Перегляд вихідного коду сторінки Точки Лагранжа

{{unibox}}
'''Точки Лагранжа''' (менш відомі як '''точки [[лібрація|лібрації]]''' (від {{lang-la|libro}}&nbsp;— коливання або ''стаціонарні точки''))&nbsp;— 5 точок в орбітальній конфігурації, де тіло з незначною масою, що зазнає тільки гравітаційного впливу двох взаємопов'язаних масивних тіл, буде перебувати у незмінній позиції щодо них. Локальний розв'язок [[Задача трьох тіл|задачі трьох тіл]].

== Відкриття ==
Точки названо на честь [[математик]]а та [[астроном]]а [[Жозеф-Луї Лагранж]]а, який відкрив їх [[1772]]&nbsp;року, працюючи над проблемою невизначеності [[задача трьох тіл|орбіт у системі з трьох тіл]]. Його дослідження довели, що існує локальний розв'язок цієї проблеми у випадку, коли орбіти всіх тіл є коловими. У цьому разі можна вважати, що два масивних тіла обертаються навколо їхнього спільного центра мас (із постійною [[швидкість|швидкістю]]). Навколо них існує п'ять точок, у яких третє тіло (масою якого можна знехтувати) залишатиметься непорушним у [[система відліку|системі відліку]], яка пов'язана з масивними тілами та обертається разом із ними. Ці точки заведено позначати латинськими літерами L з індексами від 1-го до 5-ти.

== Розташування точок ==
Всі точки лежать у площині обертання масивних тіл.
Точки, що перебувають на одній лінії з двома масивними тілами, називають '''колінеарними'''.
Точки, що розташовані у вершинах рівносторонніх трикутників, основу яких утворює вісь двох основних тіл, називаються '''трикутними'''.
[[Файл:Lagrange very massive.svg|thumb|350px|Схематичне розташування точок Лагранжа]]

=== Колінеарні точки ===
'''L<sub>1</sub>'''&nbsp;— розташована між двома об'єктами, ближче до тіла меншої маси.

'''L<sub>2</sub>'''&nbsp;— розташована на лінії двох об'єктів за тілом меншої маси.

'''L<sub>3</sub>'''&nbsp;— на лінії двох об'єктів за тілом більшої маси.

Відстань від центра мас системи до цих точок наближено обчислюється за формулами<ref name="calc1">[http://www.physics.montana.edu/faculty/cornish/lagrange.pdf The Lagrange points] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150907090116/http://www.physics.montana.edu/faculty/cornish/lagrange.pdf |date=7 вересня 2015 }} {{ref-en}}</ref>:

: <math> r_1 = R \left[ 1 - \left( \frac{\alpha}{3} \right)^{1/3} \right] </math>
: <math> r_2 = R \left[ 1 + \left( \frac{\alpha}{3} \right)^{1/3} \right] </math>
: <math> r_3 = R \left[ 1 + \frac{5}{12} \alpha \right] </math>

де
: <math> \alpha = \frac{M_2}{M_1+M_2} </math>,
: ''M''<sub>1</sub>&nbsp;— маса масивнішого тіла,
: ''M''<sub>2</sub>&nbsp;— масса другого (менш масивного) тіла,
: ''R''&nbsp;— відстань між цими тілами.

У випадках, коли маса тіла M<sub>2</sub> настільки менша за масу M<sub>1</sub>, що масою M<sub>2</sub> можна практично знехтувати (наприклад у системі Сонце—Земля, маса нашої планети менша сонячної в 332&nbsp;981 раз), точки L<sub>1</sub> та L<sub>2</sub> розташовані на однаковій відстані у протилежних напрямках від M<sub>2</sub>.
: <math>r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}</math>
L<sub>3</sub> розміщується на такій же орбіті, що і M<sub>2</sub> з різницею в 180°.

У системі Сонце—Земля точка L<sub>1</sub> розташована на відстані 1,5&nbsp;млн км від центру Землі, у системі Земля—Місяць&nbsp;— на відстані 64 500&nbsp;км від супутника.

Середня відстань від Землі до Сонця <math>R \approx 149,6</math> млн. км.

Середня відстань між центрами Землі і Місяця&nbsp;— <math>384\ 400</math> км.

=== Трикутні точки ===
'''L<sub>4</sub>''' та '''L<sub>5</sub>''' розташовані симетрично щодо лінії M<sub>1</sub>—M<sub>2</sub> та утворюють вершини двох [[рівносторонній трикутник|рівносторонніх трикутників]] з основою в точках M<sub>1</sub> та M<sub>2</sub><ref>[http://www-spof.gsfc.nasa.gov/stargaze/Slagrng3.htm The L4 and L5 Lagrangian Points: Alternative Derivation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120505163645/http://www-spof.gsfc.nasa.gov/stargaze/Slagrng3.htm |date=2012-05-05 }} {{ref-en}}</ref>.
У цьому випадку орбіта тіла незначної маси збігається з орбітою менш масивного тіла M<sub>2</sub>.
L<sub>4</sub> випереджає його у русі на 60°, а L<sub>5</sub> відстає від M<sub>2</sub> на 60°.

== Стабільність у Лагранжевих точках ==
[[Файл:Lagrange points.jpg|right|thumb|250px|Стабільність у Лагранжевих точках системи двох тіл зі значною різницею мас (напр. Сонце&nbsp;— Земля). Стабільні орбіти навколо точок L<sub>4</sub> та L<sub>5</sub> позначено синіми трикутниками]]
Розташовані '''''в колінеарних точках''''' Лагранжа тіла перебувають ''у нестабільній рівновазі''. Будь-який зсув уздовж прямої, що сполучає масивні тіла, призводить до втрати рівноваги. Тіло буде віддалятися від цього положення все далі й далі.

Попри це існують квазі-стабільні замкнені орбіти навколо точок лібрації (у системі відліку, що обертається разом із масивними тілами), принаймні, у випадку задачі трьох тіл. Це так звані [[гало-орбіта|гало-орбіти]], перпендикулярні площині, у якій лежать орбіти масивних тіл. Якщо на рух впливають інші тіла (як це відбувається у [[Сонячна система|Сонячній системі]]) замість замкнутої орбіти рух відбуватиметься квазіперіодичною орбітою, що має назву [[орбіта Ліссажу|орбіти Ліссажу]]. Попри нестабільність таких орбіт космічний апарат може залишатися поблизу відповідних точок Лагранжа з невеликими витратами пального<ref name="nasa">[http://map.gsfc.nasa.gov/m_mm/ob_techorbit1.html WMAP Observatory&nbsp;— Lagrange points (NASA)]</ref>.

'''''У троянських точках''''' (на відміну від колінеарних) забезпечується ''стабільна рівновага'', якщо співвідношення ''M''<sub>1</sub>/''M''<sub>2</sub>&nbsp;>&nbsp;25<ref>точніше <math>\tfrac{25+3\sqrt{69}}{2} \approx 24,96</math></ref>. Таке співвідношення властиве системам Сонце—Юпітер, Сонце—Земля, Земля—Місяць та ін. У разі відхилення об'єкт рухатиметься стабільною орбітою навколо точки лібрації<ref name="calc1"/>. Щоправда, у випадку системи Земля—Місяць ситуація значно ускладнюється впливом сонячної гравітації.

== Узагальнення для еліптичних орбіт ==
У загальнішому випадку [[Еліптична орбіта|еліптичних орбіт]] ''стаціонарних точок'' не існує: вони перетворюються на «області» Лагранжа.
Лагранжеві точки, побудовані для кожного моменту часу (як для колових орбіт), утворюють стаціонарні еліптичні орбіти, подібні до орбіт масивних тіл. Тіло на орбіті Лагранжевої точки має такий же період обертання, що і два масивні тіла (як і у випадку колових орбіт). Цей факт не залежить від того, чи колова орбіта, а це означає, що еліптичні орбіти, окреслені точками Лагранжа, є розв'язком [[задача трьох тіл|задачі трьох тіл]].

== Значення ==
[[Файл:Big_Splash_Theia.gif|left|thumb|200px|Ілюстрація зіткнення [[Тейя (планета)|Теї]] з [[Земля|Землею]], та утворення [[Місяць (супутник)|Місяця]].]]
* '''Троянські астероїди:''' [[1906]] року [[німці|нім.]] [[астроном]] [[Макс Вольф]] відкрив [[астероїд]] [[588 Ахілес]], що перебуває в т. L<sub>4</sub> в системі тіл [[Сонце]]&nbsp;— [[Юпітер (планета)|Юпітер]]. Таким чином було отримано перше фактичне підтвердження теоретичних висновків Лагранжа. Протягом [[XX століття]] в точках L<sub>4</sub> і L<sub>5</sub> було відкрито кілька тисяч астероїдів<ref name=count>{{cite web|title=Trojan Minor Planets|url=http://www.cfa.harvard.edu/iau/lists/Trojans.html|publisher=International Astronomical Union (IAU)|accessdate=2010-06-07|archiveurl=https://www.webcitation.org/6HlNqDx4j?url=http://www.minorplanetcenter.net/iau/lists/Trojans.html|archivedate=2013-06-30|deadurl=no}}</ref>. Склалася традиція що астероїдам, які обганяють Юпітер на 60° і обертаються поблизу точки L<sub>4</sub>, надавати імена грецьких героїв [[Іліада|Іліади]] ([[ахейці]]в), а тим, що відстають (розташовані поблизу L<sub>5</sub>) надавати імена [[троянці]]в. Коли говорять узагальнено про обидві групи, то вживається термін [[троянські астероїди]] або ж троянці.
Троянські астероїди виявлено також зокрема у [[Марс (планета)|Марса]] та [[Нептун (планета)|Нептуна]]. Також [[супутники Сатурна|супутник]] [[Сатурн (планета)|Сатурна]]&nbsp;— [[Тефія (супутник)|Тефія]] має двох власних троянців: [[Телесто (супутник)|Телесто]] та [[Каліпсо (супутник)|Каліпсо]].

[[2010]] року було сфотографовано, а [[2011]]&nbsp;— обчислено орбіту [[2010 TK7|2010&nbsp;TK<sub>7</sub>]]. Наразі це єдиний відомий [[Троянські астероїди Землі|троянський астероїд Землі]].&nbsp;<ref name=UWO>{{cite web |url=http://www.astro.uwo.ca/~wiegert/2010TK7/ |назва=Earth's first Trojan asteroid: 2010 TK7 |автор=Martin Connors, Paul Wiegert, Christian Veillet |дата=2011-07-08 |праця=Департамент Фізики та Астрономії |видавець=[[Університет Західного Онтаріо]] |дата-доступу=2011-08-31 |мова=en  |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130904143930/http://www.astro.uwo.ca/~wiegert/2010TK7/ |archivedate=2013-09-04 }}</ref>

* '''Утворення Місяця:''' Згідно з поширеною теорією походження [[Місяць (супутник)|Місяця]], він утворився внаслідок зіткнення Землі з космічним тілом, розміром приблизно з [[Марс (планета)|Марс]]. Чотири американські астрофізики: [[Ел Камерон]] ({{lang-en|Al Cameron}}), [[Вільям Вард]] ({{lang-en|William Ward}}), [[Вільям Хартманн]] ({{lang-en|William Hartmann}}) і [[Дональд Девіс]] ({{lang-en|Donald Davis}}) [[1975]] року висунули гіпотезу, що в одній з точок Лагранжа L<sub>4</sub> або L<sub>5</sub> системи Сонце—[[Земля]] сформувалася [[планетозималь]] [[Тейя (планета)|Тейя]]. Внаслідок стабільності орбіти впродовж тривалого часу&nbsp;— близько ста мільйонів років це тіло змогло набрати масу приблизно з [[Марс (планета)|марсіанську]]. Проте в підсумку Тейя зблизилася з Землею та в результаті зіткнення вибила з неї речовину, з якої й утворився земний супутник&nbsp;<ref>{{cite web|author=Леонид Попов|title=Разгадка происхождения Луны даёт ключ к поиску инопланетян|url=http://www.membrana.ru/articles/global/2004/11/18/215200.html|date=2004-11-18|accessdate=2010-08-24|work=[http://www.membrana.ru/about Membrana]|archiveurl=https://www.webcitation.org/6HlNrUNNE?url=http://www.membrana.ru/particle/392|archivedate=2013-06-30|deadurl=yes}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130530185446/http://www.membrana.ru/particle/392 |date=2013-05-30 }}{{ref-ru}}</ref>.

* '''Троянські планети:''' [[2011]]-го року [[орбітальний телескоп]] [[Кеплер]] [[транзитний метод|транзитним методом]] відкрив у планетарній системі [[KOI-730]] дві [[екзо-планети]], що обертаються навколо [[материнська зоря|материнської зорі]] за 9,8 [[доба|діб]] у взаємних точках Лагранжа L<sub>4</sub> та L<sub>5</sub>. Комп'ютерне моделювання прогнозує стабільність їхніх орбіт на наступні 2,22 мільйони років&nbsp;<ref>{{cite web/uk |url=http://www.newscientist.com/article/dn20160-two-planets-found-sharing-one-orbit.html |назва=Two planets found sharing one orbit |автор=Маркус Човн ({{lang-en|Marcus Chown}}) |дата=2011-03-06 |видавець=тижневик «[[New Scientist]]» |дата-доступу=2011-09-20 | мова=en  }}</ref>.

[[Файл:Making a Nova.jpg|250px|right|thumb|Зоря зліва, заповнила свою [[порожнина Роша|порожнину Роша]] і через точку L<sub>1</sub> скидає свою матерію зорі з правого боку]]

* '''Міжзоряний вітер:''' У тісних [[подвійні зорі|подвійних зоряних]] системах може відбуватися перетікання речовини з однієї зірки на іншу. Інтенсивне перетікання відбувається за умови, що одна з зір заповнила свою [[порожнина Роша|порожнину Роша]]. Місце дотику цих порожнин є точкою L<sub>1</sub>, де врівноважується гравітаційний вплив обох тіл. Оскільки зорі більшої маси еволюціонують швидше, така зоря першою перетворюється на гіганта і може заповнити свою порожнину. Через точку L<sub>1</sub> зоряний газ починає перетікати на менш масивну компактну компоненту. Після втрати масивною компонентою значної частини оболонки перетікання речовини припиняється, та іноді навіть трапляються випадки зворотного перетікання&nbsp;<ref>{{cite web |url=http://www.astronet.ru/db/msg/1190776 |назва=Вольфа-Райе звёзды |автор=А.М.Черепащук |дата= |видавець=[http://www.astronet.ru/ Астронет] |дата-доступу=2011-10-05 |мова=ru |archiveurl=https://www.webcitation.org/6HlNtYXfG?url=http://www.astronet.ru/db/msg/1190776 |archivedate=2013-06-30 |deadurl=no }}</ref>.

== Використання ==
[[Файл:ACE_at_L1.png|left|thumb|200px|Гало-орбіта навколо L<sub>1</sub> космічного зонду ACE]]
'''Точка L<sub>1</sub>''' системи Земля—Сонце перебуває на відстані 1,5 мільйона км у напрямку Сонця, тому є зручною для його дослідження. Космічні апарати у цій точці здебільшого призначені для аналізу сонячної активності:
* [[12 серпня]] [[1978]] року [[NASA]] і [[ESA]] спільно запустили на [[гало-орбіта|гало-орбіту]] космічний апарат [[ISEE-3]], місія завершилася у травні [[1997]] року. Апарат вивчав взаємодію [[магнітне поле Землі|магнітного поля Землі]] і [[сонячний вітер|сонячного вітру]].
* [[1 листопада]] [[1994]] року з мису [[Канаверал]] було запущено зонд [[WIND]], який працював до квітня [[2008]]-го.
* [[2 грудня]] [[1995]] року було здійснено запуск космічної станції [[SOHO (космічна станція)|SOHO]] для спостереження за Сонцем.
* [[25 серпня]] [[1997]] року виведено на гало-орбіту навколо точки L<sub>1</sub> зонд [[ACE]]. Орієнтовний час його роботи&nbsp;— до [[2024]].
* [[8 серпня]] [[2001]] стартував проект [[Genesis (КА)|Genesis]], на гало-орбіті навколо точки L<sub>1</sub>. Після успішного збору проб сонячного вітру [[8 вересня]] він повернувся на Землю, але не зміг здійснити м'яку посадку і врізався в поверхню планети. Проте аналіз уламків дозволив отримати деякі дані щодо зібраних матеріалів.

'''Точка L<sub>2</sub>''' системи Земля—Сонце зручна для спостережень Всесвіту, оскільки Сонце, Земля та Місяць перебувають разом на одній невеликій ділянці неба і майже весь небосхил залишається вільним для спостережень, а сонячне опромінення є помірно стабільним (на відміну від навколоземної орбіти)<ref name="Gaia"/>:
* [[30 червня]] [[2001]] було запущено [[WMAP]], який досі активний. Мета&nbsp;— дослідження [[реліктове випромінювання|реліктового випромінювання]]
* [[14 травня]] [[2009]] року [[ЄКА|Європейським космічним агентством]] із космодрому [[Куру]] запущено [[ракета-носій|ракету-носій]], що доправила в околицю точки L<sub>2</sub> дві астрономічні космічні лабораторії&nbsp;— [[Гершель (космічний телескоп)|космічний телескоп Гершель]], що працює в [[Інфрачервоне випромінювання|інфрачервоному діапазоні]], і телескоп [[Планк (космічний телескоп)|Планка]]&nbsp;— для складання карти [[реліктове випромінювання|реліктового випромінювання]].
* [[2013]] року ЄКА було здійснено запуск космічного телескопа [[Gaia]], наступника [[Hipparcos|Гіппаркоса]], для визначення [[паралакс]]ів одного мільярда зірок [[Молочний шлях|Галактики]] і складання просторової карти Галактики, відкриття [[екзо-планети|екзо-планет]], а також всебічного спостереження малих тіл [[Сонячна система|Сонячної системи]], галактик та віддалених [[квазар]]ів<ref name="Gaia">{{cite web|url=http://www.esa.int/esaSC/120377_index_0_m.html|title=Gaia overview|work=[[ESA]]|archiveurl=https://www.webcitation.org/6HlNvFqDV?url=http://www.esa.int/Our_Activities/Space_Science/Gaia_overview|archivedate=2013-06-30|accessdate=2009-10-21|deadurl=no}}{{ref-en}}</ref>.
* [[2021]] року НАСА здійснено запуск [[Джеймс Вебб (телескоп)|космічного телескопа ім. Джеймса Вебба]].

'''Точка L<sub>3</sub>''' специфічна тим, що її ніколи не видно з Землі. Але жодних проектів її застосування наразі не відомо.

'''Точки L<sub>4</sub> та L<sub>5</sub>''' є легкодоступними з погляду [[космонавтика|космонавтики]]. Для запуску в ці точки космічного апарата потрібно навіть менше палива, аніж для доставки на [[Місяць (супутник)|Місяць]]<ref name=Membrana>{{cite web/uk |url=http://www.membrana.ru/particle/16492 |назва=Открыт первый троянский компаньон Земли |автор=Лєонід Попов ({{lang-ru|Леонид Попов}}) |дата=2011-06-28 |видавець=сайт «[[Membrana.ru]]» |дата-доступу=2011-09-20 |мова=ru  |archive-date=2012-04-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120417222041/http://www.membrana.ru/particle/16492 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120417222041/http://www.membrana.ru/particle/16492 |date=2012-04-17 }}</ref>.

* [[26 жовтня]] [[2006]]-го [[НАСА]] здійснила запуск проекту [[STEREO]]. Це два ідентичні космічні апарати (A і B) для стереоскопічного вивчення Сонця, а також виявлення, чи існують [[троянці Землі|троянські астероїди]] в системі Сонце—Земля. Кінцевою метою є точки, що обганяють (A) і відстають (B) від Землі на 90°, однак їхня місія включала тривале перебування поблизу точок L<sub>4</sub> (A) та L<sub>5</sub> (B), де вони перебували значну частину [[2009]]-го року.

== Виноски ==
{{reflist|2}}

{{Орбіти}}
{{нк}}

[[Категорія:Небесна механіка]]
[[Категорія:Троянці (астрономія)]]
[[Категорія:Орбіти]]