Перегляд вихідного коду сторінки Теселяція

[[Файл:Wallpaper group-p4g-2.jpg|thumb|Розпис [[порцеляна|порцеляни]], [[Китай]]]]
{{вичитати}}
{{без джерел|дата=квітень 2022}}
'''Теселя́ція''' (від {{lang-la|tessella}}&nbsp;— шматок глини, з якого випікали мозаїку), також ''паркет''&nbsp;— [[мозаїка]], складена з кількох абсолютно однакових форм, які прилягають одна до одної без проміжків і не перекривають одна одну.

'''Парке́т'''&nbsp;— замощення площини багатокутниками без пробілів і перекриттів, в якому будь-які два багатокутники мають або спільну сторону, або тільки спільну вершину, або зовсім не мають спільних точок.

Прості геометричні теселяції можуть складатися тільки з трьох фігур: [[Правильний трикутник|рівнобічних трикутників]], [[квадрат]]ів і [[шестикутник]]ів.

Одне з перших вивчень теселяцій було зроблене у [[1619]] році [[Йоганн Кеплер|Йоганном Кеплером]], який описав правильні [[Многокутник|багатокутники]] на площині.

У [[1891]] році російський кристалограф [[Федоров Євграф Степанович|Євграф Степанович Федоров]] довів, що кожна частина такої мозаїки з [[Трансляційна симетрія|трансляційною симетрією]] побудована відповідно до однієї з 17 груп [[Ізометрія (математика)|ізометрії]]. Таким чином, існує всього 17 можливих способів розміщення фігури для того, щоб заповнити ними всю поверхню. Всі вони були використані у гравюрах голландського художника [[Ешер Моріц Корнеліус|Моріца Ешера]].

== Термінологія ==

=== Замощення, мозаїки, паркети, розбиття ===
Паркети інакше називають «замощенням», «мозаїками» ({{lang-en|tessellation, tiling}}), «розбиттям площини» ({{lang-en|partition}}). Замощення тривимірного простору і просторів вищих розмірностей часто називають стільниками.

Паркети з областями (плитками) довільної форми іноді називають «картами».

=== Покриття та упаковки ===
Якщо об'єднання кількох фігур містить дану фігуру '''Ф''', то кажуть, що ці фігури утворюють ''[[Покриття поверхні|покриття]]'' фігури ''Ф''. При цьому фігури, які покривають, можуть перекриватися, але вони покривають фігуру ''Ф'' без пробілів.

''Упаковка''&nbsp;— це розміщення всередині даної фігури декількох фігур, які не мають спільних точок, крім, можливо, граничних (тобто без перекриття).

''Замощення''&nbsp;— це розбиття фігури на частини. Замощення є одночасно покриттям і упаковкою.

=== Протоплитки ===
'''[[Підстановки плиток#Вступ|Протоплитки]]''' паркету ({{lang-en|prototiles}}, також ''прототипи'')&nbsp;— це плитки (форми), що входять в паркет. Кожна плитка паркету [[Конгруентність (геометрія)|конгруентна]] однією з протоплиток.

Так, єдина протоплитка п'ятикутного паркету&nbsp;— правильний шестикутник; протоплиткою [[Додекаедр|правильного сферичного п'ятикутного паркету]] є [[пентагон]]; множина протоплиток ромботришестикутного паркету складається з рівностороннього [[трикутник]]а, [[квадрат]]а і [[шестикутник]]а.

Паркет називається ''k''-едричним, якщо множина його протоплиток (''протомножина'') складається з ''k'' плиток.

Плитки паркету також називають ''гранями'', а сторони багатокутних плиток&nbsp;— ''ребрами'', за аналогією з термінологією для багатогранників.

=== Конфігурація вершин і граней ===
Ромботришестикутний паркет складається з плиток трьох типів: рівносторонній трикутник, квадрат і шестикутник. Ці плитки розташовуються навколо кожної з вершин в такому порядку: трикутник, квадрат, шестикутник, квадрат. Такий порядок називається [[Конфігурація вершини|конфігурацією вершини]] паркету і записується в формі 3.4.6.4. У разі, якщо два і більше числа в цій послідовності йдуть підряд, використовується скорочений запис. При цьому записи, що відрізняються лише циклічною перестановкою чисел або зміною порядку запису на протилежний (наприклад, 3.3.4.3.4 і 4.3.3.4.3), позначають одну і ту ж конфігурацію вершини; в той же час запис 3.4.4.6 не є еквівалентним запису 3.4.6.4.
У неоднорідних паркетах можуть зустрічатися вершини з різними конфігураціями.

[[Конфігурація вершини#Конфігурація грані|Конфігурацією граней]] називається послідовність [[Степінь вершини (теорія графів)|степенів вершин]] цієї межі при обході її в одному напрямку. Конфігурація граней записується послідовністю чисел в квадратних дужках або з префіксом V.

Якщо усі вершини деякого паркету мають одну і ту ж конфігурацію, то всі грані [ [Двоїстий багатогранник | двоїстого]] йому паркету мають одну і ту ж конфігурацію. Наприклад, конфігурації граней паркету, двоїстого ромботришестикутному паркету 3.4.6.4, записуються як V3.4.6.4.

== Види паркету ==
[[Файл:PentagonTilings15.svg|thumb|400px|15 відомих станом на 2015 рік п'ятикутних паркетів]]
У багатьох випадках застосовується умова еквівалентності кожної з протоплиток паркету топологічному диску; іншими словами, плитка не повинна складатися з декількох частин (квазіполіміно), містити «отвори», бути нескінченною смугою тощо.

==== Правильні паркети ====
Паркети, складені з однакових правильних багатокутників, називають '' правильними паркетами'' ({{lang-en | regular tilings}}). Існує три правильних заміщення площини: трикутний паркет, [[квадратний паркет]] і шестикутний паркет.
{{Gallery
|title=Правильні паркети
|width=160
|height=160
|lines=2
|table align=left
|text align=center
|File:Tile 3,6.svg|[[Трикутний паркет]]<br />3<sup>6</sup>
|File:Tile 4,4.svg|[[Квадратний паркет]]<br />4<sup>4</sup>
|File:Tile 6,3.svg|[[Шестикутний паркет]]<br />6<sup>3</sup>
}}
Правильні паркети називають також '' Платоновими паркетами ''.

Поліформи, що розташовуються на правильних паркетах, називаються відповідно поліамондами, полімін і полігексами.

Для позначення паркету з правильних '' p ''&nbsp;— кутників, розташованих по '' q '' навколо кожної вершини, застосовується [[символ Шлефлі]] {'' p '', '' q ''}. Символи Шлефлі трьох правильних мозаїк&nbsp;— {3,6}, {4,4} і {6,3}.

==== Напівправильні паркети ====
Паркети, що складаються з правильних багатокутників '' двох або більше '' типів, такі, у яких для всяких двох вершин паркету існує перетворення симетрії (самопоєднання), що переводить одну з них в іншу, називаються '' напівправильними паркетами,'' або '' архімедовим паркетами''.

Існує 8 напівправильних паркетів. Один з восьми напівправильних паркетів кирпатий тришестикутний паркет є [[Хіральність|хіральним]], тобто не збігається з власним дзеркальним відображенням.
{{Gallery
|title=Напівправильні паркети (Архімедові паркети)
|width=160
|height=160
|lines=4
|table align=left
|text align=center
|File:Tiling Semiregular 4-8-8 Truncated Square.svg|Усічений квадратний паркет<br />4.8.8
|File:Tiling Semiregular 3-3-4-3-4 Snub Square.svg|Кирпатий квадратний паркет<br />3.3.4.3.4
|File:Tiling Semiregular 3-6-3-6 Trihexagonal.svg|Тришестикутний паркет<br />3.6.3.6
|File:Tiling Semiregular 3-12-12 Truncated Hexagonal.svg|Усічений шестикутний паркет<br />3.12.12
|File:Tiling Semiregular 3-4-6-4 Small Rhombitrihexagonal.svg|Ромботришестикутний паркет<br />3.4.6.4
|File:Tiling Semiregular 4-6-12 Great Rhombitrihexagonal.svg|Ромбоусічений тришестикутний паркет<br />4.6.12
|File:Tiling Semiregular 3-3-3-4-4 Elongated Triangular.svg|Ізокирпатий трикутний паркет<br />3.3.3.4.4
|File:Tiling Semiregular 3-3-3-3-6 Snub Hexagonal.svg|Кирпатий тришестикутний паркет (одна з двох [[Відображення|дзеркальних копій]])<br />3.3.3.3.6
}}
Однорідні паркети

Існує два визначення, що призводять до одного і того ж набору з 8 напівправильних паркетів на площині.

Перше, ''«локальне» визначення'', полягає в тому, що вершинні конфігурації всіх вершин повинні збігатися. Іншими словами, послідовності граней навколо будь-яких двох вершин паркету повинні бути однаковими: одні і ті ж багатокутники повинні йти в одному і тому ж (або в протилежному) порядку.

Друге, ''«глобальне» визначення'', вимагає, щоб для будь-яких двох вершин паркету існувало перетворення симетрії (самопоєднання паркету), що переводить одну з них в іншу.

Грюнбаум і Шепард поділяють терміни «архімедів паркет» і «однорідний паркет»: до першої групи відносяться паркети, відповідні «локального» визначення, а до другої&nbsp;— «глобального». Хоча на [[Евклідова площина|евклідовій площині]] дві ці множини збігаються, в інших просторах існують архимедові паркети, що не є однорідними.

У математичній літературі значення термінів «архімедів паркет», «напівправильний паркет» і «однорідний паркет» варіруюються.

==== Квазиправильні паркети ====
{{Див. також|Квазіправильний багатогранник}}

«Квазіправильний паркет» (або багатогранник)&nbsp;— однорідний паркет (або багатогранник), що складається з граней двох видів, які чергуються навколо кожної вершини; іншими словами, кожна грань оточена гранями іншого типу.

На евклідовій площині існує лише один квазіправильний паркет&nbsp;— тришестикутний паркет з вершинною конфігурацією 3.6.3.6. На сфері існує два квазіправильних паркетів сферичних багатогранника&nbsp;— кубооктаедр і ікосододекаедр.

На [[Гіперболічна геометрія|гіперболічні площині]] існує безліч квазіправильних паркетів виду <math>p.q.p.q</math>, де <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}<\frac{1}{2}.</math>.

==== Неоднорідні паркети ====
Існує безліч неоднорідних паркетів, що складаються з правильних багатокутників.
{{Gallery
|title=Неоднорідні паркети з правильних багатокутників
|width=160
|height=160
|lines=2
|table align=left
|text align=center
|File:dem3366bc.png|3<sup>2</sup>.6<sup>2</sup>, 3<sup>6</sup>
|File:Dem3366rbc.png|3<sup>2</sup>.6<sup>2</sup>, 3.6.3.6
|File:Academ Periodic tiling by dodecagons and other convex regular polygons.svg|3<sup>2</sup>.4.12, 3<sup>6</sup>
|File:Academ Periodic tiling by hexagons and other regular polygons.svg|3.4<sup>2</sup>.6, 3.6.3.6
}}

Періодичні неоднорідні паркети можна класифікувати за кількістю орбіт вершин, ребер і граней. Якщо число орбіт вершин дорівнює «n», паркет називається «n»-однорідним або «n»-[[Ізогональність|ізогональним]]; якщо число орбіт ребер дорівнює «n»&nbsp;— «n»-[[Ізотоксальна фігура|ізотоксальним]]. Вищенаведені приклади являють собою чотири з двадцяти 2-однорідних паркетів.

=== Неперіодичні паркети і аперіодичні множини плиток ===
[[Файл:Penrose Tiling (Rhombi).svg|thumb|left|180px|Неперіодична мозаїка P3, вперше опублікована Р.&nbsp;Пенроузом у 1978 році]]
[[Файл:Penrose-tiles-bump-and-color-coded.svg|thumb|right|180px|Ромби Пенроуза з виступами і западинами, що забезпечують неможливість періодичного покриття без використання кольорових плиток і ліній]]
[[Файл:Socolar-Taylor 2D monotile with decoration.png|thumb|left|180px|Двовимірна нерозбірна [[плитка Соколара — Тейлор]]]]
{{seealso|Аперіодична мозаїка|Мозаїка Пенроуза|:en:List of aperiodic sets of tiles}}
Розбиття T називається періодичним, якщо серед симетрій «T» існують два паралельні перенесення в непаралельних напрямках. У цьому випадку мозаїку можна вважати складаною з повторень невеликого фрагмента, викладеного із елементів у вузлах деякої решітки. Множина прототипів (протомножин) «P» називається «аперіодичною», якщо вона реалізується в якихось розбиттях площин, але жодне з них не є періодичним.

Перший приклад аперіодичної множини плиток був знайдений Робертом Берджером в 1966 році і включав в себе 20426 плиток Вана. [[Плитки Вана]] являють собою квадрати одного розміру з пофарбованими сторонами; при побудові мозаїки дозволено поєднувати плитки лише одноколірними сторонами і заборонено перевертати плитки.

Пізніше були знайдені аперіодичні протомножини з меншим числом плиток. [[Роджер Пенроуз]] виявив аперіодичні протомножини, що складаються з двох плиток.

У 2010 році Джошуа Соколар і Джоан Тейлор [[Плитка Соколара — Тейлор|запропонували]] аперіодичну множину, що складається з [[Задача однієї плитки|єдиної плитки]], яка являє собою правильний шестикутник з нанесеною розміткою у вигляді кольорових ліній і з додатковими обмеженнями, пов'язаними з взаємним розташуванням «'не'» торкаючись один одного. Існує модифікація, яка не використовує подібних обмежень, але використовує незв'язну плитку, тобто, плитку, що не є топологічним диском. Існування єдиної зв'язковий плитки без додаткової розмітки та обмежень, здатної покрити площину тільки аперіодично, залишається відкритою проблемою.

=== Сферичні багаторанники ===
«'Сферичний паркет'» або «'сферичний багатогранник'»&nbsp;— розбиття [[Сфера|сфери]] на сферичні багатокутники, великих кіл.

Кожному з 5 платонових тіл відповідає правильний сферичний паркет. Формально, нехай «S»&nbsp;— сфера з центром «O», що збігається з центром багатогранника «P». Проведені з «O» промені, що проходять через вершини багатогранника «P», перетинають сферу «S» в точках, які є вершинами відповідного сферичного паркету; ребра багатогранника «P» відповідають дугам великих кіл на «S».

Крім сферичних аналогів п'яти «платонових тіл», існує два сімейства правильних сферичних багатогранників, які не мають еквівалентів серед багатогранників з плоскими гранями: [[осоедр]]и&nbsp;— багатогранники з двома вершинами, які перебувають на полюсах сфери, межі яких є конгруентними двокутниками, і діедри&nbsp;— двоїсті осоедрам двогранники, вершини яких знаходяться на екваторі сфери.
[[Файл:Poincare halfplane heptagonal hb.svg|400px|right|thumb|Зірчастий семикутний паркет в [[Модель Пуанкаре у верхній півплощині|моделі Пуанкаре на верхній півплощині]]. Чорні лінії утворюють «'правильний [[Семикутна мозаїка|семикутний паркет]] порядку 3»' (паркет, в кожній вершині якого сходяться три однакових правильних семикутника).]]
[[Файл:PavageHypPoincare2.svg|thumb|right|Правильний семикутний паркет порядку 3 в [[Конформно-евклідова модель|моделі Пуанкаре на диску]]]]

=== Гіперболічні паркети ===
[[Аксіома паралельності Евкліда]] (точніше, одне з еквівалентних їй тверджень) свідчить:
{|
|{{початок цитати}}
Через точку, що не лежить на даній прямій, проходить не більше однієї прямої, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її.
{{кінець цитати}}
|}
У [[Гіперболічна геометрія|гіперболічній геометрії]], замість неї приймається така аксіома:
{|
|{{початок цитати}}
Через точку, що не лежить на даній прямій, проходять принаймні дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.
{{кінець цитати}}
|}

Для зображення гіперболічної площини застосовується одна з існуючих моделей&nbsp;— [[Проєктивна модель|модель Бельтрамі&nbsp;— Кляйна]], [[Конформно-евклідова модель|конформний диск Пуанкаре]], [[Модель Пуанкаре у верхній півплощині|модель Пуанкаре на півплощині]].

На евклідовій площині існує лише три правильні паркети і 8 напівправильних. На гіперболічній площині існує нескінченна множина навіть правильних паркетів, включаючи паркети з сімома і більше рівносторонніми [[Гіперболічний трикутник|трикутниками]] навколо вершини, п'ятьма і більше квадратами, чотирма і більше правильними п'ятикутниками (паркет з трьома п'ятикутниками навколо вершини є сферичним додекаедром), чотирма і більше правильними шестикутниками і трьома і більш рівними правильними багатокутниками з кількістю сторін більше 6.

== Задачі на паркеті ==
Велика кількість задач і головоломок пов'язані з розбиттям прямокутників (або інших зв'язаних фігур) на плитки з певної заданої множини протоплиток. Самі протоплитки при цьому можуть являти собою зв'язкові об'єднання осередків правильного паркету.

Зокрема, існує клас задач на заміщення прямокутників ''m''&nbsp;&times;&nbsp;''n'' плитками доміно таким чином, щоб в отриманому розбитті не було прямої лінії, що перетинає прямокутник від краю до краю і не перетинає жодної плитки доміно; такі прямокутники називаються «міцними».

В інших задачах встановлюється додаткове обмеження на кількість плиток кожного виду, які використовуються в замощенні. У задачах, пов'язаних з [[пентаміно]], потрібно покрити 12 фігурами задану підмножину квадратного паркету, що складається з 60 клітин; при цьому кожна плитка повинна бути використана тільки один раз.

=== Перерахування паркету ===
Задача визначення кількості паркетів, що складаються з [[Опуклий багатокутник|опуклих багатокутників]] заданого типу, вирішена лише частково:
* Будь-яким трикутником або чотирикутником можна замістити площину.
* Відомо 15 п'ятикутників, здатних замістити площину; невідомо, чи є цей перелік повним. Проблема перерахування п'ятикутних паркетів має багату історію.
* Відомо 3 типи шестикутників, здатних замістити площину.
* Неможливо замістити площину однаковими опуклими багатокутниками з числом сторін, більшим або рівним семи.

== Див. також ==
{{Commonscat|Regular tilings of the Euclidean plane|Правильні паркети}}
*[[Стільник (геометрія)]]
* [[Діаграма Вороного]]
* [[Тріангуляція Делоне]]
* [[Мозаїка Пенроуза]]
* [[Піфагорова мозаїка]]
* [[Проблема чотирьох фарб]]
* [[Стереографічна проєкція]]
* [[Марджорі Райс]]
{{Геометричні мозаїки}}
{{Багатогранники}}
[[Категорія:Дискретна геометрія]]
[[Категорія:Симетрія]]
[[Категорія:Замощення]]