Перегляд вихідного коду сторінки Топологія

{{Otheruses}}
[[Файл:Möbius strip.jpg|right|thumb|[[Стрічка Мебіуса]], цікава тим, що має лише одну поверхню; такі форми є об'єктом вивчення топології.]]

'''Тополо́гія''' ({{lang-el|τόπος}}&nbsp;— місце, ''logos''&nbsp;— наука)&nbsp;— розділ [[Математика|математики]], який наближений до [[Геометрія|геометрії]].
У той час як [[алгебра]] починається з розглядання '''операцій''', [[геометрія]]&nbsp;— '''фігур''', а [[математичний аналіз]]&nbsp;— '''функцій'''; найфундаментальніше поняття топології&nbsp;— '''неперервність'''.

== Загальний опис ==

[[Неперервне відображення]] деформує [[векторний простір|простір]], не розриваючи його, при цьому окремі точки або частини простору можуть склеїтися (поєднатися), але близькі точки залишаються близькими. На відміну від геометрії, де розглядаються переважно '''метричні''' характеристики, такі як довжина, кут і площа, у топології ці характеристики вважаються '''несуттєвими''' і натомість вивчаються такі фундаментальніші властивості фігури, як [[Зв'язаний простір|зв'язність]] (кількість шматків, дірок тощо) або можливість неперервно здеформувати її до сфери і зворотно (це можливо для поверхні [[куб]]а, але неможливо для поверхні [[Тор (геометрія)|тора]]).

[[Аксіоматика]] топології побудована на засадах [[теорія множин|теорії множин]], але провідну роль у дослідженнях з сучасної топології відіграють насамперед алгебраїчні і геометричні методи. Об'єктами дослідження топології є [[топологічний простір|топологічні простори]], спільне узагальнення таких структур як [[граф (математика)|граф]], [[поверхня]] у тривимірному просторі і [[множина Кантора]], та відображення між ними. При цьому досліджуються властивості топологічних просторів як в малому ('''локальні'''), так і в цілому ('''глобальні'''). Серед різноманітних напрямків топології відзначимо наближену до теорії множин [[загальна топологія|загальну топологію]], яка вивчає такі загальні властивості абстрактних топологічних просторів як [[Компактний простір|компактність]] або [[Зв'язаний простір|зв'язність]], та [[алгебраїчна топологія|алгебричну топологію]], яка намагається описати топологічні простори за допомогою їхніх алгебраїчних інваріантів, наприклад [[числа Бетті|чисел Бетті]] та [[фундаментальна група|фундаментальної групи]]. [[Геометрична топологія]] вивчає топологічні простори геометричного походження, зокрема [[Вузол (математика)|вузли]] у тривимірному евклідовому просторі і тривимірні [[многовид]]и. До геометричної топології належить одна із найвизначніших і найвідоміших математичних проблем, [[гіпотеза Пуанкаре]], яку нарешті ([[2003]]&nbsp;р.) довів російський математик [[Перельман Григорій Якович|Григорій Перельман]].

Поряд з алгеброю і геометрією, топологічні методи широко використовуються у [[функціональний аналіз|функціональному аналізі]], [[теорія динамічних систем|теорії динамічних систем]] і сучасній [[математична фізика|математичній фізиці]].

Термін ''топологія'' використовується для позначення як математичної дисципліни, так і для певної математичної структури, дивись [[топологічний простір]].

== Рання історія ==
[[Файл:Konigsberg bridges.png|thumb|left|[[Сім мостів Кенігсберга]]&nbsp;— перша задача топології, що була розглянута [[Ейлер Леонард|Л. Ейлером]].]]

Початкові дослідження з топології належать [[Ейлер Леонард|Леонарду Ейлеру]].

Вважається, що стаття Ейлера «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis» («Розв'язання питання, пов'язаного з геометрією положення»), надрукована у [[1736]]&nbsp;р., містила перші результати з топології. Нова точка зору, яку запропонував Ейлер, полягала в тому, щоб під час вивчання певних питань з геометрії відмовитися від розглядання метричних властивостей геометричних фігур, таких як [[довжина]] та [[площа]]. Так, у 1750&nbsp;р. у листі до [[Гольдбах Крістіан|Гольдбаха]] Ейлер повідомив про свою славетну формулу: В&nbsp;— Р + Г = 2, яка пов'язує кількість вершин В, ребер Р і граней Г опуклого [[багатогранник]]а.

В 1895&nbsp;р. [[Пуанкаре Жуль Анрі|Анрі Пуанкаре]] опублікував цикл статей ''{{нп|Analysis Situs (книга)|Analysis Situs|en|Analysis Situs (book)}}'', у яких заклав підвалини [[алгебраїчна топологія|алгебричної топології]]. Удосконалюючи попередні дослідження стосовно зв'язності топологічних просторів, Пуанкаре впровадив поняття [[гомотопія|гомотопії]] і [[гомологія|гомології]] та надав визначення [[фундаментальна група|фундаментальної групи]].

У певному розумінні, роботи Пуанкаре підвели підсумок дослідженням Ейлера, [[Люіл'є]], [[Карл Гаус|Гауса]], [[Ріман Георг Фрідріх Бернгард|Рімана]], [[Лістінг Йоганн Бенедикт|Лістінга]], [[Мебіус Август Фердинанд|Мебіуса]], [[Жордан Марі Енмон Каміль|Жордана]], [[Клейн Фелікс|Клейна]], [[Бетті Енріко|Бетті]] та ін. з '''комбінаторної''' та '''геометричної''' топології. Важливою відзнакою майже всіх цих робіт, включаючи Пуанкаре, був їхній '''інтуїтивний''' характер. Водночас з істотною кількістю прикладів топологічних об'єктів і результатів щодо їхніх властивостей, новій галузі математики бракувало чи не найголовнішого: строгого визначення об'єктів її дослідження, тобто, сучасною мовою, '''топологічних просторів'''.

Усвідомлення важливості топологічної парадигми у [[математичний аналіз|математичному аналізі]], пов'язаної із строгим обґрунтуванням [[границя|границь]], [[неперервне відображення|неперервності]] та [[компактний простір|компактності]] у роботах [[Больцано Бернард|Больцано]], [[Коші Огюстен Луї|Коші]], [[Вейєрштрасс Карл Теодор Вільгельм|Вейєрштрасса]], [[Кантор Георг|Кантора]] та ін. призвело до '''аксіоматичного''' визначення основних понять топології і розвитку [[загальна топологія|загальної топології]], а разом з нею і топології векторних просторів, [[функціональний аналіз|функціонального аналізу]]. Таким чином, проблеми аналізу утворюють друге, великою мірою, незалежне від питань геометрії, джерело для розвитку топології. Слід відзначити що ще й досі шляхи розвитку загальної і алгебраїчної топології майже не перетинаються.

Загальновизнана нині аксіоматика топології ґрунтується на [[теорія множин|теорії множин]], яка була утворена [[Кантор Георг|Георгом Кантором]] у другій половині 19-го століття. У 1872&nbsp;р. Кантор надав означення [[відкрита множина|відкритих]] і [[замкнена множина|замкнених]] множин дійсних чисел. Цікаво відзначити, що Кантор надійшов до деяких ідей теорії множин, наприклад, [[множина Кантора|множини Кантора]], у межах своїх досліджень з [[ряд Фур'є|рядів Фур'є]].
Систематизуючи роботи Георга Кантора, [[Вольтерра Віто|Віто Вольтерри]], [[Арцела Чезаре|Чезаре Арцели]], [[Адамар Жак Соломон|Жака Адамара]] та ін., в 1906 році [[Фреше Моріс Рене|Моріс Фреше]] означив поняття [[метричний простір|метричного простору]]. Трохи пізніше було усвідомлено, що метричний простір&nbsp;— це частковий випадок загальнішого поняття, [[топологічний простір|топологічного простору]]. У 1914&nbsp;р. [[Гаусдорф Фелікс|Фелікс Гаусдорф]] використав термін «топологічний простір» у близькому до сучасного змісті (розглянуті ним топологічні простори зараз називають '''[[гаусдорфів простір|гаусдорфовими]]''').

=== Походження назви ===
Власне термін «топологія» («topologie» німецькою мовою) вперше з'явився лише в 1847&nbsp;р. у статті Лістінга ''Vorstudien zur Topologie''. Однак на той час Лістінг вже понад 10 років використовував цей термін в своїх листуваннях. «Topology», англійську форму терміну, запропонували [[1883]] року у журналі ''[[Nature]]'' для того щоб розрізнити якісну геометрію від геометрії звичайної, в якій превалюють кількісні співвідношення. Слово '''topologist'''&nbsp;— тобто тополог, в розумінні «спеціаліст з топології» вперше використали в [[1905]] в журналі ''{{нп|The Spectator (1828)|The Spectator||The Spectator}}''.
Завдяки впливу згаданих вище статей Пуанкаре, топологія тривалий час була знана ще під назвою '''Analysis Situs''' ({{lang-la|аналіз місця}}).

== Інтуїтивне пояснення ==

Топологічні простори природно з'являються в багатьох розділах математики. Це робить топологію надзвичайно універсальним інструментом для математиків. ''[[Загальна топологія]]'' визначає і вивчає такі властивості просторів і відображень між ними як [[Зв'язаний простір|зв'язність]], [[Компактний простір|компактність]] та [[Неперервна функція|неперервність]]. ''[[Алгебраїчна топологія|Алгебрична топологія]]'' використовує об'єкти [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]], а особливо [[теорія категорій|теорії категорій]] для вивчення топологічних просторів і відображень між ними.

Щоб зрозуміти, для чого потрібна топологія, можна навести такий приклад: в деяких геометричних задачах не так важливо знати точну форму об'єктів, як знати як вони розташовані. Якщо розглянути квадрат і коло (контури), здавалося б такі різні фігури, можна помітити дещо спільне: обидва об'єкти є одновимірними та обидва розділяють простір на дві частини&nbsp;— внутрішність та зовнішність.

Темою однієї з найперших статей (автор&nbsp;— [[Ейлер Леонард|Леонард Ейлер]]) з топології була демонстрація того, що неможливо знайти шлях в місті [[Кенігсберг]] (тепер [[Калінінград]]), який би проліг через кожен з семи міських мостів рівно по одному разу. Цей результат не залежав ні від довжини мостів, ні від відстані між ними. Впливали лише властивості зв'язності: які мости зв'язують які острови чи береги. Ця задача ''[[Сім мостів Кенігсбергу|Семи мостів Кенігсбергу]]'' є показовою при вивченні математики, також вона стала засадничою в розділі математики, що називається ''[[теорія графів]]''.

Схожою є ''[[теорема про причісування їжака]]'' з алгебраїчної топології, в якій говориться таке: «неможливо зачесати волосся на кулі в один бік». Цей факт є достатньо наочним і багато людей відразу знаходять розуміння, однак її формальний запис для багатьох не є очевидним: не існує ненульового [[Неперервна функція|неперервного]] [[векторне поле|поля]] [[дотичний вектор|дотичних векторів]] на сфері. Як і з ''Кенігсберзькими мостами'', результат не залежить від точної форми сфери; твердження виконується і для грушоподібних форм, навіть для загальніших&nbsp;— краплеподібних форм (з деякими умовами на [[гладкість поверхні]]), при загальній умові відсутності дірок.

Отже для того, щоб розв'язувати подібні задачі, які насправді не потребують відомостей про точну форму об'єктів, потрібно чітко знати, від яких же властивостей залежить розв'язок таких задач. Відразу виникає потреба в визначенні ''топологічної еквівалентності''. Неможливість пройти кожним з мостів по одному разу відноситься також до будь-якого розташування мостів, еквівалентного Кенігсберзькому; теорема волохатої кулі може бути застосована до будь-якого об'єкта топологічно еквівалентного кулі.

[[Файл:Mug and Torus morph.gif|thumb|right|250px|Неперервна деформація кавової чашки в бублик (тор). Таке перетворення називають [[гомотопія|гомотопією]].]]

[[Файл:Homeo tasse.png|thumb|left|Фази перетворення чашки в бублик]]
Інтуїтивно, два топологічних простори є еквівалентними ([[гомеоморфізм|гомеоморфними]]), якщо один може бути перетворений в інший без відрізань або склеювань. Традиційним є такий жарт: тополог не може відрізнити чашку кави, з якої вона п'є, від бублика, який вона їсть, оскільки достатньо гнучкий бублик можна легко перетворити у форму чашки, створивши заглиблення і збільшуючи його, водночас зменшуючи дірку до розмірів ручки.

Як просте початкове завдання можна класифікувати літери [[Латинська абетка|Латинської абетки]] в термінах топологічної еквівалентності. (Будемо вважати, що товщина ліній, з яких складено літери ненульова.) В більшості шрифтів що зараз застосовуються існує клас літер рівно з однією діркою: {a, b, d, e, o, p, q}, клас літер без дірок: {c, f, h, k, l, m, n, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, та клас літер, що складаються з двох шматків: {i, j}. Літера «g» може належати або класу літер з однією діркою, або (в деяких шрифтах) це може бути літера з двома дірками (якщо її хвостик був замкнений). Для складнішого прикладу можна розглянути випадок нульової товщини ліній; можна розглянути різні топології в залежності від того, який шрифт обрати. Топологія літер має своє практичне застосування в трафаретній типографії: наприклад, шрифт {{нп|Braggadocio||en|Braggadocio (typeface)}} може бути вирізаний з площини, не розпавшись після цього.

У початкових дослідженнях для пояснення ефектів елементарної довжини користувалися «природною топологією». При цьому цю довжину розглядали як деяке фундаментальне число <math>\lambda</math> таке, що усі вимірювані довжини є цілими числами, кратними <math>\lambda</math>. Це інтерпретували так: відстань між двома частинками не можна виміряти із точністю, більшою від <math>\lambda</math>; крім того, ця відстань повинна бути кратною <math>\lambda</math>. Теорія розсіювання, побудована за допомогою квантової електродинаміки, була не в стані пояснити аномальні результати експериментів по розсіюванню пар електрон-позитрон. З метою пояснення аномальної ситуації було уведене поняття топологічного потенціалу, який є наслідком існування елементарної довжини. Було поставлене питання про те, який клас топологій, будучи поміщеним на системі координат частинки, сумісний із декотрими природними вимогами до елементарної довжини. За уведення топології елементарної довжини виходять з визначення довжини й елементарної довжини на нормованому лінійному просторі <math>(x,||\cdot||),</math> де <math>||\cdot||</math>&nbsp;— норма, як функції

<math>f_{\lambda}:X\rightarrow\{n\lambda/n=0,1,2,...\},</math>

визначеної на множині <math>X.</math> Однак використання в якості базису топології елементарної довжини відкритих куль приводить до того, що набір відкритих куль, які відповідають фізично значущим й підходящим підмножинам множини <math>X,</math> дає дискретну топологію на <math>X.</math> Таким чином, для пояснення фізичної реальності необхідно змінювати базисну множину, на якій повинна задаватися топологічна структура. Довжини, які уводяться, повинні представляти з себе відстань між двома частинками, оскільки окрема частинка експериментально неспостережувана. Для цього уводять декартовий добуток <math>X\times X,</math> який представляє координатні простори двох частинок. Потім визначають похідні координати просторів <math>X_{c},X_{r},</math> які представляють відповідно центр мас цих частинок та їх відносне положення. Таким чином, у розглядуваній області теоретичної фізики структура топологічного простору виражає фундаментальну фізичну властивість<ref>{{Cite book
|title=J. V. Cornacchio. Topological Structure in Malhcmalioal Models of General Systems.
|last=
|first=
|year=
|publisher=
|location=
|pages=
|language=
|isbn=
}}</ref>. Проблема нескінченності подільності простору хвилювала стародавніх мислителів. Міркування на цю тему зустрічаються у [[Апорії Зенона|апоріях Зенона]].

== Вплив у межах математики ==
Топологія&nbsp;— одна з найбільш центрально-розташованих математичних дисциплін, у розумінні чисельності зв'язків і ступеня взаємного впливу з іншими розділами математики. Наведемо такі приклади.

* [[Формула Гаусса — Бонне|Теорема Гаусса&nbsp;— Бонне]], яка пов'язує [[ейлерова характеристика|ейлерову характеристику]] поверхні з її [[Кривина (математика)|кривиною]]&nbsp;— це перший з низки результатів стосовно топологічних властивостей геометричних об'єктів.
* [[Теорема уніформізації]] [[Ріман Георг Фрідріх Бернгард|Рімана]] висвітлила дещо інший зв'язок між топологією і геометрією, до якого набагато пізніше (бл. 1975&nbsp;р.) повернувся [[Вільям Терстон|Терстон]] у своїй програмі [[Вільям_Терстон#Гіпотези_геометризації|геометризації]].
* В роботах Рімана топологія була пов'язана також з комплексним аналізом і [[алгебраїчна геометрія|алгебраїчною геометрією]] ідеєю [[ріманова поверхня|ріманової поверхні]]. На початку 20 ст. [[Герман Вейль]] повернувся до цієї теми у своїй книжці «Die Idee der Riemanniesche Flache», яка призвела до усвідомлення математиками поняття [[накриття (топологія)|накриття]] і до подальшого розповсюдження топологічних методів, зокрема, у геометрії.
* Один з засновників топології, [[Пуанкаре Жуль Анрі|Анрі Пуанкаре]], заклав підвалини [[теорія динамічних систем|теорії динамічних систем]] своїми дослідженнями з якісного (на відміну від кількісного) аналізу [[диференціальні рівняння|диференціальних рівнянь]].
* Як було зазначено вище, дослідження з аналізу утворили одно з джерел для розвитку топології, і топологія не залишилася в боргу: так, аргументи пов'язані з компактністю (наприклад, теореми [[теорема Арцела — Асколі|Арцела&nbsp;— Асколі]] і [[теорема Банаха — Алаоглу|Банаха&nbsp;— Алаоглу]]) належать до стандартного знаряддя аналітиків, зокрема у [[функціональний аналіз|функціональному аналізі]].

* Слід також віддати належне роботам [[Гільберт Давид|Давида Гільберта]] з обґрунтування [[варіаційне числення|варіаційного числення]], які провістили майбутній вплив топології на проблеми [[диференціальна геометрія|диференціальної геометрії]] і глобального аналізу. Із розробленням топологічної [[теорія Морса|теорії Морса]], цей напрямок отримав один з своїх найпотужніших інструментів.
* Дослідження з топології поверхонь та тривимірних многовидів, які великою мірою визначаються своєю [[фундаментальна група|фундаментальною групою]], призвели до розвитку абстрактної [[теорія груп|теорії груп]].
* Топологічні студії [[польська математична школа|польської математичної школи]] мали великий вплив на принаймні дві галузі математики, які відпочкувалися від топології і перетворилися на самостійні дисципліни: [[теорія графів|теорію графів]] і [[фрактал|теорію фракталів]].
* Топологічні ідеї призвели у роботі [[Ейленберг Самуель|Ейленберга]]&nbsp;— [[Мак-Лейн Сондерс|Маклейна]] до виникнення [[теорія категорій|теорії категорій]], яка не тільки мала неабиякий вплив на подальший розвиток [[алгебраїчна топологія|алгебраїчної топології]] і [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]], а і надала основу (або, принаймні, сподівання) для методологічного поєднання більшості з існуючих галузей математики.
* Трохи меншим за масштабом, проте надзвичайно впливовим, було застосування [[Вейль Андре|Андре Вейлем]], [[Жан-П'єр Серр|Серром]], [[Александр Гротендік|Гротендіком]] там іншими топологічних методів у [[алгебраїчна геометрія|алгебраїчній геометрії]].
* Згадаємо також [[Теорема Атія–Зінгера про індекс|теорему Атія—Зінгера]] про [[індекс]] [[еліптичний оператор|еліптичних операторів]], яка винайшла чудову топологічну відповідь на, здавалося б, суто аналітичне питання.
* Починаючи з 60-х років 20 ст., топологічні методи відіграють поступово зростаючу роль у [[теоретична фізика|теоретичній фізиці]], зокрема, у теорії [[гравітація|гравітації]] і [[квантова теорія поля|квантовій теорії поля]]. За дивним ефектом бумеранга, це відкрило нові горизонти у самій топології (наприклад, [[Квантовий інваріант|квантові інваріанти вузлів]]) і започаткувало нові напрямки розвитку в математиці (пор. [[інваріанти Дональдсона]], [[інваріанти Громова — Віттена|Громова&nbsp;— Віттена]] та [[інваріанти Зайберга — Віттена|Зайберга&nbsp;— Віттена]], а також [[квантові когомології]] і [[дзеркальна симетрія]]).
* Стівен Смейл із співавторами активно веде дослідження з топологічної теорії складності, а Майкл Фрідман з співавторами розробляє з прибл. 2000&nbsp;р. теорію топологічних квантових обчислень.

Математична спільнота високо відзначила внесок топологів до розвитку математики. За період з 1936 по 2006&nbsp;р., одна з найвищих відзнак у математиці, [[Медаль Філдса]], була присуджена 48 математикам, 9 з них за дослідження саме у топології. У роботах ще декількох з лауреатів топологічні методи відігравали важливу роль.

* 2006 [[Перельман Григорій Якович|Григорій Перельман]]
* 1990 [[Едвард Віттен]]
* 1986 [[Майкл Фрідман]]
* 1982 [[Вільям Терстон]]
* 1970 [[Новіков Сергій Петрович (математик)|Сергій Новіков]]
* 1966 [[Стівен Смейл]]
* 1966 [[Майкл Атія]]
* 1966 [[Александр Гротендік|Олександр Гротендік]]
* 1962 [[Джон Мілнор]]
* 1958 [[Рене Том]]
* 1954 [[Жан-П'єр Серр]]
* 1936 [[Ларс Альфорс]]

Трьом з них премія була присуджена за розв'язання [[гіпотеза Пуанкаре|гіпотези Пуанкаре]]: [[Перельман Григорій Якович|Григорію Перельману]] за доведення оригінальної гіпотези стосовно тривимірної сфери, і [[Майкл Фрідман|Майклу Фрідману]] і [[Стівен Смейл|Стівену Смейлу]]&nbsp;— за розв'язання аналогічного питання у чотирьох (Фрідман) і п'яти та більше вимірах (Смейл). Цікаво, що ще дві з Філдсовських премій було присуджено за результати про сфери: [[Джон Мілнор|Джону Мілнору]] за відкриття 28 диференційовних структур на семивимірній сфері, та [[Жан-П'єр Серр|Жану-П'єру Серру]] за розробку методів обчислення [[гомотопічна група|гомотопічних груп]] сфер. Таким чином, п'ять з сорока восьми Філдсівських премій одержали дослідники сфер!

== Розділи Топології ==

* [[Загальна топологія]]
* [[Алгебраїчна топологія]]
* [[Диференціальна топологія]]
* [[Комбінаторна топологія]]<ref> Ковальов С. М., Гумен М. С., Пустюльга С. І., Михайленко В.Є, Бурчак І.&nbsp;Н.&nbsp;Прикладна геометрія та іженерна графіка. Спеціальні розділи. Випуск 1.&nbsp;— Луцьк: Редакційно-видавничий відділ ЛДТУ, 2006.&nbsp;— 256 с. (С. 90)</ref>
* [[Молекулярна топологія]]<ref>''Опис шляху сполучення окремих атомів та їх груп у молекулярній частинці.'' Глосарій термінів з хімії // Й.Опейда, О.Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л.&nbsp;М.&nbsp;Литвиненка НАН України, Донецький національний університет&nbsp;— Донецьк: «Вебер», 2008.&nbsp;— 758 с.&nbsp;— ISBN 978-966-335-206-0</ref>

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{книга|автор = Бабич В.&nbsp;М., Пєхтєрєв В.&nbsp;О.|заголовок = Загальна топологія в задачах і прикладах|рік = 2015|видавництво = Аксіома|місто = {{Comment|К.|Київ}}|сторінок = 207|isbn = 978-966-496-333-3}}
* {{книга|автор = Пришляк О.&nbsp;О.|заголовок = Основи сучасної топології: навчальний посібник|рік = 2006|видавництво = Київський національний університет імені Тараса Шевченка|місто = {{Comment|К.|Київ}}|сторінок = 78|isbn = 966594746X}}
* {{книга|автор = В.&nbsp;В.&nbsp;Городецький, І.&nbsp;В.&nbsp;Житарюк, О.&nbsp;В.&nbsp;Мартинюк|заголовок = Основи топології в теоремах і задачах|рік = 2010|видавництво = Прут|місто = {{Comment|Ч.|Чернівці}}|сторінок = 544|isbn = 9789665605164}}
* {{книга|автор = О.&nbsp;А.&nbsp;Борисенко|заголовок = Диференціальна геометрія і топологія: навчальний посібник|рік = 1995|видавництво = [[Основа (видавнича група)|Основа]]|місто = {{Comment|Х.|Харків}}|сторінок = 304|isbn = 5776803888}}
* {{Cite book|title=Topology|url=https://archive.org/details/topology0002edmunk|author=James Munkres|year=2000|publisher=Prentice Hall|edition=2nd|isbn=978-8120320468}} {{ref-en}}
* {{Александров.Введение в теорию множеств и общую топологию}}
* ''Болтянский В.&nbsp;Г.; Ефремович В.&nbsp;.А.'' [http://www.mccme.ru/free-books/djvu/geometry/boltiansky-nagl-topo.htm Наглядная топология].&nbsp;— Серія: Библиотечка «Квант». Выпуск 21.&nbsp;— М.: Наука, 1982.&nbsp;— 160 с. {{ref-ru}}
* ''Виро О.&nbsp;Я., Иванов О.&nbsp;А., Нецветаев Н.&nbsp;Ю., Харламов В.&nbsp;М.'' [https://www.math.stonybrook.edu/~oleg/easymath/topoman/rus-book.pdf Элементарная топология].&nbsp;— М.: МЦНМО, 2010.&nbsp;— 352 с.&nbsp;— ISBN 978-5-94057-587-0. {{ref-ru}}
* ''Я.&nbsp;Стюарт '' [http://kvant.mccme.ru/1992/07/topologiya.htm Топология] // [[Квант (журнал)|Квант]], №&nbsp;7.&nbsp;— 1992. {{ref-ru}}
* ''В.&nbsp;В.&nbsp;Прасолов'' [http://prasolov.loegria.net/nagltop-3ed.pdf Наглядная топология] / Независимый Моск. ун-т.&nbsp;— 3-е изд., стер.&nbsp;— М.: МЦНМО, 2012.&nbsp;— 112 с. {{ref-ru}}

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Топологічний простір]]
* [[Теорія вузлів]]
* [[Теорія кіс]]

== Посилання ==
* Sydney A. Morris (2016), [http://www.topologywithouttears.net/topbook.pdf Topology without tears]. {{ref-en}}
* [http://www.math.uu.se/~oleg/educ-texts.html Elementary Topology: A First Course] Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov (St. Petersburg University)
* [http://www.math.toronto.edu/~drorbn/People/Eldar/thesis/ An invitation to Topology] Planar Machines' web site {{ref-en}}
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/Geometry_Topology.html Geometry and Topology Index], [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/ MacTutor History of Mathematics archive] {{ref-en}}
* [http://dmoz.org/Science/Math/Topology/ ODP category]
* [http://www.geom.uiuc.edu/zoo/ The Topological Zoo] at [[The Geometry Center]]
* [http://at.yorku.ca/topology/ Topology Atlas]
* [http://at.yorku.ca/i/a/a/b/23.htm Topology Course Lecture Notes] Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas
* [https://web.archive.org/web/20090713073050/http://www.ornl.gov/sci/ortep/topology/defs.txt Topology Glossary]

{{Математика-footer}}

[[Категорія:Розділи математики]]
[[Категорія:Топологія|*]]