Перегляд вихідного коду сторінки Теорія інваріантів

'''Теорія інваріантів''' — розділ [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]], який вивчає [[дія групи|дії груп]] на [[алгебраїчний многовид|алгебраїчних многовидах]] з точки зору їх впливу на [[функція (математика)|функції]] визначені на цих многовидах. Класично, теорія розглядає питання про явного опису [[многочлен]]ів, які не змінюються, або є інваріантними, відносно до перетвореннями заданого [[лінійна група|лінійною групою]].
 
Теорія інваріантів [[скінченна група|скінченних груп]] має тісний зв'язок з [[теорія Галуа|теорією Галуа]]. Одним з перших відомих результатів була основна теорема про [[Симетрична функція|симетричні функції]], яка описує інваріанти [[симетрична група|симетричної групи]] <math>\ S_n</math>, що діє на [[кільце многочленів|кільці многочленів]] [[перестановка]]ми змінних. 

Теорія інваріантів нескінченних груп нерозривно пов'язана з розвитком [[лінійна алгебра|лінійної алгебри]], зокрема, теорії [[квадратична форма|квадратичних форм]] і [[детермінант]]ів. [[Теорія представлень]] [[напівпроста група Лі|напівпростих груп Лі]] має своє коріння в теорії інваріантів.

==Вступ==

Нехай <math>G</math> буде [[група (математика)|групою]], а <math>V</math> - скінченновимірним [[векторний простір|векторним простором]] над [[поле (математика)|полем]] <math>k</math> (яке в класичній теорії інваріантів як правило вважалося [[комплексне число|комплексними числами]]). [[Групове представлення|Зображеннчя]] групи <math>G</math> у просторі <math>V</math> є [[гомоморфізм групи|гомоморфізмом групи]] <math>\pi:G \to GL(V)</math>, що індукує [[Дія групи (математика)|дію групи]] <math>G</math> на <math>V</math>. Якщо <math>k[V]</math> є [[Кільце поліноміальних функцій|простором поліноміальних функцій на <math>V</math>]], то дія групи <math>G</math> на <math>V</math> викликає дію на <math>k[V]</math> за наступною формулою:
:<math>(g \cdot f)(x) := f(g^{-1} (x)) \qquad \forall x \in V, g \in G, f\in k[V]. </math> 
З цією дією природно розглядати підпростір всіх поліноміальних функцій, що є інваріантними відносно цієї дії групи, іншими словами множина поліномів, таких що <math>g\cdot f = f</math> для всіх <math>g\in G</math>. Цей простір '''інваріантних поліномів''' позначається <math>k[V]^G</math>.

'''Перша проблема теорії інваріантів''':<ref>{{cite book|last1=Borel|first1=Armand|author-link = Armand Borel|title=Essays in the History of Lie groups and algebraic groups|date=2001|publisher=American mathematical society and London mathematical society|volume=History of Mathematics, Vol. 21|ISBN=978-0821802885}}</ref> Чи є <math>k[V]^G</math> [[скінченно породжена алгебра|скінченно породженою алгеброю]] над <math>k</math>?

Наприклад, якщо <math>G=SL_n</math> і <math>V=M_n</math> — простір квадратних матриць, а дія <math>G</math> на <math>V</math> задана лівим множенням, тоді <math>k[V]^G</math> ізоморфна [[Кільце поліномів|поліноміальній алгебрі]] від  однієї змінної, породженої визначником. Іншими словами, в цьому випадку кожен інваріантний многочлен  є лінійною комбінацією степенів многочлена від визначника. Таким чином, в цьому випадку <math>k[V]^G</math> є скінченно породженою над <math>k</math>.

Якщо відповідь позитивна, то наступне питання — знайти мінімальний базис і запитати, чи є модуль поліноміальних відношень між елементами базису (відомий як [[Сизигії (математика)|сизигії]]) скінченно породженим над <math>k[V]</math>.

Теорія інваріантів [[скінченна група|скінченних груп]] має тісні зв'язки з [[теорія Галуа]]. Одним із перших великих результатів була основна теорема про [[симетрична функція|симетричні функції]], яка описувала інваріанти [[симетрична група|симетричної групи]] <math>S_n</math>, що діє на [[кільце поліномів]] <math>R[x_1, \ldots, x_n]</math> шляхом [[перестановка|перестановок]] змінних. Більш загально, [[теорема Шевалле-Шепарда-Тодда]] характеризує скінченні групи, чия алгебра інваріантів є поліноміальним кільцем. Сучасні дослідження в теорії інваріантів скінченних груп акцентують на "ефективних" результатах, таких як явні межі для степенів породжуючих. Випадок додатньої [[характеристика (алгебра)|характеристики]], ідеологічно близький до [[теорія зображень модулів]], є предметом активного дослідження та пов'язана  з  [[алгебраїчна топологія|алгебраїчною топологією]].

Теорія інваріантів [[нескінченна група|нескінченних груп]] нерозривно пов'язана з розвитком [[лінійна алгебра|лінійної алгебри]], зокрема теорій [[квадратична форма|квадратичних форм]] і [[визначник]]ів. Ще однією темою з сильним взаємовпливом була [[проективна геометрія]], де очікувалося, що теорія інваріантів зіграє важливу роль у систематизації матеріалу. Одним із найяскравіших моментів цих взаємовідносин є [[символічний метод]]. [[Теорія зображень]] [[напівпроста група Лі|напівпростих груп Лі]] має свої корені в теорії інваріантів.

Робота [[Девід Гільберт|Девіда Гільберта]] щодо питання про скінченну породженість  алгебри інваріантів (1890) призвела до створення нової математичної дисципліни, абстрактної алгебри. Пізніша робота Гільберта (1893) займалася тими ж питаннями більш конструктивними та геометричними шляхами, але залишилася маловідомою до тих пір, поки [[Девід Мамфорд]] не відновив ці ідеї у 1960-х роках у значно більш загальній та сучасній формі у своїй [[геометричній теорії інваріантів]]. Значною мірою завдяки впливу Мамфорда предмет теорії інваріантів охоплює теорію дій [[лінійна алгебраїчна група|лінійних алгебраїчних груп]] на [[афінний різновид|афінних]] та [[проективний многоовид|проективних]] многоовидах. Окремий напрямок теорії інваріантів, що йде від класичних конструктивних та комбінаторних методів XIX століття, розвивався [[Джан-Карло Рота|Джан-Карло Ротою]] та його школою. Помітним прикладом цього кола ідей є теорія [[стандартний моном|стандартних мономів]].

== Приклади ==
Прості приклади теорії інваріантів випливають з обчислення інваріантних [[моном]]ів в результаті дії групи. Наприклад, розгляньте дію <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> на <math>\mathbb{C}[x,y]</math>, яка відправляє
:<math>
\begin{align}
x\mapsto -x && y \mapsto -y
\end{align}
</math>
Тоді, оскільки <math>x^2, xy, y^2</math> є мономами найнижчого степеня, які є інваріантними, маємо, що
:<math>\mathbb{C}[x,y]^{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \cong \mathbb{C}[x^2,xy,y^2] \cong \frac{\mathbb{C}[a,b,c]}{(ac - b^2)}</math>
Цей приклад лежить в основі багатьох обчислень.

== Зародження  в XIX столітті ==

Кейлі вперше розглянув задачі з  теорії інваріантів у своїй "Теорії лінійних перетворень (1845)." На початку своєї статті Кейлі віддає належне статті 1841 року [[Джордж Буль]], "дослідження мені були запропоновані завдяки дуже елегантній роботі з цієї теми... паном Булем." (Стаття Буля була Представлення загальної теорії лінійних перетворень, Кембриджський математичний журнал.)<ref name="Wolfson 2008 pp. 37–46">{{cite journal | last=Wolfson | first=Paul R. | title=George Boole and the origins of invariant theory | journal=Historia Mathematica | publisher=Elsevier BV | volume=35 | issue=1 | year=2008 | issn=0315-0860 | doi=10.1016/j.hm.2007.06.004 | pages=37–46| doi-access= }}</ref>

Класично, термін "теорія інваріантів" відноситься до вивчення інваріантних [[алгебраїчна форма|алгебраїчних форм]] (еквівалентно, [[симетричний тензор|симетричних тензорів]]) відносно [[Дія групи (математика)|дії]] [[лінійне перетворення|лінійних перетворень]]. Це була значна галузь досліджень у другій половині дев'ятнадцятого століття. Сучасні теорії, пов'язані з [[симетрична група|симетричною групою]] та [[симетрична функція|симетричними функціями]], [[комутативна алгебра]], [[простір модулів]] та [[зображення груп Лі]], мають своє коріння в цій області.

Детальніше, маючи скінченновимірний [[векторний простір]] <math>V</math> розмірності <math>n</math>, ми можемо розглянути [[симетричну алгебра]] <math>S(S^r(V))</math> поліномів степеня <math>r</math> над <math>V</math>, та дію на ній <math>GL(V)</math>. Насправді більш точно вважати релятивні інваріанти <math>GL(V)</math>, або представлення <math>SL(V)</math>, якщо ми говоримо про інваріанти: це тому, що скалярний множник одиничного перетворення діятиме на тензор рангу <math>r</math> у <math>S(V)</math> через <math>r</math>-те ступінь 'ваги' скаляра. Тоді мета полягає в тому, щоб визначити підалгебру інваріантів <math>I(S^r(V))</math> для дії. Ми, класичною мовою, дивимося на інваріанти <math>n</math>-арних <math>r</math>-ік, де <math>n</math> є розмірністю <math>V</math>. (Це не те саме, що знаходження інваріантів <math>GL(V)</math> на <math>S(V)</math>; це незацікавлена проблема, оскільки єдині такі інваріанти — константи.) Найбільш вивченим був випадок [[інваріанти бінарної форми]], де <math>n</math> = 2.

Інша робота включала діяльність [[Фелікс Кляйн|Фелікса Кляйна]] у розрахунках кілець інваріантів дій скінченних груп на <math>\mathbf{C}^2</math> (класифіковані за [[класифікація ADE|класифікацією ADE]]); це кільця координат [[дю Валь сингулярності|сингулярностей дю Валь]].

Робота [[Девід Гільберт|Девіда Гільберта]], довівши, що ''I''(''V'') була скінченно представлена у багатьох випадках, майже поклала край класичній теорії інваріантів на кілька десятиліть, хоча класична епоха в предметі продовжувалася до останніх публікацій [[Альфред Янг (математик)|Альфреда Янга]], більше ніж через 50 років пізніше. Явні розрахунки для конкретних цілей відомі у сучасні часи (наприклад Шіода, з бінарними октавіками).

==Теореми Гільберта==

Гільберт(1890) довів, що якщо <math>V</math> є зображенням представленням комплексної алгебраїчної групи <math>G = SL_n(C)</math>, тоді [[кільце інваріантів]] <math>G</math>, що діє на кільці поліномів <math>R = S(V)</math>, є скінченно породженим. Для свого доведення він використовував [[оператор Рейнольдса]] <math>p</math> із <math>R</math> в <math>R^G</math> з такими властивостями:
*<math>p(1) = 1</math>
*<math>p(a + b) = p(a) + p(b)</math>
*<math>p(ab) = a p(b)</math> завжди, коли <math>a</math> є інваріантом.
Гільберт явно побудував оператор Рейнольдса, використовуючи [[процес омега Кейлі]] <math>\Omega</math>, хоча тепер більш поширена непряма конструкція <math>p</math>: для компактних груп <math>G</math> оператор Рейнольдса отримують шляхом усереднення по <math>G</math>, а некомпактні редуктивні групи можна звести до випадку компактних груп, використовуючи [[трюк Вейля]].

З урахуванням оператора Рейнольдса, теорема Гільберта доводиться так. Кільце <math>R</math> є кільцем поліномів, тому градуйоване за степенями, і ідеал <math>I</math> визначається як ідеал, породжений однорідними інваріантами позитивних степенів. За [[ теорема Гільберта про базис]] ідеал <math>I</math> скінченно породжений (як ідеал). Отже, <math>I</math> породжений ''кількома інваріантами <math>G</math>'' (оскільки, якщо ми маємо будь-яку – можливо нескінченну – підмножину <math>S</math>, яка породжує кінцево породжений ідеал <math>I</math>, то <math>I</math> вже породжений деякою скінченною підмножиною <math>S</math>). Нехай <math>i_1,...,i_n</math> є скінченною множиною інваріантів <math>G</math>, які породжують <math>I</math> (як ідеал). Основна ідея полягає в тому, щоб показати, що ці породжують кільце <math>R^G</math> інваріантів. Припустимо, що <math>x</math> є деяким однорідним інваріантом степеня <math>d > 0</math>. Тоді
:<math>x = a_1 i_1 + ... + a_n i_n</math>
для деяких <math>a_j</math> у кільці <math>R</math>, оскільки <math>x</math> знаходиться в ідеалі <math>I</math>. Ми можемо припустити, що <math>a_j</math> є однорідними степеня <math>d - \deg i_j</math> для кожного <math>j</math> (в іншому випадку, ми замінюємо <math>a_j</math> його однорідною компонентою степеня <math>d - \deg i_j</math>; якщо ми зробимо це для кожного <math>j</math>, рівняння <math>x = a_1 i_1 + ... + a_n i_n</math> залишиться валідним). Тепер, застосувавши оператор Рейнольдса до <math>x = a_1 i_1 + ... + a_n i_n</math> отримуємо
<math> x = p(a_1) i_1 + ... + p(a_n) i_n </math>

== Геометрична теорія  інваріантів ==
Сучасне формулювання [[геометричної теорії  інваріантів]] належить [[Девіду Мамфорду]] і акцентує на конструкції фактору за дією групи, який повинна захоплювати інваріантну інформацію через її кільце координат. Це тонка теорія, в якій успіх досягається шляхом виключення деяких "поганих" орбіт і ідентифікації інших з "хорошими" орбітами. У окремому розвитку [[символічний метод теорії інваріантів]], який здавався евристичним комбінаторним позначенням, було реабілітовано.

Однією з мотивацій було створення [[модульних просторів]] в [[алгебраїчній геометрії]] як часток схем, що параметризують позначені об'єкти. У 1970-х та 1980-х роках теорія розвивалася взаємодіями з [[симплектичною геометрією]] та еквіваріантною топологією і була використана для конструювання модульних просторів об'єктів у [[диференціальній геометрії]], таких як [[інстантони]] та [[монополі (математика)|монополі]].

==Література==
{{Reflist}}
*{{Citation | last1=Dieudonné | first1=Jean A. |author1-link = Jean A. Dieudonné| last2=Carrell | first2=James B. | title=Invariant theory, old and new | doi=10.1016/0001-8708(70)90015-0 | year=1970 | journal=[[Advances in Mathematics]] | issn=0001-8708 | volume=4 | pages=1–80 | mr=0255525| doi-access=free }} Reprinted as {{Citation | last1=Dieudonné | first1=Jean A. | last2=Carrell | first2=James B. | title=Invariant theory, old and new | publisher=[[Academic Press]] | location=Boston, MA | isbn=978-0-12-215540-6 | doi=10.1016/0001-8708(70)90015-0 | year=1971 | mr=0279102 | journal=[[Advances in Mathematics]] | volume=4 | pages=1–80| doi-access=free }}
*{{Citation | last1=Dolgachev | first1=Igor | title=Lectures on invariant theory | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | isbn=978-0-521-52548-0 | doi=10.1017/CBO9780511615436 | year=2003 | volume=296 | mr=2004511}}
*{{Citation | last=Grace|first= J. H.|last2= Young|first2= Alfred | title=The algebra of invariants | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1903 |url=https://archive.org/details/algebraofinvaria00graciala}} 
*{{Citation | author=Grosshans, Frank D. | author-link = Frank Grosshans | title=Algebraic homogeneous spaces and invariant theory | location=New York | publisher=Springer | year=1997 | isbn=3-540-63628-5}}
*{{Citation | last1=Kung | first1=Joseph P. S. | last2=Rota | first2=Gian-Carlo | author2-link=Gian-Carlo Rota | title=The invariant theory of binary forms | url=https://www.ams.org/journals/bull/1984-10-01/S0273-0979-1984-15188-7 | doi=10.1090/S0273-0979-1984-15188-7 | year=1984 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society |series=New Series | issn=0002-9904 | volume=10 | issue=1 | pages=27–85 | mr=722856| doi-access=free }}
*{{Citation | last1=Hilbert | first1=David | author1-link=David Hilbert | title=Ueber die Theorie der algebraischen Formen | doi=10.1007/BF01208503 | year=1890 | journal=[[Mathematische Annalen]] | issn=0025-5831 | volume=36 | issue=4 | pages=473–534 | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0036&DMDID=DMDLOG_0045}}
*{{citation|last=Hilbert|first=D.|title=Über die vollen Invariantensysteme (On Full Invariant Systems)|journal=Math. Annalen|volume=42|issue=3|page=313|year=1893|doi=10.1007/BF01444162 | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0042&DMDID=DMDLOG_0034}}
*{{Citation |author1=Neusel, Mara D. |author2=Smith, Larry | title=Invariant Theory of Finite Groups | location=Providence, RI | publisher=American Mathematical Society | year=2002 | isbn=0-8218-2916-5}}  A recent resource for learning about modular invariants of finite groups.
*{{Citation | author=Olver, Peter J. |author-link=Peter J. Olver | title=Classical invariant theory | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1999 | isbn=0-521-55821-2}} An undergraduate level introduction to the classical theory of invariants of binary forms, including the [[Omega process]] starting at page 87.
*{{springer|id=i/i052350|title=Invariants, theory of|first=V.L. |last=Popov}}
*{{Citation | author=Springer, T. A. | title=Invariant Theory | location=New York | publisher=Springer | year=1977 | isbn=0-387-08242-5}}  An older but still useful survey.
*{{Citation | author=Sturmfels, Bernd | author-link=Bernd Sturmfels | title=Algorithms in Invariant Theory | location=New York | publisher=Springer | year=1993 | isbn=0-387-82445-6}}  A beautiful introduction to the theory of invariants of finite groups and techniques for computing them using Gröbner bases.
*{{Citation | last1=Weyl | first1=Hermann | author1-link=Hermann Weyl | title=The Classical Groups. Their Invariants and Representations | url=https://books.google.com/books?isbn=0691057567 | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-05756-9 | year=1939 | mr=0000255}}
*{{Citation | last1=Weyl | first1=Hermann | author1-link=Hermann Weyl | title=Invariants | url=http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077491405 | year=1939b | journal=[[Duke Mathematical Journal]] | issn=0012-7094 | volume=5 | pages=489–502 | mr=0000030 | doi=10.1215/S0012-7094-39-00540-5 | issue=3}}

== Зовнішні посилання ==
*H. Kraft, C. Procesi, [http://www.math.iitb.ac.in/~shripad/Wilberd/KP-Primer.pdf Classical Invariant Theory, a Primer]
* V. L. Popov, E. B. Vinberg, ``Invariant Theory", in ''Algebraic geometry''. IV. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 55 (translated from 1989 Russian edition) Springer-Verlag, Berlin, 1994; vi+284 pp.; {{ISBN|3-540-54682-0}}

[[Category:Теорія інвараінтів| ]]

== Див. також ==
{{Вікіцитати1}}
{{Портал|Математика}}
* [[Давид Гільберт]]
* [[Інваріант (математика)]]
* [[Інваріант графу]]

{{math-stub}}
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Теорія інваріантів| ]]