенс якого дорівнює х.

=== Формули переходу ===
: <math>\sin^2x+\cos^2x=1\!</math>

Це співвідношення є наслідком [[теорема Піфагора|теореми Піфагора]] й називається [[тригонометрична одиниця|тригонометричною одиницею]].

: <math>\text{tg}\,x=\frac{\sin x} {\cos x}\!</math>
: <math>\text{ctg}\,x=\frac{\cos x} {\sin x}\!</math>

== Основні теореми тригонометрії ==
Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції дозволяють розв'язувати довільні трикутники з використанням основних теорем: [[теорема синусів|теореми синусів]], [[теорема косинусів|теореми косинусів]] й [[теорема тангенсів|теореми тангенсів]].

=== Теорема синусів ===
''[[Теорема синусів]]'' стверджує, що відношення синуса кута до довжини протилежної сторони трикутника однакова для всіх кутів трикутника. Для плоского трикутника зі сторонами <math>a, b, c</math> і відповідними протилежними до них кутами <math>A, B, C</math> можна записати:
: <math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,</math>
де <math>R</math>&nbsp;— радіус [[описане коло|описаного кола]] навколо трикутника.
: <math>R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}.</math>

=== Теорема косинусів ===
За ''[[теорема косинусів|теоремою косинусів]]'', квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Для плоского трикутника зі сторонами <math>a, b, c</math> і кутом <math>C</math>, між сторонами <math>a, b</math>:
: <math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,</math>
або:
: <math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\,</math>
Теорема косинусів дозволяє визначити довжину третьої сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін та значення кута між ними.

=== Теорема тангенсів ===
''[[Теорема тангенсів]]''&nbsp;— теорема про співвідношення між двома сторонами довільного трикутника і тангенсами півсуми й піврізниці протилежних до них кутів записується рівнянням (формула Регіомонтана):
: <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathop{\operatorname{tg}}\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}{\mathop{\operatorname{tg}}\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}</math>

=== Площа трикутника ===
[[Площа]] трикутника теж може бути визначена через тригонометричні функції: вона дорівнює половині добутку прилеглих сторін на синус кута між ними:
: <math>A = \frac{1}{2}ab\sin C .\,</math>

== Найпростіші тригонометричні рівняння ==
{{Див. також|Тригонометричне рівняння}}
[[Рівняння]], в яких фігурують тригонометричні функції, називають ''[[Тригонометричне рівняння|тригонометричними]]''. Найпростіші з них мають аналітичні розв'язки, завдяки існуванню обернених тригонометричних функцій. Оскільки тригонометричні функції періодичні, такі розв'язки не єдині, а визначаються з точністю до періоду.

: <math>\begin{matrix}
\sin x=a & (|a|\le1) & x=(-1)^n \arcsin a + \pi n \\
\cos x=a & (|a|\le1)& x=\pm \arccos a + 2 \pi n \\
\text{tg}\, x=a & & x=\text{arctg}\, a + \pi n \\
\text{ctg}\, x=a & & x=\text{arcctg}\, a + \pi n, n \in \Z \\
\end{matrix}</math>

== Формули перетворення тригонометричних виразів ==
{{main|Список тригонометричних тотожностей}}

Синус та косинус суми/різниці
: <math>\sin(x+y)=\sin x \cos y + \cos x \sin y \!</math>
: <math>\sin(x-y)=\sin x \cos y - \cos x \sin y \!</math>
: <math>\cos(x+y)=\cos x \cos y - \sin x \sin y \!</math>
: <math>\cos(x-y)=\cos x \cos y + \sin x \sin y \!</math>

Сума/різниця синусів та косинусів
: <math>\sin x + \sin y = 2 \sin{\frac{x+y}{2}} \cos{\frac{x-y}{2}} \!</math>
: <math>\sin x - \sin y = 2 \sin{\frac{x-y}{2}} \cos{\frac{x+y}{2}} \!</math>
: <math>\cos x + \cos y = 2 \cos{\frac{x+y}{2}} \cos{\frac{x-y}{2}} \!</math>
: <math>\cos x - \cos y =-2 \sin{\frac{x+y}{2}} \sin{\frac{x-y}{2}} \!</math>

== Формула Ейлера ==
{{Main|Формула Ейлера}}
''Формула Ейлера''&nbsp;— співвідношення, що пов'язує [[комплексні числа|комплексну]] [[Показникова функція|експоненту]] з [[тригонометричні функції|тригонометричними функціями]]. Названа на честь [[Леонард Ейлер|Леонарда Ейлера]], який її запропонував.

Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого [[дійсне число|дійсного числа]] <math>x</math> виконується рівність:
: <math>~e^{ix}=\cos x+i\sin x</math>,
де <math>e</math>&nbsp;— [[E (число)|основа натурального логарифма]],
: <math>i</math>&nbsp;— [[уявна одиниця]].

Формула Ейлера надає зв'язок між [[математичний аналіз|математичним аналізом]] й тригонометрією, а також дозволяє інтерпретувати функції синуса і косинуса як [[Вагова функція|зважені суми]] експоненціальної функції:

: <math>\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2},</math>
: <math>\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.</math>

Наведені рівняння можуть бути отримані додаванням або відніманням формул Ейлера:

: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \;,</math>

: <math>e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x)  = \cos x - i \sin x \;.</math>

з подальшим розв'язанням відносно синуса або косинуса.

Також ці формули можуть слугувати визначенням тригонометричних функцій комплексною змінною. Наприклад, виконуючи підстановку {{math|''x'' {{=}} ''iy''}}, отримуємо:

: <math> \cos iy =  {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \operatorname{ch} y ,</math>

: <math> \sin iy =  {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -{1 \over i} {e^{y} - e^{-y} \over 2} = i\operatorname{sh} y. </math>

Комплексні експоненти дозволяють спростити тригонометричні розрахунки, оскільки ними простіше маніпулювати, ніж синусоїдальними компонентами. Один з підходів передбачає перетворення синусоїд у відповідні експоненціальні вирази. Після спрощення результат виразу залишається дійсним. Суть другого підходу у представленні синусоїд як дійсних частин комплексного виразу і проведення маніпуляцій безпосередньо з комплексним виразом.

== Сферична тригонометрія ==
{{Main|Сферична тригонометрія}}
''Сферична тригонометрія''&nbsp;— розділ [[сферична геометрія|сферичної геометрії]] головними об'єктами якого є [[многокутник]]и (особливо [[трикутник]]и) на [[сфера|сфері]] та співвідношення між сторонами і кутами. Виникнення сферичної геометрії пов'язане з задачами сферичної астрономії.

Основними елементами сферичної геометрії є точки та великі кола сфери. Великі кола є геодезичними лініями сфери, тому вони в сферичній геометрії відіграють роль, аналогічну ролі прямих у планіметрії. Віддаль між двома точками в сферичній геометрії вимірюється кутом між радіусами сфери, проведеними в ці точки. Кут між двома «прямими» дорівнює двогранному кутові між площинами великих кіл, які визначають ці «прямі». Дві будь-які «прямі» в сферичній геометрії перетинаються у двох точках і розбивають поверхню сфери на 4 двокутники. Три «прямі», перетинаючись попарно, утворюють 8 сферичних трикутників. Ці трикутники мають багато незвичайних властивостей, які відрізняють їх від плоских трикутників. Наприклад, сума кутів сферичного трикутника завжди більша за 180° і менша за 540°.

Сторони і кути сферичного трикутника пов'язані залежностями:
: <math>\frac{\sin\frac{a}{R}}{\sin A}=\frac{\sin\frac{b}{R}}{\sin B}=\frac{\sin\frac{c}{R}}{\sin C};</math>
: <math>\cos\frac{c}{R}=\cos\frac{a}{R}\cos\frac{b}{R}+\sin\frac{a}{R}\sin\frac{b}{R}\cos C;</math>
: <math>\cos\frac{a}{R}=\frac{\cos A + \cos B\cos C}{\sin B\sin C}.</math>
де <math>a, b, c</math>&nbsp;— сторони сферичного трикутника; <math>A, B, C</math>&nbsp;— кути, протилежні до цих сторін; <math>R</math>&nbsp;— [[радіус]] сфери.

Сферична тригонометрія дуже важлива в астрономічних обчисленнях, а також в орбітальній, космічній навігації та навігації на поверхні Землі.

== Застосування ==
Тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх областях геометрії, фізики й інженерної справи. Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до недалеких зірок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Також слід відзначити застосування тригонометрії в таких областях, як [[теорія музики]], [[акустика]], [[оптика]], [[Фундаментальний аналіз|аналіз фінансових ринків]], [[електроніка]], [[теорія ймовірностей]], [[статистика]], [[біологія]], [[медицина]] (включаючи [[Медична акустика|ультразвукове дослідження]] (УЗД) і [[Комп'ютерна томографія|комп'ютерну томографію]]), [[фармацевтика]], [[хімія]], [[теорія чисел]] (і, як наслідок, [[криптографія]]), [[сейсмологія]], [[метеорологія]], [[океанологія]], [[картографія]], [[фізика]], [[топографія]] та [[геодезія]], [[архітектура]], [[фонетика]], [[економіка]], [[Електроніка|електронна техніка]], [[машинобудування]], [[комп'ютерна графіка]], [[кристалографія]].

== Див. також ==
{{commonscat|Trigonometry}}
* [[Таблиця інтегралів тригонометричних функцій]]
* [[Таблиця інтегралів обернених тригонометричних функцій]]
* [[Список тригонометричних тотожностей]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* ''Барановська Г. Г., Ясінський В. В.'' Тригонометрія. Індивідуальна атестаційна робота №&nbsp;2.—К.: НТУУ «КПІ», 2001.— 108 с.&nbsp;— (Серія «На допомогу абітурієнту»)
* ''Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М.'' Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. з поглибленим вивченням математики в середніх закладах освіти.&nbsp;— К.:Освіта, 2000.&nbsp;— 318 с.
* ''Шкіль М. І., Слєпкань З. І., [[Дубинчук Олена Степанівна|Дубинчук О. С.]]'' Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закладів.&nbsp;— 2-ге вид.&nbsp;— Зодіак-ЕКО, 2001.&nbsp;— 656 с.
* ''Швецов К. І., Бевз Г. П.'' Довідник з елементарної математики.&nbsp;— 1967, К.: Наукова думка.&nbsp;— 656 с.
* ''Андронов И. К., Окунев А. К.'' Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач.&nbsp;— М.: Просвещение, 1967.&nbsp;— 648 с.
* ''Волынский Б. А.'' Сферическая тригонометрия.&nbsp;— М.: Наука, 1977.&nbsp;— 136 с.
* ''Корн Г., Корн Т.'' Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984.&nbsp;— 830 c.

== Посилання ==
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53410/22266.html Тригонометрія]}}
* [http://fizma.net/index.php?idi=alg/trig Динамічні математичні моделі FIZMA.neT] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220401134416/http://fizma.net/index.php?idi=alg%2Ftrig |date=1 квітня 2022 }}
* ''David Joyce'' [http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ Dave's Short Course in Trigonometry] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080615133310/http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ |date=15 червня 2008 }} ({{li|Університет Кларка|Q=Q1095773}}) {{ref-en}}
* ''Michael Corral'' [https://www.mecmath.net/trig/ Trigonometry] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130729114530/http://www.mecmath.net/trig/trigbook.pdf |date=29 липня 2013 }} (поширюється на умовах [[GNU Free Documentation License]]) {{ref-en}}
{{Бібліоінформація}}
{{Математика-footer}}

[[Категорія:Тригонометрія| ]]