Перегляд вихідного коду сторінки Точкові групи симетрії у тривимірному просторі

{{Навігатор точкових груп у 3d}}


У [[Геометрія|геометрії]] '''[[Точкова група|точкова група симетрії]] у випадку трьох вимірів''' — це [[група ізометрій]] [[Евклідів простір|тривимірного простору]], яка залишає фіксованим [[початок координат]], або, відповідно, група ізометрій [[Сфера|сфери]]. Це [[підгрупа]] [[Ортогональна група|ортогональної групи]] O(3), [[Група (математика)|групи]] всіх [[Ізометрія (математика)|ізометрій]], які залишають фіксованим початок координат, або, відповідно, групи [[Ортогональна матриця|ортогональних матриць]] (всі операції [[Обертання (математика)|обертання]] та [[Парність (фізика)|відображення]]). Сама O(3) є підгрупою [[Евклідова група|евклідової групи]] E(3) усіх ізометрій (додатково ще операції паралельного переносу).

[[Групи симетрії]] геометричних об'єктів є групами ізометрії. Відповідно, аналіз груп ізометрій є аналізом можливих [[Симетрія|симетрій]]. Усі ізометрії [[Обмежена множина|обмеженого]] (кінцевих розмірів) тривимірного об’єкта мають одну або декілька спільних фіксованих точок. Ми дотримуємося звичайної конвенції, вибираючи, в якості [[Початок координат|початку координат]] одну з них.

Групу симетрії об'єкта іноді також називають його '''повною групою симетрії''', на відміну від його власної групи симетрії, яка є перетином його повної групи симетрії з [[Група Евкліда|E <sup>+</sup>(3)]]. Остання складається з усіх ''[[Прямі ізометрії|прямих ізометрій]].'' Останні є такими, що зберігають [[Орієнтовність|орієнтованість]] обʼєкту, або [[Хіральність (математика)|хіральність]].

Для просторово-обмеженого об’єкта правильна група симетрії називається його групою обертання. Це перетин його повної групи симетрії з [[SO(3)]], групою повного обертання тривимірного простору. Група обертання обмеженого об'єкта дорівнює його повній групі симетрії [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді, коли]] об'єкт [[Хіральність (математика)|хіральний]].

Точкові групи, які походять суто від скінченного набором дзеркальних площин відбиття, що проходять через одну точку, є [[Група Коксетера|скінченними групами Коксетера]], які записуються, з використанням [[Нотація Кокстера|нотації Коксетера]].

Точкові групи симетрії в 3D знаходять широке використання в [[Хімія|хімії]], особливо для опису симетрії [[Молекула|молекули]] та її [[Молекулярна орбіталь|молекулярних орбіталей,]] які утворюють [[Ковалентний зв'язок|ковалентні зв'язки]]. В цьому контексті їх також називають '''молекулярними точковими групами'''.

== Тривимірні ізометрії, які залишають фіксованим початок координат ==
[[Операція симетрії|Операції групи симетрії]] — це перетворення (ізометрії) [[Тривимірний простір|тривимірного простору]] '''R'''<sup>3</sup>, які залишають фіксованим початок координат, утворюючи групу O(3). Тут, ізометрія — перетворення, яке зберігає довжини. Ці операції можна класифікувати як:

* Прямі (зі збереженням [[Хіральність|хіральності]]) операції симетрії, які утворюють групу [[SO(3)]]:
** [[Нейтральний елемент|Операція тотожності]], позначена ''E'' або матриця тотожності ''I''  ([[Одинична матриця|одинична]]).
** [[Поворот]] навколо осі через початок координат на кут θ. Поворот на θ&nbsp;=&nbsp;360°/ ''n'' для будь-якого натурального числа ''n'' позначається ''C'' <sub>''n''</sub> (з [[Символи Шенфліса|позначення Шенфліса]] для групи ''C'' <sub>''n,''</sub> яку він [[Породжувальна множина групи|породжує]] ). Операція тотожності, яку також записують ''C'' <sub>1</sub>, є окремим випадком оператора повороту.
* Непрямі операції (зміна [[Хіральність|хіральності]]):
** Інверсія, позначається i або ''C'' <sub>i</sub>, тобто поворот на 180° навколо координатної осі з наступним відображенням в ортогональній координатній площині. Позначення матриці – ''I''.
** Відбиття на площині через початок координат, позначається σ.
** [[Поворот-відображення]]м: обертання навколо осі на кут θ у поєднанні з відображенням у площині через початок координат, перпендикулярний до осі. Обертання-відображення на θ&nbsp;=&nbsp;360°/ ''n'' для будь-якого натурального числа ''n'' позначається ''S'' <sub>''n''</sub> (з [[Символи Шенфліса|позначення Шенфліса]] для групи ''S'' <sub>''n''</sub>, яку вона [[Породжувальна множина групи|породжує]], якщо ''n'' парне).

Операція інверсії є окремим випадком обертання-відображення (тобто i&nbsp;=&nbsp;''S'' <sub>2</sub> ), як і відбиття (σ&nbsp;=&nbsp;''S'' <sub>1</sub> ), тому ці операції часто вважаються "неправильними обертаннями".

Символ [[циркумфлекс]]у може додаватися до символів для позначення оператора, наприклад, у ''Ĉ''<sub>''n''</sub> і ''Ŝ''<sub>''n''</sub>.

== Спряженість ==
Порівняння типів симетрії двох об'єктів вимагає, щоби початок координат вибирався для кожного з них окремо, тобто вони не повинні мати однаковий центр. Крім того, два об’єкти відносяться до одного типу симетрії, якщо їхні групи симетрії є спряженими підгрупами O(3) (дві підгрупи ''H'' <sub>1</sub>, ''H'' <sub>2</sub> групи ''G'' є [[Клас спряженості|''спряженими'']], якщо існує ''g'' ∈ ''G'' такий, що ''H'' <sub>1</sub> = ''g'' <sup>−1</sup> ''H''<sub>2</sub>''g'' ).

Наприклад, два 3D-об’єкти мають однаковий тип симетрії:

* якщо обидва мають дзеркальну симетрію, але відносно різних дзеркальних площин
* якщо обидва мають 3-кратну обертову симетрію, але відносно різних осей обертання.

Для кількох дзеркальних площин та/або осей обертання, дві групи симетрії мають один і той же тип симетрії у випадках, коли існує операція обертання, яка переводить всю структуру першої групи симетрії на структуру другої. Насправді, буде більше одного такого обертання, але не нескінченна кількість. Означення спряженості також дозволяє дзеркальне відображення структури, але це не вимагається, якщо сама структура є [[Хіральність|ахіральною]]. Наприклад, якщо група симетрії містить вісь обертання 3-го порядку, вона містить обертання і у двох протилежних напрямках. Відповідно, структура '''''є''''' хіральною для 11 пар '''''[[Просторова група|просторових груп]]''''' із гвинтовою віссю.

== Нескінченні групи ізометрій ==
Існує ряд '''нескінченних груп ізометрії.''' Наприклад, « [[циклічна група]] » (тобто така, що вона породжена одним елементом – не плутати з [[Періодична група|періодичною групою]] ), створена обертанням на [[Ірраціональне число|ірраціональну кількість]] обертів навколо осі. Можна побудувати нециклічні [[Абелева група|абелеві групи]], додавши додаткові повороти навколо однієї осі. Набір точок на колі з [[Раціональне число|раціональними]] числами градусів навколо кола ілюструє точкову групу, що відповідає нескінченній кількості [[Породжувальна множина групи|породжувальних множин групи]]. Існують також неабелеві групи, породжені поворотами навколо різних осей. Зазвичай це (загалом) [[Вільна група|вільні групи]]. Вони будуть нескінченними, якщо обертання не вибрано спеціально.

Усі згадані нескінченні групи не є [[Замкнута множина|замкненими]] в сенсі [[Топологічна група|топологічних підгруп]] O(3). Тепер обговоримо топологічно замкнуті підгрупи O(3).
[[Файл:Blender-meta-ball.png|міні| Непозначена [[сфера]] має O(3) симетрію.]]
O(3) є групою симетрії [[Список груп сферичної симетрії|сферичної симетрії]]. [[SO(3)]] — відповідна група обертання, якщо виключити просторові [[Парність (фізика)|інверсії]] та дзеркальні відображення. Групи з відображенням у площинах, що проходять через вісь, з або без відбивання в площині через початок координат, перпендикулярний до осі, є групами симетрії для двох типів [[Циліндрична симетрія|циліндричної симетрії]]. Будь-яка тривимірна форма (підмножина '''R'''<sup>3</sup> ), що має нескінченну обертову симетрію, також повинна мати дзеркальну симетрію для кожної площини, що проходить через вісь. Фізичні об’єкти, що мають нескінченну обертову симетрію, також матимуть симетрію дзеркальних площин, що проходять через вісь, але векторні поля [[Дихроматична симетрія|можуть не мати]] цієї симетрії, наприклад, вектори швидкості [[конус]]а, що обертається навколо своєї осі, або [[магнітне поле]], що оточує дріт<ref name="Curie 1894">{{Cite journal|last=Curie|first=Pierre|author-link=Pierre Curie|year=1894|title=Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique|trans-title=On symmetry in physical phenomena, symmetry of an electric field and a magnetic field|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/239814/filename/ajp-jphystap_1894_3_393_0.pdf|journal=Journal de Physique|language=fr|volume=3|issue=1|pages=393–415|doi=10.1051/jphystap:018940030039300}}</ref>.

Існує сім неперервних груп, які є в певному сенсі границями кінцевих груп ізометрії. Ці так звані ''граничні точкові групи'' або ''[[Curie limiting groups|граничні групи Кюрі]]'' названі на честь [[П'єр Кюрі|П'єра Кюрі,]] який першим їх дослідив<ref name="Curie 1894"/><ref>{{Cite book
|title=Crystal Symmetries: Shubnikov Centennial papers
|last=Shubnikov
|first=A.V.
|year=1988
|publisher=Pergamon Press
|pages=357–364
|chapter=On the Works of Pierre Curie on Symmetry
|doi=10.1016/B978-0-08-037014-9.50007-8
|isbn=0-08-037014-4
}}</ref>. Сім нескінченних рядів осьових (аксіальних) груп призводять до п'яти граничних груп (дві з них є дублікатами), а сім точкових груп, що залишилися, утворюють ще дві неперервні групи. У міжнародній [[нотації Германа-Могена]]<sup>[en]</sup> граничні групи Кюрі мають вигляд ∞, ∞2, ∞/m, ∞mm, ∞/mm, ∞∞ і ∞∞m<ref>{{Cite book
|title=Modern Crystallography, Vol. 1. Fundamentals of Crystals. Symmetry, and Methods of Structural Crystallography
|last=Vainshtein.
|first=B. K.
|year=1994
|publisher=Springer-Verlag Berlin.
|edition=2nd enlarged
|pages=93
|isbn=978-3-642-08153-8
}}</ref>. Не всі з них можливі для [[Фізичне тіло|фізичних тіл]], наприклад, об’єкти із симетрією ∞∞ також мають симетрію ∞∞m. Однак, вони мають відмінності для фізичних величин та характеристик: ∞∞ описує симетрію [[псевдоскаляр]]а, ∞∞m — [[Скаляр (фізика)|скаляра]].

Інші позначення та додаткові відомості дивіться нижче.

== Скінченні групи ізометрій ==
Операції симетрії в [[Тривимірний простір|тривімірному]] просторі, які залишають фіксованим початок координат, можуть бути повністю описані по аналогії із симетрією сфери з центром у початку координат. Відповідно, для скінченних тривимірних точкових груп див. також [[Список груп сферичної симетрії|групи сферичної симетрії]].

З точністю до спряженості множина скінченних тривимірних точкових груп складається з:

# Сім нескінченних серій осьових груп, які мають щонайбільше одну більш ніж 2-кратну вісь обертання; вони є скінченними групами симетрії на нескінченному циліндрі, або, що еквівалентно, групами симетрії на скінченному циліндрі. Іноді їх називають осьовими або призматичними точковими групами.
# Сім груп, що залишилися, які мають декілька осей обертання кратності 3 або більше; ці групи також можна охарактеризувати як точкові групи з декількома 3-кратними осями обертання. Можливі такі комбінації:
#* Чотири 3-кратні осі (три [[Тетраедрична симетрія|тетраедричні]] симетрії T, ''T''<sub>h</sub> і ''T<sub>d</sub>'')
#* Чотири 3-кратні осі та три 4-кратні осі ([[Октаедрична структура|октаедричні]] симетрії ''O'' та ''O''<sub>h</sub>)
#* Десять 3-кратних осей і шість 5-кратних осей ([[Ікосаедрична піраміда|ікосаедричні]] симетрії ''I'' та ''I''<sub>h</sub>)

Відповідно до [[Теорема кристалографічного обмеження|теореми кристалографічного обмеження]] лише обмежена кількість точкових груп сумісна з дискретною [[Трансляційна симетрія|трансляційною симетрією]] : 27 з 7 нескінченних рядів і 5 з 7 інших. Разом вони утворюють 32 так звані [[Кристалічний клас|кристалографічні точкові групи (класи)]]. Відповідно, [[кристал]]и можуть мати лише осі симетрії порядку 1, 2, 3, 4 або 6

== Сім нескінченних рядів осьових груп ==
Нескінченний ряд аксіальних або призматичних груп має індекс ''n'', який може бути будь-яким цілим числом. У кожній серії ''n-''та група симетрії містить ''n''-кратну [[Обертова симетрія|обертову симетрію]] відносно осі, тобто симетрію відносно повороту на кут 360°/ ''n''. Випадок ''n'' =1 описує повну відсутність обертової симетрії (операція [[Тотожність|тотожності]]). Є чотири серії без інших осей обертової симетрії (див. [[циклічні симетрії]] ) і три з додатковими осями 2-кратної симетрії (див. [[Діедрична група|діедрична симетрія]] ). Їх можна розуміти як [[точкові групи симетрії у двох вимірах]], розширених осьовою координатою та відображеннями в ній. Вони відносяться до [[Група бордюру|груп бордюрів]]<ref>{{Citation|last=Fisher|first=G.L.|title=Three-dimensional finite point groups and the symmetry of beaded beads|url=http://blakemellor.lmu.build/research/BeadedBeads.pdf|journal=[[Journal of Mathematics and the Arts]]|year=2007|last2=Mellor|first2=B.|volume=1|number=2|pages=85–96|doi=10.1080/17513470701416264}}</ref>. Їх можна інтерпретувати як групи бордюрів, що повторюються ''n'' разів навколо циліндра.

У наступній таблиці наведено кілька позначень для точкових груп: [[нотація Германа–Могена]] (використовується в [[Кристалографія|кристалографії]] ), [[Символи Шенфліса|нотація Шенфліса]] (використовується для опису [[Молекулярна симетрія|молекулярної симетрії]] ), [[нотація орбіфолда]] та [[Діаграми Коксетера — Динкіна|нотація Коксетера]]. Останні три не тільки зручно пов’язані з його властивостями, а й з порядком групи. Орбіфолд – це уніфіковане позначення, яке також застосовується для [[Група орнаменту|груп орнаменту]] і [[Група бордюру|груп бордюрів]]. Кристалографічні групи мають ''n,'' з можливими значеннями 1, 2, 3, 4 і 6; зняття кристалографічного обмеження (у випадку [[квазікристал]]ів, некристалічних структур, тощо) допускає будь-яке натуральне число. Відповідні серії:
{| class="wikitable sortable" style="text-align: center;"
! colspan="2" |Міжнародні
! rowspan="2" |[[Символи Шенфліса|нотація Шенфліса]]
! rowspan="2" |[[нотація орбіфолда]]
! rowspan="2" |[[Діаграми Коксетера — Динкіна|нотація Коксетера]]
![[Група бордюру|Бордюр]]
! rowspan="2" |Абстрактні
! rowspan="2" |[[Число симетрії|Порядок]]
! rowspan="2" |Приклад
! rowspan="2" |Коментар
|-
!Парні ''n''
!Непарні ''n''
!(циліндр)
|-
| colspan="2" |''n''
|''C''<sub>''n''</sub>
|''nn''
|[n]<sup>+</sup><br /><br />{{ДКД|node_h2|n|node_h2}}
|p1
|[[Циклічна група|Z<sub>''n''</sub>]]
|''n''
|[[Файл:Uniaxial_C6.png|120x120пкс]]
|''n''-кратна обертова симетрія
|-
|{{Overline|2''n''}}
|{{Overline|''n''}}
|''S''<sub>2''n''</sub>
|''n''×
|[2''n''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<br /><br />{{ДКД|node_h2|2x|n|node_h4|2x|node_h2}}
|p11g
|Z<sub>2''n''</sub>
|2''n''
|[[Файл:Uniaxial_S6.png|120x120пкс]]
|2''n''-кратна обертово-відбивальна симетрія
|-
|''n''/m
|{{Overline|2''n''}}
|''C''<sub>''n''h</sub>
|''n''*
|[n<sup>+</sup>,2]<br /><br />{{ДКД|node_h2|n|node_h2|2|node}}
|p11m
|Z<sub>''n''</sub>×Z<sub>2</sub>
|2''n''
|[[Файл:Uniaxial_C6h.png|120x120пкс]]
|
|-
|''n''mm
|''n''m
|''C''<sub>''n''v</sub>
|*''nn''
|[''n'']<br /><br />{{ДКД|node|n|node}}
|p1m1
|[[Діедрична група|Dih<sub>''n''</sub>]]
|2''n''
|[[Файл:Uniaxial_C6v.png|120x120пкс]]
|[[Пірамідальна симетрія]]; в біології, [[бірадіальна симетрія]]
|-
|''n''22
|''n''2
|''D''<sub>''n''</sub>
|22''n''
|[''n'',2]<sup>+</sup><br /><br />{{ДКД|node_h2|n|node_h2|2x|node_h2}}
|p211
|Dih<sub>''n''</sub>
|2''n''
|[[Файл:Uniaxial_D6.png|120x120пкс]]
|[[Діедрична група|Діедрична симетрія]]
|-
|{{Overline|2''n''}}2m
|{{Overline|''n''}}m
|''D''<sub>''n''d</sub>
|2*''n''
|[2''n'',2<sup>+</sup>]<br /><br />{{ДКД|node|2x|n|node_h2|2x|node_h2}}
|p2mg
|Dih<sub>2''n''</sub>
|4''n''
|[[Файл:Uniaxial_D6d.png|120x120пкс]]
|[[Квадратна антипризма|Антипризматична симетрія]]
|-
|''n''/mmm
|{{Overline|2''n''}}2m
|''D''<sub>''n''h</sub>
|*22''n''
|[''n'',2]<br /><br />{{ДКД|node|n|node|2|node}}
|p2mm
|Dih<sub>''n''</sub>×Z<sub>2</sub>
|4''n''
|[[Файл:Uniaxial_D6h.png|120x120пкс]]
|[[Призматична симетрія]]
|}

Для випадків непарних ''n'' тут маємо Z <sub>2 ''n''</sub> = Z <sub>''n''</sub> × Z <sub>2</sub> і Dih <sub>2 ''n''</sub> = Dih <sub>''n''</sub> × Z <sub>2</sub>..Групи ''C'' <sub>''n''</sub> (включаючи тривіальну ''C'' <sub>1</sub> ) і ''D'' <sub>''n''</sub> – хіральні. Інші є ахіральними.

Поняття "горизонтальний" (h) і "вертикальний" (v) і відповідні нижні індекси відносяться до додаткової площини дзеркального відбиття, яка може бути паралельна осі обертання (вертикальна) або перпендикулярна до неї (горизонтальна).

Найпростіші нетривіальні осьові групи є еквівалентними абстрактній групі Z <sub>2</sub> :

* ''C'' <sub>i</sub> (еквівалент ''S'' <sub>2</sub> ) – '''[[Центральна симетрія|інверсійна]] симетрія'''
* ''C'' <sub>2</sub> – '''2-кратна [[обертова симетрія]]'''
* ''C'' <sub>s</sub> (еквівалент ''C'' <sub>1h</sub> і ''C'' <sub>1v</sub> ) – відбивна симетрія, також звана '''[[Симетрія (біологія)|білатеральною симетрією]]'''.

[[Файл:Uniaxial.png|праворуч|міні|500x500пкс|Візерунки на циліндричній смузі, що ілюструє випадок ''n'' = 6 для кожного з 7 нескінченних сімейств точкових груп. Групою симетрії кожного візерунка є вказана група.]]
Однак у тривімірному просторі ці дві операції розрізняються: група симетрії, позначена ''D'' <sub>''n,''</sub> містить ''n'' осей другого порядку, перпендикулярних до ''n''-кратної осі, а не дзеркального відображення. ''D'' <sub>''n''</sub> — [[SO(3)|група обертання]] ''n''-гранної [[Призма (математика)|призми]] з правильною основою та ''n''-бічної [[Біпіраміда|біпіраміди]] з правильною основою, а також правильної ''n''-бічної [[Антипризма|антипризми]] та правильного ''n''-бічного [[Трапецоедр|трапезоедра]]. Ця група також є групою повної симетрії таких об’єктів після того, як вони стали [[Хіральність (математика)|хіральними]], наприклад, після хірального маркування на кожній грані або деякою модифікацією форми.

Якщо ж додати як горизонтальну, так і вертикальну площини відбиття, їх перетини дасть ''n'' осей обертання на 180°. Ця група більше не буде одновісною. Ця нова група порядку 4''n'' називається ''D''<sub>''n''h</sub>. Її підгрупою обертань буде [[діедрична група]] ''D'' <sub>''n''</sub> порядку 2''n'', яка все ще має двократні осі обертання, перпендикулярні до основної осі обертання, але вже не має дзеркальних площин відбиття.

У [[Двовимірний простір|двовимірному]] просторі група ''D'' <sub>''n''</sub> включає відображення, які також можна розглядати як перевертання плоских об’єктів без розрізнення передньої та зворотної сторін. В 3D ж ці дві операції розрізняються: ''D''<sub>''n''</sub>  містить "перевертання", а не відображення.

У цьому сімействі є ще одна група, яка називається ''D''<sub>''n''d</sub> (або ''D''<sub>''n''v</sub> ), яка включає вертикальні дзеркальні відображення, площини яких містять головну вісь обертання, але замість горизонтальної дзеркальної площини вона має ізометрію, що поєднує відображення в горизонтальній площині і поворотом на кут 180°/''n''. ''D''<sub>''n''h</sub> — група симетрії для «правильної» ''n''-кутної [[Призма (математика)|призми]], а також для «правильної» ''n''-кутної [[Біпіраміда|біпіраміди]]. ''D''<sub>''n''d</sub> — група симетрії для «правильної» ''n''-кутної [[Антипризма|антипризми]], а також для «правильного» ''n''-кутного [[трапецоедр]]а. ''D''<sub>''n''</sub> — група симетрії частково повернутої («закрученої») призми.

Групи ''D''<sub>2</sub> і ''D''<sub>2h</sub> заслуговують на увагу тим, що вони не містять виділеної осі обертання. Швидше, є три перпендикулярні осі повороту на 180 градусів. ''D''<sub>2</sub> є підгрупою всіх поліедральних симетрій (див. нижче), а ''D'' <sub>2h</sub> є підгрупою багатогранних груп ''T''<sub>h</sub> і ''O''<sub>h</sub>. ''D''<sub>2</sub> зустрічається в таких молекулах, як [[твістан]], і в [[Гомотетрамер|гомотетрамерах,]] таких як [[конканавалін А]]. Елементи ''D''<sub>2</sub> знаходяться у відповідності 1-до-2 обертанням, заданим [[Оборотний елемент|одиничними]] [[Кватерніон Гурвіца|кватерніонами Ліпшица]].

Група ''S'' <sub>''n''</sub> породжується комбінацією відбиття в горизонтальній площині та повороту на кут 360°/n. Для парного ''n'' це дорівнює групі, породженій двома окремо, ''C'' <sub>''n'' h</sub> порядку 2 ''n'', і тому позначення ''S'' <sub>''n''</sub> не потрібне  Подібно до ''D'' <sub>''n'' d,</sub> він містить низку [[Неправильні обертання|неправильних обертань,]] але не містить відповідних обертань.

Всі групи симетрії в 7-ми нескінченних рядах різні, за винятком наступних чотирьох пар взаємно рівних груп:

* ''C'' <sub>1h</sub> і ''C'' <sub>1v</sub> : група порядку 2 з одним відбиттям ( ''C'' <sub>s</sub> )
* ''D'' <sub>1</sub> і ''C'' <sub>2</sub> : група порядку 2 з одним поворотом на 180°
* ''D'' <sub>1h</sub> і ''C'' <sub>2v</sub> : група порядку 4 з відображенням у площині та поворотом на 180° через лінію в цій площині
* ''D'' <sub>1d</sub> і ''C'' <sub>2h</sub> : група порядку 4 з відображенням у площині та поворотом на 180° через пряму, перпендикулярну до цієї площини.

''S'' <sub>2</sub> є групою порядку 2 з єдиною інверсією ( ''C'' <sub>i</sub> ). «Рівний» тут мається на увазі як однаковий аж до сполученості в просторі. Це сильніше, ніж «аж до алгебраїчного [[ізоморфізм]]у<nowiki/>». Наприклад, є три різні групи другого порядку в першому сенсі, але є лише одна в другому значенні. Аналогічно, наприклад, ''S''<sub>2''n''</sub> алгебраїчно ізоморфний Z<sub>2''n''</sub>.

Групи можна побудувати наступним чином:

* ''C''<sub>''n''</sub>. [[Породжувальна множина групи|Породжена]] елементом симетрії, який також називається ''C''<sub>''n''</sub>  і відповідає повороту на кут 2π/''n'' навколо відповідної осі. Її елементи -- [[тотожне перетворення]] E , та ''C''<sub>''n''</sub>, ''C''<sub>''n''</sub><sup>2</sup>, ..., ''C''<sub>''n''</sub><sup>''n''−1</sup>, які відповідають поворотам на кути 0, 2π/''n'', 4π/''n'', ..., 2(''n''&nbsp;−&nbsp;1)π/''n'' відповідно.
* ''S''<sub>2''n''</sub>. Породжена елементом ''C''<sub>2''n''</sub>σ<sub>h</sub>, де σ<sub>h</sub> -- це [[Відбиття (геометрія)|операція відбиття]] в напрямку осі. Крім E, елементами групи є операції із ''C''<sub>''n,''</sub> до яких додано ''C''<sub>2''n''</sub>σ<sub>h</sub>, ''C''<sub>2''n''</sub><sup>3</sup>σ<sub>h</sub>, ..., ''C''<sub>2''n''</sub><sup>2''n''−1</sup>σ<sub>h</sub>.
* ''C''<sub>''n''h</sub>. Породжена елементами ''C''<sub>''n''</sub> та σ<sub>h</sub>. Включає елементи із групи ''C''<sub>''n''</sub>, до яких додані σ<sub>h</sub>, ''C''<sub>''n''</sub>σ<sub>h</sub>, ''C''<sub>''n''</sub><sup>2</sup>σ<sub>h</sub>, ..., ''C''<sub>''n''</sub><sup>''n''−1</sup>σ<sub>h</sub>.
* ''C''<sub>''n''v</sub>. Породжена ''C''<sub>''n''</sub> та відбиттям σ<sub>v</sub> у напрямку, перпендикулярному до осі. Група включає елементи групи ''C''<sub>''n''</sub> та σ<sub>v</sub>, ''C''<sub>''n''</sub>σ<sub>v</sub>, ''C''<sub>''n''</sub><sup>2</sup>σ<sub>v</sub>, ..., ''C''<sub>''n''</sub><sup>''n''−1</sup>σ<sub>v</sub>.
* ''D''<sub>''n''</sub>. Породжена елементом ''C''<sub>''n''</sub> та операцією повороту на 180°, U = σ<sub>h</sub>σ<sub>v</sub> навколо напрямку у площині, перпендикулярному до осі. Елементи групи включають елементи ''C''<sub>''n''</sub> та, додатково, U, ''C''<sub>''n''</sub>U, ''C''<sub>''n''</sub><sup>2</sup>U, ..., ''C''<sub>''n''</sub><sup>''n''&nbsp;−&nbsp;1</sup>U.
* ''D''<sub>''n''d</sub>. Породжена елементами ''C''<sub>2''n''</sub>σ<sub>h</sub> та σ<sub>v</sub>. Елементи групи збігаються із елементами ''C''<sub>''n''</sub> та додатковими елементами із груп ''S''<sub>2''n''</sub> і ''C''<sub>''n''v</sub>, тобто ''C''<sub>2''n''</sub>σ<sub>h</sub>σ<sub>v</sub>, ''C''<sub>2''n''</sub><sup>3</sup>σ<sub>h</sub>σ<sub>v</sub>, ..., ''C''<sub>2''n''</sub><sup>2''n''&nbsp;−&nbsp;1</sup>σ<sub>h</sub>σ<sub>v</sub>.
* ''D''<sub>''n''h</sub>. Породжена елементами ''C''<sub>''n''</sub>, σ<sub>h</sub>, та σ<sub>v</sub>. Елементи групи включають всі елементи ''C''<sub>''n''</sub>  та додаткових елементів із груп ''C''<sub>''n''h</sub>, ''C''<sub>''n''v</sub>, та ''D''<sub>''n''</sub>.

Групи з неперервними осьовими обертаннями позначаються ∞ замість ''n''. Однак варто зауважити, що ''C'' {{Sub|∞}} тут не те саме, що [[Циклічна група|нескінченна циклічна група]] (також іноді позначається ''C'' {{Sub|∞}} ), яка ізоморфна цілим числам. Мова йде про групу, [[Породжувальна множина групи|утворену]] обертанням на [[Нескінченно мала величина|нескінченно малий]] кут. У наведеній нижче таблиці подано п’ять безперервних груп осьового обертання. Вони є границями скінченних груп лише в тому сенсі, що вони виникають, коли основний поворот замінюється поворотом на довільний кут, тому необов’язково раціональне число градусів, як у скінченних групах. Фізичні об’єкти можуть мати лише ''C{{Sub|∞v}}'' або ''D{{Sub|∞h}}'' симетрію, однак, векторні поля можуть мати і іншу симетрію.
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
![[Нотація Германа–Могена|Г–М]]
(міжн.)
![[Символи Шенфліса|Шенфліса]]
![[Нотація орбіфолда|Орбіфолда]]
! colspan="2" |[[Нотація Кокстера|нотацією Кокстера]]
!Границя
!Абстрактна група
|-
|∞
|''C''<sub>∞</sub>
|∞∞
|[∞]<sup>+</sup>
|{{ДКД|node_h2|infin|node_h2}}
|''C''<sub>''n''</sub>
|SO(2)
|-
|{{Overline|&infin;}}, ∞/m
|''C''<sub>∞h</sub>
|∞*
|[2,∞<sup>+</sup>]
|{{ДКД|node|2|node_h2|infin|node_h2}}
|''C''<sub>''n''h</sub>, ''S''<sub>2''n''</sub>
|SO(2)×Z<sub>2</sub>
|-
|∞m
|''C''<sub>∞v</sub>
|*∞∞
|[∞]
|{{ДКД|node|infin|node}}
|''C''<sub>''n''v</sub>
|O(2)
|-
|∞2
|''D''<sub>∞</sub>
|22∞
|[2,∞]<sup>+</sup>
|{{ДКД|node_h2|2x|node_h2|infin|node_h2}}
|''D''<sub>''n''</sub>
|O(2)
|-
|{{Overline|&infin;}}m, ∞/mm
|''D''<sub>∞h</sub>
|*22∞
|[2,∞]
|{{ДКД|node|2|node|infin|node}}
|''D''<sub>''n''h</sub>, ''D''<sub>''n''d</sub>
|O(2)×Z<sub>2</sub>
|}

== Решта сім точкових груп ==
Решта точкових груп відповідає дуже високій або [[Многогранник|багатогранній]] симетрії, оскільки вони мають більше однієї осі обертання порядку, більшого за 2. Тут ''C''<sub>''n''</sub> позначає вісь обертання на 360°/n, а ''S'' <sub>''n''</sub> позначає вісь неправильного (разом із відбиттям) обертання. У послідовних рядках розташовано позначення [[Нотація орбіфолд|орбіфолда]], [[Нотація Кокстера|позначення Коксетера]] та [[Діаграми Коксетера — Динкіна|діаграму Коксетера]], [[Нотація Германа–Могена|позначення Германа–Могена]] (повне та скорочене, якщо воно відрізняється) і порядок (кількість елементів симетрії) групи.
{| class="wikitable" 
| align="center" width="100" |'''''T''''', (332)<br /><br />[3,3]<sup>+</sup> ({{ДКД|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}})<br /><br />23<br /><br />порядок 12
|'''[[Хіральність|хіральна]] [[тетраедрична симетрія]]'''
|{{multiple image
| align             = right
| total_width       = 300
| image1            = Tetrahedron with 3-fold rotational axes RK01.png
| caption1          = Поворотні осі 3-го порядку (''C''<sub>3</sub>) чотиригранника.
| image2            = Tetrahedron with 2-fold rotational axes RK01.png
| caption2          = Поворотні осі 2-го порядку (''C''<sub>2</sub>) чотиригранника.
}}
Існують чотири поворотні осі ''C''<sub>3</sub>, кожна проходить через дві вершини обмежуючого кубу (червоні контури), або через одну вершину правильного [[чотиригранник]]а, та три осі ''C''<sub>2</sub> , які проходять через центри [[Грань (геометрія)|граней]] кубу або середини [[Ребро (геометрія)|ребер]] чотиригранника. Ці групи [[Ізоморфні групи|ізоморфні]] ''A''<sub>4</sub>, [[Знакозмінна група|знакозмінній групі]] 4-х елементів, і обертові групи правильного чотиригранника. Це [[нормальна підгрупа]] ''T''<sub>d</sub>, ''T''<sub>h</sub> та октаедричних симетрій. Елементи групи відповідають один-до-двох обертанням, які задані 24-ма [[Оборотний елемент|оборотними елементами]] [[Кватерніон Гурвіца|кватерніонів Гурвіца]] ("{{iw|Binary tetrahedral group|бінарна тетраедрична група|en|Binary tetrahedral group}}").
|-
| align="center" |'''''T''<sub>d</sub>''', (*332)<br /><br />[3,3] ({{ДКД|node|3|node|3|node}})<br /><br />{{Overline|4}}3m<br /><br />порядок 24
|[[Тетраедрична симетрія|'''повна тетраедрична симетрія''']]
|
{{Multiple image
| align             = right
| total_width       = 300
| image1            = Tetrahedron with reflection plane RK01.png
| caption1          = Дзеркальна площина чотиригранника.
| image2            = Tetrahedron with 4-fold rotation-reflection axis RK01.png
| caption2          = Поворотна-відбивна вісь 4-го порядку (''S''<sub>4</sub>) чотиригранника
}}
Це група симетрія правильного [[чотиригранник]]а. Ця група включає аналогічні поворотні осі, як і група ''T'', в той час, як осі ''C''<sub>2</sub> стають тепер ''D''<sub>2d</sub> , де чотири поворотні осі 3-го порядку дають чотири підгрупи ''C''{{Sub|3v}}. Ця група має шість дзеркальний площин, кожна з яких містить дві вершини куба або одну вершину чотиригранника, одну вісь ''S''<sub>4</sub>  та по дві осі ''C''<sub>3</sub>. ''T''<sub>d</sub> є ізоморфною щодо ''S''<sub>4</sub>, [[Симетрична група|симетричної групи]] чотирьох символів, оскільки існує співвідношення один-до-одного елементів ''T''<sub>d</sub> та 24-ох перестановок чотирьох осей симетрії 3-го порядку. Обʼєкт симетрії ''C''<sub>3v</sub> під дією одної з цих осей [[Дія групи|дає]], під дією ''T''<sub>d</sub> сукупність чотирьох таких обʼєктів так, що ''T''<sub>d</sub> відповідає множині перестановок цих обʼєктів. ''T''<sub>d</sub> є нормальною підгрупою ''O''<sub>h</sub>.
|-
| align="center" |'''''T''<sub>h</sub>''', (3*2)<br /><br />[3<sup>+</sup>,4] ({{ДКД|node_h2|3|node_h2|4|node}})<br /><br />2/m{{Overline|3}}, m{{Overline|3}}<br /><br /> порядок 24
|[[Тетраедрична симетрія|'''піритоедрична симетрія''']]
|[[Файл:Volleyball seams diagram.png|міні|160x160пкс|Шви [[волейбол]]ьного мʼяча мають групу симетрії ''T''<sub>h</sub>.]]Ця група має ті самі осі обертання, що й ''T'', а дзеркальні площини паралельні граням куба. Осі ''C''<sub>3</sub> стають осями ''S''<sub>6</sub>, і виникає інверсійна симетрія. Подвоєні осі породжують три підгрупи ''D''{{Sub|2h}}. ''T''<sub>h</sub> ізоморфна до ''A''<sub>4</sub> × ''Z''<sub>2</sub> (оскільки ''T'' та ''C''<sub>i</sub> - нормальні підгрупи), а не до [[Симетрична група|симетричної групи]] ''S''<sub>4</sub>. Це симетрія куба, на кожній грані якого проведено відрізок, що ділить грань на два рівні прямокутники так, що відрізки сусідніх граней не перетинаються на ребрах. Симетрії відповідають парні перестановки діагоналей куба, а також інверсія. Це також симетрія [[Дванадцятигранник|піритоедра]], який подібний до описаного куба, з кожним прямокутником, заміненим на п'ятикутник з однією віссю симетрії та 4-ма рівними сторонами і 1-ою відмінною стороною (та, що відповідає відрізку, який ділить грань куба); тобто, грані куба випинаються на лінії поділу і стають там вужчими. Це підгрупа (але не нормальна підгрупа) повної ікосаедричної групи симетрії (як групи ізометрії, а не просто як абстрактної групи), з 4-, 10- та 3-кратних осей. Це нормальна підгрупа групи ''O''<sub>h</sub>. Незважаючи на те, що вона називається ''T''<sub>h</sub>, вона не відноситься до тетраедра.
|-
| align="center" |'''''O''''', (432)<br /><br />[4,3]<sup>+</sup> ({{ДКД|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}})<br /><br />432<br /><br />порядок 24
|'''хіральна [[Список груп сферичної симетрії|октаедрична симетрія]]'''
|Ця група подібна до ''T'', але осі ''C''<sub>2</sub> тепер є осями ''C''<sub>4</sub> , і додатково є осі   2-го порядку, що проходять через середини ребер куба, що дає три підгрупи ''D''<sub>2</sub>. Осі 3-го порядку тепер дають чотири підгрупи ''D''<sub>3</sub>. Ця група також ізоморфна до ''S''<sub>4</sub>, оскільки її елементи знаходяться у відповідності 1-до-1-го з 24 перестановками 3-кратних осей, як і у випадку з ''T''. Об'єкт симетрії ''D''<sub>3</sub> під однією з 3-кратних осей під дією ''O'' породжують [[Дія групи|дію]], що складається з чотирьох таких об'єктів, а ''O'' відповідає множині перестановок цих чотирьох об'єктів. Це група обертання куба і октаедра. Представляючи обертання з кватерніонами, ''O'' складається з 24 одиничних [[Кватерніон Гурвіца|кватерніонів Гурвіца]] і 24 [[Кватерніон Ліпшиця|кватерніонів Ліпшиця]] квадратичної норми 2, нормалізованих діленням на 
<math>\sqrt 2</math>. Як і раніше, це відповідність 1-до-2-х.
|-
| align="center" |'''''O''<sub>h</sub>''', (*432)<br /><br />[4,3] ({{ДКД|node|4|node|3|node}})<br /><br />4/m{{Overline|3}}2/m, m{{Overline|3}}m<br /><br />порядок 48
|'''повна [[Список груп сферичної симетрії|октаедрична симетрія]]'''
|Ця група має ті самі осі обертання, що й ''O'', але з дзеркальними площинами, що включають обидві дзеркальні площини ''T''<sub>d</sub> та ''T''<sub>h</sub>. Потрійні осі дають чотири підгрупи ''D''{{Sub|3d}}. Три перпендикулярні чотирикратні осі з ''O'' тепер дають підгрупи ''D''{{Sub|4h}}, а шість двократних осей - шість підгруп ''D''{{Sub|2h}}. Ця група ізоморфна ''S''<sub>4</sub> × ''Z''<sub>2</sub> (оскільки і ''O'', і ''C''<sub>i</sub> є нормальними підгрупами) і є групою симетрії куба та октаедра.
|-
| align="center" |'''''I''''', (532)<br /><br />[5,3]<sup>+</sup> ({{ДКД|node_h2|5|node_h2|3|node_h2}})<br /><br />532<br /><br />порядок 60
|'''хіральна [[ікосаедр]]ична симетрія'''
|Це група обертання [[ікосаедр]]а та [[Дванадцятигранник|додекаедра]]. Це нормальна підгрупа індексу 2 у повній групі симетрій '''''I''<sub>h</sub>'''. Група містить 10 різновидів ''D''<sub>3</sub> і 6 різновидів ''D''<sub>5</sub> (симетрії обертання, такі як призми і антипризми). Вона також містить п'ять різновидів ''T'' (див. [[з'єднання п'яти тетраедрів]]). Група '''''I''''' ізоморфна ''A''<sub>5</sub>, [[Знакозмінна група|знакозмінній групі]] на 5 символів, оскільки її елементи співвідносяться 1-до-1-го з парними перестановками п'яти симетрій ''T'' (або п'яти щойно згаданих тетраедрів). Представляючи через обертання з використанням [[Кватерніони|кватерніонів]], '''''I''''' складається з 120 одиничних [[Ікосіани|ікосіанів]]. Як і раніше, тут відповіднешння  1-до-2-ох.
|-
| align="center" |'''''I''<sub>h</sub>''', (*532)<br /><br />[5,3] ({{ДКД|node|5|node|3|node}})<br /><br />{{Overline|5}}{{Overline|3}}2/m, {{Overline|5}}{{Overline|3}}m<br /><br />порядок 120
|'''повна[[ікосаедр]]ична симетрія'''
|Це група симетрії [[ікосаедр]]а та [[Дванадцятигранник|додекаедра]]. Група '''''I''<sub>h</sub>''' ізоморфна групі ''A''<sub>5</sub> × ''Z''<sub>2</sub>, оскільки '''''I''''' та ''C''<sub>i</sub> - нормальні підгрупи. Група містить 10 варіантів ''D''<sub>3d</sub>, 6 варіантів ''D''<sub>5d</sub> (симетрії типу [[Антипризма|антипризм]]) та 5 варіантів ''T''<sub>h</sub>.
|}
Безперервними групами, пов’язаними з цими групами, є:

* ∞∞, '''K''' або [[SO(3)]] – усі можливі повороти.
* ∞∞m, '''K <sub>h</sub>''' або [[Ортогональна група|O(3)]] – усі можливі повороти та відбиття/просторова [[Парність (фізика)|інверсії]].

== Групи Коксетера з відбиттям ==
{| class="wikitable" align="right"
|+Фундаментальні області 3D груп Коксетера
! A <sub>3</sub>, [3,3],{{ДКД|node|3|node|3|node}}
! B <sub>3</sub>, [4,3],{{ДКД|node|4|node|3|node}}
!H <sub>3</sub>, [5,3],{{ДКД|node|5|node|3|node}}
|- align="center"
|[[Файл:Tetrahedral_reflection_domains.png|120x120пкс]]6 дзеркал
|[[Файл:Octahedral_reflection_domains.png|120x120пкс]]3+6 дзеркал
|[[Файл:Icosahedral_reflection_domains.png|120x120пкс]]15 дзеркал
|-
! 2A <sub>1</sub>, [1,2],{{ДКД|node|2|node}}
!3A <sub>1</sub>, [2,2],{{ДКД|node|2|node|2|node}}
! A <sub>1</sub> A <sub>2</sub>, [2,3],{{ДКД|node|2|node|3|node}}
|- align="center"
|[[Файл:Spherical_digonal_bipyramid2.svg|120x120пкс]]2 дзеркала
|[[Файл:Spherical_square_bipyramid2.svg|120x120пкс]]3 дзеркала
|[[Файл:Spherical_hexagonal_bipyramid2.png|120x120пкс]] 4 дзеркала
|-
! A <sub>1</sub>, [1],{{ДКД|node}}
! 2A <sub>1</sub>, [2],{{ДКД|node|2|node}}
! A <sub>2</sub>, [3],{{ДКД|node|3|node}}
|- align="center"
|[[Файл:Spherical_digonal_hosohedron2.png|121x121пкс]]1 дзеркало
|[[Файл:Spherical_square_hosohedron2.png|120x120пкс]] 2 дзеркала
|[[Файл:Spherical_hexagonal_hosohedron2.png|120x120пкс]]3 дзеркала
|}
Групи відбиття точок у трьох вимірах також називаються [[Група Коксетера|групами Коксетера]] і можуть бути задані [[Діаграми Коксетера — Динкіна|діаграмою Коксетера-Динкіна]] та представляють набір дзеркал, які перетинаються в одній центральній точці. [[Нотація Кокстера|Нотація Коксетера]] містить позначення в дужках, еквівалентну діаграмі Коксетера, із символами розмітки для обертових та інших точкових груп субсиметрії. У [[Нотація Шенфліса|нотації Шенфліса]] точкові групами відбиття в 3D є ''C''<sub>''n''v</sub>, ''D''<sub>''n''h</sub> і повні [[Багатогранний граф|поліедральні]] групи задані, як ''T'', ''O'' та ''I''.

Дзеркальні площини обмежують набір [[Сферична тригонометрія|сферичних трикутників]] на поверхні сфери. Група Коксетера рангу ''n'' має ''n'' таких дзеркальних площин. Групи Коксетера, що мають менше ніж 3 генератори, мають вироджені області сферичного трикутника, як лунки або [[Сфера|півкулі]]. У нотації Коксетера ці групи описують [[Тетраедрична симетрія|тетраедричну симетрію]] [3,3], [[Список груп сферичної симетрії|октаедричну симетрію]] [4,3], [[Ікосаедр|ікосаедричну симетрію]] [5,3] і [[Діедрична група|діедричну симетрію]] [p,2]. Кількість дзеркал для незвідної групи дорівнює ''nh/2'', де ''h'' — [[число Коксетера]] групи Коксетера, ''n'' — розмірність (3). 
{| class="wikitable"
![[Група Вейля]]
! colspan="2" |[[Діаграми Коксетера — Динкіна|Нотація Коксетера]]
![[Порядок (теорія груп)|Порядок]]
![[Число Коксетера]]<br /><br />(h)
![[Калейдоскоп|Дзеркала]]<br /><br />(m)
|-
! colspan="6" |[[Багатогранний граф|Поліедральні групи]]
|- align="center"
|'''A'''<sub>3</sub>
|{{ДКД|node|3|node|3|node}}
|[3,3]
|24
|4
|6
|- align="center"
|'''B'''<sub>3</sub>
|{{ДКД|node|4|node|3|node}}
|[4,3]
|48
|6
|3+6
|- align="center"
|'''H'''<sub>3</sub>
|{{ДКД|node|5|node|3|node}}
|[5,3]
|120
|10
|15
|-
! colspan="6" |[[Діедрична група|Діедричні групи]]
|- align="center"
|2'''A'''<sub>1</sub>
|{{ДКД|node|2|node}}
|[1,2]
|4
|
|1+1
|- align="center"
|3'''A'''<sub>1</sub>
|{{ДКД|node|2|node|2|node}}
|[2,2]
|8
|
|2+1
|- align="center"
|'''I'''<sub>2</sub>(p)'''A'''<sub>1</sub>
|{{ДКД|node|p|node|2|node}}
|[p,2]
|''4p''
|
|p+1
|-
! colspan="6" |[[Список груп сферичної симетрії|Циклічні групи]]
|- align="center"
|2'''A'''<sub>1</sub>
|{{ДКД|node|2|node}}
|[2]
|4
|
|2
|- align="center"
|'''I'''<sub>2</sub>(p)
|{{ДКД|node|p|node}}
|[p]
|''2p''
|
|p
|-
! colspan="6" |Поодиноке дзеркальне відображення
|- align="center"
|'''A'''<sub>1</sub>
|{{ДКД|node}}
|[ ]
|2
|
|1
|}

== Групи обертання ==
Групами обертання є всі скінченні підгрупи SO(3). До них відносяться: циклічні групи ''C''<sub>''n''</sub> (група обертання канонічної [[Піраміда (геометрія)|піраміди]] ), [[Діедрична група|діедричні]] групи ''D''<sub>''n''</sub> (група обертання правильної [[Призма (математика)|призми]] або канонічної [[Біпіраміда|біпіраміди]] ), і групи обертання ''T'', ''O'' та ''I'' правильного [[Чотиригранник|тетраедра]], [[октаедр]]а / [[куб]]а та [[ікосаедр]]а / [[Дванадцятигранник|додекаедр]] відповідно.

Серед них, діедричні групи ''D'' <sub>3</sub>, ''D'' <sub>4</sub> тощо є групами обертання плоских правильних багатокутників, представлених у тривимірному простір, і таку фігуру можна розглядати як вироджену правильну призму. Тому її також називають ''[[Діедр|диедром]]'' (грец. тверде тіло з двома гранями), що пояснює назву.

* Об’єкт із групою симетрії ''C'' <sub>''n''</sub>, ''C'' <sub>''n'' h</sub>, ''C'' <sub>''n'' v</sub> або ''S''<sub>2''n''</sub> має групу обертання ''C'' <sub>''n''</sub>.
* Об’єкт із групою симетрії ''D'' <sub>''n''</sub>, ''D'' <sub>''n'' h</sub> або ''D'' <sub>''n'' d</sub> має групу обертання ''D'' <sub>''n''</sub>.
* Об’єкт, що має поліедральну симетрію ( ''T'', ''T''<sub>d</sub>, ''T''<sub>h</sub>, ''O'', ''O'' <sub>h</sub>, ''I'' або ''I'' <sub>h</sub> ), має як свою групу обертання відповідну групу без нижнього індексу: ''T'', ''O'' або ''I''.

Група обертання об'єкта дорівнює його повній групі симетрії тоді і тільки тоді, коли об'єкт [[Хіральність (математика)|хіральний]], тобто має відмінності правої та лівої конфігурації. Іншими словами, хіральними об’єктами є об’єкти з групою симетрії в списку груп обертання.

З використанням [[Символи Шенфліса|нотації Шенфліса]] та [[Діаграми Коксетера — Динкіна|Коксетера]] ( [[Орбіфолдна нотацію|орбіфолдну нотацію]] ), підгрупи обертання такі:
{| class="wikitable"
!Відображення
! Відображення/обертання
! Неправильне обертання
! [[Обертова симетрія|Обертання]]
|- align="center"
| ''C'' <sub>''n'' v</sub>, [n], (*nn)
| ''C'' <sub>''n'' h</sub>, [n <sup>+</sup> ,2], (n*)
| ''S'' <sub>2 ''n''</sub>, [2n <sup>+</sup> ,2 <sup>+</sup> ], (n×)
| ''C'' <sub>''n''</sub>, [n] <sup>+</sup>, (nn)
|- align="center"
| ''D'' <sub>''n'' h</sub>, [2,n], (*n22)
| ''D'' <sub>''n'' d</sub>, [2 <sup>+</sup> ,2n], (2*n)
|
| ''D'' <sub>''n''</sub>, [2,n] <sup>+</sup>, (n22)
|- align="center"
| ''T'' <sub>d</sub>, [3,3], (*332)
|
|
| ''T'', [3,3] <sup>+</sup>, (332)
|- align="center"
| ''O'' <sub>h</sub>, [4,3], (*432)
| ''T'' <sub>h</sub>, [3 <sup>+</sup> ,4], (3*2)
|
| ''O'', [4,3] <sup>+</sup>, (432)
|- align="center"
| ''I'' <sub>h</sub>, [5,3], (*532)
|
|
| ''I'', [5,3] <sup>+</sup>, (532)
|-
|}

== Відповідність ротаційних груп та інших груп ==

=== Групи, що містять інверсію ===
Група всіх обертань в 3D, тобто SO(3), є підгрупою O(3), повної групи ізометрій тривимірного [[Евклідів простір|евклідового простору]]. Відповідно, O(3) є [[Прямий добуток груп|прямим добутком]] SO(3) та групи [[Центральна симетрія|інверсії]] ''C''<sub>i</sub> (де інверсія позначається її [[Матриця (математика)|матрицею]] − ''I'' ), що додає всі можливі відбиття, самі по собі та поєднанні з [[Обертова симетрія|обертовими осями]]:

: O(3) = SO(3) × { ''I'', − ''I'' }

Таким чином, існує взаємно-однозначна відповідність між усіма прямими ізометріями та всіма непрямими ізометріями через інверсію:

: ''K'' = ''H'' × { ''I'', − ''I'' }
: ''H'' = ''K'' ∩ SO(3)

Для скінченних груп відповідність така:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!Група поворотів
''H''
! Парність<br />''n''
! Група, що містить інверсію
''К''
|-
| rowspan="2" | ''C'' <sub>''n''</sub>
| парне
| ''C'' <sub>''n'' h</sub>
|-
| непарне
| ''S'' <sub>2 ''n''</sub>
|-
| rowspan="2" | ''D'' <sub>''n''</sub>
| парне
| ''D'' <sub>''n'' h</sub>
|-
| непарне
| ''D'' <sub>''n'' d</sub>
|-
| ''Т''
|
| ''T''<sub>h</sub>
|-
| ''О''
|
| ''O<sub>h</sub>''
|-
| ''I''
|
| ''I'' <sub>h</sub>
|}

=== Групи, що містять непрямі ізометрії, але не мають інверсії ===
У випадках, коли група прямих ізометрій ''H'' має підгрупу ''L'' [[Індекс підгрупи|індексу]] 2, то можна побудувати відповідну групу, яка містить непрямі ізометрії, але не містить інверсії:

: <math>M = L \cup ( (H \setminus L) \times \{ -I \})</math>

Наприклад, для ''H'' = ''C'' <sub>4</sub> існує ''M'' = ''S'' <sub>4</sub>.

Відповідно, ''M'' отримується з ''H'' шляхом інвертування ізометрій в <math>H \setminus L</math>. Ця група ''M'', як [[Теорія груп|абстрактна група]], буде ізоморфна до ''H''. І навпаки, для всіх точкових груп ''M'', які містять непрямі ізометрії, але не мають інверсії, ми можемо отримати групу обертання ''H'' за допомогою інвертування непрямих ізометрій.

Для скінченних груп відповідність така:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!Група обертань
''H''
! Індекс-2 підгрупа<br />''L''
! Парність<br />''n''
! Група, що містить<br />непрямі ізометрії<br /> ''М''
|-
| rowspan="2" | ''C'' <sub>2 ''n''</sub>
| rowspan="2" | ''C'' <sub>''n''</sub>
| парне
| ''S'' <sub>2 ''n''</sub>
|-
| непарне
| ''C'' <sub>''n'' h</sub>
|-
| rowspan="2" | ''D'' <sub>2 ''n''</sub>
| rowspan="2" | ''D'' <sub>''n''</sub>
| парне
| ''D'' <sub>''n'' h</sub>
|-
| непарне
| ''D'' <sub>''n'' d</sub>
|-
| ''D'' <sub>''n''</sub>
| ''C'' <sub>''n''</sub>
| будь-яке
| ''C'' <sub>''n'' v</sub>
|-
| ''О''
| ''Т''
|
| ''T'' <sub>d</sub>
|}

== Нормальні підгрупи ==
У двовимірному просторі [[циклічна група]] ''k'' -кратних [[Обертання|обертань]] ''C''<sub>''k''</sub> є нормальною підгрупою O(2) і SO(2) для кожного натурального числа ''k''. Відповідно, у тривімірному просторі для кожної осі циклічна група ''k'' -кратних обертань навколо цієї осі є нормальною підгрупою групи всіх обертань навколо цієї осі. Оскільки будь-яка підгрупа індексу два є нормальною, група поворотів ( ''C''<sub>''n''</sub> ) є нормальною як у групі ( ''C''<sub>''n''v</sub>), отриманій додаванням до ''C''<sub>''n''</sub> площин відбиття через її вісь, так і в групі ( ''C''<sub>''n''h</sub> ) отриманий шляхом додавання до ''C''<sub>''n''</sub>  площини відбиття, перпендикулярної до його осі.

== Максимальні симетрії ==
Існують дві дискретні точкові групи з властивістю, що жодна дискретна точкова група не містить її, як правильну підгрупу: ''O'' <sub>h</sub> та ''I'' <sub>h</sub>. Їх найбільшою спільною підгрупою є ''T'' <sub>h</sub>. Дві групи виводяться із них заміною 2-кратної обертової симетрії на 4-кратну та додаванням 5-кратної симетрії відповідно.

Їм відповідають дві аналогічні [[Кристалографічна група|кристалографічні]] точкові групи з властивістю, що жодна кристалографічна точкова група не включає її, як власну підгрупу: ''O'' <sub>h</sub> і ''D'' <sub>6h</sub>. Їхніми максимальними спільними підгрупами залежно від орієнтації будуть ''D'' <sub>3d</sub> і ''D'' <sub>2h</sub>.

== Групи впорядковані за типом абстрактної групи ==
Найменшими абстрактними групами, які ''не'' є жодною групою симетрії в 3D, є [[Група кватерніона|група кватерніонів]] (порядку 8), Z <sub>3</sub> × Z <sub>3</sub> (порядку 9), [[дициклічна група]] Dic<sub>3</sub> (порядку 12) і 10 з 14 груп 16-го порядку.

Стовпець «# елементів порядку 2» у подальших таблицях показує загальну кількість підгруп ізометрії типів ''C'' <sub>2</sub>, ''C'' <sub>i</sub> та ''C'' <sub>s</sub>. Це число є однією з характеристик, які допомагають розрізняти різні типи абстрактних груп. В той же час, їх тип ізометрії допомагає розрізняти різні групи ізометрії відповідної абстрактної групи.

Серед можливих груп ізометрії в тривимірному просторі існує нескінченна кількість абстрактних типів груп з 0, 1 і 3-ма елементами порядку 2, є дві з 4''n'' + 1 елементами порядку 2 та є три з 4''n'' + 3 елементами порядку 2 (для всіх ''n'' ≥ 8 ).

Ніколи не буває парної кількості елементів порядку 2.

=== Групи симетрії в 3D, які є циклічними як абстрактні групи ===
Абстрактною групою є [[діедрична група]] Dih<sub>''n''</sub>, яка також позначається ''D'' <sub>''n''</sub>. Існує ще три нескінченні серії груп симетрії з цим абстрактним типом групи:

* Для парного порядку 2''n'' існує група <nowiki><i id="mwB5A">S</i></nowiki> <nowiki><sub id="mwB5E">2<i id="mwB5I">n</i></nowiki><nowiki></sub></nowiki> (нотація Шенфліса), породжена поворотом на кут 180°/n навколо осі в поєднанні з відбиттям у площині, перпендикулярній до осі. Для ''S'' <sub>2</sub> використовується позначення ''C'' <sub>i</sub> ; ця операція породжується інверсією.
* Для будь-якого порядку 2''n,'' де ''n'' непарне, ми маємо ''C''<sub>''n''h</sub> ; ця група має вісь обертання ''n'' разів і перпендикулярну площину відбиття. Вона породжується поворотом навколо осі на кут 360°/ ''n'' у поєднанні з відбиттям. Для ''C'' <sub>1h</sub> використовується позначення ''C'' <sub>s</sub> ; воно породжується відбиттям на площині.

Жирним шрифтом виділено 10 циклічних кристалографічних точкових груп, для яких застосовується [[кристалографічне обмеження]] :
{| class="wikitable"
!Порядок
! Група ізометрії
! Абстрактна група
! # (кількість)  елементів
порядку 2
! [[Циклічний граф (алгебра)|Циклічна діаграма]]
|- align="center"
| 8
| '''''C''<sub>4h</sub>'''
| Z <sub>4</sub> × Z <sub>2</sub>
| 3
|[[Файл:GroupDiagramMiniC2C4.svg|40x40пкс]]
|- align="center"
| 12
| '''''C''<sub>6h</sub>'''
| Z <sub>6</sub> × Z <sub>2</sub> = Z <sub>3</sub> × Z <sub>2</sub> <sup>2</sup> = Z <sub>3</sub> × Dih <sub>2</sub>
| 3
|[[Файл:GroupDiagramMiniC2C6.svg|40x40пкс]]
|- align="center"
| 16
| ''C''<sub>8h</sub>
| Z <sub>8</sub> × Z <sub>2</sub>
| 3
|[[Файл:GroupDiagramMiniC2C8.svg|40x40пкс]]
|- align="center"
| 20
| ''C''<sub>10h</sub>
| Z <sub>10</sub> × Z <sub>2</sub> = Z <sub>5</sub> × Z <sub>2</sub> <sup>2</sup> = Z <sub>5</sub> × Dih <sub>2</sub>
| 3
|[[Файл:GroupDiagramMiniC2C10.png|40x40пкс]]
|}
і так далі.

=== Групи симетрії в 3D, які є двогранними як абстрактні групи ===
У двовимірній [[Діедрична група|двогранній (діедричній) групі]] ''D'' <sub>''n''</sub> існують просторові дзеркальні відображення, які також можна розглядати як перевертання плоских об'єктів без розрізнення їх передньої та задньої сторін.

Друга з цих груп є першою з одновісних груп ( [[Циклічна група|циклічних груп]] ) ''C'' <sub>''n''</sub> порядку ''n'' (також присутня в 2D-просторі), які породжені одним поворотом на кут 360°/ ''n''. Якщо додати дзеркальну площину, перпендикулярну до осі, вийде група ''C''<sub>''n''h</sub> порядку 2''n'', або набір з ''n'' дзеркальних площин, що містять вісь, даючи групу ''C''<sub>''n''v</sub>, також порядку 2''n''. Остання є групою симетрії для правильної ''n'' -гранної [[Піраміда (геометрія)|піраміди]]. Типовим об'єктом з групою симетрії ''C'' <sub>''n''</sub> або ''D'' <sub>''n''</sub> є [[Лопатевий гвинт|пропелер]].

Відповідною абстрактною групою є [[діедрична група]] Dih<sub>''n''</sub>, яка також позначається ''D'' <sub>''n''</sub>. Однак існує ще три нескінченні серії груп симетрії з цим абстрактним типом групи:

* ''C'' <sub>''n'' v</sub> порядку 2 ''n'', група симетрії правильної ''n'' -гранної [[Піраміда (геометрія)|піраміди]]
* ''D'' <sub>''n'' d</sub> порядку 4 ''n'', група симетрії правильної ''n'' -сторонньої [[Антипризма|антипризми]]
* ''D'' <sub>''n'' h</sub> порядку 4 ''n'' для непарних ''n''. Для ''n'' = 1 ми отримуємо ''D'' <sub>2</sub>, про що вже говорилося вище, тому ''n'' ≥ 3.

: Dih <sub>4 ''n'' +2</sub> <math>\cong</math> Dih <sub>2 ''n'' +1</sub> × Z <sub>2</sub>

Таким чином ми отримуємо, як і раніши виділивши жирним шрифтом 12 кристалографічних точкових груп і, записавши ''D''<sub>1d</sub> як еквівалент ''C''<sub>2h</sub> :
{| class="wikitable"
!Порядок
!Групи ізометрій
!Абстрактна група
!# (кількість) елементів порядку 2
![[Циклічний граф (алгебра)|Циклічна діаграма]]
|- align="center"
|4
|'''''D''<sub>2</sub>''', '''''C''<sub>2v</sub>''', '''''C''<sub>2h</sub>'''
|Dih<sub>2</sub> = Z<sub>2</sub> × Z<sub>2</sub>
|3
|[[Файл:GroupDiagramMiniD4.svg|40x40пкс]]
|- align="center"
|6
|'''''D''<sub>3</sub>''', '''''C''<sub>3v</sub>'''
|Dih<sub>3</sub>
|3
|[[Файл:GroupDiagramMiniD6.svg|40x40пкс]]
|- align="center"
|8
|'''''D''<sub>4</sub>''', '''''C''<sub>4v</sub>''', '''''D''<sub>2d</sub>'''
|Dih<sub>4</sub>
|5
|[[Файл:GroupDiagramMiniD8.svg|40x40пкс]]
|- align="center"
|10
|''D''<sub>5</sub>, ''C''<sub>5v</sub>
|Dih<sub>5</sub>
|5
|[[Файл:GroupDiagramMiniD10.svg|40x40пкс]]
|- align="center"
|12
|'''''D''<sub>6</sub>''', '''''C''<sub>6v</sub>''', '''''D''<sub>3d</sub>''', '''''D''<sub>3h</sub>'''
|Dih<sub>6</sub> = Dih<sub>3</sub> × Z<sub>2</sub>
|7
|[[Файл:GroupDiagramMiniD12.svg|40x40пкс]]
|- align="center"
|14
|''D''<sub>7</sub>, ''C''<sub>7v</sub>
|Dih<sub>7</sub>
|7
|[[Файл:GroupDiagramMiniD14.svg|40x40пкс]]
|- align="center"
|16
|''D''<sub>8</sub>, ''C''<sub>8v</sub>, ''D''<sub>4d</sub>
|Dih<sub>8</sub>
|9
|[[Файл:GroupDiagramMiniD16.svg|40x40пкс]]
|- align="center"
|18
|''D''<sub>9</sub>, ''C''<sub>9v</sub>
|Dih<sub>9</sub>
|9
|
|- align="center"
|20
|''D''<sub>10</sub>, ''C''<sub>10''v''</sub>, ''D''<sub>5h</sub>, ''D''<sub>5d</sub>
|Dih<sub>10</sub> = ''D''<sub>5</sub> × Z<sub>2</sub>
|11
|[[Файл:GroupDiagramMiniD20.png|44x44пкс]]
|}

=== Інші групи ===
''C'' <sub>2''n'',h</sub> порядку 4 ''n'' є абстрактною групою типу Z<sub>2''n''</sub> × Z<sub>2</sub>. Для ''n'' = 1 ми отримуємо Dih<sub>2</sub>, уже описане вище, тому ''n'' ≥ 2. Таким чином ми маємо, виділивши жирним шрифтом 2 циклічні кристалографічні точкові групи:

{| class="wikitable"
!Порядок
! Група ізометрії
! Абстрактна група
! # (кількість)  елементів
порядку 2
! [[Циклічний граф (алгебра)|Циклічна діаграма]]
|- align="center"
| 8
| '''''D''<sub>2h</sub>'''
| Z <sub>2</sub> <sup>3</sup>
| 7
|[[Файл:GroupDiagramMiniC2x3.svg|40x40пкс]]
|- align="center"
| 16
| '''''D''<sub>4h</sub>'''
| Dih <sub>4</sub> × Z <sub>2</sub>
| 11
|[[Файл:GroupDiagramMiniC2D8.svg|40x40пкс]]
|- align="center"
| 24
| '''''D''<sub>6h</sub>'''
| Dih <sub>6</sub> × Z <sub>2</sub> = Dih <sub>3</sub> × Z <sub>2</sub> <sup>2</sup>
| 15
|
|- align="center"
| 32
| ''D''<sub>8h</sub>
| Dih <sub>8</sub> × Z <sub>2</sub>
| 19
|
|}
тощо.

''D''<sub>''n''h</sub> порядку 4''n'' є абстрактною групою типу Dih <sub>n</sub> × Z<sub>2</sub>. Для непарних ''n'' це вже розглянуто вище, тому тут ми маємо ''D''<sub>2''n''h</sub> порядку 8''n'', яка має відповідну абстрактну групу типу Dih<sub>2''n''</sub> × Z<sub>2</sub> (''n'' ≥1).

Таким чином ми маємо, виділивши жирним шрифтом 3 діедричних кристалографічні точкові групи:
{| class="wikitable"
!порядок
! Група ізометрії
! Абстрактна група
! # (кількість)  елементів
порядку 2
! [[Циклічний граф (алгебра)|Циклічна діаграма]]
|- align="center"
| 12
| '''''Т'''''
| ''A'' <sub>4</sub>
| 3
|[[Файл:GroupDiagramMiniA4.svg|40x40пкс]]
|- align="center"
| 24
| '''''Т''<sub>d</sub>''', '''''О'''''
| [[Симетрична група|''S'' <sub>4</sub>]]
| 9
|[[Файл:Symmetric_group_4;_cycle_graph.svg|44x44пкс]]
|- align="center"
| 24
| '''''Т''<sub>h</sub>'''
| ''A'' <sub>4</sub> × Z <sub>2</sub>
| 7
|[[Файл:GroupDiagramMiniA4xC2.png|40x40пкс]]
|- align="center"
| 48
| '''''О<sub>h</sub>'''''
| ''S'' <sub>4</sub> × Z <sub>2</sub>
| 19
|
|- align="center"
| 60
| ''I''
| ''A'' <sub>5</sub>
| 15
|
|- align="center"
| 120
| ''I''<sub>h</sub>
| ''A'' <sub>5</sub> × Z <sub>2</sub>
| 31
|
|}
тощо.

Решта сім із жирним виділенням 5 кристалографічних точкових групи (див. також вище):
{| class="wikitable"
!порядок
! Група ізометрії
! Абстрактна група
! # (кількість)  елементів
порядку 2
! [[Циклічний граф (алгебра)|Циклічна діаграма]]
|- align="center"
| 12
| '''''Т'''''
| ''A'' <sub>4</sub>
| 3
|[[Файл:GroupDiagramMiniA4.svg|40x40пкс]]
|- align="center"
| 24
| '''''Т''<sub>d</sub>''', '''''О'''''
| [[Симетрична група|''S'' <sub>4</sub>]]
| 9
|[[Файл:Symmetric_group_4;_cycle_graph.svg|44x44пкс]]
|- align="center"
| 24
| '''''Т''<sub>h</sub>'''
| ''A'' <sub>4</sub> × Z <sub>2</sub>
| 7
|[[Файл:GroupDiagramMiniA4xC2.png|40x40пкс]]
|- align="center"
| 48
| '''''О<sub>h</sub>'''''
| ''S'' <sub>4</sub> × Z <sub>2</sub>
| 19
|
|- align="center"
| 60
| ''I''
| ''A'' <sub>5</sub>
| 15
|
|- align="center"
| 120
| ''I''<sub>h</sub>
| ''A'' <sub>5</sub> × Z <sub>2</sub>
| 31
|
|}

== Фундаментальна область ==
{| class="wikitable" align="right" width="240"
|+Триаконтаедр Дісдякіса
|[[Файл:Spherical_disdyakis_triacontahedron.png|120x120пкс]]
|[[Файл:Disdyakis_triacontahedron.png|120x120пкс]]
|-
| colspan="2" | Площини відбиття для ікосаедричної симетрії перетинають сферу по [[Велике коло|великих колах]] з фундаментальними областями прямокутного сферичного трикутника
|}
Для багатогранника ця поверхня в фундаментальній області може бути частиною будь-якої площини. Наприклад, у триаконтаедрі Дісдякіса одна грань є фундаментальною областю ікосаедричної симетрії. Налаштування орієнтації площини дає різні варіанти поєднання двох або більше суміжних граней в одну. Це дає різні інші багатогранники з такою самою симетрією. Також поверхня в фундаментальній області може складатися з кількох граней.

== Бінарні поліедральні групи ==
Відповідність Spin(3 )&nbsp;→&nbsp;SO(3) — подвійний перетин групи обертання [[Спінорна група|спінорною групою]] в 3 вимірах. Відповідно до [[Теорема відповідності (теорія груп)|теореми відповідності]] існує [[зв’язок Галуа]] між підгрупами Spin(3) і підгрупами SO(3) (обертові точкові групи): образ підгрупи Spin(3) є обертовою точковою групою, а прообраз точкової групи є підгрупою Spin(3). (Зверніть увагу, що Spin(3) має альтернативні описи як спеціальна унітарна група [[Спеціальна унітарна група|SU(2)]] і як група [[Кватерніони|одиничних кватерніонів]]. Топологічно ця [[група Лі]] є [[3-сфера|тривимірною сферою '''S''' <sup>3</sup>]].)

Прообраз скінченної точкової групи називається '''поліедричною''' '''бінарною групою''', яку позначають як ⟨l,n,m⟩, і називається тією ж назвою, що й її точкова група, з префіксом '''"бінарний"''', з подвійним порядком групи відносно порядку пов’язаної групи багатогранників (l,n,m). Наприклад, прообразом ікосаедричної групи (2,3,5) є бінарна ікосаедрична група ⟨2,3,5⟩.

Бінарні поліедричні групи:

* <math>A_n</math> : бінарна циклічна група an ( ''n''&nbsp;+&nbsp;1)-гон, порядок 2 ''н''
* <math>D_n</math> : бінарна двогранна група ''n'' -кутника, ⟨2,2, ''n'' ⟩, порядок 4 ''n''
* <math>E_6</math> : бінарна тетраедральна група, ⟨2,3,3⟩, порядок 24
* <math>E_7</math> : бінарна октаедрична група, ⟨2,3,4⟩, порядок 48
* <math>E_8</math> : бінарна ікосаедрична група, ⟨2,3,5⟩, порядок 120

Вони класифікуються за [[ADE-класифікація|класифікацією ADE]], а фактор '''C''' <sup>2</sup> за дією бінарної поліедричної групи є [[Сингулярність Дюваля|сингулярністю Дюваля]]<ref>{{Cite web|url=http://www.mi.uni-koeln.de/~burban/singul.pdf|title=Du Val Singularities|last=Burban|first=Igor}}</ref>.

Для точкових груп, які змінюють орієнтацію (хіральність), ситуація складніша, оскільки існує дві групи контактів, тому є дві можливі бінарні групи, які відповідають заданій точковій групі.

Варто зазначити, що вище описано покриття ''груп,'' а не покриття ''просторів'' – сфера [[Однозв'язна область|просто зв’язана]] і, отже, не має [[Накриття (топологія)|накриваючих просторів]]. Таким чином, не можна говорити про «бінарний багатогранник», який охоплює тривимірний багатогранник. Бінарні поліедричні групи є дискретними підгрупами групи [[спін]]ів. Останні діють на векторний простір і можуть стабілізувати поліедр у цьому представленні. Після відображення Spin(3) → SO(3) вони діють на той самий багатогранник, що і базова (небінарна) група, тоді як у [[Спінові представлення|спінових представленнях]] або інших представленнях вони можуть стабілізувати інші багатогранники.

Це на відміну від проективних многогранників – сфера охоплює [[проєктивний простір]], як і [[лінзовий простір]], і, отже, [[теселяція]] проективного простору або простору лінз дає точніше поняття багатогранника.

== Дивіться також ==

* [[Список груп сферичної симетрії]]
* [[Точкова група симетрії|Точкова групи симетрії]]
* [[Кристалографічна група]]
* [[Хіральність]]
* [[Хіральність (фізика)|Хіральність]] (фізика)

== Джерела ==
<div class="refbegin" style="">
</div>
{{Reflist}}

== Зовнішні посилання ==

* [https://web.archive.org/web/20120204104121/http://newton.ex.ac.uk/research/qsystems/people/goss/symmetry/Solids.html Графічний огляд 32 кристалографічних точкових груп] – сформовані перші частини (крім пропуску ''n'' =5) 7 нескінченних серій і 5 із 7 окремих 3D точкових груп
* [http://newton.ex.ac.uk/research/qsystems/people/goss/symmetry/CC_All.html Огляд властивостей точкових груп]
* [https://web.archive.org/web/20080316083237/http://homepage.mac.com/dmccooey/polyhedra/Simplest.html Найпростіші канонічні многогранники кожного типу симетрії] (використовує Java)
* [https://web.archive.org/web/20121024123235/http://www.stanford.edu/~yishuwei/crystal.pdf Точкові групи та кристалічні системи], І-Шу Вей, стор.&nbsp;4–6
* [http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node45.html Центр геометрії: 10.1 Формули для симетрій у декартових координатах (три виміри)]

[[Категорія:Теорія груп]]
[[Категорія:Евклідові симетрії]]