Перегляд вихідного коду сторінки Теорія множин Цермело — Френкеля

{{unibox}}'''Теорія множин Цермело — Френкеля''' (позначається ZF) — найпоширеніша [[аксіоматика теорії множин]], і, через це, найпоширеніша [[основа математики]].

ZFC — '''теорія множин Цермело — Френкеля''' з [[Аксіома вибору|аксіомою вибору]] (AC).

ZFC містить єдине примітивне [[онтологія|онтологічне]] поняття &mdash; [[множина]], та єдине онтологічне припущення, що всі об'єкти в досліджуваному просторі (наприклад, всі математичні об'єкти) є множинами.

Вводиться єдине [[бінарне відношення]] &mdash; приналежність до множини; позначає що множина <math>~a</math> є елементом множини <math>~b</math>, та записується як <math>a \in b</math>.

ZFC є [[теорія першого порядку|теорією першого порядку]]; в ZFC містяться аксіоми, в яких використовується [[логіка першого порядку]]. Ці аксіоми описують: порівняння, існування, побудову та впорядкування множин.

== Передумови створення ==
Аксіоматична теорія множин — напрям у [[Математична логіка|математичній логіці]], присвячений вивченню фрагментів змістовної теорії множин методами математичної логіки. З цією метою фрагменти теорії множин подають у вигляді аксіоматичної теорії. В основі сучасної теорії множин лежить система аксіом, які приймають без доведення і з яких виводять усі теореми теорії множин. Передумовами створення такої теорії стало відкриття деяких парадоксів (антиномій, суперечностей) так званої [[Наївна теорія множин|«наївної» теорії множин]]. Серед таких парадоксів найбільш відомими є парадокси [[Парадокс Расселла|Рассела]]<ref>{{sfn0|Андрійчук, Комарницький та Іщук|2003|с=8-10}}</ref> та [[Парадокс Кантора|Кантора]].

Першою аксіоматикою такого роду була [[Теорія множин Цермело|система Z Цермело]] (E. Zermelo, 1908). Однак у цій системі неможливо було природним чином формалізувати деякі розділи математики, і [[Абрахам Френкель|А.Френкель]] (A. Frenkel, 1922) запропонував доповнити систему Z новим принципом, який назвав [[Аксіомна схема підстановки|аксіомою підстановки]]. Отриману систему називають системою аксіом Цермело — Френкеля і позначають ZF.

== Аксіоми ZFC ==
=== Порівняння ===
==== [[Аксіома об'ємності|Аксіома екстенсіональності (об'ємності)]] (Z1) ====
Дві множини рівні тоді й тільки тоді, коли вони мають одні й ті ж елементи.<ref>{{sfn0|Андрійчук, Комарницький та Іщук|2003|с=12}}</ref>
:<math>\forall A, \forall B: \; A=B \iff (\forall C: C \in A \iff C \in B)</math>

=== Існування ===
==== [[Аксіома нескінченності]] (Z7) ====
Існує така множина ''A'', що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента ''B'' включає також і множину, сформовану як об'єднання ''B'' та її [[Синґлетон (математика)|синґлетону]] {''B''}.<ref>{{sfn0|Андрійчук, Комарницький та Іщук|2003|с=13}}</ref>
:<math>\exist A: \varnothing \in A \land (\forall B: B \in A \Rightarrow B \cup \{B\} \in A)</math>

==== [[Аксіома порожньої множини]] ====
Існує множина без елементів.<ref>{{sfn0|Андрійчук, Комарницький та Іщук|2003|с=12}}</ref>
:<math>\exist A: \forall B \ \lnot (B \in A)</math>

Таку множину зазвичай позначають як ∅ або {} та називають [[порожня множина|порожньою множиною]].

=== Побудови ===
==== [[Аксіома пари]] (Z2) ====
Для будь-яких множин A та B існує множина C така, що A та B є її єдиними елементами. Множина C позначається {''A'', ''B''} і називається невпорядкованою парою A та B.<ref>{{sfn0|Андрійчук, Комарницький та Іщук|2003|с=12}}</ref>
:<math>\forall A, \forall B, \exist C, \forall D: D \in C \iff (D = A \lor D = B)</math>

Тобто, якщо A = B, то існує множина C така, що вона складається з одного елемента {''A'', ''A''} = {''A''} (який має назву [[синглетон|синглетона]]).

==== [[Аксіома булеана]] (Z4) ====
Для будь-якої множини А існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи що є [[підмножина]]ми A.<ref>{{sfn0|Андрійчук, Комарницький та Іщук|2003|с=13}}</ref>
:<math>\forall A, \exists B, \forall C: C \in B \iff (\forall D: D \in C \Rightarrow D \in A).</math>
Якщо ввести відношення підмножини <math>\subseteq</math>, то формулу можна спростити:
:<math>\forall A, \exists B, \forall C: C \in B \iff C \subseteq A.</math>
Множину B називають [[булеан]]ом множини A та позначають <math>{\mathcal{P}(A)}</math>.

==== [[Аксіома об'єднання]] (Z5) ====
Для двох множин існує третя, яка включає в себе всі елементи обох, і тільки їх.<ref>{{sfn0|Андрійчук, Комарницький та Іщук|2003|с=13}}</ref>
:<math>\forall A, \exist B, \forall C: C \in B \iff (\exist D: C \in D \land D \in A)</math>

З аксіоми прямо випливає, що [[об'єднання множин]] також є множиною. Множина ''B'' називається об'єднанням ''A'', і позначається <big>&cup;</big>''A''.

==== [[Аксіомна схема виділення|Схема специфікації (аксіома виділення)]] (Z3) ====
Для будь-якої множини А і властивості P існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи множини А, які маю властивість P.<ref>{{sfn0|Андрійчук, Комарницький та Іщук|2003|с=14}}</ref>
:<math>\forall A, \exist B, \forall C: C \in B \iff C \in A \land P(C)</math>
Для кожної такої властивості P ([[предикат]]а, що не використовує символ B), існує окрема аксіома виділення. Тому комплект таких аксіом називають схемою.

==== [[Аксіомна схема підстановки|Схема перетворення (аксіома підстановки)]] (ZF) ====
Нехай А - множина, і P(x,y) - [[предикат]]. Тоді якщо для кожного x існує єдиний y, такий що P(x,y) істинний, тоді існує множина всіх y, для яких знайдеться такий x ∈ A, що P(x,y) істинний. <ref>{{sfn0|Андрійчук, Комарницький та Іщук|2003|с=13-14}}</ref>
:<math>(\forall x, \exist!\, y: P(x, y)) \rightarrow \forall A, \exist B, \forall y: y \in B \iff \exist x \in A : P(x, y)</math>

=== Впорядкування ===
==== [[Аксіома регулярності]] (ZF) ====
В будь-якій непорожній множині А є елемент B, що перетин А та B є порожньою множиною.<ref>{{sfn0|Андрійчук, Комарницький та Іщук|2003|с=13}}</ref>
:<math>\forall A (\exists B (B \in A) \rightarrow \exists B (B \in A \land \lnot \exist C (C \in A \land C \in B))).</math>
Якщо ввести операцію перетину множин <math>\cap \!</math>, то формулу можна спростити:
:<math>\forall A (A \neq \varnothing \rightarrow \exists B (B \in A \wedge B \cap A = \varnothing))</math>

==== [[Аксіома вибору]] (Z6) ====
Для довільного сімейства непорожніх множин, що не перетинаються, існує множина, яка має рівно один спільний елемент з кожною множиною даного сімейства, навіть якщо множин у сімействі нескінченно багато і невизначено правило вибору елемента з кожної множини.<ref>{{sfn0|Андрійчук, Комарницький та Іщук|2003|с=16}}</ref>

== Надлишковість ==
* [[Аксіома порожньої множини]] явним чи неявним чином присутня у всіх аксіоматичних теоріях множин. В ZF не є виокремленою, а включається в [[аксіома нескінченності|аксіому нескінченності]].
* [[Аксіомна схема виділення]] не входить в ZF, оскільки виводиться із пізніше введеної [[аксіомна схема підстановки|аксіомної схеми підстановки]] та [[аксіома порожньої множини|аксіоми порожньої множини]].
* [[Аксіома пари]] виводиться із аксіоми підстановки, аксіоми порожньої множини та аксіоми булеана.

== Див. також ==
* [[Теорія множин]]
* [[Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя]]
* [[Z-нотація]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{cite book |автор=Андрійчук В.І., Комарницький М.Я., Іщук Ю.Б. |url=http://moodle.nati.org.ua/mod/resource/view.php?id=9295 |назва=Вступ до дискретної математики |місце=Львів |видавництво=Видавничий центр ЛНУ ім. І.Франка |рік=2003 |pages=254 |ref={{sfnref|Андрійчук, Комарницький та Іщук|2003}}}}
* {{Хаусдорф.Теория множеств}}
* {{Куратовский.Мостовский.Теория множеств}}

{{^}}{{ВП-портали|Математика}}

{{Теорія множин}}
{{Математична логіка}}

[[Категорія:Системи теорії множин]]
[[Категорія:Основи математики]]