Перегляд вихідного коду сторінки Тригонометричні функції

{{unibox}}{{Тригонометрія}}
'''Тригонометри́чні фу́нкції'''&nbsp;— [[функція (математика)|функції]] [[кут]]а. Вони можуть бути визначені як [[відношення чисел|відношення]] двох сторін та [[кут]]а [[трикутник]]а або як відношення [[Декартові координати|координат]] точок кола. Відіграють важливу роль при [[Дослідження функції|дослідженні]] періодичних функцій та багатьох об'єктів. Наприклад, при дослідженні [[Ряд (математика)|рядів]], [[Диференціальні рівняння|диференціальних рівнянь]].

Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями.

* '''синус''' (<math>\sin \alpha</math>);
* '''косинус''' (<math>\cos \alpha</math>);
* '''тангенс''' (<math>\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}</math>);
* '''котангенс''' (<math>\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}</math>);
* '''секанс''' (<math>\sec \alpha = \tfrac {1} {\cos \alpha}</math>);
* '''косеканс''' (<math>\operatorname{cosec} \alpha = \tfrac {1} {\sin \alpha}</math>);

== Означення ==

=== Геометричне визначення ===
[[Файл:Trigonometry_function2.png|thumb|right|300px|Визначення кутів за допомогою прямокутного трикутника.]] 
[[Файл:Circle-trig6.svg|thumb|right|300px|Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі.]]

Тригонометричні функції можна визначити розглянувши [[прямокутний трикутник]]. <br />Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого [[катет]]а до довжини [[гіпотенуза|гіпотенузи]]:
:<math>\cos \alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c},~~~\cos \beta=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}~.</math>
Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи:
:<math>\sin \alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c},~~~\sin \beta=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}~.</math>
Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета:
:<math>\operatorname{tg}\alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b},~~~\operatorname{tg}\beta=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}~.</math>
Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета:
:<math>\operatorname{ctg}\alpha=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a},~~~\operatorname{ctg}\beta=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}~.</math>
Аналогічним чином можна визначити тригонометричні функції на колі з одиничним радіусом.

[[Файл:Sine cosine one period.svg|400px|right|thumb|Один період функцій <math>\sin x</math> та <math>\cos x</math>]]

<math>\sin x</math> та <math>\cos x</math> — це [[періодичні функції]] із періодом <math>\ 2 \pi</math>,<br /><math>\operatorname{tg} x</math> та <math>\operatorname{ctg} x</math> мають період <math>\ \pi.</math>

Співвідношення, наведені нижче, дозволяють виразити значення тригонометричних функцій від довільного дійсного арґументу через значення функцій для аргументу з інтервалу <math>\left[0,{\pi \over 2}\right]</math>

:<math>\sin x = \cos \left({\pi \over 2} -x\right)</math>
:<math>\cos x = \sin \left({\pi \over 2} -x\right)</math>
:<math>\operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} \left({\pi \over 2} -x\right)</math>
:<math>\operatorname{ctg} x = \operatorname{tg} \left({\pi \over 2} -x\right)</math>

== Основні співвідношення ==
{{main|Список тригонометричних тотожностей}}
[[Файл:Trigonometric_functions.svg|thumb|right|400px|]]

Наступне співвідношення випливає із [[теорема Піфагора|теореми Піфагора]]:
:<math>~\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math>

== Теореми додавання та формули для кратних кутів ==

=== Формули для функцій суми кутів ===
З основного співвідношення

: <math>\sin {\left ( \alpha + \beta \right ) }= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta</math>

отримуємо

{|-
|<math>\sin {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } =  \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,</math>
|-
|<math>\cos {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } =  \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta,</math>
|-
|<math>\operatorname{tg} {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = { {\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta} \over {1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} },~~~ \operatorname{ctg} {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = { {\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1} \over  {\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg} \alpha} }</math>
|-
|}

=== Формули для функцій подвійних кутів ===

{|
|<math>\sin {2 \alpha} = 2 \sin \alpha \cos \alpha</math>
|-
|<math>\cos {2 \alpha } = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha</math>
|-
|<math>\operatorname{tg} {2 \alpha} = {{2 \operatorname{tg} \alpha} \over {1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} }~,~~~\operatorname{ctg} {2 \alpha} = {{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1} \over {2 \operatorname{ctg} \alpha} } = { 1 \over 2 } { \left ( \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha \right ) }</math>
|}

=== Формули для функцій потрійних кутів ===

{|
|<math>\sin {3 \alpha } = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha~,~~~\cos {3 \alpha} = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha</math>
|}

=== Формули для функцій половинних кутів ===

{|
|<math>\sin {\alpha \over 2} = \sqrt { {1 - \cos \alpha} \over 2}~,~~~\cos {\alpha \over 2} = \sqrt { {1 + \cos \alpha} \over 2}</math>
|-
|<math>\operatorname{tg} {\alpha \over 2} = {\sin \alpha \over {1 + \cos \alpha}} = {{1 - \cos \alpha} \over \sin \alpha}~,~~~
\operatorname{ctg} {\alpha \over 2} = {\sin \alpha \over {1 - \cos \alpha}} = {{1 + \cos \alpha} \over \sin \alpha}</math>
|}

=== Формули для суми функцій кута ===

{|
|<math>a \sin A + b \cos A = r \sin {\left( A + B \right )} = r \cos \left( {\pi \over 2} - A -B \right) = \sqrt {a^2 + b^2} \sin {\left( A + \operatorname{arctg} {b \over a} \right )},~{r = \sqrt {a^2 + b^2}},~  {tg B = {b \over a} }</math>
|}
{|
|<math>\sin A \pm \sin B = 2 \sin {{A \pm B} \over 2} \cos {{A \mp B} \over 2}</math>
|-
|<math>\cos A + \cos B = 2 \cos {{A + B} \over 2} \cos {{A - B} \over 2}</math>
|-
|<math>\cos A - \cos B = - 2 \sin {{A + B} \over 2} \sin {{A - B} \over 2}</math>
|-
|<math>\operatorname{tg} A \pm \operatorname{tg} B = {\sin {A \pm B} \over {\cos A \cos B}}~,~~
\operatorname{ctg} A \pm \operatorname{ctg} B = {\sin {B \pm A} \over {\sin A \sin B}}</math>
|}

Формула для суми будь-якої кількості синусів кутів із їх зсувом і отримання однієї функції кута:
{|
| <math>A \sin( x + \alpha ) + B \sin( x + \beta ) + C \sin( x + \gamma ) + ... = Y \sin x + Z \cos x = \sqrt {Y^2 + Z^2} \sin( x + \operatorname{arctg} {Z \over Y} ),~{Y = A \cos( \alpha ) + B \cos( \beta ) + C \cos( \gamma ) + ... },~{Z = A \sin( \alpha ) + B \sin( \beta ) + C \sin( \gamma ) + ... }</math>
|}

=== Загальні формули для функцій кратних кутів ===
Якщо <math>n</math> є цілим додатним числом, то
{|
|<math>\sin {n A} = {n \choose 1} \cos^{n -1} A \sin A - {n \choose 3} \cos^{n - 3} A \sin^3 A + {n \choose 5} \cos^{n - 5} A \sin^5 A \mp \cdots </math>
|-
||<math>\cos {n A} = \cos^n A - {n \choose 2} \cos^{n - 2} A \sin^2 A + {n \choose 4} \cos^{n - 4} A \sin^4 A \mp \cdots </math>
|}

== Загальні формули для степенів функцій ==
Якщо ''n'' є цілим непарним числом, то

{|
|<math>\sin^n x = { {(-1)^{{n-1} \over 2}} \over {2^{n-1}} }
\left [ 
            \sin {n x} 
            - 
            {n \choose 1}
            \sin {(n-2)  x}
            +
            {n \choose 2}
            \sin {(n - 4)  x}
            -
            {n \choose 3}
            \sin {(n - 6)  x}
            + \cdots +
            (-1)^{{n-1} \over 2} 
            {n \choose {{n-1} \over 2}}
            \sin x
\right ]
</math>
|}

{|
|<math>\cos^n x = { \left ( { 1 \over 2 } \right ) }^{n - 1}
\left [ 
            \cos {n x} 
            + 
            {n \choose 1}
            \cos {(n-2)  x}
            +
            {n \choose 2}
            \cos {(n - 4)  x}
            +
            {n \choose 3}
            \cos {(n - 6)  x}
            +
            \cdots
            +
            {n \choose {{n-1} \over 2}}
            \cos x
\right ]
</math>
|}

Якщо ''n'' є цілим парним числом, то

{|
|<math>\sin^n x = {{{\left ( -1 \right )}^{{n \over 2}} } \over {2^{n - 1} } }
\left [ 
            \cos {n x} 
            - 
            {n \choose 1} 
            \cos {(n-2)  x}
            +
            {n \choose 2}
            \cos {(n-4)  x}
            -
            {n \choose 3} 
            \cos {(n-6)  x}
            +
            \cdots
            +
            {\left ( -1 \right )}^{{n-2} \over 2} 
            {n \choose {{n-2} \over 2}}
            \cos {2 x} 
\right ]
            +
            {1 \over 2^n}{n \choose {n \over 2}}
</math>
|}

{|
|<math>\cos^n x = {\left ( {1 \over 2} \right ) }^{n - 1}
\left [ 
            \cos {n x} 
            + 
            {n \choose 1} 
            \cos {(n - 2)  x}
            +
            {n \choose 2}
            \cos {(n - 4)  x}
            +
            {n \choose 3}
            \cos {(n - 6)  x}
            +
            \cdots
            +
            {n \choose {{n-2} \over 2}}
            \cos {2 x} 
\right ]
            +
            {1 \over 2^n}{n \choose {n \over 2}}</math>
|}

== Розклади в ряд Тейлора ==
Існують такі розклади в [[ряд Тейлора]] тригонометричних функцій:
 
:<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>

:<math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}</math>

: <math>
\begin{align}
\operatorname{tg} x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
& {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
& {} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \frac{62 x^9}{2835} + \cdots, \qquad \text{при } |x| < \frac {\pi} {2}
\end{align}
</math>
де
: <math>U_n</math> — ''n''-те [[перетворення Бустрофедона]],
: ''<math>B_n</math>'' — [[числа Бернуллі]], та 
: ''<math>E_n</math>'' — [[числа Ейлера]].
<!-- ''It would be nice if someone adds how the infinite series expressions are deduced.'' -->

: <math>
\begin{align}
\operatorname{cosec} x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
& {} = \frac {1} {x} + \frac {x} {6} + \frac {7 x^3} {360} + \frac {31 x^5} {15120} + \cdots, \qquad \text{при } 0 < |x| < \pi
\end{align}
</math>

<!-- extra blank line between [[TeX]] displays for legibility -->

: <math>
\begin{align}
\sec x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!} \\
& {} = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots, \qquad \text{при } |x| < \frac {\pi} {2}
\end{align}
</math>

: <math>
\begin{align}
\operatorname{ctg} x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
& {} = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots, \qquad \text{при } 0 < |x| < \pi
\end{align}
</math>


=== Зв'язок з експонентою та комплексними числами ===

Використовуючи вищенаведені розклади в ряди Тейлора можна показати, що функції <math>
\sin</math> та <math>
\cos</math> є уявною та дійсною частинами експоненти чисто уявного числа:

:<math> e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta. \,</math>

Це співвідношення називається [[формула Ейлера|формулою Ейлера]]. 
<!-- In this way, trigonometric functions become essential in the geometric interpretation of complex analysis. For example, with the above identity, if one considers the unit circle in the [[complex plane]], defined by ''e''<sup>i''x''</sup>, and as above, we can parametrize this circle in terms of cosines and sines, the relationship between the complex exponential and the trigonometric functions becomes more apparent.-->

Можна визначити тригонометричні функції комплексної змінної ''z'':

: <math>\sin z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \, = \, {e^{i z} - e^{-i z} \over 2i} = -i \operatorname{sh} \left( i z\right), </math>

: <math>\cos z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \, = \, {e^{i z} + e^{-i z} \over 2} = \operatorname{ch} \left(i z\right)</math>

де <math>
i^2 = -1
</math>, а <math>\operatorname{sh} x</math> та <math>\operatorname{ch} x</math> — відповідно [[гіперболічні функції|гіперболічні]] синус та косинус. Для дійсного <math>
x</math> мають місце співвідношення

: <math>\cos x = \operatorname{Re}(e^{i x})~,~~~~\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x})</math>

{|
|[[Файл:Complex sin.jpg|thumb|220px|Комплексний синус]]
|[[Файл:Complex cos.jpg|thumb|220px|Комплексний косинус]]
|[[Файл:Complex tan.jpg|thumb|220px|Комплексний тангенс]]
|-
|}

== Диференціювання та інтегрування ==

:{| class="wikitable"
|-
| <math>\ \ \ \ f(x)</math>
| <math>\frac{d}{dx} f(x)</math>
| <math>\int f(x)\,dx</math>
|-
| <math>\,\ \sin x</math>
| <math>\,\ \cos x</math>
| <math>\,\ -\cos x + C</math>
|-
| <math>\,\ \cos x</math>
| <math>\,\ -\sin x</math>
| <math>\,\ \sin x + C</math>
|-
| <math>\,\ \operatorname{tg} x</math>
| <math>\,\ \sec^{2} x</math>
| <math>-\ln \left |\cos x\right | + C</math>
|-
| <math>\,\ \operatorname{ctg} x</math>
| <math>\,\ -\operatorname{cosec}^2 x</math>
| <math>\ln \left |\sin x\right | + C</math>
|-
| <math>\,\ \sec x</math>
| <math>\,\ \sec{x}\operatorname{tg}{x}</math>
| <math>\ln \left |\sec x + \operatorname{tg} x\right | + C</math>
|-
| <math>\,\ \operatorname{cosec} x</math>
| <math>\,\ -\operatorname{cosec}{x}\operatorname{ctg}{x}</math>
| <math>-\ln \left |\operatorname{cosec} x + \operatorname{ctg} x\right | + C</math>
|}

== Зв'язок з диференціальним рівнянням ==

Функції <math>\sin\, x</math> та <math>\cos\, x</math> є розв'язками [[Диференціальні рівняння|диференціального рівняння]] [[Гармонічні коливання|гармонічних коливань]]
:<math>{ d^2 y \over d{x^2}} + y = 0</math>

==Властивості та застосування==
===Теорема синусів===
'''[[Теорема синусів]]''' стверджує, що для довільного трикутника зі сторонами <math>
a
</math>, <math>
b
</math>, і <math>
c
</math> та кутами, що протилежні тим сторонам <math>
A
</math>, <math>
B
</math> і <math>
C
</math>:

:<math>\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = \frac{2\Delta}{abc},</math>

де <math>
\Delta
</math> — це площа трикутника, або, еквівалентно,

:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,</math>

де <math>
R
</math> — це радіус [[Описане коло|кола, що описує трикутник]].

[[File:Lissajous curve 5by4.svg|thumb|right|[[Фігури Ліссажу|Фігура Ліссажу]], фігура утворена на основі тригонометричної функції.]]

Це можна довести розділивши трикутник на два прямокутних трикутники, і використовуючи визначення синуса. Теорема синусів корисна для розрахунку довжин невідомих сторін трикутника, при відомих двох кутах і довжині однієї з його сторін. Ця ситуація є типовою для задачі ''[[Тріангуляція (геодезія)|триангуляції]]'', техніки визначення невідомих відстаней шляхом вимірювання двох кутів із двох точок на доступній відомій відстані.

===Теорема косинусів===
'''[[Теорема косинусів]]''' є узагальненням [[теорема Піфагора|теореми Піфагора]]:

:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C, \, </math>
або еквівалентно,
:<math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.</math>

В цій формулі кут <math>
C
</math> є протилежним до сторони&nbsp;<math>
c
</math>. Цю теорему можна довести розділивши трикутник на два прямокутних трикутники та застосувавши теорему Піфагора.

Теорему косинусів можна застосувати для визначення сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін і кут між ними. Також її можна застосувати для визначення косинуса кута (і відповідно значення самого кута) якщо відомі довжини всіх сторін трикутника.

===Теорема тангенсів===
{{main article|Теорема тангенсів}}
Всі наступні вирази формулюють теорему тангенсів<ref name="Allen_1976">The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 529-530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.</ref>

: <math>
\frac{\operatorname{tg} \dfrac{A-B}{2 }}{\operatorname{tg} \dfrac{A+B}{2 } } = \frac{a-b}{a+b}\,; \qquad
\frac{\operatorname{tg} \dfrac{A-C}{2 }}{\operatorname{tg} \dfrac{A+C}{2 } } = \frac{a-c}{a+c}\,; \qquad
\frac{\operatorname{tg} \dfrac{B-C}{2 }}{\operatorname{tg} \dfrac{B+C}{2 } } = \frac{b-c}{b+c}</math>

Пояснення цих формул на словах було б громіздким, але закономірності сум і різниць для довжин сторін і відповідних протилежних кутів видно із теореми.

===Теорема котангенсів===
{{main article|Теорема котангенсів}}
Якщо

: <math> \zeta = \sqrt{\frac{1}{s} (s-a)(s-b)(s-c)}\ </math> (радіус вписаного кола в трикутник)

і

: <math> s = \frac{a+b+c}{2 }\ </math> (напівпериметр трикутника),

тоді всі наступні формули описують теорему котангенсів<ref name="Allen_1976"/>

: <math>
\operatorname{ctg}{ \frac{A}{2 }} = \frac{s-a}{\zeta }\,; \qquad
\operatorname{ctg}{ \frac{B}{2 }} = \frac{s-b}{\zeta }\,; \qquad
\operatorname{ctg}{ \frac{C}{2 }} = \frac{s-c}{\zeta }</math>

Звідси випливає, що

: <math> \frac{\operatorname{ctg} \dfrac{A}{2}}{s-a} = \frac{\operatorname{ctg} \dfrac{B}{2}}{s-b} = \frac{\operatorname{ctg} \dfrac{C}{2}}{s-c}. </math>

На словах теорема полягає в тому, що котангенс половинного кута дорівнює відношенню напівпериметра від якого віднято сторону протилежну заданому куту, до радіуса вписаного кола.

===Періодичні функції===
[[File:Synthesis square.gif|thumb|340px|right|Анімація {{нп|Адитивний синтез|адитивного синтезу|en|additive synthesis}} [[Меандр (радіотехніка)|меандру]] із збільшенням кількості гармонік]]
[[File:Sawtooth Fourier Animation.gif|thumb|280px|Синусоїдальні базисні функції (знизу) можуть сформувати пилоподібну хвилю (зверху), якщо їх додати між собою. Всі базові функції матимуть вузли, що збігаються з вузлами пилоподібної хвилі, і всі крім основної (<math>
k = 1</math>) матимуть додаткові вузли. Коливання, які відбуваються біля краю зубця при великих значеннях {{mvar|k}} називаються {{нп|Явище Гіббса|явищем Гіббса|en|Gibbs phenomenon}}]]

Тригонометричні функції також мають важливе застосування у фізиці. Функції синуса і косинуса, наприклад, використовують для описання [[Гармонічні коливання|гармонічних коливань]], які моделюють багато природних явищ, такі як рух маси закріпленої на пружині, і для малих кутів, рух маятника для маси що висить на нитці. Функції синуса і косинуса є одновимірними проєкціями [[Круговий рух|рівномірного кругового руху]].

Тригонометричні функції також довели свою користь при вивченні загальних [[Періодична функція|періодичних функцій]]. Характерна хвильова структура періодичних функцій корисна для моделювання явищ, таких як звукові або світлові [[Хвиля|хвилі]].<ref name="Farlow_1993">{{cite book |title=Partial differential equations for scientists and engineers |url=https://books.google.com/books?id=DLUYeSb49eAC&pg=PA82 |author-first=Stanley J. |author-last=Farlow |page=82 |isbn=978-0-486-67620-3 |publisher=Courier Dover Publications |edition=Reprint of Wiley 1982 |date=1993 |deadurl=no |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150320011420/http://books.google.com/books?id=DLUYeSb49eAC&pg=PA82 |archivedate=2015-03-20 |df= }}</ref>

В загальних умовах, періодичну функцію <math>
f(x)</math> можна виразити у вигляді суми синусних або косинусних хвиль за допомогою [[Ряд Фур'є|Ряду Фур'є]].<ref name="Folland_1992">Див. приклад, {{cite book |author-first=Gerald B. |author-last=Folland |title=Fourier Analysis and its Applications |publisher=American Mathematical Society |edition=Reprint of Wadsworth & Brooks/Cole 1992 |url=https://books.google.com/books?id=idAomhpwI8MC&pg=PA77 |pages=77ff |chapter=Convergence and completeness |date=2009 |isbn=978-0-8218-4790-9 |deadurl=no |df= |accessdate=23 лютого 2019 |archive-date=12 червня 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190612203603/https://books.google.com/books?id=idAomhpwI8MC&pg=PA77 }}</ref> Позначивши синусні або косинусні [[Базисна функція|базисні функції]] як <math>
\varphi_k</math>, розкладання періодичної функції <math>
f(x)</math> буде мати наступну форму:

:<math>f(t) = \sum _{k=1}^\infty c_k \varphi_k(t). </math>

Наприклад, [[Меандр (радіотехніка)|квадратну хвилю]] (меандр) можна записати у вигляді ряду Фур'є

:<math> f_\text{square}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin \big( (2k-1)t \big) \over 2k-1}.</math>

В анімації квадратної хвилі праворуч можна побачити, що лише декілька термів вже досить аби створити добру апроксимацію квадратної форми хвилі. Суперпозицію декількох термів в розкладанні [[Пилкоподібна хвиля|пилоподібної хвилі]] можна побачити знизу під тим малюнком.

== Див. також ==
* [[Обернені тригонометричні функції]]
* [[Екзотичні тригонометричні функції]]
* [[Список тригонометричних тотожностей]]
* [[Таблиця інтегралів тригонометричних функцій]]
* [[Інтегральні тригонометричні функції]]
* [[Тригонометрія]]
* [[Координатний транспортир]]
* [[Тригонометричне рівняння]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров).&nbsp;— М.: Наука, 1973,&nbsp;— 832 с.
* {{Фіхтенгольц.укр}}

== Посилання ==
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53410/21679.html Тангенс]}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Тригонометричні функції|сторінки=180}}
* [http://fizma.net/index.php?idi=alg/trig FIZMA.neT - Математика онлайн] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220401134416/http://fizma.net/index.php?idi=alg%2Ftrig |date=1 квітня 2022 }}
* {{cite web|url=http://ua.onlinemschool.com/math/formula/trigonometry_formula/|title=Тригонометричні формули.|website=OnlineMSchool|access-date=2021-02-13|archive-date=3 березня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210303214121/http://ua.onlinemschool.com/math/formula/trigonometry_formula/}}

{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Спеціальні функції]]
[[Категорія:Елементарна математика]]
[[Категорія:Тригонометрія]]
[[Категорія:Надпопулярні статті]]