Перегляд вихідного коду сторінки Точка

{{unibox}}{{Геометрія}}
[[Файл:ACP 3.svg|thumb|200пкс|Набір точок на площині]]
'''Точка'''&nbsp;— одне з основних понять [[геометрія|геометрії]]. Точка є геометричним об'єктом, що має властивості тільки положення в просторі, але не має жодних інших властивостей, наприклад, таких як [[довжина]], [[площа]], [[об'єм]]. Поняття точки використовується в геометрії, [[математика|математиці]], [[фізика|фізиці]] та багатьох інших галузях. У [[функціональний аналіз|функціональному аналізі]] під точкою розуміють елемент будь-якого [[топологічний простір|топологічного]] (зокрема, [[метричний простір|метричного]]) простору; тому в цьому розумінні точкою може бути, наприклад, [[Функція (математика)|функція]].

== Пояснення ==
Точка позначає точне положення в [[Простір|просторі]]. Важливо розуміти, що точка не є матеріальним об'єктом, це просто місце. На кресленнях точка позначається за допомогою олівця, але ця крапка, на відміну від точки, все ж таки має [[діаметр]], тому є тільки її наближеним зображенням. Зображення ідеальної точки було б таким, що скільки б ми не зменшували область навколо неї, точка завжди представлялась нам нескінченно малого розміру.

В [[Геометрія|геометрії]] точки зазвичай позначаються великими літерами. В [[Евклідів простір|евклідовому просторі]] положення точки можна задати за допомогою [[координати|координат]].

Давньогрецький [[математик]] [[Евклід]] дав їй таке пояснення у своїй фундаментальній книзі із математики [[Начала Евкліда|«Начала»]]:
''«Точка&nbsp;— це фігура, що не має ні довжини, ні ширини, ні висоти».''

В [[Аксіоматика|системах аксіом]] точка, зазвичай, відноситься до понять, які не мають означення. Наприклад, в [[Аксіоматика Гільберта|системі аксіом Гільберта]] такі поняття, як точка, [[пряма]], [[площина]] не мають визначення, тому ці поняття пояснюються на інтуїтивному рівні.

== Розмірність точки ==
В залежності від контексту в математиці існує декілька еквівалентних визначень [[Розмірність простору|вимірності]]. Спільним для всіх цих визначень є те, що точка 0-вимірна.

=== Розмірність векторного простору ===
<!--{{Main|Dimension (vector space)}}-->

Розмірністю векторного простору є максимальний розмір [[Лінійно незалежні вектори|лінійно незалежної]] підмножини. Якщо [[векторний простір]] складається із єдиної точки (якою має бути нульовий вектор '''0'''), лінійно незалежної підмножини не існує. Нульовий вектор не є лінійно незалежним самому собі, оскільки не існує не тривіальної лінійної комбінації, яка б зробила його нульовим: <math>1 \cdot \mathbf{0}=\mathbf{0}</math>.

=== Топологічна розмірність ===
{{Main|Розмірність Лебега}}

Топологічна розмірність топологічного простору ''X'' визначається як мінімальне значення ''n'', таке що кожне скінченне [[Покриття множини|відкрите покриття]] <math>\mathcal{A}</math> для ''X'' допускає скінченне відкрите покриття <math>\mathcal{B}</math> для ''X'', яке є [[Покриття множини#Подрібнення|подрібненням]] <math>\mathcal{A}</math> в якому немає точок, які б включали більше ніж ''n''+1 елементів. Якщо таке мінімальне ''n'' не існує, кажуть що простір має нескінченну розмірність покриття.

Точка є [[Нульвимірний простір|нульвимірною]] по відношенню до вимірності покриття, оскільки кожне відкрите покриття простору має подрібнення, яке складається із єдиної відкритої множини.

== Геометрія без точок ==
Хоча поняття точка як правило вважається фундаментальним у звичайній відомій всім геометрії і топології, але існують деякі системи в яких відмовилися від нього, наприклад, {{li|некомутативна геометрія|Q=Q2746792}} та {{li|топологія без точок|Q=Q7208386}}. «Вільний від точок» простір визначають не як [[множина|множину]], а через деяку структуру ([[C*-алгебра|алгебраїчну]] або {{li|Повна алгебра Хейтінга|логічну|Q=Q5156470}}), яка виглядає як добре відомий функціональний простір над множиною: через алгебру [[Неперервна функція|неперервних функцій]] або [[Алгебра множин|алгебру множин]] відповідно. Більш точно, такі структури узагальнюють добре відомі простори [[Функція (математика)|функцій]] у таких спосіб, що операція «отримання значення у заданій точці» може бути невизначеною.
Продовження традиції відбувається у деяких книжках [[Альфред Норт Вайтгед|Альфреда Н. Вайтгеда]] в яким поняттям примітиву вважається область, разом з однією із операцій ''включення'' або ''з'єднання''.

== Маса точок і дельта-функція Дірака ==
{{Main|Дельта-функція Дірака}}

Часто у фізиці або математиці, корисно уявити точку як таку що має не нульову масу або заряд (що є особливо загальним у [[Класична електродинаміка|класичній електродинаміці]], де електрони ідеалізують у вигляді точок із не нульовим зарядом). The '''Дельта-функція Дірака''', або '''{{mvar|δ}}-функція''', є (неформально) [[узагальнена функція|узагальненою функцією]] на осі [[Дійсне число|дійсних чисел]], яка дорівнює нулю усюди крім точки нуля, і [[інтеграл]] якої дорівнює одиниці по всій осі дійсних чисел.<ref name=Dirac1958p58>{{harvnb|Dirac|1958|loc=§15 The δ function}}, p. 58</ref><ref>{{harvnb|Gel'fand|Shilov|1968|loc=Volume I, §§1.1, 1.3}}</ref><ref>{{harvnb|Schwartz|1950|p=3}}</ref> Іноді дельта функцію уявляють як нескінченно високою, нескінченно тонким піком у початку координат, із одиничною загальною площею цього піку, і вона фізично представляє ідеалізовану [[Матеріальна точка|матеріальну точку]] або [[Матеріальна точка|точковий заряд]].<ref>{{harvnb|Arfken|Weber|2000|p=84}}</ref> Цю концепцію запропонував теоретичний фізик [[Поль Дірак]]. В контексті теорії [[Обробка сигналів|обробки сигналів]] її часто називають символом або функцією '''одиничного імпульсу'''.<ref name="Bracewell 1986 loc=Chapter 5">{{harvnb|Bracewell|1986|loc=Chapter 5}}</ref> Її дискретний аналог&nbsp;— [[Символ Кронекера|дельта-функція Кронекера]], як правило визначена у скінченній області і приймає значення 0 або 1.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
{{Вікіцитати1}}
{{commonscat|Points (mathematics)|Точка}}
* [[Віддаль між двома точками]]
* [[Дійсна точка]]
* [[Ідеальна точка]]
* [[Крапка]]
* [[Лінія]]

== Примітки ==
{{reflist}}

{{додаткові джерела|дата=січень 2020}}
{{математика-доробити}}
[[Категорія:Елементарна геометрія]]
[[Категорія:Математичні концепції]]